北京大学考研管综试题及答案

北京大学考研管综试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.某公司共有100名员工，其中60人会英语，40人会法语，既会英语又会法语的有10人，那么既不会英语也不会法语的有（）人。A.10B.20C.30D.402.若函数$f(x)=x^2+2ax+3$在区间$(-\infty,1]$上单调递减，则实数$a$的取值范围是（）。A.$a\geq-1$B.$a\leq-1$C.$a\geq1$D.$a\leq1$3.已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_3+a_7=10$，则$a_5$的值为（）。A.5B.6C.7D.84.从5名男生和3名女生中选3人参加活动，至少有1名女生的选法有（）种。A.45B.56C.60D.705.若直线$l_1:2x+my+1=0$与直线$l_2:mx+8y+2=0$平行，则$m$的值为（）。A.4B.-4C.$\pm4$D.26.已知圆$x^2+y^2-2x-4y+1=0$，则圆心坐标和半径分别为（）。A.$(1,2),2$B.$(1,2),4$C.$(-1,-2),2$D.$(-1,-2),4$7.某商品按定价的80%出售，仍能获得20%的利润，定价时期望的利润率是（）。A.50%B.40%C.30%D.20%8.若$x$，$y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值为（）。A.3B.4C.5D.69.已知事件A、B相互独立，$P(A)=0.3$，$P(B)=0.4$，则$P(A\cupB)$的值为（）。A.0.58B.0.7C.0.12D.0.2810.若函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$，则$f(f(2))$的值为（）。A.1B.2C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{3}$二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，是偶函数的有（）。A.$y=x^2+1$B.$y=\frac{1}{x^2}$C.$y=x^3$D.$y=|x|$2.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(2,-1)$，则下列说法正确的有（）。A.$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$B.$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$垂直C.$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{5}$D.$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$3.下列不等式中，成立的有（）。A.$a^2+b^2\geq2ab$B.$(a+b)^2\geq4ab$C.$a+\frac{1}{a}\geq2$（$a\gt0$）D.$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$（$a\gt0$，$b\gt0$）4.已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d\neq0$，$a_1=1$，且$a_1$，$a_3$，$a_9$成等比数列，则下列说法正确的有（）。A.$d=1$B.$a_n=n$C.数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$D.$a_{10}=10$5.已知直线$l:y=kx+b$过点$(1,2)$，则下列说法正确的有（）。A.$k+b=2$B.当$k\gt0$时，直线$l$经过第一、三象限C.当$b\gt0$时，直线$l$与$y$轴正半轴相交D.直线$l$的斜率一定存在6.下列关于概率的说法正确的有（）。A.必然事件的概率为1B.不可能事件的概率为0C.随机事件的概率在0到1之间D.互斥事件一定是对立事件7.已知函数$f(x)=x^3-3x$，则下列说法正确的有（）。A.$f(x)$的极大值为2B.$f(x)$的极小值为-2C.$f(x)$在$(-\infty,-1)$上单调递增D.$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增8.已知圆$C:(x-1)^2+(y-2)^2=4$，则下列点在圆内的有（）。A.$(0,0)$B.$(1,1)$C.$(2,2)$D.$(3,3)$9.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），若$a\lt0$，且$\Delta=b^2-4ac\gt0$，则下列说法正确的有（）。A.函数图象开口向下B.函数图象与$x$轴有两个交点C.函数有最大值D.函数在对称轴左侧单调递增10.已知集合$A=\{1,2,3\}$，$B=\{2,3,4\}$，则下列说法正确的有（）。A.$A\capB=\{2,3\}$B.$A\cupB=\{1,2,3,4\}$C.$A-B=\{1\}$D.$B-A=\{4\}$三、判断题（每题2分，共20分）1.若两个向量的数量积为0，则这两个向量一定垂直。（）2.函数$y=\frac{1}{x}$在定义域内是单调递减函数。（）3.等比数列的公比不能为0。（）4.若直线$l_1$与直线$l_2$的斜率相等，则$l_1$与$l_2$一定平行。（）5.事件A与事件B互斥，则$P(A\cupB)=P(A)+P(B)$。（）6.函数$f(x)=x^2+1$的最小值为1。（）7.圆的标准方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$中，圆心坐标为$(a,b)$，半径为$r$。（）8.若$a\gtb$，则$ac^2\gtbc^2$。（）9.等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$。（）10.若集合$A$是集合$B$的子集，则$A\capB=A$。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述等差数列和等比数列的定义。答：等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列；等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数的数列。2.求函数$f(x)=x^2-4x+3$的对称轴和顶点坐标。答：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。这里$a=1$，$b=-4$，对称轴$x=2$。把$x=2$代入函数得$f(2)=-1$，顶点坐标为$(2,-1)$。3.如何判断两个直线的位置关系？答：可通过比较两直线斜率判断。若斜率相等且截距不同则平行；斜率相等且截距相同则重合；斜率乘积为-1则垂直；斜率不同则相交。4.简述概率的基本性质。答：概率取值在0到1之间，必然事件概率为1，不可能事件概率为0。互斥事件概率加法公式$P(A\cupB)=P(A)+P(B)$，对立事件概率和为1。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数$f(x)=\frac{1}{x-2}$的单调性。答：函数定义域为$x\neq2$。在$(-\infty,2)$和$(2,+\infty)$上分别讨论，对$f(x)$求导得$f^\prime(x)=-\frac{1}{(x-2)^2}\lt0$，所以$f(x)$在$(-\infty,2)$和$(2,+\infty)$上单调递减。2.讨论线性规划问题中目标函数的最值情况。答：线性规划中，目标函数最值在可行域顶点处取得。先画出可行域，再将顶点坐标代入目标函数，比较各值大小，最大的是最大值，最小的是最小值。3.讨论等比数列前$n$项和公式的推导方法。答：等比数列$\{a_n\}$，公比为$q$。推导用错位相减法，$S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}$，两边同乘$q$得$qS_n=a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^n$，两式相减可得$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)$。4.讨论向量在实际生活中的应用。答：向量在实际生活应用广泛。如物理中力、速度等用向量表示，可进行力的合成与分解；导航中用向量确定位置