抛物线常考题型归纳-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

抛物线常考题型归纳【典例精析】题型一：抛物线的定义及应用【例1】(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为()A．eq\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．2(2)动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4,0)的距离小2，则点P的轨迹是()A．直线 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线[方法技巧]1．利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化．[提醒]注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋eq\f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq\f(p,2)．【变式训练】1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq\f(5,4)x0，则x0等于()A．1B．2C．4D．82．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|＝eq\r(2)|PF|，则△PMF的面积为()A．4 B．8C．16 D．323．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，若∠PFx＝60°，则()A．△PQF为等边三角形 B．|PQ|＝4C．S△PQF＝4eq\r(3) D．xP＝44．已知抛物线y＝eq\f(1,2)x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝eq\r(2)|NF|，则|MF|＝________．5．过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，抛物线C的准线l与x轴交于点E，AA1⊥l于点A1，若四边形AA1EF的面积为6eq\r(3)，则p＝________．题型二：线段和差的最值问题【例2】点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：(1)|PA|＋|PF|的最小值为________；(2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________．【变式训练】若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．2．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线l的距离为2，若点P在抛物线上，且点P到l的距离为d，Q在圆x2＋(y－3)2＝1上，则p＝________，|PQ|＋d的最小值为________．4．已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，则点M到y轴的最短距离为________．5．如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆C2分别交于点P，Q和M，N，则|PN|＋4|QM|的最小值为________．题型三：抛物线的标准方程与几何性质【例3】(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝()A．2 B．3C．4 D．8(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为()A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝eq\r(3)x[方法技巧]1．求抛物线标准方程的方法(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．【变式训练】1．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()A．5 B．6C．eq\f(16,3) D．eq\f(20,3)2．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过焦点F且斜率为eq\r(3)的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的射影分别为M，N两点，则S△MFN等于()A．eq\f(8,3)p2B．eq\f(2\r(3),3)p2C．eq\f(4\r(3),3)p2D．eq\f(8\r(3),3)p23．已知直线l：y＝k(x＋2)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(2),3)C．2eq\r(2) D．eq\f(2\r(2),3)4．已知抛物线C：y2＝4x与圆E：(x－1)2＋y2＝9相交于A，B两点，点M为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于x轴的直线MN交抛物线于点N，则△MNE周长的取值范围为()A．(3,5)B．(5,7)C．(6,8)D．(6,8]5．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线的斜率为eq\r(3)且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是()A．p＝2 B．F为AD中点C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝26．(多选)设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是()A．|AB|≥4B．|OA|＋|OB|>8C．若点P(2,2)，则|PA|＋|AF|的最小值是3D．△OAB的面积的最小值是27．(多选)已知过抛物线C：y2＝4x焦点的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2＋y2－2x＝0于M，N两点，其中P,M位于第一象限，则eq\f(1,|PM|)＋eq\f(4,|QN|)的值可能为()A．3B．4C．5 D．68．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－eq\r(3)，那么|PF|＝________．【巩固练习】1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为eq\r(3)，则抛物线的焦点坐标为()A．(eq\r(3)，0) B．(0，eq\r(3))C．(2eq\r(3)，0) D．(0,2eq\r(3))2．若直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且AB⊥x轴，|AB|＝4eq\r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A．1B．2C．3D．53．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P在y轴上的投影为点E，则|PF|－|PE|的值为()A．1B．2C．3 D．44．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A是抛物线C的准线与x轴的交点．若抛物线C上的点M满足|MA|＝eq\r(2)|MF|，则|MF|＝()A．eq\r(2)B．2C．2eq\r(2) D．45．圆O：x2＋y2＝r2与抛物线Γ：y2＝4x交于A，B两点，与Γ的准线交于C，D两点，若四边形ABCD为矩形，则该矩形的面积为()A．2B．4C．8D．166．若点A为抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|＝5，点P为直线x＝－1上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为()A．8 B．2eq\r(13)C．2＋eq\r(41) D．eq\r(65)7．已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q(－3,3)，则|PQ|＋d的最小值为()A．5B．eq\r(30)＋1C．eq\r(30)－1 D．48．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PQ⊥l，垂足为Q，若|PF|＝4，则∠FQP＝()A．30° B．45°C．60° D．75°9．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于()A．4B．eq\f(9,2)C．5 D．610．(多选)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则()A．C的准线方程为x＝－4B．F点的坐标为(0,4)C．|FN|＝12D．三角形ONF的面积为16eq\r(2)(O为坐标原点)11．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9eq\r(3)，则下列说法正确的是()A．△ABF是等边三角形B．|BF|＝3C．点F到准线的距离为3D．抛物线C的方程为y2＝6x12．若抛物线y2＝8x上一点P(m，n)到其焦点的距离为8m，则m＝______．13．已知过点M的直线l与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，且eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝－3，其中O为坐标原点．(1)求p的值；(2)当|AM|＋4|BM|最小时，求直线l的方程．

抛物线常考题型归纳【典例精析】题型一：抛物线的定义及应用【例1】(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为()A．eq\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．2(2)动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4,0)的距离小2，则点P的轨迹是()A．直线 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线[解析](1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1．又点P到焦点F的距离为2，∴由定义知点P到准线的距离为2．∴xP＋1＝2，∴xP＝1．代入抛物线方程得|yP|＝2，∴△OFP的面积为S＝eq\f(1,2)·|OF|·|yP|＝eq\f(1,2)×1×2＝1．故选B(2)依题意，动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4,0)的距离小2，所以动点P到直线x－4＝0的距离和它到点M(－4,0)的距离相等，所以点P的轨迹是抛物线．故选D．[方法技巧]1．利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化．[提醒]注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋eq\f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq\f(p,2)．【变式训练】1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq\f(5,4)x0，则x0等于()A．1B．2C．4D．8解析：由题意，知抛物线的准线为x＝－eq\f(1,4)．因为|AF|＝eq\f(5,4)x0，根据抛物线的定义，得x0＋eq\f(1,4)＝|AF|＝eq\f(5,4)x0，所以x0＝1．故选A．2．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|＝eq\r(2)|PF|，则△PMF的面积为()A．4 B．8C．16 D．32解析：(1)如图所示，易得F(2,0)，过点P作PN⊥l，垂足为N．∵|PM|＝eq\r(2)|PF|，|PF|＝|PN|，∴|PM|＝eq\r(2)|PN|．设P，则|t|＝eq\f(t2,8)＋2，解得t＝±4，∴△PMF的面积为eq\f(1,2)×|t|·|MF|＝eq\f(1,2)×4×4＝8．故选B．3．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，若∠PFx＝60°，则()A．△PQF为等边三角形 B．|PQ|＝4C．S△PQF＝4eq\r(3) D．xP＝4解析：选ABC如图，因PQ∥x轴，∴∠QPF＝∠PFx＝60°，由抛物线定义知|PQ|＝|PF|，∴△PQF为等边三角形．因F(1,0)，过F作FM⊥PQ，垂足为M．∴xM＝1，∴|MQ|＝2．∴|PQ|＝4，∴S△PQF＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×4＝4eq\r(3)，xP＝3．故选A、B、C．4．已知抛物线y＝eq\f(1,2)x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝eq\r(2)|NF|，则|MF|＝________．解析：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H．根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝eq\r(2)|NH|，则∠NMH＝45°．在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝eq\r(2)|FK|．而|FK|＝1．所以|MF|＝eq\r(2)．5．过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，抛物线C的准线l与x轴交于点E，AA1⊥l于点A1，若四边形AA1EF的面积为6eq\r(3)，则p＝________．解析：不妨设点A在第一象限，如图，作BB1⊥l于点B1，设直线AB与l的交点为D，由抛物线的定义及性质可知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，|EF|＝p．设|BD|＝m，|BF|＝n，则eq\f(|BD|,|AD|)＝eq\f(|BB1|,|AA1|)＝eq\f(|BF|,|AF|)＝eq\f(1,3)，即eq\f(m,m＋4n)＝eq\f(1,3)，所以m＝2n．又eq\f(|BB1|,|EF|)＝eq\f(|BD|,|DF|)，所以eq\f(n,p)＝eq\f(m,m＋n)＝eq\f(2,3)，所以n＝eq\f(2p,3)，因为|DF|＝m＋n＝2p，所以∠ADA1＝30°．又|AA1|＝3n＝2p，|EF|＝p，所以|A1D|＝2eq\r(3)p，|ED|＝eq\r(3)p，所以|A1E|＝eq\r(3)p，所以直角梯形AA1EF的面积为eq\f(1,2)(2p＋p)·eq\r(3)p＝6eq\r(3)，解得p＝2．题型二：线段和差的最值问题【例2】点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：(1)|PA|＋|PF|的最小值为________；(2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________．解析：(1)如图①，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|，从而最小值为A到准线的距离为3．(2)如图②，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|＝－eq\r(2)．当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝eq\r(2)．故|PA|－|PF|最小值为－eq\r(2)，最大值为eq\r(2)．【变式训练】1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．解析：过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．2．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3,0)，则|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1，当且仅当P，Q，A三点共线时取等号，所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小．设P(x0，y0)，则yeq\o\al(2,0)＝x0，|PA|＝eq\r(x0－32＋y\o\al(2,0))＝eq\r(x\o\al(2,0)－6x0＋9＋x0)＝当且仅当x0＝eq\f(5,2)时，|PA|取得最小值eq\f(\r(11),2)，此时|PQ|取得最小值eq\f(\r(11),2)－1．3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线l的距离为2，若点P在抛物线上，且点P到l的距离为d，Q在圆x2＋(y－3)2＝1上，则p＝________，|PQ|＋d的最小值为________．解析：因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线l的距离为2，所以p＝2，F(1,0)，准线l：x＝－1，由抛物线的定义可知点P到l的距离d＝|PF|，所以|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|，设圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为C，则C(0,3)，圆的半径为1，|PQ|＋|PF|≥|CF|－1＝eq\r(12＋32)－1＝eq\r(10)－1，当且仅当C，P，Q，F共线时等号成立，所以|PQ|＋d的最小值为eq\r(10)－1．4．已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，则点M到y轴的最短距离为________．[解析]如图，抛物线y2＝2x的准线方程为l：x＝－eq\f(1,2)，过A，B，M分别作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分别为A′，B′，M′．由抛物线的定义知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|，又M是AB的中点，所以由梯形的中位线定理，得|MM′|＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)＝eq\f(1,2)(|FA|＋|FB|)≥eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)×3＝eq\f(3,2)(当且仅当AB过抛物线的焦点时取“＝”)．所以点M到y轴的最短距离为1．5．如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆C2分别交于点P，Q和M，N，则|PN|＋4|QM|的最小值为________．解析：[由题意可设抛物线C1的方程为y2＝2px(p＞0)，因为抛物线C1过点(2,4)，所以16＝2p×2，解得p＝4，所以抛物线C1的方程为y2＝8x．圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0整理得(x－2)2＋y2＝1，可知圆心C2(2,0)恰好是抛物线y2＝8x的焦点，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．①当直线l的斜率不存在时，l：x＝2，所以P(2,4)，Q(2，－4)，于是|PN|＋4|QM|＝|PC2|＋|C2N|＋4|QC2|＋4|C2M|＝|PC2|＋4|QC2|＋5＝4＋4×4＋5＝25．②当直线l的斜率存在时，易知斜率不为0，可设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝8x，))得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，则Δ＞0，且x1x2＝4，即x2＝eq\f(4,x1)．所以|PN|＋4|QM|＝|PC2|＋4|QC2|＋5＝x1＋2＋4(x2＋2)＋5＝x1＋4x2＋15＝x1＋eq\f(16,x1)＋15≥2eq\r(x1×\f(16,x1))＋15＝8＋15＝23，当且仅当x1＝eq\f(16,x1)，即x1＝4时等号成立．因为23＜25，所以|PN|＋4|QM|的最小值为23]题型三：抛物线的标准方程与几何性质【例3】(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝()A．2 B．3C．4 D．8(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为()A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝eq\r(3)x解析：(1)∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，∴由已知得椭圆eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一个焦点为，∴3p－p＝eq\f(p2,4)，又p>0，∴p＝8．(2)如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝eq\f(1,2)|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x．[答案](1)D(2)B[方法技巧]1．求抛物线标准方程的方法(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．【变式训练】1．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()A．5 B．6C．eq\f(16,3) D．eq\f(20,3)解析：C因为|AF|＝4，所以点A到准线l距离为4，又F为AC中点，所以焦点F到准线l距离为2，即p＝2．由结论知eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)，所以|BF|＝eq\f(4,3)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq\f(4,3)＝eq\f(16,3)．2．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过焦点F且斜率为eq\r(3)的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的射影分别为M，N两点，则S△MFN等于()A．eq\f(8,3)p2B．eq\f(2\r(3),3)p2C．eq\f(4\r(3),3)p2D．eq\f(8\r(3),3)p2解析：选B不妨设P在第一象限，过Q作QR⊥PM，垂足为R，设准线与x轴的交点为E，如图．∵直线PQ的斜率为eq\r(3)，∴直线PQ的倾斜角为60°．由抛物线焦点弦的性质可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝eq\f(p,1－cos60°)＋eq\f(p,1＋cos60°)＝eq\f(2p,sin260°)＝eq\f(8,3)p．在Rt△PRQ中，sin∠RPQ＝eq\f(|QR|,|PQ|)，∴|QR|＝|PQ|·sin∠RPQ＝eq\f(8,3)p×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4\r(3),3)p，由题意可知|MN|＝|QR|＝eq\f(4\r(3),3)p，∴S△MFN＝eq\f(1,2)|MN|·|FE|＝eq\f(1,2)×eq\f(4\r(3),3)p×p＝eq\f(2\r(3),3)p2．故选B．3．已知直线l：y＝k(x＋2)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(2),3)C．2eq\r(2) D．eq\f(2\r(2),3)解析设抛物线C：y2＝8x的准线为m：x＝－2．直线y＝k(x＋2)(k>0)恒过定点P(－2,0)，如图，过A，B分别作AM⊥m于M，BN⊥m于N．由|AM|＝2|BN|，得点B为AP的中点，连接OB，则|OB|＝eq\f(1,2)|AF|，∴|OB|＝|BF|，∴点B的横坐标为1，∴点B的坐标为(1,2eq\r(2))．把B(1,2eq\r(2))代入直线l：y＝k(x＋2)(k>0)，解得k＝eq\f(2\r(2),3)，故选D．4．已知抛物线C：y2＝4x与圆E：(x－1)2＋y2＝9相交于A，B两点，点M为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于x轴的直线MN交抛物线于点N，则△MNE周长的取值范围为()A．(3,5) B．(5,7)C．(6,8) D．(6,8]解析：选C如图所示，圆E的圆心为(1,0)，半径为3，抛物线的焦点也为(1,0)，准线方程为x＝－1．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x－12＋y2＝9，))解得A(2，2eq\r(2))，B(2，－2eq\r(2))，所以2<xM<4．设平行于x轴的直线MN交抛物线的准线x＝－1于点D，根据抛物线的定义可知|NE|＝|ND|，所以△MNE的周长为|ME|＋|NE|＋|MN|＝3＋|ND|＋|MN|＝3＋|MD|，而|MD|＝xM＋1∈(3,5)，所以3＋|MD|∈(6,8)，即△MNE周长的取值范围是(6,8)．故选C．5．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线的斜率为eq\r(3)且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是()A．p＝2 B．F为AD中点C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2解析：选ABC如图，F，直线l的斜率为eq\r(3)，则直线方程为y＝eq\r(3)，联立得12x2－20px＋3p2＝0．解得xA＝eq\f(3,2)p，xB＝eq\f(1,6)p，由|AF|＝eq\f(3,2)p＋eq\f(p,2)＝2p＝4，得p＝2．∴抛物线方程为y2＝4x．xB＝eq\f(1,6)p＝eq\f(1,3)，则|BF|＝eq\f(1,3)＋1＝eq\f(4,3)，|BD|＝eq\f(|BF|,cos60°)＝eq\f(\f(4,3),\f(1,2))＝eq\f(8,3)，∴|BD|＝2|BF|，|BD|＋|BF|＝eq\f(4,3)＋eq\f(8,3)＝4，则F为AD中点，∴运算结论正确的是A、B、C．故选A、B、C．6．(多选)设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是()A．|AB|≥4B．|OA|＋|OB|>8C．若点P(2,2)，则|PA|＋|AF|的最小值是3D．△OAB的面积的最小值是2解析：选ACDF(1,0)，如图，不妨设A在第一象限．(1)若直线l斜率不存在，则A(1,2)，B(1，－2)，则|AB|＝4，|OA|＋|OB|＝2|OA|＝2eq\r(5)，S△OAB＝eq\f(1,2)×4×1＝2，显然B错误；(2)若直线l斜率存在，设直线l斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，显然k≠0，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))消元得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝2＋eq\f(4,k2)，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋eq\f(4,k2)>4，原点O到直线l的距离d＝eq\f(|k|,\r(k2＋1))，∴S△OAB＝eq\f(1,2)×|AB|×d＝eq\f(1,2)××eq\f(|k|,\r(k2＋1))＝2eq\r(1＋\f(1,k2))>2．综上，|AB|≥4，S△OAB≥2，故A正确，D正确．过点A向准线作垂线，垂足为N，则|PA|＋|AF|＝|PA|＋|AN|，又P(2,2)在抛物线右侧，故当P，A，N三点共线时，|PA|＋|AF|取得最小值3，故C正确．故选A、C、D．7．(多选)已知过抛物线C：y2＝4x焦点的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2＋y2－2x＝0于M，N两点，其中P,M位于第一象限，则eq\f(1,|PM|)＋eq\f(4,|QN|)的值可能为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选BCD如图所示，可设eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝m，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(QF))＝n，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PM))＝m－1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(QN))＝n－1，∵y2＝4x，∴p＝2，根据抛物线的常用结论，有eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(2,p)＝1，∴eq\f(m＋n,mn)＝1，则m＋n＝mn，∴eq\f(1,|PM|)＋eq\f(4,|QN|)＝eq\f(1,m－1)＋eq\f(4,n－1)＝eq\f(4m＋n－5,mn－m＋n＋1)＝4m＋n－5，又∵(4m＋n)·1＝(4m＋n)·＝4＋eq\f(4m,n)＋eq\f(n,m)＋1≥5＋2eq\r(\f(4m,n)·\f(n,m))＝9，得4m＋n≥9，∴4m＋n－5≥4，则eq\f(1,|PM|)＋eq\f(4,|QN|)的值不可能为3．8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－eq\r(3)，那么|PF|＝________．解析：如图所示，直线AF的方程为y＝－eq\r(3)(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2,4eq\r(3))．设P(x0,4eq\r(3))，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，∴|PF|＝x0＋2＝8．答案：8【巩固练习】1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为eq\r(3)，则抛物线的焦点坐标为()A．(eq\r(3)，0) B．(0，eq\r(3))C．(2eq\r(3)，0) D．(0,2eq\r(3))解析：选A抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为eq\r(3)，就是顶点到焦点的距离是eq\r(3)，即eq\f(p,2)＝eq\r(3)，则抛物线的焦点坐标为(eq\r(3)，0)．故选A．2．若直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且AB⊥x轴，|AB|＝4eq\r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A．1B．2C．3 D．5解析：选A由|AB|＝4eq\r(2)及AB⊥x轴，不妨设点A的纵坐标为2eq\r(2)，代入y2＝4x得点A的横坐标为2，从而直线AB的方程为x＝2．又y2＝4x的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB的距离为2－1＝13．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P在y轴上的投影为点E，则|PF|－|PE|的值为()A．1B．2C．3 D．4解析：选B因为抛物线y2＝8x，所以抛物线的准线方程为x＝－2，因为P在y轴上的投影为点E，所以|PE|即为点P到x＝－2的距离减去2，因为点P在该抛物线上，故点P到x＝－2的距离等于|PF|，所以|PE|＝|PF|－2，故|PF|－|PE|＝2，故选B．4．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A是抛物线C的准线与x轴的交点．若抛物线C上的点M满足|MA|＝eq\r(2)|MF|，则|MF|＝()A．eq\r(2)B．2C．2eq\r(2) D．4解析：选B由已知得抛物线C的焦点为F(1,0)，准线方程是x＝－1，A(－1,0)．设M(x，y)，则由|MA|＝eq\r(2)|MF|，得eq\r(x＋12＋y2)＝eq\r(2)(x＋1)．又y2＝4x，所以(x＋1)2＋4x＝2(x＋1)2，解得x＝1，|MF|＝1＋1＝2，故选B．5．圆O：x2＋y2＝r2与抛物线Γ：y2＝4x交于A，B两点，与Γ的准线交于C，D两点，若四边形ABCD为矩形，则该矩形的面积为()A．2B．4C．8 D．16解析：选C因为CD在准线上，根据矩形的对称性可得AB过焦点F，则|AF|＝|DA|且AF⊥x轴，所以A(1，±2)，故|AF|＝|DA|＝2，从而|AB|＝4，故矩形的面积为2×4＝8．6．若点A为抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|＝5，点P为直线x＝－1上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为()A．8 B．2eq\r(13)C．2＋eq\r(41) D．eq\r(65)解析：选D由题意可知，p＝2，F(1,0)，由抛物线的定义可知，|AF|＝xA＋eq\f(p,2)＝xA＋1＝5，∴xA＝4，代入抛物线方程，得yeq\o\al(2,A)＝16，不妨取点A为(4,4)．如图，设点F关于x＝－1的对称点为E，则E(－3,0)，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PE|≥|AE|＝eq\r(4＋32＋42)＝eq\r(65)．7．已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q(－3,3)，则|PQ|＋d的最小值为()A．5B．eq\r(30)＋1C．eq\r(30)－1 D．4解析：D∵抛物线的准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．P到直线x＝－1的距离等于|PF|，∴P到y轴的距离d＝|PF|－1，∴d＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－1．∴当F，P，Q三点共线时，|PF|＋|PQ|取得最小值|QF|．∵Q(－3，3)，F(1,0)，∴|QF|＝5，∴d＋|PQ|的最小值为5－1＝4．故选D．8．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PQ⊥l，垂足为Q，若|PF|＝4，则∠FQP＝()A．30° B．45°C．60° D．75°解析：C设P(x0，y0)，则|PQ|＝y0＋1，由抛物线的定义可得|PQ|＝|PF|，即y0＋1＝4，则y0＝3，又xeq\o\al(2,0)＝4y0，则xeq\o\al(2,0)＝12，不妨令P位于第一象限，则x0＝2eq\r(3)，即P(2eq\r(3)，3)，因此Q(2eq\r(3)，－1)，所以|QF|＝eq\r(12＋4)＝4，所以|PQ|＝|PF|＝|QF|，因此△FQP为等边三角形，所以∠FQP＝60°．故选C．9．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于()A．4B．eq\f(9,2)C．5 D．6解析：法一：由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图．设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cosθ＝eq\f(|AE|,|AB|)＝eq\f(1,3)，所以tanθ＝2eq\r(2)．则sin2θ＝8cos2θ，所以sin2θ＝eq\f(8,9)．又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)＝eq\f(9,2)．法二：因为|AF|＝2|BF|，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(