高中数学知识点：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

简单的逐样联结词、全称量词与存在量词

第一步知识再现

I.简单的逻辑联结词

(1)命题中的“且”“或”“韭”叫做逻辑联结词.

(2)简单复合命题的真值表：

)

Pqp'ql7q「P

真真真真假

假真假真真

真假假真假

假假假假真

2.全称量词与存在量词

⑴常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”

等.

⑵常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某

个”“有的”等.

⑶全称量词用符号“y”表示；存在量词用符号“3”表示.

3.全称命题与特称命题

(1)含有锤量词的命题叫全称命题.

(2)含rr在在量词的命题叫特称命题.

4.命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.

(2)p或^的否定为：非〃且非小〃且9的否定为：非〃或非q.

第二步重难点、易错点梳理

1、逻辑联结词与集合的关系

“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，

常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成

的命题问题.

2、含有一个量词的命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题

全称命题p:〃(©,它的否定ip:A/,-ip(xo).

(2)特称命题的否定是全称命题

特称命题p:A/,p(九o),它的否定->p:VxEM,->p(-r).

3、复合命题的否定

(1)断入q)O(「p)V(F);

(2)^(pVq)㈡(「p)A(「q).

4、⑴对于命题：一假则假；

⑵对“NU命题:一真则真;

(3)对“「D”命题：与命题真假相反.

第三步题型与方法归纳

题型一含有逻辑联结词命题真假的判断

【例1】(2010.新课标全国)已知命题pi：函数y=2》一2r在R上为增函数，pit

函数)=2。+2,在R上为减函数，则在命题5：piVp2,0：pi/\p2,93：(「pi)

V〃2和44：〃i八(->p2)中，真命题是().

A.如华B.俏，0

C.q1,q«D.92,伊

［审题视点］根据复合函数的单调性判断”，〃2的真假.

解析可判断为真，〃2为假；则⑺为真，0为假，43为假，依为真.

答案C

方法总结》“pVq”、“pNq”、“「q”形式命题真假的判断步骤：(1)确定命题

的构成形式；(2)判断其中命题〃、夕的真假；(3)确定“p\/q”、“〃Ag”、“「q”

形式命题的真假.

题型二全称命题与特称命题

【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假.

(1)/?：Vx£R>x2—x+；20；

(2)3所有的正方形都是矩形;

(3)r：X6+2RO+2W()；

(4)5：至少有一个实数xo,使苏+1=().

［审题视点］改变量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假.

解(l)-ip：2xoR,而一xo+：VO,假命题.

(2)-q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题.

⑶㈱，•：VxeR,x2十2x+2>0,真命题.

(4)^5：Vx£R,V+1W0,假命题.

方法总结》全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命

题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为

全称量词；二是要否定结论.而一般命题的否定只需直接否定结论即可.

题型三根据命题的真假，求参数的取值范围

【例3】A(2012•浙大附中月考)已知命题p：方程九丫+1=0有两个不等的负

实数根；命题中方程41+4(〃?-2口+1=0无实数根.若“p或q”为真命题，

“〃且/'为假命题，求机的取值范围.

［审题视点］先解不等式将命题〃与命题q具体化，然后根据“〃或夕”与“〃且

q”的条件可以知道命题〃与命题q一真一假，从而求出小的取值范围.

4>0,

解由〃得：彳…则">2.

一〃7<0,

由q得：Ai=16(w-2)2-16=16(W2-4/W+3)<0,

则1V〃7V3.

又・・・"〃或，'为真，又且为假，・・卬与q一真一假.

m>2,

①当〃真9假时,解得〃?23：

加号1或帆33,

mW2,

②当〃假夕真时，I-.解得1V〃ZW2.

：.m的取值范围为加23或1VmW2.

方法总结》含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假,

求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件.

第四步真题演练

1、【2014高考湖南卷第5题】已知命题

p：若x>y,则一x<命题q:若xvy,则/>)，.在命，题

①②pvq;③〃八(~«7);④(-1〃)▽</中，真命题是()

A①③B.①④C.②@D.②④

2、【2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科】设xwZ,集合A是奇数集,

集合B是偶数集.若命题P：VX£A2XE3,则()

(A)—ip:VxeA,2x^B(B)-ip:Vx金A,2x企3

(£)->p:Bx^A,2XEB(D)->P：3XEA,2x^B

3、(2012年高考(辽宁理))已知命题p：VXI，X2£R，则「〃是()

(A)3x|,X2GR,(/(X2)-}(X\)(X2-XI)<0

(B)Txi,X2eR,(J(X2)-f(x\)(X2-x\)<0

(C)3xi，X2WR,(/(X2)-XXI)(X2-XI)<0

(D)VXi,X2GR,(J(X2)-f(x\)(X2-Xi)<0

4、【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试】已知f(x)=3sinx_K，命题

万，则()

p:Vxe(0,—),f(x)<0

A.〃是假命题，-ip:Vxw(0,/