人教高二数学导数的概念及其几何意义(1)-教学设计

课程基本信息课例编号2020QJ11SXRA067学科数学年级高二学期上课题导数的概念及其几何意义（1）教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第二册出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月教学人员姓名单位授课教师王琦北京市第五中学指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中心教学目标教学目标：能从具体案例中抽象概括出导数的概念；能根据导数的定义求简单函数的导数，能归纳出根据导数定义求函数导数的步骤；体会导数的内涵与含义以及极限思想.教学重点：导数的概念和极限思想.教学难点：从具体案例中抽象概括出导数的概念.教学过程时间教学环节主要师生活动一、从具体案例中抽象概括出导数的概念前面我们研究了两类变化率问题：在高台跳水运动员的速度问题中，我们用无限趋近于0时的平均速度逼近瞬时速度；在抛物线的切线斜率问题中，我们用无限趋近于0时的割线斜率逼近切线斜率.问题1解决这两类问题时什么共性呢？意图：归纳出由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.问题2一般地，对于函数y＝f(x)，你能用“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法研究其在某点(如)处的瞬时变化率吗？意图：由具体案例的共性抽象出导数的概念.追问1：类比前两节课的问题，为了研究函数y＝f(x)在处的瞬时变化率，我们可以研究哪个范围内函数值的平均变化率？意图：类比两个变化率问题，选取自变量x的一个改变量，研究自变量从变化到这个过程中函数值的平均变化率.追问2：自变量从变化到这个过程中，函数值的平均变化率如何表示？.追问3：函数y＝f(x)在处的瞬时变化率如何表示？意图：类比两个变化率问题，由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”.追问4：对于任意函数，当无限趋近于0时，平均变化率是否一定会无限趋近于一个确定的值呢？活动：考查函数在附近的变化情况.意图：通过反例，使学生理解并非任意函数在定义域内任意一点处都可导，加深对定义的理解.定义：如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即.二、导数概念的辨析、巩固问题3根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？意图：应用导数的概念解释前面学习的两类变化率问题，加强对导数意义的理解.三、导数概念的简单应用例1设，求.解：.意图：掌握根据定义计算函数在处导数的方法.追问：你能总结出求函数在处导数的步骤吗？第一步，写出函数从到的平均变化率并化简；第二步，求极限，若存在，则导数.例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品需要对原油进行冷却和加热.已知在第h时，原油的温度（单位：）为.等于计算，第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.追问1：这个实际问题与导数有什么关系？意图：通过寻求实际问题中瞬时变化率的数学表达，使学生进一步理解和应用导数的意义和内涵，将实际问题转化为数学问题.解：在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率就是和.根据导数的定义，.所以.同理可得.追问2：和在这个实际问题中代表的意义是什么？意图：用导数的意义和内涵对实际问题作出解释，是将数学问题的解还原为实际问题的解，也是对概念理解的进一步强化.同时，帮助学生体会导数的正负对函数增减趋势的刻画.例3一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度（单位：m/s)为y＝v(t)＝－t2＋6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.意图：这个题目与例2一样也是导数在实际问题中的应用，一方面是进一步巩固对导数的理解和应用，另一方面，根据路程关于时间的函数求速度与加速度是一类基本问题，它和求已知曲线的切线这两类问题直接促进了导数的产生.追问1：速度与瞬时加速度的关系是什么？由物理知识可知，瞬时加速度就是速度的瞬时变化率.因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度就是和.意图：将实际问题转化为数学问题（导数问题）.追问2：和在这个实际问题中的意义是什么？六、小结与课后作业课堂小结：从知识、方法和思想层面小结本节课的收获.我们从前两节课讨论的两类变化率问题出发，由问题的共性抽象概括出导数的概念.；总结了根据定义求给定函数在某点处导数的步骤；并应用导数的意义对实际问题进行了分析和解释.导数的概念比较抽象，它是瞬时变化率的数学表达，蕴含了用平均变化率逼近瞬时变化率的极限思想，同学们要结合其实际意义充分理解和体会.课后作业：设函数f(x)＝