高一数学寒假讲义第十九讲 余弦定理、正弦定理应用举例（解析版）

第十九讲余弦定理、正弦定理应用举例【知识梳理】一、实际应用问题中的专用名词与术语1.基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.2.仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①).3.方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②).4.方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°.二、解三角形应用题的一般步骤①审题：阅读问题，理解问题的实际背景有关名词、术语,明确已知与所求理清量与量之间的关系；②建模：根据题意画出示意图,将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型③解模：正确应用正余弦定理及其他有关知识解三角形④换原：将三角形中的解还原为实际问题的答案题型01测量距离问题【解题思路】类型图形方法两点间不可通或不可视先测角,再用余弦定理求两点间可视,但有一点不可达以点不可达为例,先测角,再用正弦定理求两点都不可达测得在中用正弦定理求;在中用正弦定理求BC;在中用余弦定理求【例1】如图，小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为，看另一边B处的俯角为，楼高为米，则楼下公园的湖宽=m．（结果精确到1米，参考数据:，，，）【答案】【分析】根据锐角三角函数即可求解.【详解】由题意，得，．在中，米，∴，∴（米），在中，则米，∴（米）．所以湖宽约为米．故答案为：42【例2】如图所示，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出的距离是m米，，则A，B两点间的距离为米.【答案】【分析】根据题意，利用正弦定理求解即可.【详解】在△ABC中，，由正弦定理，得，所以，故答案为：【变式1-1】如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？【答案】米【分析】根据正弦定理，分别在和中求出AC，BC，然后在中，由余弦定理求得AB.【详解】根据正弦定理，在中，有(米)，在中，有(米)．在中，由余弦定理得AB＝＝(米)．所以A，B两点间的距离为米．【变式1-2】世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆（瑞典语：），在世界上最大的瑞典太阳系模型中，由该体育馆代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16000名观众观看表演和演唱会，或14119名观众观看冰上曲棍球比赛．某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径，在体育馆外围测得，，，（其中，，，四点共面），据此可估计该体育馆的直径大约为（

）（参考数据：，）

A． B． C． D．【答案】C【分析】结合题意，利用正弦定理和余弦定理即可求解.【详解】连接，，在中，由正弦定理知，即，解得，在中，由余弦定理得：，即，所以．

故选：C.【变式1-3】如图，某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在处发现在北偏东方向，相距的水面上的处，有蓝方一艘小艇正以每小时的速度沿南偏东方向前进，红方侦察艇立即以每小时的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇，则红方侦察艇拦截住蓝方小艇最少需要小时．【答案】2【分析】设红方侦察艇经过小时后在处追上蓝方的小艇,在中利用余弦定理得到关于的方程，解出即可.【详解】设红方侦察艇经过小时后在处追上蓝方的小艇,结合题意：易得,，，，在中，利用余弦定理：，解得：，或（舍去）.故答案为：2.题型02测量高度问题【解题思路】类型简图计算方法底部可达测得底部不可达点与共线测得及与的度数.先由正弦定理求出或,再解三角形得的值点与不共线测得及的度数.在中由正弦定理求得,再解三角形得的值【例3】中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）【答案】/【分析】根据题意求得角，利用正弦定理求得边长，再根据直角三角形边角关系求出旗杆的高度即可求解.【详解】如图所示，依题意知，，由正弦定理知（米），∴在中，（米），∵国歌长度约为46秒，∴升旗手升旗的速度应为＝（米/秒）．故答案为：．【例4】如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得甲秀楼顶端的仰角为，则甲秀楼的高度约为（参考数据：，）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理在中取得的长，根据正切函数的定，可得答案.【详解】由题意可知，，，所以，又因，由正弦定理，可得：，解得，又因为，所以，故选:C.【变式2-1】落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝米．【答案】【分析】设，表示出，利用结合余弦定理列方程求解.【详解】设，则.由得，由余弦定理得，解得，即OP为米．故答案为：.【变式2-2】如图，小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得，两点的俯角分别为和，已知大桥的长度为，且与地面在同一水平面上．则热气球离地面的高度为m.（结果保留整数，参考数据：，，，）．【答案】【分析】过点A作交延长线于点D，构造两个直角三角形，分别用表示出，利用，从而将用表示，而已知，解方程求出即可.【详解】如图，过点A作交延长线于点D，由题知，，，在中，.在中，，，解得，∴热气球离地面的高约为119.故答案为：119.【变式2-3】魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图1，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”，则海岛的高，某同学受此法的启发设计了另一种测量此山高度的方案（如图2）；他站在水平线上，同时在水平线上放一个小镜子（视为点），他在距离镜子米点时，通过镜子看到了山顶，然后沿水平线向靠近山的方向走了米，到达点，再将镜子放在距离自己米的前方点处，此时又看到了山顶，若此人的眼睛到水平线的距离为米，则此山的高度约为（

）米

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形相似得到线段比，从而转化得解.【详解】记此人的眼睛在处的位置分别为，如图，

由题意可知，，所以，，又，，，所以，，则，，因为，所以，解得.故选：B.题型03测量角度问题【解题思路】测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.【例5】一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（）A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向【答案】C【分析】利用正弦定理、余弦定理求得正确答案.【详解】如图，在中，，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，因为，所以解得，由正弦定理得，故或，因为，故为锐角，所以，此时灯塔位于游轮的南偏西方向.故选：C【例6】公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】画出相应图形后计算出点到该楼的距离，结合勾股定理与正弦定义计算即可得.【详解】如图所示，由题意有，，则有，故，则，故，则.故选：A.【变式3-1】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为小时，角的正弦值为．

【答案】2/【分析】设红方侦查艇经过x小时后在处追上蓝方的小艇，即可得到，，在中，利用余弦定理得到关于的方程，求解得到x，从而得到，再利用正弦定理得到.【详解】设红方侦查艇经过x小时后在处追上蓝方的小艇，则，，.

根据余弦定理得，解得，故，.根据正弦定理得，解得，故答案为：2；.【变式3-2】一颗人造地球卫星在地球上空1600km处沿着圆形的轨道运行，每2h沿轨道绕地球旋转一圈．假设卫星于中午12点正通过卫星跟踪站A点的正上空，地球半径约为6400km．

(1)求人造卫星与卫星跟踪站在12：03时相隔的距离是多少．(2)如果此时跟踪站天线指向人造卫星，那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少？（参考数据：，）【答案】(1)1950km(2)0.64．【分析】（1）设人造卫星在时位于C点，得到，在中，由余弦定理求得的长，即可求解；（2）设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为，则，利用正弦定理求得，从而得到，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，设人造卫星在时位于C点，其中，则，在中，，，，由余弦定理得，解得，因此，在时，人造卫星与跟踪站相距约．（2）解：如图所示，设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为，则，由正弦定理得，故，即，因此，天线瞄准方向与水平线的夹角的余弦值约为．

【变式3-3】如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市的处有一艘小艇，小艇与海岸距离为，若小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.(1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？(2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角.【答案】(1)(2)【分析】（1）设小艇以每小时的速度从处出发，沿方向行驶，小时后与运动员在处相遇，利用余弦定理求出关于的函数，根据二次函数知识可求出的最小值；（2）由正弦定理可求出结果.【详解】（1）如图，设小艇以每小时的速度从处出发，沿方向行驶，小时后与运动员在处相遇，在中，，故由余弦定理求得，则，整理得，当时，即时，，故.即小艇至少以每小时的速度从处出发才能追上运动员.（2）当小艇以每小时的速度从处出发，经过时间小时追上运动员，故，又，由正弦定理得，解得，故.即小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角为.【课后练习】一、单选题1．如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由图可知，由正弦定理即可求出BC的值.【详解】由题意知，，由正弦定理得，所以.故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为.故选：B.2．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度CD约（

）（，）

A．18米 B．19米 C．20米 D．21米【答案】B【分析】在中用表示，中用表示，建立的方程求解即得.【详解】在中，，则，在中，，，由，得，，所以岳阳楼的高度约为19米.故选：B.3．下列结论正确的是（

）A．东南方向与南偏东方向相同．B．若为锐角三角形且，则角的取值范围是.C．从处望处的仰角为，从处望处的俯角为，则的关系为.D．俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为.【答案】A【分析】根据方向、锐角三角形、仰角、俯角等知识确定正确答案.【详解】A选项，东南方向与南偏东方向相同，A选项正确.B选项，若为锐角三角形且，则，解得，所以B选项错误.C选项，从处望处的仰角为，从处望处的俯角为，则，所以C选项错误.D选项，俯角是在竖直面内，水平线与向下递降线段直线的角度，范围是，所以D选项错误.故选：A4．如图，为了测量两个信号塔塔尖之间的距离，选取了同一水平面内的两个测量基点与（在同一铅垂平面内）．已知在点处测得点的仰角为，点的仰角为，在点处测得点的仰角为，点的仰角为，且米，则（

）A．米 B．400米 C．米 D．米【答案】D【分析】将实际问题抽象出几何图形，在多个三角形中解三角形，从而得出实际问题的解.【详解】如图，过作，垂足为，过作，垂足为.由题意可知，，,在中，,即，;在中，,且,由正弦定理得，,即，即，在中，,且，由余弦定理得，解得，故选：D.5．为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一直线上，在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别是和，，测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB，若，则此建筑物的高度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，利用正弦定理求出，再解求出，即可得解.【详解】在中，，由正弦定理得，所以，，在中，，所以，即此建筑物的高度是.故选：A.6．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在中，由余弦定理得，进而求出，再在中，利用正弦定理得解.【详解】由题意，在中，由余弦定理得；因为，所以，在中，由正弦定理所以，解得.故选：D二、多选题7．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（

）A．处与处之间的距离是B．灯塔与处之间的距离是C．灯塔在处的西偏南D．在灯塔的北偏西【答案】AC【分析】作图，运用正弦定理和余弦定理解相应的三角形即可.【详解】在中，由已知得，，则，由正弦定理得，所以A处与D处之间的距离为，故A正确；在中，由余弦定理得，又，解得．所以灯塔C与D处之间的距离为，故B错误；，，灯塔C在D处的西偏南，故C正确；灯塔B在D的南偏东，D在灯塔B的北偏西，故D错误；故选：AC8．八一广场是南昌市的心脏地带，江西省最大的城市中心广场，八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔座正面镌刻“八一南昌起义简介”碑文，东、南、西三面各有一幅反映武装起义的人物浮雕．塔身正面为“八一南昌起义纪念塔”铜胎鎏金大字，塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组成．八一南昌起义纪念塔的建成，表达了亿万人民永远缅怀老一辈无产阶级革命家创建和培育解放军的丰功伟绩，鼓励国人进行新的长征．现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为纪念塔最顶端，B为纪念塔的基座（即B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C、D两点，测得CD的长为m．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、、、、，则根据下列各组中的测量数据，能计算出纪念塔高度AB的是（

）

A．m、、、 B．m、、、C．m、、、 D．m、、、【答案】ACD【分析】根据解三角形的条件，逐项判断可解三角形求出塔高AB的选项即可.【详解】对于A：由m，、可以解，又，可求塔高度AB；对于B：在中，由，无法解三角形，在中，由，无法解三角形，在中，已知两角、无法解三角形，所以无法解出任意三角形，故不能求塔高度AB；对于C：由，、可以解，可求AC，又，即可求塔高度AB；对于D：由，可求，在中，由正弦定理可求BC，在中，由BC，可求AB．即D项可求塔高AB．故选：ACD．

9．龙卷风是一种少见的局地性、小尺度、突发性的强对流天气，是在强烈的不稳定的天气状况下由空气对流运动造成的、强烈的、小范围的空气涡旋，一般发生在春季和夏季.在操场旗杆A的东偏南（）方向30米B处生成一个半径为6米的龙卷风，龙卷风以2米/秒的速度向北偏西方向移动，龙卷风侵袭半径以1米/秒的速度不断增大，则（

）A．12秒后龙卷风会侵袭到旗杆 B．秒后龙卷风会侵袭到旗杆C．旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续16秒 D．旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续12秒【答案】AD【分析】以为坐标原点，建立的直角坐标系，得到小时后，台风袭击的范围可视为以点为圆心，以为半径的圆，结合题意，列出不等关系式，得到，解得，结合选项，即可求解.【详解】以为坐标原点，以正东方向为轴，以正北方向为轴，建立如图所示的直角坐标系，因为，可得，可得点，当小时后，台风袭击的范围可视为以点为圆心，以为半径的圆，若旗杆受到台风的侵袭，则，整理得，即，解得，所以12秒后龙卷风会侵袭到旗杆，且受台风侵袭的持续时间为小时.故选：AD.

三、填空题10．马尔代夫群岛是世界上风景最为优美的群岛之一，如图所示，为了测量两座岛之间的距离，小船从初始位置出发，已知在的北偏西的方向上，在的北偏东的方向上，现在船往东航行2百海里到达处，此时测得在的北偏西的方向上，船再返回到处后，由向西航行百海里到达处，测得在的北偏东的方向上，则两座岛之间的距离为百海里.【答案】【分析】根据题意，利用方位角分别求得三角形中各个角的大小，在和中，应用正弦定理求得的长，再在中，利用余弦定理，即可求解.【详解】如图所示设为向北方向，由题意得，,由题可得，，在中，由正弦定理得，可得，再在中，，所以,在中，由余弦定理得，所以，即两座岛之间的距离为百海里.故答案为：.11．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，则的最大值是.（仰角为直线与平面所成的角）

【答案】【分析】根据仰角的定义，作图，利用图中的几何关系列出函数式，借助二次函数求解作答.【详解】过点在平面内作直线的垂线，垂足为点，如图，

则由仰角的定义得，由题意，设，则，当点与不重合时，在中，，当点与重合时，上式也成立，在中，

，当时，取最大值，综上，的最大值为.故答案为：.12．某人从山的一侧点看山顶的仰角为，然后沿从到山顶的直线小道行走到达山顶，然后从山顶沿下山的直线小道行走到达另一侧的山脚处在同一水平面内，山顶宽度忽略不计），则其从点看山顶的仰角的正弦值为，的最大值为．【答案】/0.75【分析】由题意，作图，根据三角函数的定义以及图形关系，可得答案.【详解】由题意，设山顶为点，过点作垂直与所在的水平面，如下图所示：则，，，在中，，；在中，，易知为从点看山顶的仰角，即从点看山顶的仰角的正弦值为；在中，，由图可知，，当且仅当时等号成立，故的最大值为.故答案为：；.四、解答题13．如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距的处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.