高考数学-立体几何专题经典试题练习及解析

高考数学立体几何专题经典试题练习及解析

1、如图，在正方体ABCQ—ABC；〃中，£为的中点:

（I）求证：8CJ/平面ARE；

（II）求直线44与平面ARE所成角的正弦值、

【解析】（I）如下图所示：

在正方体中，AB〃A片且A〃=AM，A4〃C|R且A4=GA，

.•.AB〃CQ4B=GR,所以，四边形ABCQ为平行四边形，则

,.,8C|二平面ARE,AD|u平面AZ)]E,8C]〃平面ARE；

(U)以点A为坐标原点，AD.AB.AM所在直线分别为X、)'、z轴建立如下图所示的空间直角坐标

系A7yz,

设正方体A5CD-A4GA的棱长为2,则4(0。。)、4(。，。，2)、"(2,0,2)、£(0,2,1),

函=(2,0,2),荏=(0,2,1),

万.西二02x+2z=0

设平面A.E的法向量为〃=(x,y,z),由，

n-AE=02y+z=0

令z=-2,则x=2,丁=1,则〃=(2,1,-2).

n-AA.4_2

cos</?,>=六一一]

2

因此，直线AA与平面A"E所成角的止弦值为

2、如下图四棱锥尸・A8C&的底面为正方形，PD_L底面相。、设平面力。与平面P8C的交线为，:

p

（1）证明：，_L平面PDC：

（2）已知PD=AO=1,。为/上的点，求尸3与平面。CD所成角的正弦值的最大值、

【解析】（1）证明：在正方形ABCQ中，AD//BC,

因为4。二平面PBC,BCu平面PBC,

所以AQ〃平面P8C,

又因为AOu平面HAD,平面尸AOA平面尸BC=/,

所以4。〃/,

因为在四棱锥P-ABC。中，底面4BCQ是正方形，所以AOJLOC,「./JLOC,

且PQJ_平面ABC。，所以AO_LPO,/./J_PD,

因为conpo=。

所以/_L平面POC；

（2）如图建立空间直角坐标系。一八）2,

（I）求证：C】MJ.BQ；

（ID求二面角笈一片七一。的正弦值；

（in）求直线48与平面。4石所成角的正弦值、

【解析】依题意，以C为原点，分别以巨、CB.CC的方向为工轴、）'轴、Z轴的正方向建立空间直角

坐标系（如图）,

可得。(0,0,0)、4(2,0,0),8(0,2,0)、C,(0,0,3).

A(2,0,3)、5(0,2,3)、。(2,0,1)、£(0,0,2),M(l,l,3)

（【）依题意，杀=（1』,0）,而=（2,-2,-2）,

从而中•月75=2-2+0=0,所以GM，4。；

（JI）依题意，CX=（2,0,0）是平面84石的一个法向量,

函二(0,2,1),ED=(2,0,-l).

设G=（乂乂z）为平面DB】E的法向量,

nEB.=02y+z=0

则<_____；，即］

n-££)=()2x-z=0

不妨设彳=1,可得3=（1,-1,2）、

5瓦\普邛,

|可.同2xV66

.----/;-----^/30

/.sin<CA,n>=，1-cos'<CA,n>=----

6

所以，二面角8一片七一。的正弦值为我;

6

（111）依题意，而=（一2,2,0）、

__Tn-A5,n-4y/3

由（II）知〃=（1,一1,2）为平面应注的•个法向量，于是c°s<A8,〃>=丽，厂犷短^二一丁、

所以，直线A8与平面OgE所成角的正弦值为由.

3

4、如图，四棱锥P-AbCQ的底面为正方形，PO1底面48aA设平面Bl。与平面PbC的交线为/

（1）证明：/I平面PDG

（2）已知PD=AD=L。为/上的点，QB=g,求与平面QCO所成角的正弦值、

【解析】（1）证明：在正方形AOC。中，AD//DC,

因为4。二平面PBC,8Cu平面PBC,

所以A。〃平面P8C,

又因为AOu平面P4D,平面尸4。八平面尸3。=/,

所以AD//1,

因为在四棱锥P-A3CQ中，底面ABCQ是正方形，所以AO_LOC,OC,

且PO_L平面ABC。，所以AOl.P2.」_LPr>,

因为con。。=。

所以/J.平面尸DC；

（2）如图建立空间直角坐标系。--D'z,

因为PO=4。=1,则有。(0,0,0),C(0,l,0),41,0,0),P(0,0,l),3(1,1,0),

设Q(m,0,1),则有DC=(0,1,0),DQ=(肛0,1),而

因为Q5二夜，所以有J(〃z—+(。-十(I-Of=应=>m=1

设平面QC。的法向量为；;=(x,)，,z),

DCH=0y=0

贝卜一即《

DQn=0x+z=0

令x=l,则z=-l,所以平面Q。。的一个法向量为〃=(1,0,-1)，则

n-PB1+0+12

cos<〃，PB>=________________________________

n||PB\J'+OX-I)?.Vl2+12+12>/2x>/3-3

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与

ruir./A

平面所成用的正弦值等于Icos<nPB>\=—

y3

所以直线P8与平面QC。所成角的正弦值为Y6.

3

5、如图，三棱台A4C——&E"中，平面AC尸O_L平面ABC,NACB=NACD=45°,DC=2BC

(I)证明：EFLDBX

(ID求DF与面O3C所成角的正弦值、

【解析】(I)作。”_LAC交AC于〃，连接8H、

•・•平面AOfC_L平面ABC,而平面A。77。。平面ABC=AC,。“匚平面4。/。,

・・・。”_1平面48。，而8Cu邛面A8C,即有O”_L8C、

•・,AACB=ZACD=45°,/.CD=42CH=2BCnCH=ABC、

在DCB〃中，BH?=CH?+BC?-2CH•BCcos45。=BC?，即有BH?+BC?=CH?，；・BH1BC、

由棱台的定义可知，EFUBC,所以DHJ.E广,BHA.EF,而BHC)DH=H,

・•・E/J.平面9〃)，而BDu平面BHD'EF工DB、

(II)因为DF//CH,所以。尸与平面DBC所成角即为与CH平面Z)BC所成角、

作HGLBD于G,连接CG,由(1)可知，BC工平面BHD，

因为所以平面BCD，平面BHD，而平面3coD平面BHD=BD,

“Gu平面J"G_L平面8c。、

即CH在平面DBC内的射影为CG,4HCG即为所求角、

在放△HGC中，设BC=a,舆CH=Ei，HG=昕。”=母，。二旦人

BD岛G

・•・sinZ/7CG=—=-^=—x

CH63

故DE与平面DBC所成角的正弦值为史、

3

模拟试题

、如图，四棱锥。中，底面

1S—ABCSD_LABCQ,AB//CD,ADlDCfAB=AD=],DC=2f

SD=BE为棱SB的中点

（1）求证：5（?_1_平面4〃七；

（2）求点8到平面AEC的距离，

【答案】（D见证明；（2）h=—

【解析】解：(1)取8C的中点尸，连结E"，AW.如图:

因为SO_L底面ABCD所以SD1AD,

又因为AQ_LQC且Son。。：。，

所以AD_L平面SQC,得4O_LSC.

又因为CO_L面ASQ且A8//CZ)所以48_L面ASO,

在R/AS4。中SO=&,AD=1,购=6，

在R/ASA8中A3=1,SB=2,尸为的中点，故AE」SB=1,

2

在&ASCD中5。=0,8=2,5。=遍，所以石尸二45。=业，

22

在M3。中，48=4。=1,3。=0,故/43。=45。,在4。3。中，BD=BC=&故QBC=骄,

在&48/中，AB=1,B尸=*,N48P=135°,由余弦定理知A”=半，

在中，AE=1,所=如，4尸=巫满足勾股定理所以AEl.Eb,从而AE_LSC.

22

所以SC_L平面4OE.

(2)连接BD并取中点0,连接EO,0C,过O作OM_LC。交CO「M点，过()作ON_LA。交ADJ'N

点，如图:

D

•・•在RtAOMC中，OM=ND=LAD=>,DM=NO=-AB=-,MC=CD-DM=2--=-

222222

OC=ylOM2+MC2=

•・•SO_L底面ABC。且E为棱SB的中点

EO1底面ABCD即A£OC为宜角三角形即EC二6

在AAEC中AE=I,AC=5"MG由余弦定理知cosE=W[I[]sinE=后

SMEC=—X/1EXECXsinE=—x1x73=

222后4

=—x/lBx/?Csinl35°=—xlx>^x^^=-!-»且%

=%-ABC'

-AEC

2222

.・L叵h=L』x”解得八叵.

3432211

2、如图，在三棱锥P-A5C中，PBlACtAB=AC=\fPB=2&PC=瓜,ZPBA=45°.

（1）求证：平面/MB_L平面24C：

（2）£尸分别是棱。及3c的中点，G为棱PC上的点，求三棱锥A-E尸G的体积.

【答案】（1）详见解析；（2）上.

12

【解析】（I）证明：在△PA8中，由余弦定理得：PA2=PB2+AB2-1PB-ABcos^PBA

解得：PA=y[5,\AC?+PA=P6J.ACA.P/

又AC_LPB,PAr\PB=P「.AC，平面PA8

又ACu平面PAC平面PAB_L平面PAC

(2)S.=-PB-ABsin/PBA=i-2>/2-sin45°=1

八rPArR»22

•V

--yC-PAB=-S.„./fMC=-xlxl=-

333

•••E,F分别是棱PB,BC的中点EF//PCSSEFG=hAPli

1

•V=_Lv=J_y=一

一»A-EFG4Va-pbc4Vc-PAB12

3、如图，四棱锥P-ABC。中，AB//DCZADC=-AB=AD=-CD=2PD=PB=46

f2t2f

PDLBC

(1)求证：平面JL平面P6C；

(2)在线段PC上是否存在点M,使得平面A8W与平面Q⑺所成锐二面角为与？若存在，求等的值;

若不存在，说明理由：

【解析】(1)证明：因为四边形ABCD为直角梯形，且AB//OC,AB=AD=2ZADC=-

t2t

所以8。=2五，

又因为CO=4,N8OC=?、根据余弦定理得BC=2及，

所以。。2=8。2+8。2,故BC上BD.

又因为8C_LP力，PDcBD=D，且BD,PDu平面PBD,所以8C_L平面?蛆，

又因为8Cu平面PBC,所以平面PBC_L平面依。

(2)由(1)得平面A3C£>_L平面/>8。，

设E为8。的中点，连结PE,因为PB=PD=n，

所以PE_L3。，DE=2,乂平面ABCD_L平面PBD,

平面ABCD八平面PBD=BD,

尸E_L平面ABCD.

如图，以A为原点分别以而，而和垂直平面ABC。的方向为Ky，z轴正方向，建立空间直角坐标系

A-xyz,

则A(0,0,0),5(020),C(2,4,0),Z)(2,0,0),P(l,l,2),

CM___

假设存在/,c)满足要求，设7：万二〃0W/lWl),即CM=4CP，

V»z/

所以M(2・/l,4-342/l),

易得平面PAD的一个法向量为BC=(2,2,0).

设方=*,y,z)为平面ABM的一个法向量，而=(0,2,0)，福=(2-2,4-3422)

n♦AB=0f2y=0一

由《一得《小八』「、」八，不妨取〃=(24,0,2-2).

n•AM=0(2-X)x+(4—32)y+24z=0

2_

因为平面〃应)与平面A8M所成的锐二面角为g,所以

2可4万+(入-2『2

2

解得4=§,/1=-2,(不合题意舍去).

故存在M点满足条件，且穿4

4、如图，三棱锥八bC,侧棱24=2,底面三角形八区C为正三角形，边长为2,顶点。在平面A6C

上的射影为。，有AO_LZ)8,且08=1

C

(1)求证：AC//平面POA；

(2)求二面角/〉-AB-C的余弦值；

CE

(3)线段PC上是否存在点£使得PCJ_平面叱，如果存在，求为;的值；如果不存在，请说明理由.

【解析】(I)因为且力8=1,A8=2,所以AQ=G，

所以NO84=60°.

因为A4BC为正三角形，所以NC48=6(T，

又由已知可知AC8。为平面四边形，所以O8//AC.

因为AC平面夕。“，力〃u平面尸。区，

所以4C//平面PQ6.

(II)由点P在平面ABC上的射影为。可得P。_L平面ACBD,

所以PO_L£>A,PDLDB.

以。氏分别为K)，,z建立空间直角坐标系，则由已知可知矶1,0,0),八(0,百,0),*0,0,1),

C(2,G,0).

平面ABC的法向量5=(0,0,1),

设m二(x,y,z)为平面PAB的一个法向量，则

由｛上T°'可得｛3同=°,

BP-m=0-x+z=0,

令y=l,则x=J5,z=百，所以平面的一个法向量记=(、/5/,、回「

/-一\mnA/3y/li

所以8s何＞丽=^?二〒，

所以二面角P-AB-C的余弦值为—立I.

7

（HI）由（H）可得丽=（1,一6,0）,PC=（2,x/3,-l）,

因为尼•丽=（2,6,-1）.（1,-6,0）=-1工0,

所以PC与A8不垂直，

所以在线段PC上不存在点E使得PC_L平面ABE.

5、已知四棱锥中。一A3co，底面A3CO为菱形，ZABC=60SPA1平面A3C。，£、M分别是BC、

P0上的中点，直线与平面PA。所成角的正弦值为巫，点尸在PC上移动.

5

（I）证明：无论点尸在P。上如何移动，都有平面AE/_L平面E4D；

（II）求点尸恰为PC的中点时，二面角C-A”-E的余弦值.

【解析】（【）连接AC

•••底面4BC。为菱形，ZABC=60°,

:△4BC是正三角形，

•・花是8C中点，，AE1BC

又4。口BC,.\4E_LA力

,•PA1平面ABCD,AEu平匝ABCD,

•­PALAE,^PAnAE=A

，4£_L平面PAO,又4Eu平面A£F

・•・平面AE/_L平面PAO.

（II）由（I）得，AE,AD,AP两两垂直，以AE,AD,4P所在直线分别为X轴，）'轴，z轴建

立如图所示的空间直角坐标系，

•・NE_L平面PAD,

就是石“与平面尸A力所成的角，

在心A4ME中，sinZAME=—»即任=@,

5AM2

设AB=2a,则AE=ga，得AM=\[la，

又,4D=A〃=2〃，设P4=2力，则M（O,a,b）,

所以AM=，/+/=亿,

从而b=a,•'PA=AD=2a,

则A（0,0,0）,川园,-〃,（）），C（扁a,0）,O（0,2〃,0）,尸（0,0,2a）,

E（6/,0,0）,F亭,余。，

\z

__（n\_

所以通=（W,0,0）,AF=W~*a,而二卜岛,3。,0）,

乙乙

设流(x,y,z)是平面4E尸一个法向量，则

_-Tr；n6ax=a

n-AE=0小-、

—八=>JizM-av取Z=a,得为=(0,-2a,a)

nAF=O2^竺+9+〃z=0

22

又B。_L平面ACF，:颜=(一岛