第七讲 等差等比数列（解析版）

第七讲等差等比数列【知识梳理】一、等差数列1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数．2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且．3．等差数列的通项公式及其变形以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为．公式的变形：，．二、等差数列的前项和等差数列的前n项和公式：．令，，可得，则当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点；当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点．三、等差数列的性质1．等差数列的常用性质（1）若，则；（2）若，则；（3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列2．与等差数列各项的和有关的性质设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，（1）数列是等差数列，首项为，公差为．（2）构成公差为的等差数列．（3）若数列共有项，则，；若数列共有项，则，．（4），．四、等比数列1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数.2．等比中项如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时．3．等比数列的通项公式及其变形首项为，公比为的等比数列的通项公式是．等比数列通项公式的变形：．4．等比数列与单调性当或时，是递增数列；当或时，是递减数列；当时，为常数列；当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．五、等比数列的前n项和公式首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为六、等比数列及其前n项和的性质若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：（1）若，则；若，则．推广：若，则．（2）若成等差数列，则成等比数列．（3）若项数为，则，若项数为，则．（4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．题型01等差数列基本量的计算【解题思路】（1）可由与构造关于的方程组即可求解（2）利用等差数列的性质可简化计算【例1】设为各项均不为零的等差数列的前n项和，若，则（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】根据等差数列通项公式代入计算得，再利用等差数列的前项和公式即可.【详解】设等差数列的公差为d，由得，又，所以，则，所以，则，所以，，故．故选：C.【例2】在等差数列中，(1)已知，，，求和；(2)已知，，求；(3)已知，，，求．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据等差数列前项和公式求出，再由通项公式求出；（2）设等差数列的公差为，依题意得到关于、的方程组，解得、，再由求和公式计算可得（3）利用等差数列前项和公式及下标和性质求出，从而得到，最后由求和公式计算可得.【详解】（1）由题意得，解得．又，∴，∴，．（2）设等差数列的公差为，，，，解得，则．（3），，，．【变式1-1】已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．48 B．52 C．54 D．56【答案】B【分析】利用等差数列的通项公式与前项和公式求得，从而得解.【详解】依题意，设等差数列的公差为，则由，得，解得，所以.故选：B.【变式1-2】记公差不为零的等差数列的前项和为，若，则（

）A．13 B．12 C．11 D．10【答案】C【分析】根据等差数列的基本量的运算即可求解.【详解】由可得，由于，故，解得，故选：C【变式1-3】等差数列的首项为5,公差不等于零.若,则（

）A．-2017 B． C． D．-2014【答案】A【分析】设公差为，根据基本量关系化简可得，进而可得.【详解】设公差为，由可得，即，故.又，，故，则.则.故选：A题型02等差数列的证明【解题思路】一般用定义法判断一个数列是等差数列：若数列满足或为,则数列是等差数列.【例3】已知数列满足，，记.(1)求，；(2)求证：数列是等差数列；(3)求数列的前项和.【答案】(1)，(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据递推关系代入即可求解，（2）根据等差数列的定义求证即可，（3）由等差数列求和公式即可求解.【详解】（1），；（2），所以数列是首项为19，公差为的等差数列；（3）.【例4】已知数列满足.(1)求证：是等差数列.(2)求数列的通项公式.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据等差数列的定义即可求证，（2）根据等差数列的通项即可求解.【详解】（1）为常数，所以为公差为的等差数列，（2）由于为公差为的等差数列，且首项为，所以，所以【变式2-1】已知数列中，，，.(1)求的值；(2)证明：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据题意，令，即可求得的值；（2）根据题意，化简得到，结合等差数列的定义，即可得证；（3）由（2）求得，利用叠加法，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）解：数列中，，，且，令，可得.（2）证明：由，当时，可得，则，又由，，可得，所以是公差为的等差数列，即数列是公差为4等差数列.（3）解：由（2）知，数列是首项为，公差为的等差数列，可得，所以.即数列的通项公式为【变式2-2】已知数列满足，（），令.(1)求的值；(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.【答案】(1)，(2)证明见解析，【分析】（1）采用迭代法，可求，;（2）将转化为，即可证明数列是等差数列，算出数列的通项公式后即可计算数列的通项公式.【详解】（1）因为，且，当时，，当时，.（2）因为，所以，两边同时取倒数有：，令，有，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以.【变式2-3】在数列中4，，．求证：数列{}是等差数列；【答案】证明见解析【分析】根据等差数列的定义，即可证明.【详解】的两边同时除以，得2，∴数列{}是首项为4，公差为2的等差数列题型03等差数列的性质【解题思路】（1）通项公式的推广：在等差数列中，；（2）在等差数列中,若,则.特别的,若,则有【例5】在等差数列中，，则的值为（

）A．20 B．15 C．10 D．5【答案】A【分析】由等差数列的性质计算即可得.【详解】在等差数列中，，则，因此．故选：A．【例6】在等差数列中，是方程的两根，若，则的值为（

）A． B． C．2 D．6【答案】B【分析】根据韦达定理求出，根据等差数列的性质得到方程，求出，从而得到.【详解】因为是方程的两根，所以.在等差数列中，，又，所以，所以，所以，所以.故选：B.【变式3-1】已知数列、是等差数列，其中且，那么．【答案】【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】由数列、是等差数列可得：，.因为，，所以，，所以.故答案为：【变式3-2】在等差数列中，若，则.【答案】【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】由可得，故，，故答案为：【变式3-3】已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合等差数列的前项和，根据等差数列的性质判断．【详解】是等差数列，∴，又，所以，公差，因此中，当时递减，是最小值，从开始，递增，又，，所以使得的最大的为11，故选：C．题型04等差数列前n项和的性质【解题思路】（1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列.（2）数列是等差数列(为常数)（3）等差数列奇偶项和的性质：①若项数为,则②【例7】已知等差数列与等差数列的前项和分别为与,且,则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由等差数列性质可得，由等差数列前项和公式可得、，即可令，代入计算即可得.【详解】因为数列、都是等差数列,所以,又，，故，，即有,在中，令，得，故.故选：D.【例8】（多选）已知各项都是实数的数列的前项和为，则下列说法正确的是（）A．若，则数列是递减数列B．若，则数列无最大值C．若数列为等比数列，则为等比数列D．若数列为等差数列，则为等差数列【答案】AD【分析】利用与的关系可判定A，利用数列的函数特性可判定B，利用等差数列、等比数列前项和的片段和性质可判定C、D.【详解】因为，所以，作差得，又，所以，所以，即从第二项以后成等差数列，公差为，而，所以A正确；易知，显然单调递减，故最大值为，故B错误；若，则，此时C项错误；设的公差为，则，，作差可得是常数，又，所以D正确.故选：AD【变式4-1】设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则．【答案】【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】，由于，故答案为：【变式4-2】已知等差数列的前项和为，若，则.【答案】46【分析】由等差数列性质构造等差数列，则由新数列的前两项依次求解可得.【详解】由等差数列的性质可知成等差数列，即1，8，成等差数列，且公差为，所以，得.故答案为：.【变式4-3】（多选）公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（

）A． B．C．中最大 D．【答案】ABD【分析】由等差数列通项的性质和前n项和公式，对选项中的结论进行判断.【详解】等差数列中，，，即，，∴，，，，所以AB正确，C错误；，由且，有，所以，D选项正确.故选：ABD题型05等差数列的最值问题【解题思路】求等差数列的前项和的最值通常有两种思路：（1）将配方，转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来解决;(2)邻项变号法：当时,满足的项数使取最大值.当时,满足的项数使取最小值.【例9】（多选）已知数列的前项和为，若，则（

）A．4是数列中的项 B．当最大时，的值只能取5C．数列是等差数列 D．当时，的最大值为11【答案】ACD【分析】根据题意可知数列是首项为20，公差为的等差数列，可得，即可知A正确；易知，利用二次函数性质可得当最大时，的值为5或6，故B错误；由等差数列前项和公式可得，即，所以C正确；解不等式可得，所以可知D正确.【详解】由，得，所以数列是首项为20，公差为的等差数列，则，令，得，即，故A正确；易知利用二次函数性质可知当最大时，的值为5或6，故B错误；由，所以，所以数列是等差数列，故C正确；令，则，解得，所以当时，的最大值为11，故D正确．故选：ACD．【例10】（多选）已知公差不为的等差数列的前项和为，，，则的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】设等差数列的公差为，分析可知，求出的取值范围，即可求出的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】设等差数列的公差为，则，其前项和为，，，则当时，，当时，，只需，可得，所以，，则，所以，，故选：BC.【变式5-1】（多选）已知等差数列的前项和为，公差为，且，若，则下列命题正确的是（

）A．数列是递增数列 B．是数列中的最小项C．和是中的最小项 D．满足的的最大值为25【答案】AC【分析】对于A：通过以及来判断；对于B：根据数列的单调性来判断；对于C：通过以及来判断；对于D：通过计算来判断.【详解】对于A：因为，所以，即，因为，所以，数列是递增数列，A正确；对于B：因为数列是递增数列，所以最小项是首项，B错误；对于C：因为，，所以当或时，取最小值，C正确；对于D：由不等式，可得，又因为，所以满足的的最大值为24，D错误．故选：AC．【变式5-2】已知公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列，则当时，取最大值，的最大值为．【答案】5或630【分析】设数列的公差为，结合等比数列的定义列出方程，求出，再由的性质即可得到结果.【详解】设数列的公差为，因为，，成等比数列，所以即，又，所以，，因为，图象开口向下，对称轴为所以当或时，取最大值，的最大值为30.故答案为：5或6；30.【变式5-3】等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为．【答案】【分析】首先写成等差数列前项和的函数解析式，再利用二次函数的对称轴的范围，即可求解.【详解】为等差数列，且，则前项和，是关于的二次函数，且，因为仅当时，最大，所以对称轴在区间，即，解得：，则公差的取值范围是.故答案为：题型06等比数列基本量的计算【解题思路】（1）在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量；（2）在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.【例11】（多选）已知等比数列{an}满足，，设其公比为q，前n项和为，则（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由已知条件可求出，，进而可得通项公式和前n项和，进而可判断A，B，C，再由作差法判断D.【详解】对于A，由，得，所以，A正确；对于B，又因为，所以，故，所以，B正确；对于C，，所以，C错误；对于D，因为，因为且，所以，即，D正确.故选：ABD【例12】在等比数列中，满足的通项公式可能是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据为等比数列，列出首项和公比的方程，求出首项和公比，进而根据等比数列的通项公式的求法，求出通项公式.【详解】因为为等比数列，，所以，解得，即或，所以通项公式为或.故选：AB.【变式6-1】已知等比数列，记其前项乘积.若，，则的前5项和为.【答案】11【分析】根据等比数列定义解方程组即可求得，再由前项和公式即可求出结果.【详解】由题意可知，设等比数列的公比为，则由可得，又；两式相比可得，即，将代入，可得，解得，则，所以等比数列的前5项和为.故答案为：11【变式6-2】已知等比数列的各项均为正数，其前n项和为，若，则.【答案】【分析】设出公比，由题意可得与公比及首项有关方程组，解出方程组即可得公比及首项，结合等比数列前n项和公式计算即可得.【详解】由题知等比数列的各项均为正数，即，设其公比为，则，因为，，所以，即，，即，即，即，即，故或（舍去），则，所以.故答案为：.【变式6-3】等比数列的各项均为正数，其前项和为，已知，则.【答案】16【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出首项、公比可得答案.【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，可得，解得，（舍去），，所以.故答案为：.题型07等比数列的证明【解题思路】一般用定义法判断一个数列是等比数列：若数列满足(为常数且不为零)或为常数且不为零),则数列是等比数列.【例13】已知在数列中，，判断数列是否为等比数列，并求其通项公式.【答案】不是等比数列，【分析】将代入，可构造等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解即可.【详解】因为，所以，即．又，故，所以是首项为，公比为的等比数列．所以．又，明显，故数列不是等比数列，且.【例14】数列的前n项和为，，且成等差数列．(1)求的值；(2)证明为等比数列，并求数列的通项公式．【答案】(1);(2)证明见解析，【分析】（1）根据和成等差数列，求出的值；（2）根据，推出是等比数列，进而求出通项公式.【详解】（1）由，令，得①又成等差数列，则②则由①②解得；（2）证明：由当时，，得到，则，由（1）知，则，则所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，则．【变式7-1】已知数列满足.(1)证明是等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）利用等比数列的定义，结合递推公式，即可证明；根据等比数列的基本量，即可求解数列的通项公式；（2）根据数列的通项公式，利用等比数列和等差数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）由，得，即，且，所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，可知，，即，（2），，，，【变式7-2】已知为数列的前项和，且．(1)求证数列是等比数列；(2)求数列的前项和．【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）首先运用与的关系可得出与之间的关系，然后构造数列可得与之比为定值即可得出所证的结果；（2）由分组求和法并结合等比数列的前n项和公式求出结果．【详解】（1）当时，，得，当时，，得，可得，又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可得，即，.【变式7-3】已知数列满足，

(1)求(2)若，求证数列是等比数列并求数列的通项公式(3)求数列的通项公式【答案】(1)(2)证明见解析，(3)【分析】（1）根据递推公式代入求解；（2）根据递推关系构造等比数列，利用等比数列的通项公式求解即可.（3）求出，再利用二者关系求出.【详解】（1）取，则.（2）∵，又∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴数列是以公比为2的等比数列，∴（3）∴∴题型08等比数列的性质【解题思路】（1）通项公式的推广：在等比数列中，；（2）在等比数列中,若,则.特别的,若,则有【例15】在等比数列中，是方程的两根，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合等比数列的性质求解.【详解】因为是等比数列，且，是方程的两根，所以：，且，.根据等比数列的性质，得：，且，所以∴.故选：A【例16】设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C．的最大值为 D．【答案】ABD【分析】由题意可得出，，，数列为递增数列，有结合，进行判断即可得.【详解】对A选项：，又，故，即，故A正确；对B选项：，由，，故，故B正确；对C选项：由，，故数列为递增数列，又，故，，即，，即，故C错误；对D选项：，故D正确.故选：ABD.【变式8-1】若等比数列满足，则等于（

）A．6 B．±6 C．5 D．±5【答案】B【分析】由等比数列性质得，由此能求出的值.【详解】解：∵等比数列满足，∴，∴.故选：B.【变式8-2】已知等比数列的首项为2，前项满足，，则正整数m＝.【答案】4【分析】利用等比数列的性质先求出公比，再由等比数列前项和列出，即可得到答案【详解】解：因为等比数列的前项满足，，所以，所以公比，所以，解得，故答案为：4【变式8-3】已知公比为的等比数列中，，则该数列前项的和．【答案】【分析】设等比数列的首项为，公比，则，，，，，，仍为等比数列，其首项为，公比为，故，由此可解得结果.【详解】设等比数列的首项为，公比，前项和为．由题知，，，，，，仍为等比数列，其首项为，公比为，故其前项的和为，解得．故答案为：.题型09等比数列前n项和的性质【解题思路】（1）等比数列的前项和,满足成等比数列(其中均不为,这一性质可直接应用.（2）等比数列的项数是偶数时,；等比数列的项数是奇数时,.【例17】已知为等比数列的前项和，，，则（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】根据等比数列前n项和的性质，结合等比中项的应用计算即可求解.【详解】由题意知，为等比数列的前n项和，则成等比数列，由等比中项，得，即，解得或（舍去）.故选：C【例18】已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可．【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为，得到奇数项为，偶数项为，整体代入得，所以前项的和为，解得.故选：B【变式9-1】已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为.【答案】【分析】由等比数列的性质可得：，，成等比数列，可得：进而根据二次函数的性质即可求解.【详解】由等比数列的性质可得：，，成等比数列，则，由于，所以，当且仅当时取最小值，故最小值为故答案为：．【变式9-2】（多选）已知各项都是实数的数列的前项和为，则下列说法正确的是（

）A．若，则数列是递减数列B．若，则数列无最大值C．若数列为等比数列，则为等比数列D．若数列为等差数列，则为等差数列【答案】ACD【分析】根据数列通项与前项和的关系，即可求解，根据单调性即可判断A；根据已知得数列的通项，结合函数单调性得数列单调性即可得最值，从而判断B；根据等比数列前项和的性质即可判断C；根据等差数列前项和的性质即可判断D.【详解】对于选项，当时，，又，所以，则是递减数列，故A正确；对于选项是递减数列，所以，故B错误；对于选项，由题意得各项均不为0，设公比为，即，且0，即，所以，故C正确；对于选项D，若数列为等差数列，则，所以即数列为等差数列，故D正确.故选：ACD.【变式9-3】已知等比数列中，，，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，则，即，因为，所以，则，即，解得，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.题型10由Sn求等差比数列的通项公式【解题思路】利用：形如或或【例19】（多选）已知等比数列的前n项和为，公比为q，且满足，，则（

）A． B．C． D．若，则当最小时，【答案】ABD【分析】由，构造，两式相减得到递推关系，结合数列是等比数列，可得公比，再利用已知数据，得到，由，令，可解出，故可判断ABC；而D项，求解正项递增等比数列前项之积的最小值时的，即比较数列各项与1的大小，求出即得.【详解】因为，所以，两式相减得，因为为等比数列，所以公比，由，得，则，由，令，则，解得，故A，B项正确，C项错误；选项D，，则，且，则恒成立，则数列是以为首项，3为公比的等比数列，且为递增数列，令，得，由，，可得，即，故当最小时，，故D项正确．故选：ABD．【例20】已知数列的前n项和为，且(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和【答案】(1)(2)【分析】（1）根据求解即可；（2）先判断数列各项的符号，再根据其符号分类讨论求解即可.【详解】（1）由，当时，，当时，，满足上式，综上，；（2）令，得，解得，令，得，解得，则当时，，当时，，综上所述，.【变式10-1】已知数列的前n项和为，前n项积为，若，当取最小值时，.【答案】1【分析】根据条件，先利用数列的前n项和与的关系求得和，再根据，时，前n项积取得最小值（），得到，即可求解.【详解】由得：，两式相减整理得，又当时，，解得：，故是首项为，公比为的等比数列，，，可知，则，即当，时，取得最小值，，因为时，；时，，时，取最小值时，此时.故答案为：1.【变式10-2】已知等差数列，，其中，，仍成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）设出公差，结合等差数列性质计算即可得；（2）由与的关系，构造出计算即可得.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，是与的等差中项，得，解得，，故；（2）由，故，当时，，则，当时，，不符合上式，故.【变式10-3】已知数列的前项和为，且满足，.(1)求证：是等差数列；(2)求数列的通项公式.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）用和表示即可求解；（2）由（1）给出的表达式，再用和表示即可求解.【详解】（1）证明

当时，由得，所以，又，所以是首项为2，公差为2的等差数列.（2）由（1）可得，所以.当时，；当时，，不符合故题型11等差比数列与数学文化【例21】朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升.”在该问题中前7天共分发多少升大米？（

）A．1170 B．1440 C．1785 D．1772【答案】C【分析】建立等差数列模型，根据等差数列求和公式可求得结果.【详解】由题意得，每天分发的大米升数构成等差数列，设公差为，则，记第一天共分发大米为(升)，则前7天共分发大米（升）.故选：C.【例22】古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（

）A．兔尘 B．羊尘 C．兔尘 D．羊尘【答案】A【分析】设1微尘为，求出1兔尘为，1羊尘为，1指节为，从而可得答案.【详解】设1微尘为，因为微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度，构成了公比为7的等比数列，所以1窗尘为，1兔尘为，1羊尘为，1牛尘为，1虮为，1虱为，1芥子，1大麦，1指节为，因为，所以1指节是兔尘，A正确，C不正确；因为，所以1指节是羊尘，BD不正确；故选：A.【变式11-1】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如图的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线.记为第个图形的面积，如果这个作图过程可以一直继续下去，则将趋近于多少（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通过分析后，找到规律，计算出即可得.【详解】由题意知，初始三角形的面积，第一次操作后，增加了3个边长为的等边三角形，此时面积：，第二次操作后，增加了个边长为的等边三角形，此时面积，第次操作后，增加了个边长为的等边三角形，此时面积当时，，.故选：A.【变式11-2】十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.设第次操作去掉的区间长度为，数列满足：，则数列中的取值最大的项为（

）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项【答案】C【分析】由已知可得，则，然后由，得，而为正整数，从而可求得答案.【详解】由题可知，由此可知，所以，因为，令，解得（舍），由此可知时时，故的取值最大，故选：C.【变式11-3】如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列，则，．【答案】15【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数与层数的关系，得到即可得解．【详解】由题意可知，，∴，∴，，∴．故答案为：15，．题型12等差数列与等比数列的综合应用【例23】已知等差数列的前项和为，，等比数列满足是和的等差中项，且(1)求数列的通项公式及前项和；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用等差数列的求和公式及通项公式即可得解；（2）由等差中项结合已知条件即可求得及公比，再利用等比数列求和公式即可得解.【详解】（1），即，又，，所以等差数列的公差，等差数列的首项，，.（2）是和的等差中项，，即，又，，，所以等比数列的公比，.【例24】已知等比数列的公比是的等差中项．等差数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根据给定条件，结合等比数列通项列出方程组求出，进而求出通项作答.（2）利用（1）的结论，确定新数列前50项中，数列所占项数，再借助等比数列、等差数列前n项和公式计算作答.【详解】（1）依题意，，，而，解得，则，等差数列中，由，得，又，则公差，因此，所以数列的通项公式是，.（2）由（1）知，数列与数列都是递增数列，，因此新数列前50项中，有5项是数列的前5项，另45项为数列的前45项，而，，所以新数列的前50项和为.【变式12-1】已知数列是递增的等差数列，数列是等比数列，且，、、成等比数列，，，(1)求数列和的通项公式(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）先由已知求和，然后根据等差数列和等比数列的通项公式求解即可；（2）利用对数的运算先裂项，然后分组求和.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为、、成等比数列，所以，解得或，因为是递增数列，所以，所以，设等比数列的公比为，因为，所以，即，所以；（2）由（1）知，所以，又，所以，

，所以.【变式12-2】给出以下条件：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，__________．(1)求的通项公式；(2)令是以1为首项，2为公比的等比数列，求数列的前n项和．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由条件结合等差数列的通项公式以及求和公式，得到关于公差的方程，从而得到的通项公式；（2）根据题意，结合错位相减法即可得到结果.【详解】（1）选①，设递增等差数列的公差为，由，，，有，化简得，则，，所以的通项公式为．选②，设递增等差数列的公差为，由，，，有，化简得，即，解得，则，所以的通项公式为．选③，设递增等差数列的公差为，由是与的等差中项，得，即，则有，化简得，即，解得，则，所以的通项公式为．（2）由是以1为首项，2为公比的等比数列，得，由（1）知，即有，则，于是，两式相减得：，因此．【变式12-3】已知是公比为的等比数列，前项和为，且，，，.(1)求的通项公式；(2)若对任意的，是和的等差中项，求数列的前项和.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据等比数列的通项公式与求和公式求出首项与公比，即可求的通项公式；(2)由对数的运算可得数列是等差数列，根据等差数列的求和公式即可求解.【详解】解：(1)由已知，得或（舍去），又，由，解得，所以；(2)由题意得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，则.课后作业一、单选题1．已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差等比数列的性质即可求解.【详解】解：数列是等差数列，，可得，即，数列是等比数列，，可得，可得，则.故选：B.2．已知数列是公比为的正项等比数列，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等比中项的概念（或等比数列的性质）先求出，再根据等比数列的第二通项公式求出，最后根据对数的定义求值.【详解】因为，且，所以，所以，所以，故选：B3．已知正项等比数列的前n项和为．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式计算即可.【详解】设正项等比数列的公比为q（）．∵，∴．∵，∴，故，解得（舍负值），∴，∴，∴．故选：A．4．等差数列的前n项和为，公差为d，，则下列结论错误的是（

）A．若，则 B．若，则C． D．【答案】B【分析】利用等差数列前n项和公式，结合已知并讨论、研究数列的性质，进而判断各项的正误.【详解】由题设，则，所以，若，则，故，，，A对；若，则，故，，，B错；综上，，C对；，当，，此时，当，，此时，所以，D对.故选：B5．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项不正确的是（

）A．为递减数列 B．C．是数列中的最大项 D．【答案】B【分析】根据已知条件求得的范围，再根据等比数列的性质，对选项逐一判断即可.【详解】因为数列为等比数列，且，，所以，即数列为正项等比数列，当时，则，不满足，舍去，所以，即数列为单调递减数列，A说法正确；由可得，，所以，即，B说法错误；因为数列单调递减，且，，所以是数列中的最大项，C说法正确；由等比中项可知，D说法正确；故选：B6．设等比数列的前项和为，，若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据作差求出，即可得到，再分为奇数、偶数两种情况讨论，分别求出的取值范围，即可求出、的取值范围，即可得解.【详解】因为，所以当时，当时，所以，即，因为为等比数列，所以，所以，则，当为奇数时，则，当为偶数时，则，所以，因为不等式对任意的恒成立，所以，，所以，则，即的最小值为.故选：B二、多选题7．已知数列其前项和为，则下列选项正确的是（

）A．若数列为等差数列，则数列为等差数列B．若数列为等差数列，且，则C．若数列为等差数列，，的最大值在或7时取得D．若数列为等差数列，则也为等差数列【答案】ABC【分析】利用等差数列定义判断A，利用等差数列性质求得判断B，由已知结合等差数列性质求得与的关系，利用二次函数性质即可判断C，利用等差数列定义判断D.【详解】对于选项A，若数列为等差数列，则其首项为，设其公差为，所以，所以，则当时，，化简可得，当时，同样成立，故，所以为常数，所以数列为等差数列，故选项A正确；对于选项B，因为数列为等差数列，且，所以，即，故选项B正确；对于选项C，因为数列为等差数列，且，所以，即，因为，所以，即，因为，所以，且，所以，根据二次函数性质可得，当或7时，取得最大