命题点13二次函数解析式的确定及其图象的平移(必考)

第三章函数课标要求①会用待定系数法确定二次函数的解析式；②能根据描述写出平移后的关系式，同时能根据平移前后的关系式找出

平移的方向和长度.命题点13二次函数解析式的确定及其图象的平移(必考)要点归纳

1.

二次函数解析式的确定(1)顶点在原点，可设为y＝ax2；(2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为y＝ax2＋c；(3)顶点在x轴上，可设为y＝a(x－h)2；(4)抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx；(5)已知顶点(h，k)时，可设为顶点式y＝a(x－h)2＋k；(6)已知抛物线与x轴的两交点坐标为(x1，0)，(x2，0)时，或已知对称轴

及与x轴的一个交点(x1，0)，利用对称轴可求出另外一个交点的坐标

(x2，0)，可设为两点式y＝a(x－x1)(x－x2).2.

二次函数图象的平移平移前的解析式：y＝a(x－h)2＋k.(1)向左平移m个单位长度：y＝a(x－h＋m)2＋k.(2)向右平移m个单位长度：

⁠.(3)向上平移m个单位长度：

⁠.(4)向下平移m个单位长度：

⁠.简记：左右平移：给x左

右

；上下平移：给等号右边整体

上

下

⁠.y＝a（x－h－m）2＋ky＝a（x－h）2＋k＋my＝a（x－h）2＋k－m加减加减命题点13二次函数解析式的确定及其图象的平移(必考)随堂检测

1.

将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得

到新图象的二次函数表达式是(

B

)A.

y＝(x＋2)2＋3B.

y＝(x＋2)2－3C.

y＝(x－2)2＋3D.

y＝(x－2)2－3B2.

已知抛物线y＝－(x－a)(x－b)(a＜b)，将该抛物线平移，若平移后

的图像与x轴交于(m，0)，(n，0)两点(m＜n)，下列说法正确的是

(

D

)A.

若向左平移，则a＋b＝m＋nB.

若向右平移，则b－a＜n－mC.

若向上平移，则a＋b＞m＋nD.

若向下平移，则a＋b＝m＋nD解析：当x＝0时，可得：－（x－a）（x－b）＝0，解得：x1＝a，x2＝b，∴抛物线与x轴的交点坐标分别为（a，0），（b，0），A选项，当抛物线向左平移时，则有m＞a，n＜b，∴m＋n＜a＋b，故错误；B选项，当抛物线向右平移h个单位长度时，m＝a＋h，n＝b＋h，∴n－m＝b＋h－（a＋h）＝b－a，故错误；根据抛物线的对称性可知：a－m＝n－b，整理可得：a＋b＝m＋n，故错误；D选项，如图所示，当抛物线向下平移时，根据抛物线的对称性可知：m－a＝b－n，整理可得：a＋b＝m＋n，故正确.C选项，如图所示，当抛物线向上平移时，

CA.

＜m＜

B.0＜m＜

C.

＜m＜

D.0＜m＜

或m＞

4.

将抛物线y＝(x＋2)2－10平移得到抛物线y＝x2＋8x＋4，是怎样平移

得到的(

B

)A.

先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度B.

先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度C.

先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度D.

先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度解析：因为y＝x2＋8x＋4＝（x＋4）2－12，所以抛物线y＝（x＋2）

2－10先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度.故选B.

B5.

(2022江苏无锡)把二次函数y＝x2＋4x＋m的图象向上平移1个单位长

度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只

有一个公共点，那么m应满足条件：

⁠.m＞3解析：∵把二次函数y＝x2＋4x＋m＝（x＋2）2＋m－4的图象向上平

移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，∴平移后的解析式为y＝（x＋2－3）2＋m－4＋1，即y＝x2－2x＋m－2，∴对称轴为直线x＝1.∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴Δ＝4－4（m－2）＜0，∴m＞3.6.

已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象上的部分点的横坐标x，纵

坐标y的对应值如下表：x…－1－

0

1

2n3…y…m

3

4

3

0…根据以上信息回答下列问题：(1)二次函数图象的顶点坐标是

，m＝

，n＝

⁠；（1，4）0

(2)求二次函数的表达式.（2）y＝－（x－1）2＋4解析：（2）设抛物线的表达式为：y＝a（x－1）2＋4，将（0，3）代入上式得：3＝a（0－1）2＋4，则a＝－1.故抛物线的表达式为：y＝－（x－1）2＋4.7.

把抛物线C1：

y＝x2＋2x＋3先向右平移4个单位长度，再向下平移5

个单位长度得到抛物线C2.(1)直接写出抛物线C2的函数关系式；解：（1）抛物线C2的函数关系式为y＝x2－6x＋6或y＝（x－3）2－3.(2)动点P(a，－6)能否在拋物线C2上？请说明理由；解：（2）动点P不在抛物线C2上.理由如下：因为抛物线C2的顶点为（3，－3），开口向上，所以抛物线C2的最低点的纵坐标为－3.因为yP＝－6＜－3，所以动点P不在抛物线C2上.(3)若点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，

y2的大小，