高一数学寒假讲义第七讲 图象变换及零点（解析版）

第七讲图象变换及零点【知识梳理】一、函数图象变换：平移变换对称变换伸缩变换翻折变换二、函数的零点1．函数零点的概念对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点．2．函数的零点与方程的根之间的联系函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点．3．零点存在性定理如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.4．常用结论（1）若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；（2）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；（3）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.三、二分法1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法．温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．二分法求函数零点的一般步骤给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下：（1）确定的初始区间,验证；（2）求区间的中点；（3）计算,并进一步确定零点所在的区间①若(此时),则就是函数的零点；②若(此时零点),则令；③若(此时零点),则令.（4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）．题型01根据解析式选择函数图象【解题思路】（1）判断奇偶：在函数定义域关于轴对称的前提下，判断与的关系；（2）取特殊值：根据函数表达式和选项区别，当取特殊值时，进而得到的取值或取值范围，从而确定大致的图像位置；（3）极限思想：主要将自变量取如下的极限：①；②；③；④；⑤；⑥，判断函数的取值时，首先判断函数式的正负，再判断大小。【例1】函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意可证明函数为奇函数，再利用特殊点的值即可逐项判断求解.【详解】由题意得设，函数的定义域为，，所以函数为奇函数.对C、D：由图象可知函数为偶函数，因为函数为奇函数，故C、D错误；对A、B：由图象可知函数为奇函数，令，得，故A错误，故B正确.故选：B.【例2】函数的部分图象为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先分析函数的奇偶性，然后根据时取值的正负进行判断即可.【详解】因为，所以，所以定义域为且关于原点对称，又因为，所以，所以为奇函数，故排除BD，当时，，所以，故排除A，故选：C.【变式1-1】我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求函数的定义域，判断是奇函数，故排除CD；再根据的值，排除A，从而B正确.【详解】由，得，解得，∴函数的定义域为，∵，∴函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除CD；∵，故排除A，从而B正确.故选：B.【变式1-2】函数的图象大致为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性，可排除B,D,结合，可排除D,得到A正确.【详解】因为，易得函数的定义域为，且，所以函数为偶函数，故排除B,D;又，故A正确，D错误，故选:A.【变式1-3】函数在内的大致图像为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据函数解析式可得为奇函数，图象关于原点对称，再利用特殊值即可得出A正确.【详解】由题意可知函数定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项BD，不妨取，则，排除C选项，即A正确；故选：A题型02图象变换问题【解题思路】由基本函数根据平移变换，对称变换，伸缩变换及翻折变换一步一步地增加，最终得到解析式的图象【例3】将函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线关于轴对称，则（

）A．-4 B．-2 C．0 D．4【答案】C【分析】先根据对称变换和平移变换得到，再代入求值即可.【详解】因为函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，设所得函数图象为，因为与曲线关于轴对称，所以，则向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后可得，则，所以.故选：C.【例4】（多选）设函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的图象与函数的图象关于x轴对称B．函数的图象关于y轴对称C．函数的图象在上单调递增D．【答案】BCD【分析】由函数图像变换得出新函数图像即可判断ABC，由对数运算与对数函数单调性判断D.【详解】函数的图象如下：对于A，由函数图象变换可知，图像如下：函数图象与原函数图象关于轴对称，故A错误；对于B，由函数图象变换可知，的图象如下：函数图象关于轴对称，故B正确；对于C，由函数图象变换可知，的图象如下：函数图象在上单调递增，故C正确；对于D，即，，在定义域上单调递增，，则，故D正确；故选：BCD.【变式2-1】已知函数的图象沿轴向左平移个单位后与函数的图象关于轴对称，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数对称关系、函数图象平移的基本方法可求得，由可求得结果.【详解】关于轴对称的函数为，，，.故选：C.【变式2-2】为了得到函数的图像，只需将函数的图像（

）A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位B．向左平移3个单位，再向下平移2个单位C．向右平移3个单位，再向下平移2个单位D．向左平移3个单位，再向上平移2个单位【答案】A【分析】先将目标函数分离常数，再根据函数图像的平移变换即可得解．【详解】函数，为了得到函数的图像，只需将函数的图像，向右平移3个单位，再向上平移2个单位，故选：．【变式2-3】（1）函数与的图象之间有什么关系？（2）已知函数的图象如图所示，画出下列函数的图象：①；

②；③；

④.【答案】（1）函数与的图象关于y轴对称.（2）答案见解析.【分析】（1）从图象上的点的变换可以推导出图象的变换；（2）①是原图象关于y轴对称得到的；②是原图象关于x轴对称得到的；③是原图象向上平移一个单位长度得到的；④是原图象向右平移两个单位长度得到的.【详解】函数与的图象关于y轴对称.理由如下：在上任取一点，所以，可得点在的图象上，点和点关于y轴对称，所以函数与的图象关于y轴对称.（2）①，如图1②，如图2③，如图3④，如图4题型03求零点及判断零点所在区间【解题思路】判断函数零点所在区间的3个步骤：①代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断；③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．【例5】函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据零点存在性定理判断即可.【详解】因为，且函数连续不间断，所以，，，，所以，，，，由零点存在性定理得函数的零点所在的区间为，故选：D.【例6】函数的零点个数为（

）A．l B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先解出时，函数的零点；当时，令，根据函数的单调性，结合零点存在定理，即可得出答案.【详解】当时，由，解得或或1（舍去）；当时，由，令，由以及均在上单调递增可得，在上单调递增.又，，根据零点存在定理可得，在上存在一个零点，根据函数的单调性可知，在上存在唯一零点，所以，存在唯一解.综上所述，的零点个数为3.故选：C.【变式3-1】已知，则的零点所处的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函数的单调性与零点存在性定理可得.【详解】，且是上的减函数.由，，根据区间上零点存在性定理，有且只有一个零点，且在区间上.故选：B.【变式3-2】已知函数，则2（用“”“”“”填空）；的零点为.【答案】【分析】根据对数运算性质及对数的单调性比较大小，根据对数运算及指对互化求解函数的零点.【详解】，由得，所以，所以，所以函数的零点为.故答案为：，【变式3-3】已知是函数的零点，则.【答案】1【分析】首先由可得，然后构造函数，由的单调性以及得，则的值可求.【详解】令，，由于，所以，即，令，则，因为在上均大于0，且单调递增，所以在上单调递增，所以，，所以.故答案为：1.题型04利用二分法求方程的近似解【解题思路】利用二分法求方程近似解（函数零点）的步骤：①构造函数,利用图象确定方程的解所在的大致区间,通常限制在区间.②利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间.③区间内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间的一个端点．【例7】若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根精确度为可以是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零点存在性定理及二分法，结合表格计算即可.【详解】因为，，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为因为，所以，所以函数在内有零点，因为，满足精确度为，所以方程的一个近似根精确度为可以是区间内任意一个值包括端点值.故选：C.【例8】用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二分法，可得答案.【详解】由题意，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，由于，则第二次需计算，故选：C．【变式4-1】已知函数的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是（

）

A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．5，4【答案】C【分析】与轴的4个交点中，要判断交点左右两侧函数值异号的方可用二分法，即可得到答案.【详解】图象与轴有4个交点，所以零点的个数为4，左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.故选：C【变式4-2】若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（

）A． B．2，3 C． D．【答案】A【分析】根据题意，得到函数在上为单调递增函数，结合二分法的定义和题设条件，得出方程组，即可求解.【详解】由函数，根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数在上为单调递增函数，所以函数在至多有一个零点，又由依次确定了零点所在区间为，可得，即，解得.故选：A.【变式4-3】用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到0.1.【答案】4【分析】利用二分法定义判断零点所在区间，并确定精确度.【详解】，，，所以，满足，开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后，区间长度变为，故有，即，则，所以至少需要操作4次.故答案为：4.题型05求零点的个数【解题思路】判断函数零点个数的方法：①图象法：结合函数图象进行判断，即转化为两函数图象的交点个数问题．②单调性法：借助函数的单调性进行判断．若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间上单调,满足,则函数在区间上有且仅有一个零点,【例9】已知函数，则函数的零点个数为（

）A．2 B．1或2 C．3 D．1或3【答案】A【分析】分段分析函数的取值集合，再分段确定的零点个数即可.【详解】当时，函数在上单调递增，，显然，而，即恒有，函数在上无零点；当时，，函数取值集合为，由，，得，解得或，在上有2个零点，所以函数的零点个数为2.故选：A【例10】函数的零点个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，再结合函数草图判断方程解的个数.【详解】易知函数的定义域为，函数的零点个数，可转化为方程：的根的个数，在同一坐标系中，画出函数和的图象，如图：两个函数图象有两个交点.所以原函数有两个零点.故选：B【变式5-1】函数的零点的个数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】时，可以直接求出零点，时，通过图象即可得出零点个数，进而得出结果.【详解】当时，令，解得或（舍），所以时，有一个零点；当时，令，得，作和图象如下，所以时，有两个零点.综上，共有3个零点.故选：C【变式5-2】（多选）函数的零点个数可能为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【分析】根据分段函数的解析式，结合零点的定义，建立方程，利用方程与函数的关系，作图看交点个数，可得答案.【详解】由函数，当时，令，则与的交点个数即为函数的零点个数，如图所示：

由图可知，有1个交点，∴当时，只有1个零点；当时，令，则与直线的交点个数即为函数的零点个数，显然当时，函数与直线的图象无交点，即函数的零点个数为0个，当时，函数与直线的图象有1个交点，综上所述，当时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；故选：AB．【变式5-3】已知函数．(1)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；(2)试讨论函数的零点的个数．【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）问题化为对恒成立，利用二次函数性质求右侧最大值，即可得参数范围；（2）问题化为和的图象的交点个数，数形结合判断零点个数.【详解】（1）当时，，不等式恒成立等价于恒成立，则有对恒成立，而，故．（2）令，可得，函数的零点个数，即和的图象的交点个数，在同一坐标系中作出函数的图象（如图）．结合图象知，①当或时，函数有一个零点；②当时，函数有两个零点；③当时，函数有三个零点．题型06根据零点的个数求参数【解题思路】已知函数零点个数求参数常用的方法：①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；③数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.【例11】已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】转化为与图象有3个不同的交点，画出两函数图象，数形结合得到答案.【详解】令，故，画出与的图象，函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点，则，解得.故选：D【例12】已知函数，若函数有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】分和两种情况，结合分段函数解析式分析可知方程在内只有一个根，结合二次函数性质分析求解.【详解】令，当时，则，即，解得；当时，则由题意可知：方程在内只有一个根，注意到二次函数的图象开口向上，且，可得，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：.【变式6-1】已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由解析式画出函数草图，将问题化为与有三个交点，数形结合求参数范围.【详解】由函数解析式可得图象如下，

若函数有三个零点，即方程有三个根，即函数与有三个交点，由图象得，解得或.所以实数的取值范围为.故答案为：.【变式6-2】已知函数，，若函数和的图象有且仅有1个公共点，则实数的取值范围是【答案】【分析】依题意有且仅有一根，即，分别考虑该不等式为一次与二次方程的情况，结合二次方程两根关系与对数的定义域列式求解即可.【详解】依题意有且仅有一根，即，得，即.当时，，满足题意；当时，，满足题意；当且时，，，，若是原方程的根，当且仅当，即，若是原方程的根，当且仅当，即，故当是原方程的根，不是原方程的根，则，无解，当是原方程的根，不是原方程的根，则，解得.综上有实数的取值范围是.故答案为：【变式6-3】已知函数．若函数有三个零点，则的取值范围为．【答案】【分析】函数有三个零点，即与的图象有三个交点，即画出函数的图象，可求出答案.【详解】若函数有三个零点，即与的图象有三个交点，当时，，当时，在有最大值4，画出函数的图象，如下图，由图可知，.故答案为：.题型07零点之和问题【解题思路】零点之和问题一般伴随着对称，通过对称可得到零点之间的关系【例13】设函数，若关于x的方程有四个实根，则的最小值为（）A． B． C．10 D．9【答案】D【分析】画出函数图像，确定方程的根之间的联系，然后结合基本不等式求解即可.【详解】如图，作出函数的大致图象，如图所示：

关于x的方程有四个实根则，，则，其中，所以，则，当且仅当，时取等号，所以的最小值是故选：D【例14】已知若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到，，，求出，得到答案.【详解】画出的图象，如下，

设，则，令，解得或0，因为的对称轴为，由对称性可得，且，其中，因为，所以，故，又，故，.故选：A【变式7-1】（多选）已知函数，若方程有四个不同的实数根，从小到大依次记为，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】A选项，画出与的图象，数形结合得到；B选项，数形结合得到，，且当时，，此时，B错误；C选项，先得到，从而计算出答案；D选项，求出，从而，利用对勾函数性质得到答案.【详解】A选项，画出与的图象，可以看出，A正确；B选项，令得或，令得，故，，且当时，，此时，B错误；C选项，由图可得，令，解得，故，且当时，，故，，C正确；D选项，由图象可知，故，则，因为，所以在上单调递增，故，所以，D正确.故选：ACD【变式7-2】设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是．【答案】【分析】画出函数图象，数形结合得到，，求出答案.【详解】画出函数图象，结合图形可知，仅当时，方程有三个不等实根，分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，不妨设，显然关于对称，故，另一个交点位于一次函数图象上，令−2x+6=−1，解得x=72，显然它在和以及的交点和之间，故，所以，故答案为：．【变式7-3】已知函数，若有四个不同的解且，则的取值范围是．【答案】【分析】利用对数函数与二次函数的图象与性质计算即可.【详解】根据对数函数与二次函数的性质作出函数图象，如图所示，易知，所以，则，而由二次函数对称性可知，，

所以，根据对勾函数的性质可知，，所以.故答案为：.题型08镶嵌函数的零点问题【解题思路】处理复合函数的零点问题的方法：①确定内层函数和外层函数；②确定外层函数的零点；③确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为【例15】用表示中较小的数，，则的解的个数为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】画出的图象，先由求得，然后由判断出正确答案.【详解】由解得，设，画出的图象如下图所示，由解得；由解得或；令，则或或或；由图象可知，有个解，分别有个解，没有解，且上述个解互不相同，所以的解的个数为个.故选：D【例16】已知函数，则函数的零点个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先求的零点，结合图象判断出函数的零点个数.【详解】由解得或，构造函数，在上单调递减，，，所以存在唯一零点，所以对于，有唯一解.令，得或或，得或或，时，，画出的大致图象如下图所示，由图可知，函数的零点个数是.故选：C

【点睛】求和函数的零点，可以考虑的方向有：直接法、零点存在性定理法、图象法.直接法即由求得函数的零点.零点存在性定理法即利用来判断零点所在区间.图象法即利用图象来判断函数的零点.【变式8-1】已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（

）A．当，有1个零点 B．当时，有3个零点C．当时，有9个零点 D．当时，有7个零点【答案】AD【分析】设，即有，再按和讨论并作出函数图象，数形结合即可判断得解.【详解】由，得，则函数的零点个数即为解的个数，设，则，二次函数，其图象开口向上，过点，对称轴为，当时，在上单调递减，且，如图，由，得，解得，由，得，解得，因此函数的零点个数是1，A正确，B错误；当时，，作出函数的图象如图，

由图象知有3个根，当时，，解得；当时，，解得，当时，，若，则，若，则，此时共有3个解；当时，，此时有1个解，，即有2个解，当时，，此时有1个解，即无解，因此当时，函数的零点个数是7，D正确，C错误.故选：AD【点睛】方法点睛：关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解.【变式8-2】已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是；函数的零点个数是.【答案】【分析】作出大致图象，结合图象可得实数的取值范围；令，将问题转化为，根据图象分析得有两个零点为，，从而考虑与根的个数即可求解.【详解】作出大致图象如下：若方程有三个不等的实根，由图象可得实数的取值范围是；令，则，可得，且，结合图象可知方程的一个根，另一个根，当时，与的图象有1个交点，所以有1个实根，当时，与的图象有3个交点，所以有3个实根，综上所述：共有4个零点.故答案为：；4.【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．【变式8-3】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，．若函数恰有个零点，则实数的取值范围是．【答案】【分析】首先作出的图象，再利用换元法设，合理分类讨论，再利用二次函数的零点分布列出出不等式组，解出即可.【详解】当时，，当且仅当时等号成立，当时，，则，根据对勾函数和指数函数的性质以及函数为奇函数作出整个函数图象如下图所示：令，则，显然由图知直线与图象最多3个交点，若要满足题意，则有两个不等实数解，则，且根据韦达定理得，显然当不适合方程，且，不妨设，则由图知：（i）当直线与有3个交点，直线与有1个交点，①，，则，即，无解；②，，则，即，解得；（ii）当直线与有3个交点，直线与有1个交点，①，，则，即，无解；②，，则，即，解得；（iii）当直线与有2个交点，直线与有2个交点，①，，则，即，无解；②当时，则，由图知此时符合题意，此，综上所述的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题的关键在于第一作出的图象，其次处理嵌套函数的方法往往换元法进行整体代换，然后再对个零点情况进行合理的分类讨论，结合二次函数的零点分布得到不等式组，解出即可.课后作业一、单选题1．函数的零点一定位于区间（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理来求得正确答案.【详解】在上单调递减，，所以的零点位于区间.故选：D2．函数的图象如图所示，则可能是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据反比例函数，指数函数、对数函数和二次函数的特点逐项分析即可.【详解】对A，当时，，但图中时，，故A错误；对B，当时，，但图中时，，故B错误；对C，设，则，，，且函数单调递增，且增长趋势均符合图象，则C正确；对D，因为为二次函数，且对称轴为，显然和图中情况不符合，故错误；故选：C.3．已知函数，若正实数，，互不相等，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先画出函数的图象，根据图象分析，即可求出的取值范围．【详解】由，则画出函数的图象，如图所示，不妨令，则，即，得，当时，单调递减，且与轴交于点，则，所以的取值范围为故选：B．4．已知函数，，当时，方程根的个数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出使的的范围，结合二次函数的值域及性质即可得.【详解】令，则，由，则，有，故，解得，即或，，则，令，则对任意的，都有两个不同的使其成立，对任意的，无解，故方程的根的个数为2.故选：C.5．已知函数若方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出的图象，根据方程恰有3个不同的实数根求得的取值范围.【详解】当时，单调递减；当时，的图象开口向下，对称轴为，所以当时，函数的最大值为.作出函数的图象如图，由图可知：函数的图象和直线有3个不同的交点，则实数的取值范围是.故选：A6．已知函数，若方程仅有两个不同的根，则的取值范围为

()A． B． C． D．【答案】A【分析】探讨给定函数的性质，并画出函数的图象，借助图象求出的取值范围，再利用二次函数性质求出值域得解.【详解】函数，当时，单调递增，函数值集合为，当时，单调递减，函数值集合为，当时，在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，方程的根，即为直线与函数图象交点的横坐标，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，观察图象知，当时，直线与函数的图象有且只有两个交点，即当时，方程仅有两个不同的根，函数在上单调递增，，所以的取值范围为.故选：A【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.二、多选题7．某同学求函数的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:则方程的近似解(精确度)可取为（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】结合函数的性质及零点存在定理,利用二分法求解即可得到答案.【详解】由函数在上单调递增，要使得精确度为，结合表格可知：，，此时，所以方程的近似解在区间内.故选：AB.8．已知函数，有4个零点，则（

）A．实数的取值范围是B．函数的图象关于原点对称C．D．的取值范围是【答案】AD【分析】根据分段函数的性质，以及二次函数零点与方程的根的关系，即可分析零点，进而判断正误.【详解】对于A选项：当时，有2个零点，故，解得；当时，，而，易知，此时也有2个零点，故，故A正确；对于B选项：因为，故B错误；对于C选项：的4个零点满足，则是方程的两个根，则且，所以，故C错误；对于D选项：由C选项知，，由,所以，得，而函数在上单调递减，所以，故D正确，故选：AD．9．设常数，函数，若方程有三个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C．的取值范围为 D．不等式的解集为【答案】ABD【分析】画出函数的图象，判断的取值范围；利用对数函数的性质和对数的运算性质得到，和；由，可得或3或18，从而可解不等式.【详解】由解析式可得的图象如图所示，有三个不等实根等价于与有三个不同交点，由图象可知，A正确；由，得，即，B正确；，则，C错误；令，可得或3或18，由图知不等式的解集为，D正确．故选：ABD三、填空题10．已知函数，若有2个零点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据题意，转化为函数与函数的图象有2个交点，作出函数与函数的图象，结合图象，即可求解.【详解】由函数，令，可得，在同一坐标系下，作出函数与函数的图象，如图所示：当时，函数与函数的图象有2个交点，此时，函数有2个零点，所以实数的取值范围是.故答案为：.11．设函数，若关于的方程有四个不相等的实数根、、、，则的取值范围为.【答案】【分析】画出函数图象，根据方程的根的个数，转化为函数图象与函数图象的交点个数，数形结合求出的范围及、、、之间的关系与范围，即可求解.【详解】结合题意，画出函数图象如图所示：不妨设，由图可知，由二次函数的对称性，有，有，即，即，即，即，由，则，则，令，，由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，故，即的取值范围为.故答案为：.12．已知函数，设是四个互不相同的实数，满足，则的取值范围是.【答案】【分析】根据对数函数的图象变换作出时，函数的图象，再根据图象设，从而得到，且，，即可求解【详解】当时，，作出函数图象，如图所示：

当时，，设，且，则由图象得：，则由题意知，，且，，所以，即，则，所以的取值范围是，故答案为：.13．已知函数，，若存在3个零点，则实数的取值范围为．【答案】.【分析】根据题意，转化为与的图象有3个不同的交点，画出和的图象，结合图象，得到，即可求解.【详解】由存在3个零点，即方程有3个实数根，即函数与的图象有3个不同的交点，因为函数，画出函数和的图象，如图所示，结合图象，将点代入，可得，此时，要使得函数和的图象有3个不同的交点，则满足，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.

四、解答题14．已知函数是偶函数．(1)求实数a的值；(2)当时，函数有零点，求实数t的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）先用特值，求出实数a的值，按照偶函数的定义检验一般情况成立；（2）先化简的函数形式，将问题转化为关于的方程有解，构造函数，研究其单调性解决问题.【详解】（