大学《高等数学》考试复习练习题及答案

习题课十五

一.选择题

co00

1.若级数Z〃〃收敛于S，则级数Z（"〃+〃〃+l）（A）

n=\n=\

（A）收敛于2S—〃i；（B）收敛于2S+〃i；（C）收敛于2S；（D）发散。

0000

解：=町+〃2+…+〃〃+…收敛，=〃2+"3+…+〃〃+…也收敛，

n=\/7=1

00ooco

且=S，=S—,故〉：(〃〃+〃〃+])=S+S—〃]=2s―町o

n=\n=\n=\

2.下列级数中收敛的级数是()

CO|00|00

(A)£赤；(B)£ln(l+-);(C)

M£(-D"(，i+〃〃

77=1＜，77=1

解：:口一必：=—x，n=——-,而£—收敛,

JO1,r4JO303V3

1+X3〃2及=13〃2

••・寓》收敛。

3.设。为常数，则级数£金吗@-二]（）

H=[nJ力

（A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）敛散性与。的取值有关。

解："普而£与收敛，・・.£1学科收敛，从而收敛,

In|nn=\〃』n\n=\n

又・・・乞-1发散，・・.£但？发散。

n=\nn=\〃

4.产R）（C）

n=22（In/?）n\

（A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）不能确定其敛散性。

=lim---：--------------------------

82同国(〃+1)-(〃+1)!nn\

lim[41清.(竺I)”],

2〃fooln(n+l)n2

，?

Y---------发散,从而limutlW0，故y(-l)----------发散。

〃=22〃(ln〃)a〃！〃T0°n=22〃(In77)°"!

二.填空题

1.设常数〃>0,则当〃满足条件〃>3时:级数£；〃2§亩三收敛。

n=\nP

00

解：,/当〃—>8时，/sin」-〜一三，而Z—T当〃一2〉1,即p〉3时收敛,

np〃〃一2n=inp-

71

「・故当p>3时Z〃sin收敛。

n=\np

88

2.设Z〃(〃〃一〃〃一i)=S,J@Llimnun=A9则=A—S。

[00

w=l〃二0

00co

解：设与的部分和分别为。〃与s”，

n=\n=0

oo

■:〃一"〃T）收敛•设,im=A。

，日…

n

ll=ilu

*/o〃~n-\)\~o+2g-2〃]+3町-3〃2---\-nun-nun_}

k=l

Zi-I

=nun-(u()+ui+〃2+〃3+…+“〃一i)=〃〃〃一2"〃S〃=nun-ot1,

k=0

OO

•「limS=lim(mi-G)=A-S,，=A-S。

n^ccfl〃一>a>nfl八

三.判别下列级数的敛散性

002+(7)〃

1.Z

/:=1

解法1（比较法）：V0<2+（~1）/?<—,而£二■收敛，・・.£2+（—1）〃收敛。

22n=\2n=\2

解法2（根值法「•奈3卡啖太师考,•・.,吧场=9,

故：

£210收敛。

J

n=\2

..(2+(-1)〃(「1,(-1)”】

解法3（利用级数的性质）:

・2^”乙1Q/7

n=\/〃=l,乙

81、力』均收敛,8出现收敛。

而一”••z

n=\2n=\2n=\2〃

GOcosmt

2.Z

n-\

0000

COS鹿兀1

解：zz

n=\n=X

110018100

而z收敛,・・・Xy==收敛，从而z粤之收敛。

n=\"3+Hn=\ynJ+n

00c，1

3.y^-

〃=«+〃)〃

00

3/1=Lo,3n〃

解：*.*luTiu=lim—=3lim••z-发散。

n〃n

n—>00〃^0(l+〃)f8。+3〃e,2=1(1+〃)

注：.

・•・本题不能用根值法判定，必然不能用比值法判定。

nn

解：设〃〃=（_i）〃一，则〃卜一,

ln〃In/I

Q"+1Inn

Vlim—=lim----------------

〃f8Un“foln(〃+l)a〃

・・.当Ovavl时，收敛：当〃>1时，发散。

3〃

8n

从而£(-1)〃一当o<"i时，绝对收敛；当。>1时，发散。

n=2In71

当4=1时，U=(—l)n-^―f

fnI、,1

ln〃

—!—00i8[

lim*'lim」-=+8,而£—发散，，V-----发散。

IInnnInJ?

1118i

——>—,且lim，=0,・・・收敛,

ln(72+l)InA?〃->8Inn°Inn

故X（-l）〃4—（"0）当。<。<1时，绝对收敛；当心1时，发散；当4=1时,

〃=21n〃

条件收敛。

00|

2.常数P取什么范围时，级数2（-1）〃处是（1）发散；（2）条件收敛；

〃=1"P

（3）绝对收敛。

分析：设〃〃=（-1）〃皿，|〃〃|=则•<>当〃<0时，:lim发散。

npnp〃—8〃二]

00

当p>0时，lim|w|=0=>limu=0,但不能确定g〃〃是否收敛。为此用比

〃->8n8n〃二]

]00CO

较判别法：lim」~=lim的,显然，当1<YP时，£|叫收敛，从而

r

〃-8〃'〃-8〃〃n=[〃=]

绝对收敛。综上可知，要分pwo,0<p<l,〃〉1三种情况进行讨论。

々刀'n/1、〃1n〃Inn

解：设〃〃=(-1)-----，un=-----，

(1)当p40时、：limun\=lim-?^=+oo,/.limZ(-1)〃^^发散。

〃一>CO??—>CO〃P〃一>8〃=]〃P

(2)当〃>1时，取q0,且满足1<一<〃，则有

「un小〃「Inn八h?1八%

hm——=vhmn-----=hm--------=0,而Z——收敛，

r

7?^oo〃38nPmsn=\n

nr

00

・・・Z8W?|收敛，故Z(T)〃I处nn绝对收敛。

n=ln=\〃0

(3)当0<pWl时、

Inn

I//p.001oc

**,limJ-p-=lim卷一二lim〃一“In鹿=+oo,而£—发散，，£|叫发散。

/?—>00H818〃=]n〃=]

nn

设/(%)=与，.(.=1蓝」，当x充分大时，尸(幻<0，

XX

：.,从而｛/(〃)｝=｛处且lim回=0,

np

故由莱布尼兹判别法知£(-1)〃In处Y\条件收敛。

n=\np

"]n>7

综上讨论可知，Z(T)〃处当PW°时发散；当0<〃41时条件收敛；当P>1时

n=\np

绝对收敛。

五.证明题

000000

1.设级数收敛，且Z”〃绝对收敛，试证〃绝对收敛。

〃=172=1n=\

证明：设I)收敛于S,则limSn=S,

n=\〃-g

其中S〃二(%-佝)+(〃2―々1)+…+(%?FT)=an-a0'

・.,limS=lim(tz-^)=lima-a^,

n—yxynoo/20con

/.lima=5+6Z,从而三加>0,?VHGN,有瓦区M。

n—x»n0+

008

又・・,卜同=|叫"区加匐,而绝对收敛，即Z瓦|收敛,

n=ln=\

0000

・・.Z|a也|收敛，即£a〃b〃绝对收敛o

n=\n=\

2.设函数/(x)在上有定义，在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且

隔四=0,证明级数£/(,)绝对收敛。

n

1。xn=l

证法L・・・/〃(x)在x=0的某邻域内连续，・・・/(x)在％=0处连续，

又；lim幺2=0,Jlim/(x)=/(0)=0,limlim幺止/=r(幻=0。

x―>0xx—^0x—^0xx―^0X

的一阶麦克劳林公式为

/.(X)=f(0)+f(0)x+^-x2=^-x2,(自在。与x之间)

・・,/"(乂)在1=0的某邻域内连续，・・・三〃>0,使得|/"(外归M,

从而当〃充分大时，有/(342(3)。而收敛，・・・£/(1)绝对收敛。

n2屋”=]〃-〃=1n

证法2：・・・/〃(x)在x=0的某邻域内连续，・・・/(幻在x=0处连续，

又=1皿^^二0,Alim/(x)=/(0)=0,lim△^二[血—⑼=/⑶二。,

x-^0xx―^0x->0xx->0X

用洛必达法则有lim牛=lim加=lim

xf0工2A—>o2xx—>022

・・・，(0)存在，・・・1而)^=仁刨存在，而收敛，.・・£/(1)绝对收敛。

〃T8-L2”1〃I〃

/

000000

3.设级数2%-/i|收敛，且正项级数2口〃收敛，证明级数Z〃〃W收敛。

n=\n=ln=l

co8

证明：I收敛0Z("〃—”〃T)收敛于§n礴S〃=S,

■Sn-ll2—〃]+〃3—〃2+，••+〃〃一〃〃-]一“〃—〃1，

un=Sn+ux,从而lim“〃=S+〃],故mM>0,?ufl<Mo

_oo_00

・..正项级数X片?收敛，..•当n充分大时，匕7<1=>W<U〃=>ZW收敛。

n=\/2=1

88

Vunv\<M而M