23个基础的圆锥曲线问题

23个基础的圆锥曲线专题1、设椭圆，其焦点在轴上，若其准焦距(焦点到准线的距离)，求椭圆的方程.2、设椭圆的离心率，其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直径)，为两焦点，是上除长轴端点外的任一点，的角平分线交长轴于，求的取值范围.ABNMFO3、设椭圆的离心率，为两焦点，椭圆与轴的交点为，求三角形的面积ABNMFO4、如图，设椭圆，为长轴顶点，过左焦点、斜率为的直线交椭圆于两点，若，求5、设椭圆，其离心率，其通径，=1\*GB3①求椭圆的方程.=2\*GB3②两条焦直径(过焦点的弦)AB与CD互相垂直.求ABCDMN6、设椭圆，左焦点为，在椭圆上任取三个不同点，使得，求：ABCDMN7、如图所示，椭圆，过原点的两条直线交圆于，与的延长线相交于，与的延长线相交于，求所在的直线方程.8、设椭圆，过右焦点的直线交于两点，为中点.=1\*GB2⑴若的斜率为：，求椭圆的方程；=2\*GB2⑵若直线交于两点，与相交于，求点的坐标.9、设椭圆的长轴端点为，与轴平行的直线交椭圆于两点，的延长线相交于点，求点的轨迹.10、已知抛物线，为的焦点，为上任一点，为过点的切线，求证：与的夹角等于与轴的夹角.11、已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为，在上，过作抛物线的两条切线、，其中、为切点.=1\*GB2⑴当的坐标为时，求的直线方程；=2\*GB2⑵当在上移动时，求的最小值.12、过抛物线的焦点作斜率分别为两条不同弦和，，以、为直径的圆圆(、为圆心)的公共弦所在的直线记为，若圆心到距离的最小值为，求抛物线的方程.AMNC13、已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8，求动圆圆心的轨迹方程.AMNC14、如图已知，在抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为.过原点的圆其圆心在抛物线上，与抛物线的准线交于不同的两点，若，求圆的半径.15、如图，抛物线，抛物线，点在抛物线上，过作的两条切线和，当时，切线的斜率为.ABM=1\*GB2⑴求：所在的直线方程；ABM=2\*GB2⑵当点在抛物线上运动时，求中点的轨迹方程.16、已知抛物线，焦弦被分为、两段，求：17、如图，在正方形中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，分别将线段和等分成十等分，分点分别记为和，连接，过作轴的垂线与交于点.求：点的轨迹方程；求：过点的切线方程。18、已知，双曲线，过右焦点的直线交于两点，以为直径的圆与的准线还有另外两个交点，与原点构成的三角形，求：的最小值.QPABMQPABMNZDFOA'B'焦弦交椭圆.为左焦点，为椭圆顶点，连结的直线交准线与，连结的直线交准线与，是准线：.或，长轴于准线交点为.求证：23个基础的圆锥曲线专题解答1、设椭圆，其焦点在轴上，若其准焦距(焦点到准线的距离)，求椭圆的方程.解：=1\*GB2⑴先求的范围：由焦点在轴上，则：，即：；另外，，所以；所以.=2\*GB2⑵求的值：焦点坐标：；椭圆的准线：；准焦距：则：，即：方程有两个解：（舍），和，故.=3\*GB2⑶确定椭圆方程：将，代入方程得：2、设椭圆的离心率，其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直径)，为两焦点，是上除长轴端点外的任一点，的角平分线交长轴于，求的取值范围.解：=1\*GB2⑴通径，即时的.当时代入方程得：，即：，故通径：，即：=1\*GB3①=2\*GB2⑵由离心率，即：，即：则：=2\*GB3②联立=1\*GB3①=2\*GB3②解得：，，则=3\*GB2⑶写出椭圆的方程：=3\*GB3③=4\*GB2⑷求的角平分线的直线方程：由=3\*GB3③得过点的切线方程为：即：，其斜率为：根据椭圆的切线定理，是过点的法线，其斜率为：则的直线方程为：将代入上式得：即：，故：=4\*GB3④=5\*GB2⑸求出的范围因为点是上除长轴端点外的任一点，故：，即：.代入=4\*GB3④式得：.3、设椭圆的离心率，为两焦点，椭圆与轴的交点为，求三角形的面积解：=1\*GB2⑴先求的方程：将代入的方程得：，故：再由，即：，，则：，，的方程为：=1\*GB3①=2\*GB2⑵求三角形的面积：的高，即；的底，即焦距；故：=3\*GB2⑶另外，是椭圆的焦点三角形，可以用椭圆的焦点三角形公式秒之.ABNMFO4、如图，设椭圆，为长轴顶点，过左焦点、斜率为的直线交椭圆于两点，若，求ABNMFO解：本题由于直线过左焦点，所以采用以左焦点为原点的极坐标，可使问题大大简化.椭圆的极坐标方程为：=1\*GB3①直线的方程为：=2\*GB3②那么：；代入得：，即：，故：于是：；故：，所以：5、设椭圆，其离心率，其通径，=1\*GB3①求椭圆的方程.=2\*GB3②两条焦直径(过焦点的弦)AB与CD互相垂直.求解：=1\*GB2⑴先求椭圆的方程：由离心率得：，则：=1\*GB3①由通径得：=2\*GB3②联立=1\*GB3①=2\*GB3②得：，，故椭圆的方程为：=2\*GB2⑵两条焦直径都过焦点，所以采用以焦点为原点的极坐标解题更便捷.以左焦点为原点的椭圆极坐标方程为：=3\*GB3③那么，设：，则：，，代入方程=3\*GB3③式得：于是，=4\*GB3④于是，=5\*GB3⑤由=4\*GB3④式=5\*GB3⑤式得：=6\*GB3⑥将，代入=6\*GB3⑥式得：6、设椭圆，左焦点为，在椭圆上任取三个不同点，使得，求：解：椭圆的参数：，，，故离心率，准焦距.采用极坐标，以左焦点为原点的极坐标方程为：，即：=1\*GB3①设，则，分别代入=1\*GB3①式得：，，ABCABCDMN所以上三式相加得：故：7、如图所示，椭圆，过原点的两条直线交圆于，与的延长线相交于，与的延长线相交于，求所在的直线方程.解：=1\*GB2⑴首先看一下原点和椭圆的位置关系将原点坐标代入得：小于0表明原点在椭圆内部.=2\*GB2⑵本题中，原点和直线是椭圆的一对极点和极线.这里先简单介绍一下极点和极线：过椭圆外一点向椭圆作的所有割线点的连线，相交于两点和，一个点在椭圆内(假设)，一个点在椭圆外(假设).这3个点、和构成特殊的三角形，称为自极三点形.其中，点和直线是一对极点和极线；点和直线是一对极点和极线；点和直线是一对极点和极线.如果将极点的坐标，做等效代入椭圆方程，得到的就是其极线方程.这样使得求极线方程变得极为简单.本题，将原点坐标做等效代入椭圆方程，就得到所在的直线方程.将极点坐标做等效代入椭圆方程得到极线方程：故：代入，后得到：即：，即：所以所在的直线方程是：8、设椭圆，过右焦点的直线交于两点，为中点.=1\*GB2⑴若的斜率为：，求椭圆的方程；=2\*GB2⑵若直线交于两点，与相交于，求点的坐标.解：=1\*GB2⑴由于右焦点在直线上，将右焦点的坐标代入，得：，故：，联立椭圆和直线得到交点的坐标：消元法消去得：即：整理得：=1\*GB3①由于为中点，所以，代进=1\*GB3①式由韦达定理得：=2\*GB3②=3\*GB3③由此得到的斜率为：已知，故：，于是所以椭圆的方程为：=2\*GB2⑵直线经过点，直线也经过点，故点必在关于椭圆以为极点的极线上.代入极线方程得：；即：由于与关于轴对称，根据对称性，所以点的坐标为：PQSAB9、设椭圆的长轴端点为，与轴平行的直线交椭圆于两点，的延长线相交于点，求点的轨迹.PQSAB解：设，，由得：故：=1\*GB3①由得：，故：=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②式得：=3\*GB3③又，两点在椭圆上，满足：即：，即：代入=3\*GB3③式得：即：，故：即：，这就是点的轨迹方程.10、已知抛物线，为的焦点，为上任一点，为过点的切线，求证：与的夹角等于与轴的夹角.证明：为抛物线的焦半径，设其倾角为，，我们看上半轴即部分，下半轴与上半轴对称。，则：抛物线两边对求导：，即故点的切线为：即：，与的夹角为，而就是与轴的夹角.11、已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为，在上，过作抛物线的两条切线、，其中、为切点.=1\*GB2⑴当的坐标为时，求的直线方程；=2\*GB2⑵当在上移动时，求的最小值.解：=1\*GB2⑴先求抛物线的方程由焦点到直线的距离为得：，即：抛物线的方程为：=1\*GB3①下面求的直线方程：的直线方程与点是抛物线的一对极线和极点，故用极线方程秒之.的直线方程：将的坐标值代入得：，即：=2\*GB2⑵点到准线的距离，点到准线的距离.即：=2\*GB3②由于，可将作为极线，来求其极点.极点关于抛物线的极线为：，即：与对比得：，当在上移动时，其极线必过点.设的直线的斜率为，则的直线方程为：即：=3\*GB3③点为=1\*GB3①与=3\*GB3③的交点.将=3\*GB3③代入=1\*GB3①式得：即：即：=4\*GB3④方程=4\*GB3④的两个根就是和.由韦达定理得：，代入=2\*GB3②式得：故的最小值是.12、过抛物线的焦点作斜率分别为两条不同弦和，，以、为直径的圆圆(、为圆心)的公共弦所在的直线记为，若圆心到距离的最小值为，求抛物线的方程.解：抛物线的焦点.设直线的方程为：，直线的方程为：则：点的坐标满足抛物线方程和直线的方程即：于是：故：=1\*GB3①是圆的直径，圆心是，则由韦达定理得：，=2\*GB3②圆的直径平方为：将=2\*GB3②式代入上式得:故圆的直径为：圆的半径为：圆的方程为：=3\*GB3③同理，圆的方程为：=4\*GB3④由=3\*GB3③-=4\*GB3④得：将，，代入上式化简得：=5\*GB3⑤这就是两圆的公共弦的直线方程.由圆心到距离为：将，，代入上式，并由圆心到距离的最小值为得：故：，则抛物线方程为：.13、已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8，求动圆圆心的轨迹方程.解：解题思路：弦和的垂直平分线相交于圆心.设：，则：，的垂直平分线方程为：=1\*GB3①的斜率为：则的垂直平分线的斜率为：的中点为：，则的垂直平分线方程为：=2\*GB3②联立=1\*GB3①=2\*GB3②，消去得：即：，即：，即：这就是求动圆圆心的轨迹方程，是条抛物线.AMNC14、如图已知，在抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为.过原点的圆其圆心在抛物线上，与抛物线的准线交于不同的两点，若，求圆的半径.AMNC解：抛物线的准线方程：设圆其圆心坐标为：，因圆心在抛物线上，则：又圆过原点，则：=1\*GB3①故圆得方程为：即：即：对于在准线上的两点，其，代入上式得：即：方程的两个解就是的纵坐标.由韦达定理得：，=2\*GB3②；，；代入得：将结果代入=2\*GB3②式得：，即：.将结果代入=1\*GB3①式得：故：圆的半径为：ABM15、如图，抛物线，抛物线，点在抛物线上，过作的两条切线和，当时，切线的斜率为.ABM=1\*GB2⑴求：所在的直线方程；=2\*GB2⑵当点在抛物线上运动时，求中点的轨迹方程.解：=1\*GB2⑴先求点的坐标：抛物线的导函数为：，即：抛物线在点的斜率就是切线的斜率为，故：，，即：再求所在的直线方程：点与所在的直线是关于的一对极点和极线，故：所在的直线方程为：即：=1\*GB3①求的坐标：因为方程=1\*GB3①过点，故：；当时，确定所在的直线方程：将代入=1\*GB3①式得：这就是所在的直线方程.=2\*GB2⑵设的中点为，则：，将=1\*GB3①代入抛物线方程得：，即：由韦达定理得：或者：.这就是中点的轨迹方程.16、已知抛物线，焦弦被分为、两段，求：解：抛物线的焦点，即：，，以焦点为原点建极坐标，则抛物线的极坐标方程为：设：，则：于是：故：17、如图，在正方形中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，分别将线段和等分成十等分，分点分别记为和，连接，过作轴的垂线与交于点.=1\*GB2⑴求：点的轨迹方程；=2\*GB2⑵求：过点的切线方程。解：=1\*GB2⑴因为，所以的直线方程为：，即：所在的的垂线方程为：那么过作轴的垂线与交于点，故：，，则：，这就是点的轨迹方程.=2\*GB2⑵点的坐标为：则该点的切线方程为：，即：18、已知，双曲线，过右焦点的直线交于两点，以为直径的圆与的准线还有另外两个交点，与原点构成的三角形，求：的最小值.解：该双曲线的基本参数：，，，故：，焦点设过右焦点的直线方程