初中数学八年级下册“角的平分线的性质”教案

初中数学八年级下册“角的平分线的性质”教案

（基于鲁教版五四制七年级下册第十章第五节深度构建）

一、课标解读与教材分析

（一）课程标准定位

本节课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域。课标明确要求：掌握基本尺规作图——作一个角的平分线；探索并证明角的平分线的性质定理及其逆定理；能运用定理解决简单的几何问题。其核心在于引导学生经历“猜想-验证-证明-应用”的完整数学探究过程，发展几何直观、推理能力和模型观念。

（二）教材内容与地位分析

本节内容是鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章“三角形的有关证明”中的第五小节。它是在学生已经学习了全等三角形的判定与性质、命题与证明的初步知识基础上进行的深入学习。角的平分线的性质定理及其逆定理，不仅是证明线段相等、角相等的新工具，更是后续学习线段的垂直平分线、轴对称、圆等重要几何知识的理论基础。本节课起到了承上启下的枢纽作用，是学生几何证明能力从“模仿”迈向“主动构造”的关键台阶。

（三）大单元教学视角

从单元整体看，“三角形的有关证明”旨在系统化学生的演绎推理能力。本节作为工具性定理的教学，应跳出单一课时局限，置于“全等三角形应用→特殊线性质→综合问题解决”的链条中审视。性质定理为证明提供了“等距”模型，逆定理则提供了“共线且等距则点在平分线上”的判定模型，二者构成了互逆的完备逻辑体系。

二、学情分析

（一）已有认知基础

1.知识基础：学生已熟练掌握全等三角形的四种判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS）及其性质；具备了基本的尺规作图能力，会作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角；了解命题、定理、证明的基本结构。

2.能力基础：具备一定的观察、操作、归纳猜想能力，能够进行简单的逻辑推理，但综合运用知识、自主构造全等三角形进行证明的能力尚在形成期。

（二）潜在学习障碍

1.思维障碍：从“测量感知”的合情推理，跨越到“严格演绎”的逻辑证明，尤其是如何自发地想到“过点作垂线”构造全等三角形，是一大思维难点。

2.应用障碍：对定理的条件和结论理解不透彻，可能导致在应用时分不清何时用性质定理（知角平分线，得线段等），何时用逆定理（知线段等，得角平分线）。

3.语言障碍：几何语言的规范表述，尤其是“距离”特指“点到直线的垂直距离”这一概念，学生容易与日常生活中的“距离”混淆。

（三）学习心理与兴趣点

八年级学生抽象思维迅速发展，乐于挑战，对富有探索性和实用价值的数学问题兴趣浓厚。通过动手操作、发现规律，能有效激发其内在动机。但注意力持久性有待加强，需要多样化的教学活动维持参与度。

三、教学目标

（一）知识与技能

1.能用尺规准确作出已知角的平分线，并说明作图依据。

2.通过实验探究，归纳出角的平分线的性质定理及其逆定理。

3.能独立完成性质定理的证明，在教师引导下完成逆定理的证明。

4.能初步运用两个定理解决简单的几何证明和计算问题。

（二）过程与方法

1.经历“动手操作—观察猜想—验证证明—概括定理”的完整探究过程，体会数学研究的一般方法。

2.在定理证明中，经历“如何添加辅助线”的思维过程，提升构造全等三角形解决几何问题的能力。

3.通过对比分析性质定理与逆定理的条件与结论，深入理解互逆命题的关系，培养辨析与归纳能力。

（三）情感、态度与价值观

1.在探究活动中获得成功的体验，建立学习几何的自信心。

2.感受几何定理的严谨与和谐之美，体会数学证明的逻辑力量。

3.通过定理在实际问题（如选址、规划）中的简单应用，认识数学的实用价值，增强应用意识。

四、教学重点与难点

教学重点：角的平分线的性质定理及其逆定理的探究、证明与初步应用。

教学难点：

1.性质定理证明中辅助线的自然添加（即过角平分线上的点向两边作垂线）。

2.性质定理与逆定理的条件与结论的区别与联系，以及在实际问题中的正确选用。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含几何画板动态演示文件）、三角板、圆规、角平分仪教具、任务单、实物投影仪。

2.学生准备：三角板、圆规、量角器、直尺、课堂练习本。

3.教学环境：具备多媒体展示功能的教室，学生四人或六人小组围坐。

六、教学过程设计与实施

第一环节：创设情境，问题驱动引入课题

活动一：现实问题启思

教师展示图片并提出问题：如图，某乡镇计划在三条公路围成的一块三角形空地ABC上修建一座大型农贸集散中心P。设计要求：集散中心到三条公路的距离必须相等。如果你是工程师，如何确定点P的位置？

（学生短暂思考后，可能会有各种猜测，但难以精确表述）

教师引导：到两条公路距离相等的点，在这两条公路所成夹角的平分线上。那么，到三条公路距离都相等的点，是否与三个角的平分线有关呢？要解决这个问题，我们必须先深入研究角的平分线具有哪些独特的性质。这就是我们今天要学习的内容。

设计意图：以一个具有实际背景的、开放的选址问题开篇，迅速吸引学生注意力。问题将“距离相等”与“角平分线”建立潜在联系，但又不直接点明，制造认知冲突，激发学生的求知欲，自然引出课题。

第二环节：动手操作，探究发现猜想性质

活动二：折纸感知

任务1：请每位同学在纸上任意画一个角∠AOB，并利用折纸的方法，不借助工具找出这个角的平分线OC。（学生动手操作，对折使OA与OB重合，折痕即为角平分线）

追问：在折痕OC上任取一点P，过点P分别向OA、OB作垂线段PD、PE。观察并测量PD与PE的长度，你有什么发现？

（学生测量后汇报：PD=PE）

活动三：尺规作图与验证

任务2：请用尺规作图法，规范作出∠AOB的平分线OC。在OC上任取三个不同的点P、P'、P''，分别测量它们到OA、OB的距离。将数据记录在下表中：

点在OC上的位置

到OA的距离

到OB的距离

两者关系

P

P'

P''

（学生分组操作，填写数据，讨论发现）

小组汇报：无论点在角平分线OC的哪个位置，它到角两边的距离都相等。

活动四：提出猜想

教师引导学生用规范的语言概括猜想：“角平分线上的点，到这个角两边的距离相等。”

教师板书文字命题，并引导学生结合图形，将其翻译成符号语言：

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。

求证：PD=PE。

设计意图：通过“折纸→尺规作图→测量验证”的递进式操作活动，让学生多感官参与，从直观感知中获得深刻的感性认识。引导学生从特殊到一般，从具体数值到抽象关系，自然归纳出猜想。将文字命题转化为图形和符号语言，为证明做好准备，这是几何学习的关键一步。

第三环节：逻辑推理，严谨证明形成定理

活动五：证明猜想

教师引导：我们已经将生活语言转化为数学命题。现在，如何证明PD=PE？

启发提问：

1.PD和PE是两条线段，证明线段相等，我们学过哪些方法？（利用全等三角形对应边相等）

2.观察图形，PD和PE分别在哪两个三角形中？（Rt△PDO和Rt△PEO）

3.这两个三角形全等吗？目前具备哪些条件？（一个公共边OP；由垂直得到两个直角相等；还差一个条件）

4.还差什么条件？如何利用“OC是角平分线”这个核心条件？（∠AOC=∠BOC）

师生共同完成证明过程的书写：

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）

∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直定义）

在△PDO和△PEO中，

∠PDO=∠PEO（已证）

∠AOC=∠BOC（角平分线定义）

OP=OP（公共边）

∴△PDO≌△PEO（AAS）

∴PD=PE（全等三角形对应边相等）

活动六：明确条件，形成定理

教师强调证明过程中的关键点：①辅助线的作法（作垂线段）；②全等条件的寻找（利用角平分线定义得到角等）。

教师正式给出“角的平分线的性质定理”：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

引导学生辨析“距离”是“垂直距离”，再次强化几何术语的精确性。

教师板书定理及其几何符号语言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE。

设计意图：这是突破难点的关键环节。通过层层递进的启发性问题，引导学生自主思考证明思路，将“如何想到作垂线”这一难点化解在自然的思维流中。师生合作完成证明，规范书写，让学生体会数学证明的严谨性。最后对定理进行精炼和符号化，完成从猜想到定理的升华。

第四环节：初步应用，巩固新知理解内涵

活动七：基础辨析与应用

练习1：（判断题）

（1）如图，∵AD平分∠BAC，∴DB=DC。（）

（2）如图，∵DC⊥AC，DB⊥AB，∴AD平分∠BAC。（）

（3）角的平分线上的点到角的两边的距离相等。（）

（4）在∠AOB的平分线OC上任取一点P，点P到OA的距离等于3cm，则点P到OB的距离为3cm。（）

（学生口答并说明理由，重点辨析第1题缺少垂直条件，第2题结论不成立）

练习2：（直接应用）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点D到直线AB的距离是______cm。

（学生独立完成，教师巡视，请学生讲解思路：利用性质定理，将点D到AB的距离转化为DC的长度，DC=BC-BD=3cm）

设计意图：通过辨析题，紧扣定理成立的条件“点在该平分线上”和“距离（垂直）”，消除学生的模糊认识。基础应用题旨在让学生直接运用定理进行简单计算，体会定理的实用性，建立初步的成功体验。

第五环节：逆向思考，探究判定再获新知

活动八：提出逆命题

教师引导：回顾性质定理：点在角平分线上→点到角两边距离相等。

如果我们把它的条件和结论互换，会得到一个新的命题：“到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。”这个命题成立吗？

任务3：请各小组利用作图进行探究。已知：点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE。尝试用尺规作图或测量判断点P是否在∠AOB的平分线上。

（学生操作：可能通过测量∠AOP和∠BOP，发现相等；也可能尝试反向延长OP，观察）

教师利用几何画板进行动态演示：在∠AOB内部拖动点P，始终保持PD=PE（软件度量控制），观察点P的轨迹。学生清晰地看到轨迹就是∠AOB的平分线。

活动九：证明逆定理

教师引导：观察再次指向了成立。如何证明？

已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE。

求证：点P在∠AOB的平分线上（即OP平分∠AOB）。

启发：要证OP是角平分线，即证∠AOP=∠BOP。如何证角相等？（可证所在三角形全等）

师生共同分析：连接OP。在Rt△PDO和Rt△PEO中，已有PD=PE，OP=OP，根据HL定理，可证两直角三角形全等，从而∠AOP=∠BOP。

教师板书证明过程，并明确此即“角的平分线的性质定理的逆定理”，也称“角的平分线的判定定理”。

活动十：对比辨析，构建网络

教师引导学生将两个定理并列板书，进行对比：

性质定理：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB→∴PD=PE。（知角平分，推距离等）

判定定理：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE→∴OP平分∠AOB。（知距离等，推角平分）

强调：两个定理互为逆定理，用途不同。性质定理用于证明线段相等，判定定理用于证明角相等或点在某条线上（共线）。

设计意图：引导学生经历“提出逆命题→操作探究猜想→逻辑推理证明”的完整过程，这是对学生思维的一次重要训练。几何画板的动态演示，提供了强有力的直观支持。对比两个定理，从互逆关系的角度深化理解，帮助学生构建清晰的知识网络，明确各自的适用场景。

第六环节：综合应用，深化理解拓展思维

活动十一：解决引例，首尾呼应

现在，我们有能力解决课堂开始时的选址问题了吗？

引导学生将实际问题抽象为几何模型：△ABC的三条公路即三边所在直线，求一点P，使P到AB、BC、CA三边的距离相等。

学生思考后得出：P到AB、AC距离相等，则P在∠A的平分线上；P到AB、BC距离相等，则P在∠B的平分线上。因此，点P是∠A与∠B的平分线的交点。

教师动画演示作图过程，并指出该点也一定在∠C的平分线上，即三角形的三条角平分线交于一点（内心），为后续学习埋下伏笔。

活动十二：例题精讲，规范提升

例题：已知：如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，且BD=CD。

求证：AD平分∠BAC。

分析：

1.要证AD平分∠BAC，需用什么定理？（角的平分线的判定定理）

2.要使用判定定理，需要什么条件？（点D在∠BAC内部，且D到AB、AC的距离相等）

3.图中，哪些线段可以表示D到AB、AC的距离？（DF、DE，但需先证DF⊥AB，DE⊥AC，已知已满足）

4.如何证明DF=DE？寻找它们所在的两个三角形（△BDF和△CDE）。已知BD=CD，∠BFD=∠CED=90°，还需一个条件（∠BDF=∠CDE，对顶角相等）。

师生共同梳理解题思路，教师板书规范证明过程。

活动十三：变式拓展，思维进阶

变式：将例题中条件“BD=CD”与结论“AD平分∠BAC”互换，命题是否仍然成立？请证明。

（学生小组讨论，尝试写出已知、求证并证明。这是一个很好的逻辑训练，巩固对互逆关系的理解）

设计意图：解决引例实现课堂闭环，让学生感受到用所学知识解决实际问题的成就感，体现数学的应用价值。例题选择综合性较强的题目，旨在训练学生分析复杂图形、综合运用全等三角形和角平分线定理的能力。变式训练则进一步培养学生的逆向思维和探究能力，将课堂思维引向深入。

第七环节：总结反思，梳理脉络升华认知

活动十四：自主建构

教师引导学生以思维导图或知识树的形式，对本节课内容进行梳理。学生可能梳理出：一条主线（角的平分线）→两个定理（性质与判定）→三种语言（文字、图形、符号）→四种应用（作角平分线、证线段等、证角等/点共线、解决实际问题）。

活动十五：感悟交流

学生分享本节课的收获、遇到的困难以及印象最深的地方。

教师总结提升：本节课我们不仅学习了两个重要的几何定理，更重要的是亲身体验了数学家发现问题、探索规律、严格论证的完整过程。角的平分线像一个公正的裁判，确保了它上面的点到角两边的“公平距离”。希望大家在今后的学习中，继续保持这种探究的精神和严谨的态度。

七、板书设计

主板书：

课题：角的平分线的性质

一、性质定理

文字：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

图形：（规范画出∠AOB及其平分线OC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB）

符号：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD=PE

证明：（略）

二、判定定理（逆定理）

文字：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

图形：（规范画出∠AOB，内部一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE）

符号：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE

∴OP平分∠AOB

证明：（略）

三、对比与应用

性质：知角平分→得距离等（用于证线段等）

判定：知距离等→得角平分（用于证角等、点共线）

副板书：

用于呈现学生探究过程中的关键问题、例题的分析思路和证明框架，以及学生板演的练习。

八、分层作业设计

A组（基础巩固，全体必做）：

1.课本课后练习题第1、2、3题。（巩固尺规作图和对定理的直接应用）

2.填空：如图，OP平分∠MON，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B。若PA=5，则PB=；若∠MON=60°，则∠OPA=。

3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D。若BC=10，BD=6，求点D到AB的距离。

B组（能力提升，学有余力者选做）：

1.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC。求证：AM平分∠DAB。

2.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，求证：∠BAC=∠DAC的充要条件是BC=DC。

3.探究：利用角的平分线的性质，设计一种方法，将一个任意角四等分。简述你的步骤和原理。

C组（实践拓展，鼓励尝试）