人教版九年级数学下册《位似》同步练习题（附答案）

人教版九年级数学下册《27.3位似》同步练习题（附答案）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，aABC与aOE广是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（）

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

2.在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图所小的平面直角坐标系中,

格点ABC、。所成位似关系，则位似中心的坐标为（）

A.（-1,0）B.（0,0）C.（0,1）D.（1,0）

3.如图，在方格纸上，以点O为位似中心，把线段48缩小到原来的则点A的对应点

为（）

A.点。或点GB.点E或点尸C.点D或点、FD.点E或点G

4.如图，以某点为位似中心，将△QAB进行位似变换得到△。产E,若△048与△。正的相似

比为鼠则位似中心的坐标与女的值分别为()

A.(2,2),2B.(0,0),2C.(2,2),；D.(0,0),g

5.如图，在平面直角坐标系中，己知点A8的坐标分别为(-2,1),以点。为位似中

心，在原点的另一侧按1：2的相似比将人/放大，则点A的对应点4的坐标为()

A.B.(T2)C.(4,-2)D.(4,2)

6.如图，已知VA4C,任取一点O,连接AO,80cO,并取它们的中点。，E,F,得QEF,

则下列说法正确的有()

①VA8C与£)即是位似图形；②V/WC与刀是相似图形；③V"C与砂的周长比

为1：2；④若V4BC的面积为4,则勿£下的面积为I.

B

E

O

A

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图，V4BC与血防位似，点。为位似中心，旦」无户的面积是VABC面积的9倍,

D

c?-I

8.如图,AA8C与ME尸位似，其位似中心为点。，且8=A。，则AA8c与AD所的位

A.2:1B.4:1C.72:1D.2:6

9.如图，已知一和-MNK是位似图形，那么其位似中心是点（）

%

A.点AB.点8C.点CD.点、D

10.如图，图形甲与图形乙位似，O是位似中心，已知3Ao=24。，点A,8的对应点分别

为点A,B'.若A4=6,则4斤的长为（）

A.8B.9C.10D.15

II.下列说法错误的是（）

A.位似图形一定是相似图形

B.顶角相等的两个等腰三角形不一定相似

C.两个相似三角形的周长比是3:2,则其面积的比是9:4

D.V48C中，点。、E分别是边48、AC的中点，则四边形。七C8与VABC的面积之

比是3:4

12.如图，在5x5网格图中，每个小正方形的山长均为1,三角形①、②均为格点三角形,

则下列关于三角形①、②的说法正确的是（）

A.一定不相似，周长比为1:2B.一定位似，位似比为1:2

C.一定相似，面积比为1:4D.一定相似，相似比为1:4

二、填空题

3

13.如图，四边形AE"/与四边形ABCO是位似图形，；立似比为,，且四边形AEF”的周

长为30cm.则四边形.CO的周长为_cm.

14.如图，在平面直角坐标系中，四边形A8CO与四边形A'8'CD是位似图形.位似中心的

15.如图，在平面直角坐标系中,△048的顶点分别为。(0,0)，A(-3,0),8(-43).-0DC与

△044是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3,则点。的坐标为.

已知A(1,0),D(3,0),△ABC与△DEF位似，原

点0是位似中心，若AB=2,则DE二

17.若两个三角形是位似图形，且它们的面积比为1：9,它们的周长比为

三、解答题

18.如图所示，指出下列各组图形(①中指两个三角形，③中指两个矩形)是否是位似图形;

若是，指出位似中心.

4：-------3

Lr：_____________

BC

图③

19.如图，在平面直角坐标系中，△044的三个顶点的坐标分别为。(。,。),42,1),8(1,-2).

(1)以原点0为位似中心，在y轴左侧画•个。4片，使它与△Q44位似，且相似比为2:1；

(2)请写出点A的对应点A的坐标；

⑶若以点A,B,0,P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点尸的坐标.

20.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，VA8C的顶点在格点（网格线的交点）」

以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为（1,0）.

（1）将VABC向左平移5个单位长度,得到△ABG，画出△A8G；

⑵以点。为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2）,得到

在所给的方格纸中画出△&82G；

（3）若点M是A8的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是

21.已知。是坐标原点，4、8的坐标分别为（3,1）,（2,T）.

⑴画出△044绕点。顺时针旋转9()。后得到的.。4片；

(2)在y轴的左侧以。为位以中心作△Q48的位似图形层，使新图与原图相似比为2:1；

(3)若点。(“〃)在线段0A上，直接写出变化(2)后点。的对应点。2的坐标为一.

(4)分别求出△QAB的周长和生的面积.

22.(1)问题发现

如图1,四边形ABCD为矩形，AB=a,BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，RtAPEF

PM

的两条直角边PE.PF分别交RC,DC于点M.N,当PMLRC,PNJLCD时，—=_____(用

PN

含a,b的代数式表示).

(2)拓展探究

PM

在(1)中，固定点P，使APEF绕点P旋转，如图2,力的大小有无变化？请仅就图2

PN

的情形给出证明.

(3)问题解决

如图3,四边形ABCD为正方形，AB=BC=a，点P在对角线AC上，M,N分别在BCCD

上，PM_LPN,当AP=nPC时，(n是正实数)，直接写出四边形PMCN的面积是(用

含n,a的代数式表示)

23.如图所示，图中的小方格都是边长为I的正方形，VABC与是以点。为位似中

心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.

⑴画出位似中心点O；

(2)直接写出VA8C与的位似比；

(3)以位似中心。为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并直接写出

A7TC各顶点的坐标.

24.在正方形网格中，每个小正方形的边长为1,AABC在平面直角坐标系中的位置如图所

示.

(1)画出△ABC沿x轴翻折后的△A^ICI；

(2)以点M为位似中心，在网格中作出△ABC的位似图形AAzB2c2,使其位似比为2：1：

⑶点4的坐标：△48。与4A2B2C2的周长比是.

参考答案

题号12345678910

答案CAAACCAABB

题号1112

答案BC

1.C

【分析】延长E3.D4交于点R根据位似图形的对应点的连线相交于一点解答即可.

【详解】解：延长石仄。八交于点P,

0

9

8

7

6

5

4

3

2

则点P即为位似中心，位似中心的坐标为（9,0）,

故选：C.

【点睛】本题考查的是位似变换的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应点的连线

相交于一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做

位似中心.

2.A

【分析】根据题意确定直线人。的解析式为：y=x+\,由位似图形的性质得出A。所在直

线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解.

【详解】解：由图得：A（1,2）,O（3,4）,

设直线人力的解析式为：），=6+人，将点代入得:

2=k+bk=]

，解得:

4=34+》b=]

工直线AO的解析式为：y=x+\,

AO所在直线与BE所在电线x轴的交点坐标即为位似中心，

.••当）,=0时，x=-l,

，位似中心的坐标为（-1,0）,

故选：A.

【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的

特点是解题关键.

3.A

【分析】作射线4。，根据位似中心的概念、线段的位似比解答即可.

【详解】解：作射线A。,

OG=-OA,

2

故选:A.

【点睛】本题考查位似变换，正确记忆位似图形的特征是解题关键.

4.A

【分析】两对对应点的连线的交点即为位似中心；找到任意一对对应边的边长，让其相比即

可求得匕

【详解】连接O。、BE,延长。。交BE的延长线于点点0'也就是位似中心，坐标为

(2,2),k=0A：FD=8：4=2.

故选A.

【点睛】本题考杳了位似变换、坐标与图形的性质等知识，记住两对对应点的连线的交点为

位似中心；任意一对对应边的比即为位似比.

5.C

【分析】本题主要考查了位似变换，直接利用位似变换的性质和异侧位似变换的坐标变化规

律结合A点坐标直接得出点A的坐标.

【详解】解：以点。为位似中心,在原点的另一侧按1:2的相似比将△045放大,将A(-2,l)

的横纵坐标先扩大为原来的2倍为(T⑵，再变为相反数为(4,-2).

故选：C.

6.C

【分析】由题意根据位似图形的性质，得出①△ABC与△。月产是位似图形进而根据位似图

形一定是相似图形得出②△A8C与AQE尸是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根

据面积比等于相似比的平方，即可得出答案.

【详解】解：根据位似的定义可得，VA8C与〃)环是位似图形，也就是特殊的相似图形,

故①@正确；

•・•点。、E、尸分别是OA、OB、OC的中点，

与3EF的位似比为2：1,周长比为2：1,面积比为4：1,故③错误，

若VA8C的面积为4,则」龙尸的面积为1，故④正确.

故诜：C.

【点睛】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解决问题的关键.

7.A

【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积

比等于相似比的平方是解题的关键.根据位似图形的性质得到BC//EF,

进而得到。BCS’OM以及娶=!，再根据相似三角形的性质解答即可.

Er3

【详解】解：ABC与J)EF位似,

:.ABCSQEF,BC//EF,

又二。的面积是VA4c面积的9倍,

BC1

---=一,

EF3

QVQBCsv。所，

OCBC1

---=---=—，

OFEF3

:.OF=3OC,

•_O_C____O_C___—___O__C___=_1

"'CF~OF-OC~3OC-OC~2'

故选：A.

8.A

【分析】本题考查图形的位似，位似比等于位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之

比.

【详解】由题目可知，本题图形位似中心为点O,

VOD=AD,

AO:DO=2:1,

•••△人8(2与4DEF位似比为2:1,

故答案为A选项.

【点睛】本题考查图形位似比，按照位似比的定义解答即可.

9.B

【分析】根据位似中心的概念可知位似中心是对应顶点的连线的交点.

【详解】•・•位似图形对应顶点的连线交于一点，即位似中心，

・•・位似中心是点B.

故选B.

【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，注意位似图形对应顶点的连

线交于一点，即位似中心.

10.B

【分析】本题考查的是位似图形，解题的关犍是掌握位似图形的位似比是对应边的比.根据

位似比的概念解答即可.

【详解】解：•・•图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，

3AO=2A,O,

••・黑=3,即位似比为23,

AO3

AB_2

"31

AB=6,

.•.48,=9.

故答案为：B.

11.B

【分析】根据位似图形的前提就是相似，等腰三角形顶角相等，则底角一定相等，相似三角

形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行判断即可.

【详解】解：A.位似图形一定是相似图形，故选项正确，不符合题意：

B.顶角相等的两个等腰三角形•定相似，故选项错误，符合题意：

C.两个相似三角形的周长比是3:2,则其面积的比是9:4,故选项正确，不符合题意；

D.VA4C中，点。芯分别是边A4、4c的中点，则四边形DEC8与VA4c的面积之比是3:4,

故选项正确，不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，位似图形和相似图形的关系，熟练掌握相似

的判定和性质是解决此题的关键.

12.C

【分析】本撅考杳的是位似变换，根据勾股定理求出两个三角形的各i力长，根据相似三角形

的判定定理、性质定理以及位似图形的概念判断即可.掌握位似图形的概念、相似三角形的

判定和性质是解题的关键.

【详解】解：由勾股定理得：三角形①的三边长分别为拉、石、石，

三角形②的三边长分别为2后、2石、2石，

••・三角形①与三角形②相似，且相似比为1:2,

・••三角形①与三角形②的面积比为1:4,

•••三角形①与三角形②的对应边不平行也不在同一条直线上，

，三角形①与三角形②不位似，

故选：C.

13.50

【分析】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.

根据位似图形的周长比等于相似比（位似比）可直接进行求解.

3

【详解】解：:四边形AEFH与四边形ABC。是位似图形，位似比为,，

3

・•・四边形与四边形48co的周长比为三，

•・•四边形AEFH的周长为30cm,

，四边形A8c。的周长为30cm+]=50cm；

故答案为50.

14.（10,0）

【分析】本题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记

定义是解题的关键.

连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心.

【详解】解：如图，连接两组点8与&以及C与C'交于点石，

点E即为位似中心，£（10,0）.

^

•

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

故答案为：（10,0）.

【分析】根据关于原点位似的关系和位似比，结合点〃9点。位于位似中心的异侧，即可

将点4的坐标都乘以-g即可.

【详解】・・・AOOC与是以原点为位似中心的位似图形，位似比为1：3,

又•••点B与点。位于位似中心的异侧，以-4,3）,

故答案为：（*-1•

【点睛】本题考查坐标与图形的变化一位似变换.掌握点在坐标系中位似变换的规律是解题

关键.

16.6

【分析】利用位似的性质得到AB：DE=OA：OD,然后把OA=1,OD=3,AB=2代入计算

即可.

【详解】解：•「△ABC与/^匕卜位似，原点O是位似中心,

AAB：DE=OA：OD,即2：DE=1：3,

ADE=6.

故答案是：6.

【点睛】考查了位似变换:如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，

对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

17.1:3

【分析】本题考查了相似三角形的性质，主要从三角形其面积比等于周长比的平方来进行考

查的.

相似三角形的周长比等于其对应边长比，而面积比等于对应边长比的平方.

【详解】已知两个相似三角形的面积比为1:9,相似三角形的面积的比等于相似比的平方,

周长的比等于相似比，由此可得这两个三角形的周长比为1:3,

故答案为1:3.

18.见解析

【分析】本题考查了位似图形，解题的关键是掌握位似图形的概念.位似图形的概念：如果

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形,

这点叫做位似中心.

根据位似图形的概念逐•判断即可.

【详解】图①中两个三角形是位似图形，位似中心是点A：

图②中对应顶点的连线不交于一点，故题图②中的两个图形不是位似图形；

图③中两个矩形是位似图形，位似中心是点P.

19.(1)见解析

⑵(-4,-2)

(3)。,3)或(一1,一3)或(3,-1)

【分析】本题考查了位似图形的坐标系中的作图，平移法，平行四边形的判定和性质，

(1)根据位似比，结合位置要求画图形即可.

(2)根据位似比，结合位置，确定位似点的坐标为(2k,Q或(-24,-幻，计算即可.

(3)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，利用平移法求解即可.

【详解】(1)解:根据题意,似比为4=2:1=2,0(0,0),42,1),8(1,-2),

故位似点的坐标为0(0，0),A(-4,-2).B、(-2,4),画图如下:

则0A。即为所求.

(2)解：根据⑴得A(T-2),

故答案为：(-4，-2).

(3)解：根据一组对功平行FL相等的四功形是平行四边形，求解如下：

•・•0(0,0),A(2,1)/(1,-2),

当点。平移得到点5时，即实现了向右平移1个单位，再向下平移2个单位的平移变换,

・•・A(2,1)向右平移|个单位，再向下平移2个单位得到点P,此时四边形是平行四边形，

且「(2+1,1-2),

故坐标为尸(3，-1)；

当点8平移得到点O时，即实现了向左平移1个单位，再向上平移2个单位的平移变换,

・•・42,1)向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P,此时四边形是平行四边形，

且?(2-1,1+2),

故坐标为尸(1,3)；

当点八平移得到点8时，即实现了向左平移1个单位，再向下平移3个单位的平移变换,

••・5。，0)向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点P,此时四边形是平行四边形，

且

故坐标为P(-L-3)；

当点8平移得到点A时，即实现了向右平移1个单位，再向上平移3个单位的平移变换,

••・S。，。)向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点P,此时四边形是平行四边形，

且尸(0+1,0+3),

故坐标为尸(1,3)；

综上所述，点尸的坐标为尸(1,3)或尸(-1,-3)或玳

20.（1）见解析

（2）见解析

⑶（6,-2）

【分析】本题考查作图一位似变换，平移变换等知识，解题的关键是正确寻找图形，属于中

考常考题型.

（1）利用平移变换的性质分别作出A,B,。的对应点A，4，C即可.

（2）根据位似变换的性质分别作出A,BitG的对应点4,B2,g即可.

（3）根据点加2的位置，写出坐标即可.

【详解】（I）解：如图，△AB©即为所求.

（2）解：如图，△ARC?即为所求.

（3）解：若点M是A8的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点场的坐标为（6,-2）,

4

故答案为：（6,-2）.

21.（I）见解析

（2）见解析

（3）（-加,-27?）

（4）周长26+JIU,面积10

【分析】（I）直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；

（3）根据位似图形的性质，即可求解；

（4）根据勾股定理可得△。48的三边长，可得到的周长：再由勾股定理逆定理可得

△。&%是直角三角形，即可求解.

【详解】（1）解:如图所示：。4蜴即为所求;

（2）解：如图所示：△04Ba即为所求；

（3）解：•・•作△044的位似图形△。&当，新图与原图相似比为2:1,且。（。力），

，点。的对应点2的坐标为（~2a~2b）；

故答案为：（-2«-2〃）

（4）解：根据题意得：OA=V32+l2=VlO,=V22+l2=y/5,AB=VF+F=45，

，△OAK的周长=6+石+加=26+如

222

•/=>/6+2=2而,0B2=4+22=26AB=44+展=2旧,

O42=OB：+人?^,

•••△。&与是直角三角形，

△04区的面积;x26x2后=10.

【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出时应点位置是解题关键.

22.⑴g⑵见解析;⑶—^―T

【详解】分析：（1）先判断出△PMCs^ABC,得出照=绘=2,再判断出四边形CNPM

PMABa

是矩形，即可得出结论；

（2）先过P作PG_LBC于G,作PH_LCD于H,判定APGMSZ\PHN,再根据相似三角形

的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可；

(3)先判定△PMC<-AABC,再根据相似三角形的对应边成比例进行求解，再计算其面积;

详解：

(1)•・,四边形ABCD是矩形，

AAB1BC,

VPM1BC,

/.△PMC^AABC

.CMBCb

・・•四边形ABCD是矩形，

/.ZBCD=90°,

VPM1BC,PN1CD,

.'.ZPMC=ZPNC=90°=ZBCD,

...四边形CNPM是矩形，

.•.CM=PN,

・，黑故答案为g

PNbb

(2)如图3,过P作PG_LBC于G,作PH_LCD于H,则NPGM=NPHN=90。，

ZGPH=90°

•.•RSPEF中，ZFPE=90°

/.ZGPM=ZHPN

.".△PGM^APHN

.PMPG

"~PN~~PH

由PG〃AB,PH〃AD可得,三,

ABCAAD

VAB=a,BC=b

.PGPHPGa

..---=----,即nil----=—,

abPHb

.PMa

，9~PN~~bf

故答案为::

b

(3)VPM±BC,