第7届全国大学生数学竞赛决赛数学类三、四年级答案

第七届全国大学生数学竞赛决赛三、四年级试题解答

(数学类，2016年3月福州)

一、(本题20分)填空题(每小题5分)

(1)0;(2)p>1；(3)36〉

(4)(1,0,1),或(-1,0,-1),或(1,t,-1),或1),teR.

二、(本题15分)由于形如ax+By+Y=0的平面与S只能交于直线或空集,

所以可以设平面。的方程为

z=ax+Py+Y>

它与S的交线为圆令*=cos8y=sin0则。与S的交线可表示为

r(d)*sinacottff+9+0€0,2JT.

由于「(。)是一个圆，所以它到一个定点P(a,b,c)的距离为常数R.于是有恒

等式

(rcw0—a)]+(tsin。.b)-f-(nCOR94-fisin4--cj=R2.

利用

9—；(1+c2〃).y(l—cos2^)

我们可以将上式写成

Acos20+Bsin20+Ccos0+Dsin0+E=0,

其中A,B,C,D,E为常数.由于这样的方程对所有6e[0,2TT]恒成立，所

以A=B=C=D=E=0.

特别地，我们得到

A=+1)-：(#+1)=U.B=—I)

1

于是得到Q=0,B=±1,平面。的法向量为

(-Q,-P,1)=(0,1,1)或(0,—1,1)

的非零倍数.

三、(本题15分)

证明存在可逆方阵T,使得T-ST=A为对角阵.令T-BT=B,

则B为实对称方阵，且

tr((AB)2)=tr((AB)2),tr(A2B2)=tr(A2B2).

令A=diag(an，…，ann),B=(切%=则

tr((XQ)2)=京

dj=1

,E加u。"/+Ed星，

tr(.4峭2)=二匕%

-E(心+吟)学+

1<4<J<N1*1

于是

lr((A6力一小万加)=一£Ma—吃WU.

四、(本题20分)

证明设「的圆心为O,Qi=l7B(OBi+1,Bn+1=Bi,则PA=2£tan(X

PB-2^Hina,.

先东:当0vxv阴寸，有

tan»rsin^T>r.(1)

2

令。")=存一x,则gey

fJ(T)

故g(x)严格单调递增，因而g(x)>g(0)=0.(1)式得证.

五、(本题10分)

证明首先,令Gi=(Ui),G2=M),G3=(u2),G4=(V2),

T=8e2|QieG恁£G},H={g3g4|g3£G3,3£Q},

则T、H均为G的阿贝尔子群.进一步，由(8,13)=1可知

GiAG2={e},G3nG4={e}.

结果，T=G1G2为内直积分解，H=G3G4为内直积分解.

其次，分别计算55与112V2的阶.

若(U|V1)X=e,则=e,由丁=G1G2为内直积分解得y=0=e,从

而8|x,13|x,故oQvJ=8x13,即有T=(jv).同理知：o(u2V2)=8x13,

即有H=(u2V2).注意到U1V1=U2V2,故T=H.

第二U2£awH=T,故U2可表为：Us=g1g2,91eGi,g2£G2.结

果W=gfg,，即或=e.

3

球面在B(s)点的单位法向量为B,曲线B(s)的切向量为；=—ke〔+Te3,所以

曲线B(s)在球面上的法向量3彷

于是，曲线B在球面上的测地曲率

%■―%,(冬(春)+冬・冬)•&

=必+；】.】(一:勺)芸。)•(F+k。)

=MJ.—性-瑶5)・

故有

=/汨即(煤-途)v/IGd5

■Jo7?i^)，宠-r给山,^^(arrtaii(r/A))cbi

="retanf|(J=0.

其中用到闭曲线性质:k(0)=k(l),T(0)=T(I).

由于B为简单闭曲线，它围成球面一个单连通区域D.由Gauss-Bonett定

理，有

Ik^Ai+IKAS■2K.

JDJD

对球面而言，Gauss曲率K=1,故区域D的面积jDj=2TT,为球面面积的一

半.

八、(本题10分)

解1,令q(x)=x3—p(x).我们证明q(x)具有形式:q(x)=xJ2(x),其

中J(x)为一次多项式.首先说明q(x)的根都为实数.实际上q(x)必有一实

根。1,若另两个为一对共一复根,则q(x)具有形式:q(x)=(x—ai)(x2+ax+

b),且a?—4b<0.由于q(x)>0,a140,q(x)>x(x+a/2)2,q(x)dx>

J：x(x+a/2)2dx.这与jjq(x)jj1达到最小矛盾！因此，q(x)的三个根都为实数,

设为

5

若q(x)的三个根互不相等，则a<0,1/Jq(x)dx>Xlx3dx>/Jx(x-

1/2)2dx,矛盾！因此q(x)有两个根相等，设。2=故q(x)=(x-ai)(x-

2

a2),并且a=0时<q(x)dx会更小.

由于J,q(x)dx1,(6..+3),当“2=2/3,即『(上)=r'一q(r

力2-冬时，jjX3-p(X)jji最小.

2.令q(x)=x4-p(x).类似于1的分析，q(x)的根都为实数，且都为重

根，即q(x)=J2(x),J(x)为二次多项式.设J(x)=x2+ax+b,则f(a,b):=

“g⑺<Lr=：+扣

4-4-A{b+)J+ab+由

df2「1六”a2

防・铲+入厂口,丽・"沙+10

解得

-1,b=、.

o

因此,〃(/)=/*-(/

九、(本题10分)

证明设£>0,g(z)=1+G-f(z),则g(z)在D上解析，g(0)=1+e>0,

Reg(z)=1+e-Ref(z)>e>0.因而

g⑶一g(。)|g(』)『一2(1+。1%/2)十(1十。2

g(：)+g(0)|g(:)P+2(1+，)Rr*g(2)+(l4f)2

所以，鼎瑞是一个将D映入D，将0映到0的解析函数，根据Schwarz引理,

有

g£)-g(0)

。仁)+。(0)<14

令£T0,得到

1/(-)1

12-/31'以

两边平方得，jf(z)j2wjzj2(4-4Ref(z)+jf(z)j2),即,

(1-jzj2)jf(z)j2<4jzj2(1-Ref(z)).

6

由于(Ref(z))24jf(z)j2,从上式可得

由此即得

2|干二2,

RU⑶&-

十、（本题10分）

解用An表示事件“经n次试验后，黑球出现在甲袋中”，A-n表示事

件“经n次试验后，黑球出现在乙袋中”，Cn表示事件“第n次从黑球所在的

袋中取出一个白球”.记Pn=P（An）,qn=p（A-n）=1—Pn,D=1,2,'-'.

当n>1时，由全概率公式得

pn.-4I+『（4I鼠1）

■P（cnI

=Fn-1,+Qra-1•二

=早Pw-1+卜（1-Pn-1）-

因此，可得递推等式

N—21

Pn=­r；一,Pn-1+—（n2）・

由于初始条件Po