26.1.2反比例函数的图象与性质（教学设计）-2025-2026学年人教版数学九年级下册

PAGE1PAGE226.1.2反比例函数的图象与性质（教学设计）-2025-2026学年人教版数学九年级下册课题26.1.2反比例函数的图象与性质（教学设计）-2025-2026学年人教版数学九年级下册课程基本信息一、课程基本信息

1.课程名称：反比例函数的图象与性质

2.教学年级和班级：九年级（1）班

3.授课时间：2025年X月X日（具体日期可根据实际教学计划确定）

4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标分析二、核心素养目标分析

数学抽象：通过反比例函数解析式与图象的对应关系，理解函数的本质特征。逻辑推理：分析k的符号对图象位置及增减性的影响，发展严谨推理能力。直观想象：经历列表、描点、连线画图象的过程，形成对双曲线特征的直观认知。数学建模：运用反比例函数解决实际问题，体会数学与生活的联系，提升模型应用意识。重点难点及解决办法重点：反比例函数图象的分布特征及k值对图象位置、增减性的影响（来源：课本核心性质要求）。

难点：理解k值正负与图象分布、增减性的对应关系；将实际问题转化为反比例函数模型（来源：学生抽象思维不足，易混淆图象位置）。

解决方法：通过对比k>0与k<0的图象实例，强化直观认知；利用几何画板动态演示k值变化过程；设计分层练习，从图象分析到简单应用逐步过渡；结合课本例题，引导学生提炼实际问题中的变量关系，突破建模难点。教学资源准备四、教学资源准备

1.教材：人教版九年级下册数学教材，每位学生配备课本，确保access到26.1.2节反比例函数图象与性质内容。

2.辅助材料：准备反比例函数k>0与k<0图象对比图表、几何画板动态演示k值变化及图象平移的视频资源。

3.实验器材：坐标纸、直尺、方格纸若干，供学生分组动手绘制反比例函数图象，探究图象特征。

4.教室布置：将课桌椅分为6个小组，设置分组讨论区，预留黑板区域展示学生绘图成果及小组结论。教学流程五、教学流程

1.导入新课：用课本P3的“长方形面积为6cm²，长y与宽x的关系”引入，学生回忆面积公式y=6/x，对比之前学过的一次函数y=kx，提问“反比例函数的图象会是什么样子？”引发探究兴趣，联系课本核心问题，用时2分钟。

2.新课讲授：

（1）画反比例函数图象：以课本P3例1“画y=6/x的图象”为例，步骤：①列表：取x=-6,-3,-2,-1,1,2,3,6，计算y=6/x对应的值（如x=1时y=6，x=-1时y=-6）；②描点：在坐标系中描出(1,6),(2,3),(-1,-6),(-2,-3)等点；③连线：用平滑曲线连接，得到双曲线，强调x≠0及图象分布（一、三象限，因k=6>0），结合课本步骤规范绘图，用时7分钟。

（2）探究反比例函数性质：对比y=6/x（k>0）与y=-6/x（k<0）的图象，分析性质：①k值对图象位置：k>0时在一、三象限，k<0时在二、四象限（如y=-6/x的点(1,-6)在第四象限）；②k值对增减性：k>0时，每个象限内y随x增大而减小（如y=6/x中x=1→y=6，x=2→y=3）；k<0时，每个象限内y随x增大而增大（如y=-6/x中x=-2→y=3，x=-1→y=6），结合课本P4性质总结，用时8分钟。

（3）反比例函数应用：讲解课本P5例2“电路中电压220V，电流I与电阻R的关系”，根据欧姆定律I=220/R（反比例函数），分析变量关系：当R增大时，I减小（如R=10Ω→I=22A，R=20Ω→I=11A），强调建模过程（实际问题→函数解析式→性质分析），用时6分钟。

3.实践活动：

（1）绘制y=4/x与y=-4/x图象：分组用坐标纸，按列表（x取±1,±2,±4）、描点、连线步骤绘图，观察图象分布（y=4/x在一、三象限，y=-4/x在二、四象限），教师巡视纠正连线平滑度，用时5分钟。

（2）性质探究练习：给出课本P5练习1的函数y=3/x、y=-5/x，判断k值正负、图象象限及增减性（如y=3/x：k>0，一、三象限，x增大y减小），小组合作完成，教师点评易错点（如跨象限讨论增减性），用时5分钟。

（3）实际问题建模：用课本P6练习2“某农场面积为100公顷，种植面积x与剩余面积y的关系”，建立y=100-x？不对，应该是剩余面积=总面积-种植面积，但如果是“种植面积x与每公顷产量y的关系，总产量为100吨”，则y=100/x，分析x增大时y减小，小组讨论后展示，教师总结建模步骤（找定量→变量关系→建立函数），用时3分钟。

4.学生小组讨论：

（1）k值正负与图象位置关系：举例y=2/x（k>0）与y=-2/x（k<0），说明k>0时图象在一、三象限（如点(1,2)在第一象限），k<0时在二、四象限（如点(1,-2)在第四象限），结合课本图象验证。

（2）反比例函数增减性理解：举例y=1/x，讨论x>0时x=1→y=1，x=2→y=0.5（x增大y减小）；x<0时x=-1→y=-1，x=-2→y=-0.5（x增大y减小？不对，k=1>0，每个象限内y随x增大而减小，x=-2→y=-0.5，x=-1→y=-1，x增大（从-2到-1），y减小（从-0.5到-1），对，之前纠正错误，强调不能跨象限讨论）。

（3）实际问题变量关系：举例“小明步行上学，速度v与时间t的关系，路程为1.2km”，建立v=1.2/t，分析t增大时v减小（如t=10分钟→v=0.12km/min，t=15分钟→v=0.08km/min），联系课本例题中的建模方法，用时6分钟。

5.总结回顾：梳理本节课重点：①反比例函数图象的画法（列表、描点、连线）；②性质（k值对图象位置、增减性的影响，结合课本P4总结）；③应用（建立函数模型解决实际问题，如课本例2）。难点：k值正负与性质的对应关系（如k<0时每个象限内y随x增大而增大），强调不能跨象限讨论，结合课本练习中的易错点，用时4分钟。教学资源拓展1.拓展资源

（1）**k值几何意义深化**：结合课本P4反比例函数性质，探究k值绝对值与图象“开口大小”的关系。例如，对比y=2/x、y=4/x、y=8/x在第一象限的图象，发现|k|越大，图象越靠近坐标轴。通过几何画板动态演示，直观感受k值变化对图象形态的影响，强化对“k值决定图象位置与形状”的理解。

（2）**反比例函数图象平移**：在课本P5例2基础上，延伸学习反比例函数图象平移规律。例如，将y=6/x的图象向右平移2个单位，得到y=6/(x-2)，分析其与原函数图象的对称性及渐近线变化（x=2为新的垂直渐近线），为后续学习反比例函数综合应用奠定基础。

（3）**跨学科应用案例**：

-**物理领域**：结合课本P5例2（欧姆定律），拓展分析功率P与电阻R的关系（P=U²/R，U恒定），解释为什么大功率电器需要低电阻设计。

-**经济领域**：引用教材P6练习2变式：某商品定价为p元，销量为q件，满足pq=1000（总销售额恒定），分析涨价对销量的影响，理解反比例函数在商业决策中的应用。

（4）**反比例与正比例函数对比**：系统梳理课本P3-P4知识点，对比一次函数y=kx与反比例函数y=k/x的图象、增减性、对称性差异。例如，y=kx过原点且为直线，y=k/x不与坐标轴相交且为双曲线；y=kx在定义域内单调递增/减，y=k/x在各自象限内单调递减/增（k>0时）。

2.拓展建议

（1）**基础巩固拓展**：

-完成课本P5练习1、2的变式题，如“已知反比例函数y=k/x的图象过点(-2,3)，求k值并画出图象”；

-改编教材P6习题第3题：“若反比例函数y=(m-1)/x的图象在第二、四象限，求m的取值范围”，强化对k值符号与图象位置对应关系的理解。

（2）**能力提升拓展**：

-**跨学科建模**：收集生活中反比例函数实例（如速度与时间、压力与受力面积），用函数解析式描述变量关系，撰写简短分析报告；

-**图象综合应用**：结合课本P5例2，设计问题：“电压220V时，若电阻R从10Ω增至50Ω，电流I如何变化？求I的最小值”，训练利用函数性质解决实际问题的能力。

（3）**思维挑战拓展**：

-**开放性问题**：“反比例函数y=k/x的图象与直线y=2x有交点，求k的取值范围”，结合课本P4性质，联立方程求解；

-**分类讨论训练**：讨论反比例函数y=k/x与y轴的距离随k值的变化规律，分析k>0与k<0时的差异，提升逻辑推理能力。

（4）**工具应用拓展**：

-使用几何画板绘制y=k/x（k取不同值）的图象，观察k值变化对图象的影响，归纳规律；

-用坐标纸手工绘制y=1/x、y=-1/x、y=2/x的图象，标注关键点（如对称中心、渐近线方向），深化对图象特征的直观认知。板书设计①反比例函数图象绘制步骤

-列表：x≠0，取正负数及倒数（如x=±1,±2,±3），计算y=k/x对应值

-描点：在坐标系中描出(x,y)坐标点（如y=6/x的点(1,6),(-1,-6)）

-连线：用平滑曲线连接，形成双曲线，强调图象不与坐标轴相交

②反比例函数性质（k值影响）

-图象位置：k>0时在一、三象限；k<0时在二、四象限（课本P4性质）

-增减性：k>0时，每个象限内x增大y减小；k<0时，每个象限内x增大y增大

-对称性：图象关于原点对称，y=6/x与y=-6/x关于坐标轴对称

③实际问题建模与应用

-建模步骤：实际问题→找定量（如面积、电压）→建立y=k/x→分析变量关系

-应用举例：电路中I=220/R（R增大，I减小）；农业中产量与种植面积关系

-关键词：定量、变量、增减性、模型应用（课本P5例2、P6练习2）教学反思八、教学反思

这节课学生对反比例函数图象的绘制掌握较好，能通过列表、描点、连线准确画出双曲线。但在性质分析环节，部分学生仍混淆k值正负对增减性的影响，特别是k<0时每个象限内