第三讲 直线与圆（解析版）

第三讲直线与圆【知识梳理】一、直线1．直线的倾斜角（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为．（2）范围：直线l倾斜角的范围是2．斜率公式（1）若直线l的倾斜角90°，则斜率．（2）在直线l上，且，则直线l的斜率．3.直线的方程方程适用范围点斜式：不包含直线斜截式：不包含垂直于x轴的直线两点式：不包含直线（当时）和直线（当时）截距式：不包含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式：不全为平面直角坐标系内的直线都适用二、两条直线的位置关系位置关系与与相交垂直平行且或重合且注意：（1）当两条直线平行时，容易遗漏斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，容易遗漏一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．三、距离及对称问题1.距离问题条件距离公式点之间的距离点到直线的距离两条平行线与的距离2.对称问题（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为；（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则．四、圆1.圆的方程圆的标准方程圆的一般方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径方程圆心半径注：当时，方程表示一个点；当时，方程没有意义，不表示任何图形．2.直线与圆的位置关系的判断方法判断方法几何法由圆心到直线的距离与半径长的大小关系来判断代数法联立直线与圆的方程，消元后得到关于（或）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断相离相切相交五、圆与圆位置关系1.位置关系的两种判断方法（1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长的关系来判断（如下图，其中）．图示d与的关系位置关系外离外切相交内切内含（2）代数法：设圆①，圆②，联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．2.两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆①，圆②，若两圆相交，则有一条公共弦，由，得③．方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程．题型01倾斜角与斜率【解题思路】（1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：；（2）解决斜率问题的方法①由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式解决．②由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式求解．【例1】已知直线l的方程为，则该直线倾斜角的正切值为．【答案】2【分析】根据直线方程求出斜率，即为倾斜角的正切值.【详解】根据直线的一般式方程可知直线斜率为2，所以直线倾斜角的正切值为2.故答案为：2.【例2】设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可.【详解】当时，方程变为，其倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，且，，即，又，，综上所述，倾斜角的范围是.故选：C.【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中有三条直线，其对应的斜率分别为，则下面选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据三条直线的倾斜角，直接判断斜率的大小关系【详解】由题图可知，，，，且，所以，，，故选：A.【变式1-2】已知，若直线l：经过点，则直线l的倾斜角为.【答案】【分析】根据题意，将点代入直线方程，即可得到结果.【详解】将代入，可得，解得，所以直线方程为，设直线l的倾斜角为，则，且，则.故答案为：【变式1-3】经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是．【答案】【分析】作出图象，根据与线段相交，设直线的斜率为，由求解.【详解】解：，，如图所示：∵与线段相交，由题意设直线的斜率为，∴，∴，∴或．由于在及上均单调递增，∴直线的倾斜角的范围为．故答案为：.题型02求直线的方程【解题思路】一般情况下，①已知点和斜率，选择点斜式方程；②已知两点坐标，选择两点式方程；③已知斜率和轴截距，选择斜截式方程；④已知两轴截距，选择截距式方程【例3】过点且与直线平行的直线的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解.【详解】设与直线平行的直线的方程为，将点代入得，解得，所以所求直线的方程为.故选：A.【例4】（多选）直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】分截距为零与不为零讨论，不为零时设出截距式，利用点在直线上求出直线方程，逐一判断即可.【详解】当直线l的截距为0时，直线l的方程为，即．故A正确；当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为，则解得或若则直线l的方程为，即；故C正确；若则直线l的方程为，即．故D正确；故选：ACD.【变式2-1】已知的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为.【答案】【分析】根据与直线垂直可求得斜率，又过点，根据直线的点斜式方程即可求解.【详解】因为，，所以,则边上的高所在直线的斜率为，又该直线过点，所以所求直线方程为，即，故答案为：.【变式2-2】回答下面两题(1)求过，两点的一般式方程；(2)求过点且与直线：平行的直线.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据两点求直线的斜率，再将点斜式直线方程化简为一般方程；（2）设与直线平行的直线方程，再代入点的坐标，即可求解.【详解】（1）由题意可知，,则直线的方程为，化简为一般式直线方程为；（2）设与直线平行的直线方程为，代入点，得，得，所以直线方程为.【变式2-3】已知直线的方程为，若在x轴上的截距为，且．(1)求直线与的交点坐标；(2)已知直线经过与的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据条件求出的方程，与联立解方程组；（2）讨论过原点与不过原点，设直线方程将点代入求解.【详解】（1）因为，直线的方程为，设的方程为，因为在x轴上的截距为，所以，，即：．联立得所以直线与的交点坐标为．（2）因为在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，故当过原点时，的方程为．当不过原点时，设的方程为，又直线经过与的交点，所以，得，所以的方程为．综上，的方程为或．题型03两直线的位置关系【解题思路】1.已知直线与直线,则①,且；②.2.已知直线,直线,则①且(或)；②.【例5】记平面直角坐标系内的直线、与x轴正半轴方向所成的角的正切值分别为、，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【答案】A【分析】根据直线的位置关系结合充分、必要条件分析判断.【详解】由题意可知：已经存在，若∥，则，即充分性成立；若，则可能重合，即必要性均不成立；综上所述：“”是“”的充分不必要条件.故选：A．【例6】已知直线：与直线，且，则的最小值为（

）A．12 B． C．15 D．【答案】B【分析】根据直线的垂直关系推出，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意知直线：与直线，，则，即，故，当且仅当，结合，即时等号成立。故的最小值为，故选：B【变式3-1】已知倾斜角为的直线与直线垂直，则＝（）A． B．－C． D．－【答案】C【分析】根据直线的垂直关系，可求得垂直直线的斜率；由斜率与倾斜角关系，结合同角三角函数关系式中齐次式化简方法可求得式子的值．【详解】直线的斜率为，因此与此直线垂直的直线的斜率，，∴，把代入得，原式.故选：C．【变式3-2】若直线与直线垂直，则的值为．【答案】【分析】由两直线垂直的条件求解.【详解】结合题意：由两直线垂直可得：解得：.故答案为：.【变式3-3】已知都是正数，且直线与直线平行，则的最小值为．【答案】【分析】根据两直线平行的条件可得，然后利用基本不等式可求得结果.【详解】因为直线与直线平行，所以，即，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8．故答案为：8题型04距离公式的应用【例7】已知函数且过定点，直线过定点，则【答案】5【分析】由指数函数的性质，直线过定点和两点间距离公式解出即可.【详解】，；由得：，直线恒过定点；.故答案为：.【例8】已知点，且，.(1)求直线CD的方程；(2)求点C的坐标，并求四边形ABCD的面积.【答案】(1)(2)，四边形ABCD的面积为【分析】（1）根据求得直线的方程.（2）设出点坐标，根据已知条件求得点坐标，结合点到直线的距离公式求得四边形的面积.【详解】（1）直线的斜率为，由于，所以直线的斜率为，所以直线的方程为.（2）设，则①，由于，所以直线的斜率为②，由①②解得，所以.，直线的方程为，到直线的距离为，所以三角形的面积为.，到直线的距离为，所以三角形的面积为，所以四边形的面积为.【变式4-1】设，过定点A的直线和过定点B的直线交于点P，则的最大值为．【答案】【分析】结合题意，先算出定点的坐标，然后根据斜率关系找到两直线垂直，得到，最后利用三角恒等变换算出的最大值即可.【详解】因为直线可化为，所以该直线过定点，因为直线可化为，所以该直线过定点，又因为对任意，，所以直线与直线垂直，又因为直线与直线相交于点,所以.记,则，所以其中，当且仅当时，有最大值为.故答案为：.【变式4-2】已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点.(1)求直线的方程；(2)直线恒过定点，求点到直线的距离.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程；（2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案.【详解】（1）由，，则，，∴直线的斜率，且直线过点，∴由直线的点斜式方程得，即，∴所求直线的方程为；（2）∵直线化简得：，∴定点，则点到直线的距离为：，故到直线的距离为.【变式4-3】已知直线经过点，且与直线垂直．(1)求直线的方程；(2)若直线与直线平行，且点到直线的距离为，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由垂直关系得出斜率，进而由点斜式写出方程；（2）设直线的方程为，根据距离公式得出直线的方程．【详解】（1）直线的斜率为，由题意直线经过点，斜率为，则即.（2）设直线的方程为，且.点到直线的距离为，则，解得或.即直线的方程为或.题型05对称问题【解题思路】若点关于直线l的对称点为，则．【例9】已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根据题意，作出点(或点)关于直线的对称点（），作直线（）与直线相交，则交点则就是使取最大值的点,求出点（点）坐标，即得最大距离即（）.【详解】如图，作出点关于直线的对称点，连接延长交直线于点,此时点使取得最大值.(原因如下：根据点关于直线的对称图形特征，知,此时,在直线上另取点,连接,则,)不妨设点，则有：解得：即,故故选：C.【例10】已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为．【答案】【分析】利用斜率之积为，中点坐标公式和点斜式共同求出直线方程.【详解】设直线l的的斜率为k，则，直线的中点坐标为，所以由点斜式写出直线方程为，即.故答案为：.【变式5-1】已知直线，点.(1)已知直线与平行，求的值；(2)求点关于直线的对称点的坐标.【答案】(1)3(2)【分析】（1）根据两直线平行的斜率关系列式运算得解；（2）设出对称点的坐标，利用中点在直线上，以及直线垂直，列出方程，即可求得结果.【详解】（1）由直线平行直线，可得，解得或，当时，直线符合题意，当时，直线与直线重合，不合题意，所以的值为3.（2）设对称点的坐标为，则中点的坐标为，所以可得，解得，所以的坐标为.【变式5-2】已知直线，，一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，回到，则该光线经过的路程长度为.【答案】【分析】分别求出关于对称的点，关于对称的点，求出即可求解.【详解】如图，设关于对称的点为，由得即.设关于对称的点为，由得即.易得该光线经过的路程长度为.故答案为：.【变式5-3】已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为.【答案】【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可.【详解】设点关于直线的对称点为，则有，点关于轴的对称点为，如图所示：当四点共线时，的周长的最小，最小值为.故答案为：题型06求圆的方程【解题思路】确定圆的方程的方法（1）几何法：利用圆的几何性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程．（2）待定系数法：假设圆的标准方程或者一般方程，由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的方程中三个参数即可【例11】圆的圆心在直线上，且和轴相切于点，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用几何法即可求得圆的标准方程.【详解】因为圆心在直线上，故设圆心，又因为圆和轴相切于点，所以，即，则半径，故圆的标准方程为.故选：B.【例12】已知△ABC的三个顶点为．(1)求AC边上的高BD所在直线的方程；(2)求△ABC的外接圆的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据A、C两点的坐标求出直线AC的斜率；再利用垂直关系求出高线BD的斜率；最后利用点斜式写出直线BD的方程；（2）设△ABC的外接圆方程为，把A、B、C三点的坐标代入方程求出D、E、F即可．【详解】（1）因为△ABC的三个顶点为，所以直线AC的斜率为，所以AC边上的高BD所在直线的斜率为，所以直线BD的方程为，化为一般式方程为.（2）设△ABC的外接圆方程为，把A、B、C三点的坐标代入方程，得，即，解得：；所以所求圆的方程为．【变式6-1】以点为圆心，且与圆相切的圆的方程是．【答案】或【分析】利用圆心距等于半径和与差，求出所求圆的半径，进而得到所求圆的标准方程．【详解】解：由圆，可得圆心坐标为，半径为，设所求圆的半径为，可得或，解得或，所求圆的方程为或.故答案为：或.【变式6-2】求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形：(1)圆心为，且与直线相切；(2)圆心在直线上，半径为2，且与直线相切；【答案】(1)，图像见解析(2)或，图像见解析【分析】（1）已知圆心及切线，求出圆的半径，写出圆的方程；（2）设圆心，根据半径与切线，求得值，写出圆方程.【详解】（1）因为圆M与直线相切，所以圆心到直线的距离即为圆的半径，即，所以圆心为，且与直线相切的圆的方程是.

（2）因为圆心在直线上，所以可设圆心坐标为.因为圆的半径为2，且与直线相切，所以，解得或，所以圆心坐标为或.所以圆的方程为或.

【变式6-3】若过点的圆与两坐标轴都相切，则该圆的半径为．【答案】或【分析】由题意设圆的方程为，再把点代入求得的值可得答案【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为，，则圆的方程为，再将点代入，得.故答案为：.题型07点、直线与圆的位置关系【解题思路】1.判断点与圆的位置关系的方法：（1）计算该点与圆的圆心距离，与半径做比较即可；（2）把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并做出判断．2.判断直线与圆位置关系的两种方法：（1）几何法：由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断．（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．【例13】已知直线，圆，则直线与圆的位置关系为（

）A．无法确定 B．相离 C．相切 D．相交【答案】D【分析】易知直线过定点且该点在圆内，即可知直线与圆的位置关系为相交.【详解】将直线整理变形可得，令，解得，即直线恒过定点，显然，即定点在圆内，可知直线与圆一定相交.故选：D【例14】若直线与圆相切，则的值是（

）A． B． C．0 D．或0【答案】C【分析】根据题意，结合圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，即可求解.【详解】因为直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，即，解得.故选：C.【变式7-1】已知点，，直线l过点且与线段AB相交，则直线l与圆的位置关系是（

）A．相交 B．相离C．相切或相离 D．相交或相切【答案】C【分析】求得直线，的斜率，进而可求直线的方程，结合图形，依据直线BC与圆的位置关系即可得出结论.【详解】因为直线的斜率为，，且直线l经过点且与线段AB相交，所以直线l的斜率k的范围为，由圆，可得圆心，直线BC的方程为即.圆心E到直线BC的距离为.故直线l与圆相切或相离.故选：C

【变式7-2】曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】画出图象，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解.【详解】根据题意画出图形，如图所示:

由题意可得，曲线的图象为以为圆心，2为半径的半圆，直线恒过，由图当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，解得；当直线过点时，直线的斜率，则直线与半圆有两个不同的交点时，实数的取值范围为.故选:C.【变式7-3】已知点在圆的外部，则的取值范围是．【答案】【分析】根据点在圆外列不等式，由此求得的取值范围.【详解】方程表示圆，则，由于点在圆的外部，所以，综上所述，的取值范围是.故答案为：题型08距离的最值问题【例15】已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（

）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心，则，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.【例16】已知，，则的最小值为.【答案】/【分析】利用直线与圆的位置关系及两点距离公式计算即可.【详解】易知为圆上一点与直线上一点的距离的平方，易知圆心，半径，点C到直线的距离，则，所以.故答案为：【变式8-1】已知直线交圆于两点，则的最小值为（

）A．9 B．16 C．27 D．30【答案】D【分析】根据题中条件，先求得弦的中点的轨迹方程，则的几何意义为两点到直线的距离之和，即点到直线距离的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可.【详解】由题设直线与轴的交点为，设弦的中点为，连接，则，即，所以，即，所以点的轨迹方程为，即的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，设直线为，则到的最小距离为，过分别作直线的垂线，垂足分别为，则四边形是直角梯形，且是的中点，则是直角梯形的中位线，所以，即，即，所以的最小值为30.故选：D.【变式8-2】（多选）已知圆心为的圆与点，则（

）A．圆的半径为2B．点在圆外C．点与圆上任一点距离的最大值为D．点与圆上任一点距离的最小值为【答案】BCD【分析】把圆C的方程化为标准形式，写出圆心和半径，再逐一分析各选项并判断作答.【详解】依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确；因点，则，点在圆外，B正确；因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确；在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确.故选：BCD【变式8-3】设为圆上的两动点，且，为直线上一动点，则的最小值为.【答案】5【分析】取中点，求出点轨迹方程，，转化求点到直线上点的距离的最小值，由此计算可得.【详解】设是中点，因为，所以，即在以原点为圆心，为半径的圆上，所以，所以，又，所以，所以.故答案为：5题型09弦长问题【解题思路】由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用求解【例17】已知直线和圆相交于两点；弦长，则．【答案】1【分析】利用垂径定理求解即可.【详解】圆的圆心为，半径为则由题意可得，则.故答案为：.【例18】已知直线与圆相交于A,B两点，则的周长为（

）A．26 B．18 C．14 D．13【答案】B【分析】先得到圆心和半径，进而求得弦长即可.【详解】由，得，所以圆心为,半径，圆心C到直线l的距离，所以，所以的周长为．故选：B．【变式9-1】直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出的取值范围.【详解】由题易知直线恒过，圆化为标准方程得，即圆心为，半径，圆心到距离，所以在圆内，则直线与圆交点弦最大值为直径即8，最小时即为圆心到直线距离最大，即时，此时，所以的取值范围为.故选：D【变式9-2】已知圆C的圆心在直线上，并且与x轴的交点分别为，．(1)求圆C的方程；(2)若直线l过原点且垂直直线，直线l交圆C于M，N，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）圆心在线段的中垂线上，又圆心在直线上，两方程联立可求出圆心坐标，进而得出半径，从而求出圆的方程；（2）根据条件得直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，由弦长公式求出，则三角形面积可求.【详解】（1）设圆C的标准方程为，∵线段的中垂线方程：，又圆心在直线上，则，∴，即,∴，∴圆C的方程为；（2）由条件得直线l：，圆心C到直线l的距离，，∴．【变式9-3】已知直线过点，圆.(1)证明：直线与圆相交；(2)求直线被圆截得的弦长的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由在圆的内部，可得直线与圆相交.（2）根据当直线与垂直时，弦长最短，求得答案.【详解】（1）把代入圆的方程左边得，在圆的内部，所以直线与圆相交.（2）已知圆心，，设直线与圆相交于点，当直线与垂直时，弦长最短，此时圆心到直线的距离，，.所以直线被圆截得的弦长的最小值为.题型10切线问题【解题思路】（1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或.（2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出．注意：过圆外一点的切线必有两条，当求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．【例19】过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为.若，则点的坐标为（

）A．B．或C．D．或【答案】B【分析】根据点在直线设为，结合题中条件可求得，利用两点间的距离公式建立方程，求解即可.【详解】因为点在直线上，可设，又是圆的两条切线，且，所以,,,所以,即，化为，解得或，所以点坐标为，故选：B.【例20】过点作圆的切线，，则切线长为；过切点A，B的直线方程为．【答案】【分析】利用切线长公式求出切线长度；求出以为直径的圆的方程，两圆相减得到AB直线方程【详解】圆，则圆心，半径，在中，，，，．以为直径的圆的方程，即以为圆心，以为半径的圆的方程为：，又圆，两圆方程相减可得．故答案为：；【变式10-1】（多选）已知是圆：上一点，则下列选项正确的是（

）A．的最大值是B．的最大值是C．过点作圆的切线，则切线方程为D．过点作圆的切线，则切线方程为【答案】AD【分析】确定圆心和半径，表示和所在直线的斜率，计算得到A正确B错误，确定点在圆上，计算斜率得到切线方程，得到答案.【详解】，即，圆心为，，对选项AB：表示和所在直线的斜率，如图所示：当直线与圆相切时斜率最大，此时，故A正确，B错误；对选项CD：点在圆上，则，故切线斜率为，切线方程为，即，C错误D正确；故选：AD.【变式10-2】（多选）已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（

）A．若点，则直线的方程为B．面积的最小值为C．直线过定点D．以线段为直径的圆可能不经过点【答案】BCD【分析】对A：计算出过、、三点的圆的方程，再两圆方程相减即可得到；对B：当最小时，的面积会有最小值；对C：设出点坐标，再计算出直线的方程，求定点即可得到；对D：可寻找特殊点，如A选项中，计算发现不经过点即可得到.【详解】A选项，若，则直线的方程为，，以P为圆心，4为半径的圆的方程为，即，

由，两式相减得，，故A错误；B选项，到直线：的距离为，而，所以的最小值为，所以面积的最小值为，故B正确；C选项，设，，线段的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为，化简得：，由，两式相减得，即，由，解得，所以直线过定点，故C正确；D选项，由A选项，由，解得或,即，，，即此时以线段为直径的圆不经过点，故D正确．故选：BCD.【变式10-3】已知圆C经过点A（1,2）和B（5,-2），且圆C关于直线2x+y＝0对称．(1)求圆C的方程；(2)过点D（-3,1）作直线l与圆C相切，求直线l的方程．【答案】(1)（x﹣1）2+（y+2）2＝16(2)x＝﹣3和7x﹣24y+45＝0【分析】（1）求出线段AB的垂直平分线与直线2x+y＝0的交点即为圆心，半径为|AC|，进而求出圆的方程；（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y＝k（x+3）+1，利用直线与圆相切求出k，当直线l斜率不存在时写出直线的方程，验证是否与圆C相切即可.【详解】（1）已知圆C经过点A（1,2）和B（5,-2），则线段AB的垂直平分线方程为：y＝x-3，即x-y-3＝0，又圆心在直线2x+y＝0上，联立，解得，所以圆心为C（1,-2），半径为R＝|AC|＝4，所以圆C的标准方程（x-1）2+（y+2）2＝16；（2）若直线l的斜率存在，方程可设为y＝k（x+3）+1，即kx-y+3k+1＝0，圆心C（1,-2）到直线l的距离d4，解得k，故所求的一条切线为7x-24y+45＝0，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝-3，与圆C相切，所以直线l的方程为x＝-3和7x-24y+45＝0．题型11圆与圆的位置关系【解题思路】判断圆与圆的位置关系的一般步骤：①将两圆的方程化为标准方程；②分别求出两圆的圆心坐标和半径；③求两圆的圆心距；④比较与的大小；⑤根据大小关系确定圆与圆的位置关系．【例21】已知圆与圆相外切，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．4【答案】A【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由两圆外切可得，要使取得最大值，则，同号，不妨取，，然后利用基本不等式求得的最大值.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，由圆与圆相外切，得，即，∴，要使取得最大值，则，同号，不妨取，，由基本不等式，得，当且仅当时等号成立，∴的最大值为2．故选：A.【例22】若圆与圆有公共点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得到两圆位置关系，从而得到不等式，解出即可.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为.因为两圆有公共点，所以两圆相切或相交，则有，即，解得，又，所以.故选：C.【变式11-1】已知点在圆上运动，若对任意点，在直线上均存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据直线上均存在两点，，使得恒成立，由以线段AB为直径的圆包含圆O求解.【详解】解：圆的圆心为半径为，因为在直线上均存在两点，，使得恒成立，所以以线段AB为直径的圆包含圆O，如图所示：当两圆内切时，线段AB的长度最小，设线段AB的中点为E，则，所以，故选：D【变式11-2】以为圆心，且与圆外切的圆的方程为.【答案】【分析】根据已知条件设出圆的方程，两圆外切有：两圆圆心距为两圆半径之和，列出方程即可解出圆半径进而确定圆的方程.【详解】根据已知有设圆，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，，解得或（舍），所以圆的方程为：.故答案为：【变式11-3】已知，，若与有四条公切线，则的取值范围为.【答案】【分析】根据公切线的条数可得两圆的位置关系，即可根据圆心距与半径的关系求解.【详解】由于与有四条公切线，所以两圆为外离关系，由于，，,所以,故，解得，故答案为：题型12两圆的公共弦和公共切线【例23】已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接将两圆方程作差即可得公共弦方程.【详解】由题意圆：和圆：，将两式作差得，圆与圆的公共弦所在的直线方程为，整理得.故选：B.【例24】（多选）圆与圆的公切线的方程可能为（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据圆心距和半径的关系可判断两圆相交，结合圆的半径相等，可得切线斜率，即可由点到直线的距离公式求解.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径，由题意得，圆与圆的半径之和为，半径之差为0，因为，所以圆与圆的位置关系为相交．由题意得，因为圆与圆的半径相等，所以公切线的斜率为2．设公切线的方程为，即，由，得，所以公切线的方程为或．故选：CD【变式12-1】已知圆与圆相交于两点，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出公共弦所在的直线方程以及公共弦长，利用面积公式计算即可.【详解】联立,相减可得直线：，所以到直线的距离为，利用圆与直线相交可得：，所以.故选：A.【变式12-2】已知圆内有一点，过的直线交圆于、两点．(1)当为弦的中点时，求直线的方程;(2)若圆与圆相交于、两点，求直线的方程及．【答案】(1)(2)直线的方程为，【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的斜率，由点斜式可得出直线的方程；（2）将两圆方程作差，可得出直线的方程，求出圆心到的距离，利用勾股定理可求得的值.【详解】（1）解：因为为弦中点，由垂径定理得，因为直线的斜率为，故直线的斜率为，故直线的方程为，即.（2）解：将圆的方程与圆的方程作差，可得，即直线的方程为，圆心到直线的距离，由垂径定理得.【变式12-3】已知圆A的方程为，圆的方程为.(1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.(2)求两圆的公切线长.【答案】(1)两圆相交，，；(2).【分析】（1）根据圆心距判断圆的位置关系，再由两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，由几何法求出弦长；（2）根据公切线的性质，利用圆心距、半径差、公切线构成的直角三角形求解.【详解】（1）圆A：，圆：，两圆心距，∵，∴两圆相交，将两圆方程左、右两边分别对应相减得：，此即为过两圆交点的直线方程.设两交点分别为、，则垂直平分线段，∵A到的距离，∴.（2）设公切线切圆A、圆的切点分别为，，则四边形是直角梯形.∴，∴.题型13与圆有关的轨迹方程【解题思路】（1）直接法：根据题目条件，建立关于动点的几何关系，再利用有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简．（2）代入法：如果动点依赖于另一动点，而又按某个规律运动，则可先用表示，再把代入它满足的条件便得到动点的轨迹方程．【例25】若平面内两定点、的距离为4，动点满足，若点不在直线上，则三角形PAB的面积最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以经过，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设，得到，当点到（轴）的距离最大时，求解三角形的面积的最大值即可．【详解】解：以经过，的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示：

则，，设，∵，∴，整理得：，即，当点到（轴）的距离最大，即最大值为时，三角形的面积最大，所以三角形面积的最大值为．故选：C．【例26】已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设出的坐标，利用相关点法求解出的轨迹方程.【详解】设，由题意可知，所以，又因为，所以，化简可得，所以的轨迹方程为，故选：A.【变式13-1】在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围为.【答案】【分析】由求得点的轨迹，然后根据圆与圆的位置关系求得的取值范围.【详解】设，由两边平方得，即，，，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，圆的圆心为，半径为，依题意，圆与圆有公共点，两圆的圆心距为，则，解得.故答案为：【变式13-2】已知圆:过原点作圆的弦,则的中点的轨迹方程为．【答案】【分析】设则代入圆:化简即可得到点的轨迹方程.【详解】设则代入圆:可得即点的轨迹方程为故答案为：【变式13-3】已知圆，直线与圆相交于A，B两点，记弦AB的中点的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)已知M，N是上两点，点，若四边形OMPN为平行四边形，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）对直线方程变形，列方程组求解直线恒过定点，根据列式化简即可求解；（2）根据平行四边形的性质可得为弦的中点，运用几何法即可求得.【详解】（1）将直线的方程转化为，令，解得，即直线经过定点.设，则，，因为弦的中点为，所以,，得，故曲线的方程为.（2）设与的交点为，曲线的圆心，半径，因为四边形为平行四边形，所以为、的中点，因为，，所以，设圆心到弦的距离为，根据圆的几何性质可知，,所以.课后作业一、单选题1．已知直线与平行，则（

）A．1 B．7 C．或 D．1或7【答案】B【分析】由两直线平行列出方程，再求解方程并验证即得.【详解】由直线与平行，得，解得或，当时，直线与，两直线重合，不符合题意；当时，直线与平行，符合题意，所以.故选：B2．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（

）A．，或 B．，或C． D．【答案】A【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案.【详解】设，直线过和，当时，直线、直线与轴为成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在.设关于轴的对称点为，当直线过两点时，，三角形是等腰三角形，同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形，所以，此时直线的方程为设直线与轴相交于点，如图所示，若，则，所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为.故选：A3．过直线上一点P作⊙M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】易得，根据题意可得圆心到直线的距离，进而可得出答案.【详解】⊙M：的圆心，半径，由，得，由题意可得圆心到直线的距离，即，解得或.故选：C.4．已知，直线：与：的交点在圆：上，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两条直线的位置关系和所过的定点，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】，所以直线恒过点，，所以直线恒过点，由两条直线的方程可以判断直线与直线互相垂直，因此点在以为直径的圆上，线段中点为，半径为，圆的圆心为，半径为，由已知条件可知点在圆：上，所以圆与圆相交或相切，，因此有，解得：，所以则的最大值是，故选：A【点睛】关键点睛：通过直线方程判断交点的位置，根据圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键.5．若点是圆:上一点,则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可.【详解】圆:可化为表示点到点的距离的平方,因为，所以的最小值为.故选：B.6．战国时期成书经说记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相交所得弦长为，则反射光线所在直线的斜率为（

）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】直接利用直线与圆的位置关系求出结果．【详解】根据题意，设与点关于轴对称，则的坐标为，则反射光线经过点，且与圆相交．设反射光线所在直线的方程为，即，圆的标准方程为，则圆心为，半径．因为弦长，所以根据勾股定理得，圆心到反射光线的距离，故，即，解得或．故选：A二、多选题7．已知的三个顶点分别是，且边上的高所在的直线方程为，则以下结论正确的是（

）A．B．边上的中线所在的直线方程为C．过点且平行于的直线方程为D．三边所在的直线中，直线的倾斜角最大【答案】BC【分析】对于A，利用高线所在直线方程，代入点的坐标，建立方程，可得答案；对于B，利用中点坐标公式，根据斜率公式以及点斜式公式，可得答案；对于C，根据斜率公式以及点斜式公式，可得答案；对于D，根据斜率与倾斜角的关系，可得答案.【详解】对于A，在直线上，，故A不正确；对于B，的中点为，，∴斜率为，则直线方程为，即，故B正确；对于C，直线方程为，整理可得，故C正确；对于D，，，直线的倾斜角大于直线的倾斜角，故D不正确，故选：BC．8．下列结论正确的是（

）A．若直线：与圆：相交，则点在圆的外部B．直线被圆所截得的最长弦长为C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有D．若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为【答案】AD【分析】根据直线与圆相交列不等式，进而得到点与圆位置关系，判断A；根据直线与圆的相交，确定最长弦长为直径，判断B；根据点到直线的距离公式，结合圆的半径，判断C；根据圆的特征以及切线的定义，判断D.【详解】对于A项，由题意可得，所以，从而点在圆的外部，故A项正确；对于B项，直线恒过定点，，点在圆的内部，所以直线与圆相交，则最长的弦为直径4，故B项错；对于C项，圆心到直线的距离为，如图，直线与圆相交，，与平行，且与直线的距离为1，故可以看出，圆的半径应该满足，故C项错误；对于D项，过点作圆：的切线只有一条，则点在圆上，又，故切线的斜率为，所以切线方程为，即，故D项正确.故选：AD.9．已知圆O：与圆C：交于A，B两点，则下列说法正确的是（

）A．线段AB的垂直平分线所在的直线方程为B．直线AB的方程为C．D．若点P是圆O上的一点，则△PAB面积的最大值为【答案】ABD【分析】根据相交圆的公共弦与两圆心连线垂直平分判断A，再由两圆方程作差得公共弦所在直线判断B，根据弦心距、