多元统计分析期末考试考点

二名词解释

1、多元统计分析：多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理

论和方法，是一元统计学的推广

2、聚类分析:是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的•种多元统计分析方

法。将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。

使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化

3、随机变量：是指变最的值无法预先确定仅以一定的可能性（概率）取值的最。它是由于随

机而获得的非确定值，是概率中的一个基本概念。即每个分量都是随机变量的向量为随机向

量。类似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。

4、统计量：多元统计研究的是多指标问题,为了了解总体的特征，通过对总体抽样得到代表

总体的样本，但因为信息是分散在每个样本上的，就需要对样本进行加工,把样本的信息浓缩

到不包含未知量的样本函数中，这个函数称为统计量

三、计算题

口2>

1、设X=（工1，叼，，3）~%（小£）,其中"=（1。—=—44-1

、2一14)

试判断5+2向与广［西）是否独立？

解:

1

00

0

T。-6一16、

蜘】，外的联合分布为乂（1-61620)

-3-162040,

故不独立.

2、对某地区农村的6名2周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量,

得相关数据如下，根据以往资料，该地区城市2周岁男婴的这三个指标的

均值从=（905匕16）。现欲在多元正态性的假定下检验该地区农村男婴是

否与城市男婴有相司的均值.

r82.0>,4.3107-14.62108.9464

其中万=60.2,(5切一】=(115.6924)7-14.62103.172-37.3760

[145J8.9464-37376035.5936

但=0.01，％°]G2)=992瓦m。,3)=29.5,稣0]。,4)=16.7)

答:

2、假设检验问题：H,。：N=No,区："h"o

'-8.0、

经计算可得：又一出=2.2,

、-1司

'4.3107-14.62108.9464

S」=（23.13848）」-14.62103.172-37.3760

8.9464-37.376035.5936

构造检验统计量：『=状又一RJS-I（又一火）

=6x70,0741=420,445

由题目己知综0i（3,3）=29.5,由是

^i=^y^o.oi（3,3）=147.5

所以在显著性水平a=0.01下，拒绝原设当

即认为农村和城市的2周岁男婴上述三个

指标的均值有显著性差异

1pp3

4、设尤=（应,%，工3，匕）］~凶4（02），协方差阵£=p1fP,0<p<l

PP1P

VPPP1j

（1）试从Z出发求X的第一总体主成分；

⑵试问当P取多大时才能使第一主成分的贡献率达95%以匕

答:

A-l-P-P

-P-p-P

4⑴由0得特征根为A=1+3p,

-PA.—1-P

-P-Pa—i

得&所对应的单位特征向量为e111

故得第一主成分2=：工1+；工2，工3+；*4

（2）第一个主成分的贡献率为

--------i--------=i95%

4+&+4+A------4

095x4-1

得p之=0.933

3

题型三解答题

1、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤

答：

第一，提出待检验的假设和HI；

第二，给出检验的统计量及其服从的分布；

第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域；

第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策

（拒绝或接受）。

2、简述一下聚类分析的思想

答：聚类分析的基本思想，是根据一批样品的多个观测指标，具体地找出一些能够度量样品

或指标之间相似程度的统计量，然后利用统计量将样品或指标进行归类。把相似的样品或指

标归为一类，把不相似的归为其他类。直到把所有的样品（或指标）聚合完毕.

3、多元统计分析的内容和方法

答：1、简化数据结构，将具有错综复杂关系的多个变量综合成数量较少且互不相关的变量，

使研究问题得到简化但损失的信息又不太多。（1）主成分分析•（2）因子分析（3）对应分析

等

2、分类与判别，对所考察的变量按相似程度进行分类。（1）聚类分析•：根据分析样本的各研

究变量，将性质相似的样本归为一类的方法。（2）判别分析：判别样本应属何种类型的统计

方法。

4、系统聚类法基本原理和步骤

答：

1）先计算n个样本两两间的距离

2）构造n个类，每个类只包含一个样本

3）合并距离最近的两类为一新类

4）计算新类与当前各类的距离

5）类的个数是否等于1,如果不等于回到3在做

6）画出聚类图

7）决定分类个数和类

5、聚类分析的类型有：

答：

（1）对样本分类，称为Q型聚类分析

（2）对变量分类，称为R型聚类分析#Q型聚类是对样本进行聚类，它使具有相似性特征

的样本聚集在一起，使差异性大的样本分离开-来。#R型聚类是对变量进行聚类，它使具有

相似性的变量聚集在•起，差异性大的变量分离开来，可在相似变量中选择少数具有代表性

的变星参与其他分析，实现减少变单个数，达到变星降维的目的。

6、简述欧氏距离与马氏距离的区别和联系。

4.1蔺述欧氏距离与马氏距离的区别和联系.

/

答：设P维空间RP中的两点X=（X1,X2-XP）和Y=YPY2-Yp'•则欧氏距离为

"（%-*尸。欧氏距离的局限有①在多元数据分析中，其度量不合理.②会受到实际问题

中量纲的影响.

设X,Y是采目均值向量为口，协方差为n的总体G中的p维样本,则马氏距离为

D（X,Y）=X-Y/Z-X-Y。当2T=1即单位阵时，D（X,Y）=X-Y'X-Y=3（X「

Y=3（*一Yi）制3欧氏距离.

因此，在一定程度上，演氏距离是马氏距离的特殊情况，马氏距落是欧氏距离的推广.

7、试述系统聚类的基本思想。

答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，

过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。

8对样品和变量进行聚类分析时所构造的统计量分别是什么？简要说明为什么这样构

造？

答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n个样本看作

P维空间的n个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为

（-）明氏距离：%g）=（Z\xik-尤声『产

q取不同值，分为,

（1）绝对距离（q-i）&/D=£,诋-X/1

£-1

（2）欧氏£自离（2）产

k-1

（3）切比雪夫距离（9=8）%.（0O）=m^ax囚徒-X扶|

10.

（二）马氏距离"〃（'）=户1**+*

厂*-1»〃

(三)兰氏距离d；(M)=(X，-X/)'E-i(X,-X/)

对变量的相似性，我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向，因此用相关性进行衡量.

将变量看作P维空间的向里，一般用

（-）夹角余花

cos%1I

x：)(Z

1I

（-）相关系数，

士（匕，一反

•一<•

^7国,一尼，工（Y八一支,）2

9、在进行系统聚类时，选择距离公式应遵循哪些原则?

答：（1）要考虑所选择的距离公式在实际应用中有明确的意义。如欧氏距离就有非常明确的

空间距离概念。马氏距离有消除量纲影响的作用。

（2）要综合考虑对样本观测数据的预处理和将要采用的聚类分析方法。如在进行聚类分析

之前已经对变显作了标准化处埋，则通常就可采用欧氏距离。

（3）要考虑研究对象的特点和计算量的大小。样品间距离公式的选择是一个比较复杂且带

有•定主观性的问题，我们应根据研究对象的特点不同做出具体分折。实际