2026高二数学寒假复习讲义：数列前n项和公式的求法（原卷版）

专题10数列前n项和公式的求法

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成］串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

卫重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

也考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升

母复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

核心考点

知识点01公式法

知识点02错位相减法求和题型】错位相潮法

知识点03倒序相加法求和通型2倒序相加法

数列前n项和公式的求法

知识点04分组求和

建型7裂项相消法求和

知识点05裂项相消法求和

息型8放缩求和证明不等式

重难知核

上:知识点1：公式法

(1)等差数列｛时｝的前〃项和S.=幽抖=nar+坐上d

na，q=1

(i

ia知识点2：错位相减法求和

等比数列的求和方法即错位相减法。若有等差数列｛斯｝,等比数列出“｝,对数列｛册•九｝求和也切以用到错位

相减法

1、找出等比数列｛以｝的公比q(q羊1,0),对求和中的每项都乘以公比q

2、然后用S〃-qSn，注意将两式“错项对齐”，按照相同哥次方天对齐，方便合并。

上;知识点3：倒序相加法求和

等差数列的求和方法即倒序相加法。若数列整个顺序颠倒后，同原数列放一起，每个相同序号的两项的和

相等，那么求这个数列的前〃项和即可用倒序相加法求解.

西知识点4：分组求和

若数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后

相加减.

L2知识点5：裂项相消法求和

对•通项进行裂项变换，使得裂项后产生可以连续相互抵消的项.抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,

也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同.下面给出一些常见的裂项模型。

模型1：等差型

(1)---------=---------

n(n+1)nn+1

(3)—；---=—(------------------

4n2-122〃-12〃+1“5+1)(〃+2)2+(〃+1)(〃+2)

对等差型的分式，例士，先对分母进行因式分解(2n-1)(2几+1),把目标分解成心-土，再合并比

较看看想化成^?需乘系数5

模型2：根式型

.---------7==\/«+1-G

yjn+\+yjn

(3),~；-----二一(，2〃+1-42〃-1)

>J2n-1+V2n+12

利用分母有理化的方法。

模型3：指数型

(2rt+1-l)-(2H-l)

(2"“-1)(2"-1)(2n+1-l)(2n-l)2"-12ff+,-1

〃+2_2(〃+1)-〃

〃(〃+1)2/?(//+l)-2nT("+1)・2”

方法类似等差型。

出考题型

【题型1错位相减法】

2

高妙技法

错位相减法在等比数列的求和中应用到，对等差等比数列乘积构成的数列也可以，要应用两次，且相减

的时候要错项对齐来合并，这里容易算错。

I.(25-26高三上•河北衡水・月考)已知数列｛%｝满足q=l,j=%+2"-1.

(1)证明：数列｛4-2"｝是等差数列；

(2)求数列3〃｝的前〃项和.

2.(25-26高三上•山东聊城•期中)已知数列｛%｝的前“项和为S”，且-〃(〃cN,).

(1)证明:数列｛勺+1｝是等比数列;

⑵定义集合=｛q•%+q+叫I/,n｝,记吃的元素个数为4.

(i)求心

(ii)设。“=(4+1)也，求数列匕｝的前〃项和乙

3.(25-26高二上•甘肃酒泉•月考)已知在正项数列｛q｝中，《=1且叵+卮=。“(〃22,〃€«),其中S”

为数列｛%｝的前〃项和.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)若对于任意〃eN.,2""NS“恒成立，求实数4的取值范围；

(3)设%=(-1)%用(0严1,求数列｛。“｝的前〃项和Tn.

4.(25-26高二上•福建龙岩期中)已知数列｛%｝满足％=1，/+|=/白，设"='，将数列｛包｝的项

按照如下规律分群：伍)，(&e)，(&也也),即a也也)，….

⑴求低｝的通项公式：

(2)设第〃个群中所有项的和为，,求S”；

C

(3)设c“=f，数列k”｝的前〃项和为证明：T“<6.

【题型2倒序相加法】

高妙技法

倒序相加常与函数的结合一起考，注意题目条件如果满足首位项(依次往中间的对应项)的和固定，考

虑倒序相加法。

1.(25-26高二上•福建漳州•月考)德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对1+2+3+…+100

的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此,

此方法也称之为高斯算法.现有函数/(x)=i,(40),则/⑴+/(2)+〃3)+…+/伙+2025)等

5k+o078

3

于()

%+202524+60782〃+6078士+2025

A.----------B.-----------C.------------D.

3366

2.(25-26高一上•重庆•月考)已知函数/(x)=3^,

募WW)+.“+/卧/所5(202452025)=1)

4051

A"曳B.4049c.4050口.

444

3.(25-26高二上•江苏苏州・月考)已知函数/(x)=lg全竽，数列｛4｝满足

⑴求证：/(x)+/(l-x)为定值，并求数列｛〃“｝的通项公式；

(2)记数歹।卜一--，的前”项和为工，求证：7•

〔《4+J32

4X

4.(25-26高三上•黑龙江•月考)己知函数/(x)=黄工.

⑴若g(x)=/x+；)+。为奇函数，求a；

2025(i、

⑵求X市)

【题型3分组求和】

高妙技法

当数列本身是复合型，如等差数列与等比数列的和，这时可以对其进行分组来求和，这时相当于两个n

项数列的和。

1.(25-26高二上•福建宁德・期中)已知等比数列｛%｝的前〃项和S“=3"-A.

(I)求攵的值及数列｛%｝的通项公式；

⑵设b“=\+log/^A求数列也｝的前n项和乙

2.(25・26高三上•北京•月考)记2为等差数列｛叫的前〃项机已知q=-7,S3=-9.

⑴求｛巩｝的通项公式；

(2)当〃为何值时，S,取最小值并求出最小值.

(3)记q为数列｛2"+。“｝的前〃项和，求r..

4

a_a2b

3.（2025高三・全国・专题练习）已知数列｛%｝,但｝满足「二"二J，且6=2,4=4.

也+产6%+6”

（I）求证：卜”+衬和卜+；"｝均为等比数列；

⑵求｛〃"｝,｛4｝通项公式；

⑶求｛叫的前〃项和S”.

4.（25-26高二上•湖南岳阳•月考）己知数列｛4｝满足卬=2,旦/+/+卷+…+券=*1,在数列｛"｝

中，4=2,点P（〃也“）在函数j，=x+2的图象上.

⑴求｛勺｝和也｝的通项公式;

2n

（2）设g=2+2〃,求数歹lj｛cn｝的前〃项和Tn.

【题型4奇偶数列求和】

高妙技法

数列的奇数与偶数列分别是不同的数列，这时按照奇数数列求和，跟偶数数列求和，在求和的时候要注

意的是，奇数数列的项数与偶数数列的项数跟总项数的奇偶性有关，有时需要分类来讨论，这在求奇偶

数列的和时是容易出错的地方。

1.（24-25高二下•贵州遵义•月考）已知数列｛4｝的前〃项和色，满足：q=l,S,T+l=a“（〃22）；数列也｝

a+2奇数

满足：a=g,bz=

a—、1，”为偶数

（1）求｛〃"｝，｛“｝的通项公式

（2）设求｛c”｝的前2〃项和匕

2.（25-26高三上•天津滨海新•期中）已知数列｛4｝,S.是数列｛q｝的前〃项和，己知对于任意“cN*，都

有S“=2—%,数列也｝是等差数列，…,4=4.

（1）求｛4｝与｛"｝的通项公式:

（2）数列的前〃项和。，求4及。的最小值和最大值;

--6，”为奇数f

=<

(3)设Jax•%〃为偶数'水合一

3.（24-25高三上•福建厦门•期中）已知数列｛%｝的前〃项和为S”，且满足S“=2a0+2〃-l.

（1）求证：数列｛〃.-2｝为等比数列；

5

是奇数

(2)已知”，求数列｛4｝的前2〃项和.

，〃是偶数

3x2w-,

4.(25-26高二上・广东•期末)已知数列a｝的前〃项和邑，且S.x=3S.+l,a.=l,其中〃丘K.

(1)证明：数列｛/｝是等比数列；

1Og3〃”,〃为奇数

⑵设%=<_______4_______〃为偶数，求数列血)的前2。项和4).

(〃+2)(1+1股。")'’

【题型5绝对值数列求和】

高妙技法

绝对值数列的求和，根据原数列正负变号处开始分开成两段来求和，目标在找原数列正负项。

1.(25-26高三上•福建龙岩•月考)已知数列｛%｝满足q+3%+…+3”4=小3川，设数列｛4｝的前〃项和

为L

(1)证明：数列｛%｝为等差数列；

⑵求数列的前100项和；

⑶求数列｛|%-20|｝的前20项和.

2.(25-26高三上•河北•期中)设数列｛为｝的前〃项和为S”，已知号=1,当〃22时，2sA尸爆-1.

⑴求证：为等比数列；

⑵若bn=|3〃一4|,求数歹U也｝的前〃项和7；.

3.(25-26高三上•黑龙江吉林•月考)记邑为数列应｝的前〃项和，已知《一%=(〃-1)(〃一6).

⑴求%，并求｛%｝的通项公式;

(2)求｛㈤｝的前〃项和7；.

4.(25-26高三上•天津南开•月考)已知数列｛%｝的前〃项和为S”，《=1,叫=5“+〃(〃-1乂〃6.).

(I)求数列｛4｝的通项公式;

⑵求数列------')的前〃项和为9;

(3)求数列｛旧-1矶的前〃项和匕.

【题型6并项求和】

高妙技法

6

相邻两项可以合并化简，化简后的数列可以用常规求和方法求和。

1.(25-26高二上•江苏苏州•月考)已知等差数列｛%｝的公差为“，且d/0,设,为｛%｝的前〃项和，数

列｛4｝满足

(1)若q=T,d=l,且求〃：

(2)若数列｛正.｝也是公差为〃的等差数列

①求数列也｝的通项公式：

②求数列｛(7)”4｝的前〃项和人

2.(25-26高三上•江西•月考)已知正项等差数列｛%｝满足%=13,且Lq,4成等比数列.

(1)求｛凡｝的通项公式；

(2)求｛4｝的前〃项和7；；

(3)设数列｛(-1)%｝的前〃项和为S.，求S..

3.(25-26高三上•山东济宁・月考)已知数列｛〃"｝满足q=(〃+1)。“+〃(〃+1),数列｛“J满足

b“二(cos/m)凡,

⑴求数列｛%｝的通项公式凡；

(2)求数列仇｝的前〃项和S”.

4.(25・26高二上•江苏盐城•期中)已知等差数列｛4｝的公差为“，且"=0,设2为｛4｝的前〃项和，数

列｛a｝满足2=2S“一〃

⑴若q=T,d=i,且求〃；

(2)若数列｛历｝也是公差为d的等差数列

①求数列也｝的通项公式；

②求数列｛(T)两｝的前2〃项和T2n.

【题型7裂项相消法求和】

高妙技法

通过裂项能达到前后相消的FI的，通常考察的是分式型(分母拆分成两个连续的乘积)或者根式型(分

母有理化)。

1.：25-26高三上•湖南•月考)在数列｛q｝中，令Z为其前〃项和，若《二1,-1电-A-=3〃丁)(〃>2).

(I)证明：数列｛4｝为等差数列，并求其通项公式；

7

(2)求数列」一的前〃项和.

［耍+2］

2.(25-26高三上•河南郑州・月考)在数列｛《,｝中，％=1,+

(1)求｛《,｝的通项公式：

⑵记｛《,｝的前〃项和为2,若“=(4s_］启「1)，求也｝的前八项和人

3.(25-26高二上•黑龙江哈尔滨•月考)正项数列｛%｝满足：6=1,对切〃eN,，有其+小。川-2邑，其中

S,为数列｛叫的前〃项和.

⑴证明｛q｝是等差数列，并求出｛4｝的通项公式；

(2)若数列｛4｝前〃项和Bn=S：,求数列出｝的通项公式;

2〃+1

数列卜”｝的前"项和为。，求7；的最大值和最小值.

4.(2025高三上•河南洛阳•专题练习)已知递增数列满足%_1十%=4〃-4,/4+1=4〃2T.

⑴求6:

(2)i正明：数列｛4｝为等差数列；

⑶令"疯+而?求数列也｝的前〃项和工

【题型8放缩求和证明不等式】

高妙技法

对数列进行放缩后，再进行求和，一般在证明不等式的题目中出现。

I.(25-26高三上•天津南开・期中)已知数列｛%｝的前〃项和为邑，且S“=〃2(〃WND.数列也｝是公比

为2的等比数列，且4=24.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)令%=年，求数列｛%｝的前“项和I；

1111

⑶证明：

2.(25-26高三上•四川绵阳•开学考试)在公差不为0的等差数列｛〃"｝中，%+《。=15,且电.%，如成等比

数列.

(1)求小｝的通项公式；

(2)设“=—+」一+3+——,证明：<6<1.

%。向«2«-i2

8

3.(25-26高三上•河南•期中)已知函数〃力=a-Inx.

⑴讨论/")的单调性；

(2)若”0,且对任意的X«1,+8)J(X)>L恒成立，求f的取值范围；

X

522

⑶若见=ln(〃+l),数列｛q｝的前〃项和为S“，证明：45H+-<W+3T?+-

4.(25-26高三上•河北沧州•月考)已知数列｛%｝,｛"｝,｛。“｝,对于任意都有

〃"一"+/+1=°也-%+"+1=。成立.

⑴若4=-〃+8,求数列｛匕|｝的前〃项和.

(2)若数列｛c.｝是等比数列,且q=%=0吗=1必=3,求数列匕•log-,｝的前〃项和.

⑶若见=：〃一!，是否存在常数3(5>0),使得对于任意〃?2,,+,+…恒成立？若存在，

84C2c3cn

求出b的值；若不存在，请说明理由.

O复习提升

1.(2025高三•全国•专题练习)定义在R上的函数/(力=/，0=/(£)+/(：)+…+/咛,〃=2,3,….

(1)求

(2)是否存在常数M>0,对任意的“N2,有[+[+…+，—VM?

〜"+I

2.(25-26高三上•河北唐山•期中)已知数列｛%｝是等差数列，公差d=l,若%，%，%成等比数列，数列｛"｝

的前〃项和为s,二^l.

"2

⑴求。“及”：

(2)求数列｛。1A｝的前〃项和Z,.

3.(25・26高三上•江苏南京•期中)已知数列｛%｝的首项％=1,且满足递推关系%+广3%+4.

⑴求证：｛%+2｝是等比数列，并求数列｛%｝的通项公式；

(2)记”=区立，数列｛2｝的前〃项和为。，若乙.北二39,求加.

a/4+i

4.(25-26高二上・江苏泰州・月考)设正项数列｛为｝的前〃项和为S“，2s

(1)求数列｛%｝的通项公式：

(2)设"=二4-记数列出；的前〃项和7；,求证：丁“<!

9

5.(25-26高三上•天津滨海新•期中)己知数列｛q｝是等差数列，也｝是公比不为1的等比数列，%=6,

4+%=22,3a.=%,且24是3bl与b3的等差中项.

(1)求数列｛%｝,｛4｝的通项公式;

(-1)"心,〃为奇数，

⑵设〃二•(4n-\)b'求Z&；

(1为偶数/=,

⑶若对于数列｛4｝,也｝,在4和k