浙江省宁波市2025-2026学年高二年级上册九校联考数学试题（原卷+解析）

宁波市2025学年第一学期期末九校联考

高二数学试题

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

"（2+2—）-"2）=2

则八2）1

1.已知函数满足—"一)

A.0B.1C.2D.4

2.已知双曲线方程为9y2一/二],则该双曲线的渐近线方程是（）

A.y=±-xB.y=±3xC.y=±-xD.y=±9x

39

3.若｛£,及同构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A.+B-c｝B.｛瓦〃+瓦〃一耳

C.[a+b,a-\-b+c,c!D.\a-\-b,a-b,cl

4.直线/：y=x-2与圆。：_?+）,2一2）一7二。的位置关系是（）

A.相离B.相交C.相切D.无法确定

5.己知数列｛/｝满足4=」一〃+2且｛为｝是递增数列，则实数冗的取值范围是（）

4/?-1,/?>3

<5\「5\

A.（3,4）B.[3,4）C.-,4D,-,4

12/L）

6.如图，已知二面角。一/一4的棱上有两点A8,线段3。与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都

垂直于棱.若AB=2,AC=3,3D=4,CO=J万，则平面。与平面夕的夹角为（）

C.60°D.90°

左、右焦点为耳，鸟，点尸在C上且位于第一象限，且尸耳JLPg,

延长交》轴于点。，记△尸月E的内切圆为C1,△PQG的内切圆为G.若圆G与外切，求椭圆C

的离心率为（）

A.V3-1B.V2-1C.2D.1

2-

8.己知数列｛4｝、也｝、仁｝的通项公式为4=20〃+26也=2向-1,。〃=/14+（1-；1）包.若对任意

的2£（0,1）；册、"、c”的值均能构成三角形，则满足条件的正整数〃的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线4:mx+y+2〃?一l=。，直线4：x+"2y+2=。，则（）

A,直线4过定点（-2,1）

B.若/]〃，2，则a=±1

C.若41/2,则利=0

9

D.若〃2<0,则直线乙与坐标轴围成的三角形面积的最小值为；

10.设曲线+）,2+“—Z-3,则（）

A.曲线。关于>轴对称

B.曲线。上的点到坐标原点。的距离的最大值为2

C.曲线C上点的纵坐标的取值范围是一3，■!

D.曲线C的内部有9个整点（横纵坐标均为整数）

11.在直三楂柱ABC—A4G中，A8_18cBe=2A8,AC=5,A4=2,。是底边AC上一点，且而=

/IAC（O<2<1）,则（）

A.直三棱柱ABC-A4G外接球的表面积为29兀

B.当时，平面平面G3。

C.直线A。与所成角的余弦的最大值为与

D.点£是4。的中点，点“是线段"G上的一个动点，则口的最小值为

2

第n卷

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.记S”为等比数列｛4｝的前〃项和，若$3=2,$6=18,则公比右.

13.已知抛物线C：V=4x,直线/过点尸（3,0）,且与C交于A3两点，其中点A在第一象限，若

后=!而,则直线/的斜率为___________.

3

14.己知函数/（x）=V-妙2一/1在x«一],2）上既有最大值，又有最小值，则实数。取值范闱为

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2

15.已知函数/（x）=—7+方①｛对.

e

（1）若。=3,求函数/（x）在点（0,2）处的切线方程：

（2）讨论函数“X）的极值.

16.已知数列｛〃”｝前〃项和为%若数列满足S〃=皆•〃“，且q=l.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）若。〃二」一,求数列｛2｝的前〃项和

a,4+2

17.如图，在三棱台ABC-A^C,中，平面ABB^_L平面ABC,E为CG的中点，

CA=CB,AB=2AA,=2阴=2A]^=4.

（1）证明：A4J.A,。；

（2）当二棱台43。—44G的体积为2走时，求直线与平面44石所成角的正弦值.

3

18.已知椭圆C:£+，=l（a>〃>0）过点（1,等），且离心率为手.

（1）求椭圆C标准方程；

（2）A为椭圆C上顶点，过点7（0,2）作直线/交椭圆。于M,N两点，M在第一象限，直线AM的斜

率为3M,直线AN的斜率为k.

（i）证明怎w•匕卬为定值;

\TM\

（ii）过M作垂直于x轴的直线与AN交于点尸，。为MP的中点，延氏AQ交直线/于点G,求—的

\GM\

取值范围.

19.已知函数/（X）=ln（x+1）—/次.

（1）若“X）在（o,y）上单调递增，求实数。的取值范围；

（2）当〃〉0时，/（力有两个不同的零点%,无2和一个极值点方.记

4（40）潭（私0）,。&"小））.

（i）证明：/（安七）<0；

（ii）判断VA3c是否可能为等腰三角形，并说明理由.

宁波市2025学年第一学期期末九校联考

高二数学试题

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

"（2+2—）-"2）=2

则八2）1

1.已知函数满足—"一)

A.0B.1C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得.

【详解】已知小）满足㈣〃2+2?/⑵*

则2Hm"2+2词-《Ln"”3-〃％,僦⑵”

A-*。2AJV2Ax

故选：B

2.已知双曲线的方程为9y2一/=],则该双曲线的渐近线方程是（）

A.）,=±LB.y-±3xC.y=±LD.y—±9x

39

【答案】A

【解析】

【分析】先化方程为标准方程，利用渐近线求法直接计算即可.

2

__—_—v211|

【详解】由9y2_/=]得1八=，所以/9二"=91,所以。=一切=1；

-93

所以该双曲线的渐近线方程为y=士3x=±』x；

b3

故选：A

3.若｛2,反。构成空间一个基底，则下列向量不共面的是（）

A.B.a+b,a-b

C.\a+b,a-^-b+c,cD.｛3+瓦力,2｝

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间向量共面的定义逐项判断即可求解.

【详解】对于A选项,有％=,+0+（5-0,所以—2共面;

对于B选项，有勿=2+坂-R—B）,所以反1+共面：

对干C选项，a+B=（a+B+c）-c,所以Z++B+共面.

对于D选项，假设1+瓦共面,则有3=x（£+〃）+y（£"）,

即Z=（x-y）日+（x+y）Z,由此有入及2共面，与已知条件矛盾，

所以。+A。-B,c不共面；

故选：D

4.直线/：y=x-2与圆。：“2+）,2一2）,一7二0的位置关系是（）

A.相离B.相交C.相切D.无法确定

【答案】B

【解析】

【分析】计算圆心到直线的距离并与半径比较.

【详解】圆C:f+（y-1『=8,则圆心C（0』），半径r=2加，

|0-1-2|_372

则圆心C到直线/：y=X-2的距离为V2~~T<

故直线与圆的位置关系是相交.

故选:B

5.已知数列｛q｝满足q=♦；；_；且｛〃“｝是递增数列，则实数4的取值范围是（）

、\「5、

A.（3,4）B.[3,4）C.；,4D.-,4

\乙）

【答案】c

【解析】

【分析】根据递增数列的定义建立不等式组，解之可得选项.

-n2+22/?,n<3

详解】已知％=■

>3

〃>3时，。“二4〃—1,是斜率为4的一次函数，单调递增,

鹿<3,an=-n2+2/1〃，函数为开口向下的二次函数，

对正整数〃=1,2,3,{〃”}递增，即相邻的项满足：a3>a2,%>4

53

代人得：一9十64>—4+4义=>4>—,出>/解得：尤>一,

2-2

故要使〃W3时数列递增，需

同时分段点处需满足由<4，

即一9+64<4x4—l=6；l<24,4<4,

综上2取值范围是（1,4）.

故选:C

6.如图，已知二面角。一/一4的棱上有两点A8,线段8。与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都

垂直于棱.若人4=2,AC=3,4D=4,CO=J万，则平面a与平面夕的夹角为（）

【解析】

——Qjr

【分析】根据题意可知E=C4+而+砺，结合数量积运算可得CA即可得面面夹角.

【详解】由题意可知：色q=2,同=3,|M=4,|西=\57,法.浅=法.览=0,

因为Cz5=c4+A豆+B/5,

则诙2=（SX+而+而）2=示+帚+而?+2瓦•丽+2丽・丽+2SX•丽，

即17=9+4+16+2X3X4COS^^,BZ5,解得cosSX,而=-g,

且瓦，而£[0可则。4,8万=与，

——,7T

所以平面。与平面少的夹角为7T-CA,4O=§.

故选：C.

7.已知椭圆。：三十木=1(〃>>>0)的左、右焦点为耳，鸟，点「在。上且位于第一象限，旦尸石_1尸鸟,

延长8夕交》轴于点Q,记的内切圆为G，△。。片的内切圆为C2.若圆G与G外切，求椭圆c

的离心率为()

73

A.V3-1B.V2-1r

2

【答案】A

【解

【分析】利用直角三角形的内切圆的几何性质，可得到两内切圆全等，从而可得P为QK的中点，即可得P

的坐标，再通过斜率乘积为-1,可得到齐次方程来求离心率.

【详解】

由于圆G与外切，且都与尸月相切，所以切点A在两圆连心线GC?上,

设两圆G,g与QF?分别相切于点D,B,因为尸石_L*"

所以可得四边形C2Ap8与四边形GAP。都是正方形，且它们的边长相等,

即四边形GA尸B与四边形GAPD是全等四边形,

则两内切圆G，。2的半径相等，从而可得到4^夕。三△耳。鸟,

所以P为。鸟的中点，即P的横坐标为5,

设尸的纵坐标为f,则有二十1=1=r=从「FT

4a~Z?I4cr

由于P"_LPg,可得,c_=-4C»

Icc

化简得：e4-8/+4=0,解得/=4一26或/=4+2百(舍去)，

因为ew(O,l),所以可解得6=6一1，

故选：A

8.已知数列{4}、{4}、匕}的通项公式为q=20九+26也=2.-1，G=M+(1T)4.若对任意

的4w(0,l)；*、b,、c”的值均能构成三角形，则满足条件的正整数〃的个数是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角形三边关系列出不等式，结合数列的单调性求解不等式，确定满足条件的正整数〃的个数.

【详解】因%=4q+(1-4)〃，2e(O,l),则C“介于””和2之间，

即min{〃”,力“}<cn<max{an,Z?J,

因为〃“、5、c”的值均能构成三角形，所以需满足min(%,ZJJ+C”>max{%,〃},

即2min{a〃，2}Nmax{a〃，2},

当〃=1时，q=46,4=3,所以24=6<46,不满足；

当〃=2时，a2=66,Z?2=7,所以24=14<66,不满足：

当”=3时，6=86也=15,所以2%=30<86,不满足；

当〃=4时，4=106,4=31,所以24=62<106,不满足；

当〃=5时，。5=126也=63,所以2々=126,满足；

当〃=6时，4=146也=127,所以2%=254>146,满足;

当〃=7时，a7=166.b7=255,所以2火=332>255.满足:

当〃=8时，％=186也=511,所以24=372<511,不满足:

当〃>8时，2向-1增长速度比20〃+26快，所以不满足，

综上，满足条件的正整数〃为5,6,7,共3个，

故选:B

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线4：3+)，+2〃?-1=0,直线&：大+，〃>+2=0,则()

A,直线4过定点(一2,1)

B.若/J/4，则m=±l

C.若4则〃2=0

9

D,若加(0,则直线4与坐标釉围成的三角形面积的最小值为彳

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据直线过定点、两条直线平行与垂直以及三角形面积公式逐一分析即可.

0化为利(x+2)+y—l=0

y-1=u[)'=1

线4过定点(-2,1),故A正确.

mj

若，〃4，则一=一，解得加=±1,当机=1时，直线4：x+y+i=0,直线/2：1+)'+2=0,符合题

1/W

意；

当〃z=_］时，直线4：_x+y_3=0,直线6：1―5+2=0=_1+,一2=0,符合题意：故B正确，

若乙上4,则〃2X1+1X〃2=O,解得加=0,当〃7=0时，直线4：y一1：=0,直线/2：工+2=0,符合题

意；故C正确，

令直线乙：〃a+丁+26-1=0中x=0,则y=l-2"?>0,令>=。X=--2<0,

m

坐标轴围成的三角形面积为S=g•卜2/2--=^.(1-2/«)-|2--\1(1〕

-=--4----4m,

2m2V5"21m)

/.-m>0,/.--2/f一~-jx(-4/n)=4,当且仅当--=-4m,即〃?=-•!•时等号成

m2

立，

此时Smm=g（4+4）=4,故D错误.

故选：ABC.

10.i殳曲线C:Jd+p+方一2|=3,则（）

A.曲线C关于N轴对称

B.曲线C上的点到坐标原点。的距离的最大值为2

C.曲线C上点的纵坐标的取值范围是一；，[

D.曲线。的内部有9个整点（横纵坐标均为整数）

【答案】ACD

【解析】

【分析】讨论）'与2的大小关系，化简即可得到曲线C关于）'轴对称，曲线C上点的纵坐标的取值范围，由

纵坐标的取值范围得到曲线。上的点到坐标原点。的距离最大值，列举可得曲线C的内部的整点.

【详解】尸"=3—上一2|,

当），22时，Jf+y2=5—y,平方整理得y=ye[2,1],

当y<2时，J/+）尸=），+i，平方整理得y=），w[_g,2）,

曲线。关于轴对称，A正确；

则曲线c上点的纵坐标的取值范围是一;,弓,c正确，

+/=3-|y-2|<3,当户士石,），=2时取等号，则曲线。上的点到坐标原点。的距离的最大值

为3,B错误；

由C知，曲线C的内部的整点纵坐标可能为2,1,0,

当y=2时，令一记f+5=2,得尤=土石，

当y=l时，令1/一i=1得工=土石，

22

当F=0时，令」x2-_t=o得工=±],

22

结合图像可得曲线内部的整点为:(2,2),(-2,2),(-1,2),(1,2),(0,2),(1,1),(0,1),(0,0)共9个，D正

确：

故选：ACD.

11.在直三棱柱A8C-A与G中，AB_LBC,BC=2A比AC=5,=2,。是底边AC上一点，且而=

AAC(O<A<1),M()

A.直三棱柱ABC-AAG外接球的表面积为297r

B.当=g时，平面平面GB。

C.直线A。与8c所成角的余弦的最大值为竽

D.点七是4。的中点，点尸是线段BG上的一个动点，则所的最小值为亚

2

【答案】ABD

【解析】

【分析】把直三楂柱补形为长方体，利用长方体的体对角线即外接球的直径，后计算外接球的表面积判断A

选项；以8为原点，分别以4所在直线为x,yz轴建立空间直角坐标系，通过判断法向量是否垂

直判断B选项；构建关于4的函数，分析其最大值判断C选项；取AA的中点，记为M，取4。的中点,

记为N,因为点E是的中点，所以点七的轨迹是线段MV.因为点尸是线段BG上的一个动点，所以

律的最小值，即为线段上的点到线段8G的距离的最小值，结合长方体的性质可求得此距离，判断

D.

【详解】直三棱柱ABC-AqG的底面ABC中，AB上BC,所以可将直三棱柱补为如图所示长方体，则

其外接球直径d为长方体体对角线.

因为AB_LAC,所以8。2+4外=4。2.

因为BC=2A民AC=5,所以5BC?=25，所以5C?=5,AB?=4BC2=20.

所以直三棱柱ABC-A,4G外接球直径d=^AB2+BC2+A^=J5+20+4=J西，

半径《二叵，表面积：5=4万氏2=4万・空=29%，A选项正确;

24

以8为原点，与方向为乂y,z轴建立空间坐标系,

8（0,0,0）,A（0,逐,0）,C（2V5,0,0）,4（0,6,2）,C,（2^0,2）,

则就=（2氐-技0）,BA=（0,75,0）,^4=（0,0,-2）.

1—>1—«

当”=—时，，AD=—AC=

55

W。］,

珂=（o,6,2）,BL5=BA+AI5=西=（26,0,2）.

J

nABAi=亚b+2c=0

设平面4区。的一个法向量匕=(a/,c),则＜

询=当"号b=0

令〃=2,则〃=一1,z=@,即q=2,-1,-^

2

n2BCx=2\f5p+2r=0

设平面。田。的一个法向量为=(〃4/・)，由

一»n2小4小n

nBD=----p+----q=0

255

令p=-2,则4=1,r=2石,即〃2=卜2,1,2方）

因为4•%=2x（-2）+1x（-1）+^y-x25/5=-4-1+5=0

故平面A3O_L平面GBD,B选项正确.

设套=9+而=中+4/=仅逐4一&,一2),亚=(2技0,0),

|丽•就|_|20或2&

设直线4。与8C所成的角为〃，则cos6=

|AD||Bc|《25万+4义2后，25分+4

设“加建2=2可/^=2圆/^,北(。4

因为见£(()』],所以分«0,1],所以^E[4,+8),所以25+3429,+8),

AA

所以等]

当4=0时，/(/l)=o,

R

即在4=1,7(久)取得最大值，最大值为/0)=篇9，所以c选项错误；

对于选项D,如图所示，取AA|的中点，记为M,取AC的中点，记为N,

因为点E是A。的中点，所以点E的轨迹是线段MN.

因为点”是线段8G上的•个动点，所以E/的最小值，即为线段MN上的点到线段8G的距离的最小值.

过N作BG的平行线，交长方体的棱于点K,L,由长方体的性质知，KL分别为所在棱的中点.

因为A3_L平面BCCM，所以幺3_L3G，43_LKL,

所以KL与8G间的距离为_LA8=且.

22

因为M,N均在平面BQLK的同侧，

所以点N到BC1的距离(即KL与BG间的距离)即为所求最小值.

B

第n卷

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.记S“为等比数列｛q｝的前〃项和，若&=2,S6=18,则公比9=.

【答案】2

【解析】

【分析】直接根据等比数列前〃项和的性质，即前〃项和的片段用性质可得.

【详解】因为数列｛q｝为等比数列，且S3=266=18,

所以§6=6+%+6+4+%+即=S3+a4+生/+

=$+943=2+2/,即2+2/=18,解得4=2.

故答案为：2

13.已知抛物线C:y2=4x,直线/过点尸（3,0）,且与C交于A8两点，其中点4在第一象限，若

AP=-PB,则直线/的斜率为___________.

3

【答案】-1

【解析】

【分析】设直线/的方程为1=切+3,设点A（x,,yJ（y>0）、3（%,％），将直线/的方程与抛物线。

的方程联立，列出韦达定理，由向量关系可得出），2二一3,，代入韦达定理求出机的值，即可得出直线/的

斜率.

【详解】由于过点。（3,0）的直线/与抛物线C:y2=4x相交于A、6两点，故直线斜率不为0,

设直线/的方程为4=缈+3,设点A（%,y）（y>0）、

x=my+3..

联立〈、,可得y-4〃少-12=0,A=16//r+48>0>

j~=4x-

由韦达定理可得y+%=4/n,y｝y2=-12,

因为=所以（3-冷一yj=g（9-3,%），可得力=-3y-

则%力=-3>7=-12,解得y=2，/.y+必=-2yl=-4=4〃？，

解得帆=一1,所以直线/的方程为1=一丁+3,即），=一1+3,

所以直线/的斜率为左二一1.

故答案为：一1.

14.已知函数/(x)=d-以2-/x在x«T2)上既有最大值，又有最小值，则实数。的取值范围为

【答案】-<a<2

【解析】

【分析】先对函数求导，根据导数判断函数的单调性，再结合函数在给定区间既有最大值又有最小值，建立

不等式，求解.

【详解】//(x)=3x2-2ox-a2,令/'(力=0,即3/一2火一/二0，

解得工=。或1=一且，

3

要使函数/(力=/一⑪2—。2/在1«一］,2)上既有最大值，又有最小值，

则必须满足两个极值点都在(-1,2)内，且极值点处的函数值必须为区间内的最大值和最小值；

若〃>0,此时。〉一0，则需要•3,解得0<"2；

3-1<67<2

所以函数/(力在卜1,一向上单调递增，在卜上单调递减，在(。,2)上单调递增;

所以“X)极大―/(后卜普’小)极小值=〃〃)=—△/(T)=/—a—L

〃2)=-2/-4〃+8,

5/

If(—)2/(2N—2ci~-4。+8

则需满足，3八即I万

/(«)</(-1)-a3<,c7r-a-\1

解得若，

所以9«〃<2；

5

-1<--<2

若。v0,此时。<一色,则需要，3,解得—IvavO；

3

-1<«<2

〃力在（1,a）上单调递增，在凡-?上单调递减，在（-9,2）上单调递增;

所以小）极小值=/1£）号，极大d乙"T）=ajf

/(2)=-2/-4。+8,

/⑷>/(2)-a3>-2a2-4a+8

则需满足，即《5〃，2।，无解;

——<a-a-\

27

若〃=0,则/'（式）=3920恒成立，所以函数〃可在（一1,2）上单调递增,

无最大值和最小值，

综上所述：〃的取值范围为9«Q<2.

5

故答案为：-<a<2

5

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2

15.已知函数/（工）==+以（。€均.

e

（1）若。=3,求函数〃力在点（。,2）处的切线方程；

（2）讨论函数的极值.

【答案】（1）y=x+2

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可；

（2）按照aWO,a>0,分类讨论研究函数的单调性，进而求出极值.

【小问1详解】

2

当。=3时，r（x）=—+3%,因为/（0）=2,所以切点为（0,2）,

e

2

又r"）=3-=，所以切线斜率&=r（o）=i,

e

故切线方程为丁-2二1。-0）,即y=/+2；

【小问2详解】

,22aex-2

函数/（另=三十公的定义域为R，且广（力一〃

eee

当〃40时，r（x）＜0恒成立，所以/（%）在R上单调递减，f（x）无极值.

92

当〃＞0时，令解得＞＞ln—；令/'（x）＜0,解得＞vln—,

一e,ln22]上单调递减，在In[,+上单调递漕，f\\n-2\=a+a\n2-

所以〃力在t

a

2

所以/（X）的极小值为a+aln—，无极大值.

（X

16.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，若数列满足S〃二等■〃“，且4=1.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

,1，、

（2）若b0=------,求数列出｝的前〃项和

anant2

【答案】（1）an=n

31

(2)--

421〃+1n+2)

【解析】

【分析】（I）根据4,S”的关系得到数列｛4｝的递推关系，再根据4=1求出｛〃”｝的通项公式;

（2）利用裂项相消法求和.

【小问1详解】

〃+1n

当〃之2时，4=S「S〃_1a

2乙

a

整理得na_=(/?-1)«,,,即n-\=^(n>2),

nKn-\n

又q=1,所以;=1,

所以”=1,从而%=〃.（累乘法也可）

n

【小问2详解】

,1111

因为〃=-

44+2〃(〃+2)2、〃72+2

所以雹=；［11、(\1

1

324;1")(〃〃+2

212n+ln+2J421〃+1n+2J

17.如图，在三棱台ABC-A^C.中，平面A叫A_L平面ABC，£为CG的中点，

CA=CB,AB=2AA,=IBB.=2A.B,=4.

（1）证明：AS_LA。：

（2）当三极台48C—的体积为述时，求直线CG与平面4片£所成角的正弦值.

3

【答案】（1）证明见解析

⑵3

【解析】

【分析】（1）根据面面垂直的性质可得OC_L平面进而得OC_LAB1,进而根据菱形的性质可得

481_LA。，即可根据线面垂直的判定求解，

（2）根据体积公式可求解长度，进而建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量的夹角即可得解.

【小问1详解】

证明：取48中点。，连接。。,。4,44.

由C4=C3得，OCLAH.

因为平面J•平面ABC,平面ABqan平面A3C=AB,OCu平面ABC,

所以OC_L平面.

又因为u平面A3与4,所以OC_L4片.

又AA=AA=AO=2,所以四边形AAOA是菱形,从而A&_LAQ.

又。。口4。=0,所以平面A0C.

又A|Cu平面AOC,所以AB|_LAC・

【小问2详解】

取,4内的中点M,连接。M,则OW_L48,

因为平面ABB{\_L平面ABC,平面ABBX\Q平面ABC=AB,OMu平面ABB[AX,

所以。M_L平面ABC.

所以三楂台ABC—44。1的高〃=0用=1442-（；45-344）=6

设OC=a»则=2a,二/»

从而V=；（S“i3c+S：+JSMBC，Smg）h=*2。+羡+向二=解得a=2.

JD14V4/J

以。为原点，直线O8,OC,OM分别为工轴，》轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则C（0,2,0）,G（0,l词,E吟亭,A（-1,0,73）,^（1,0,73）,

cq=（0,-i,V3）,4^=（2,0,0）,A^=

设平面A用E的法向量五=（x，y，z），

2x=0,

即《36令z=+,则），=1,元二（0」,右），

X+2y-TZ=0,

设直线CC,与平面4区E所成角为。,

CCxnH+3|J

则sin^=cos|CQ,7z

Ji+3,Jl+32

故直线CC,与平面4⑸E所成角的正弦值为3.

18.已知椭圆C:5+，=l（4>b>0）过点1,,且离心率为且

2

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）A为椭圆C上顶点，过点7（0,2）作直线/交椭圆C于M.N两点，M在第一象限，直线AM的斜

率为kAM,直线AN的斜率为心八.

（i）证明3M为定值；

（ii）过M作垂直于x轴的直线与AN交于点?，。为M尸的中点，延长AQ交直线/于点G,求局的

取值范K

【答案】（1）—+y2=l

4.

（2）（i）证明见解析，（ii）（2,+00）

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的离心率公式和椭圆中©Ac的关系列出方程即可求解：

（2）（i）联立直线方程与椭圆的方程，根据根与系数的关系和斜率公式即可求解；

5）利用直线4M与AN的方程求出直线AQ的方程，然后与直线MN的方程联立，可求得点G的坐标,

最后将廛转化为''厂，结合）3的范围即可求解・

\GM\加一先

【小问1详解】

因为椭圆C:5+芯=1（〃>〃>0）过点（1,旁），且离心率为日；

1,3_1CI,b2Gnr,1

所以-~H——1>e=-=.l-7=—，即一7二一；

a24b2aV622a24

解得〃2=4,b2=[,

2

所以椭圆。的方程为r二+），2=1;

4,

【小问2详解】

（i）依题意，直线/的斜率存在，设/：y=依+2仕＜0）,%（%,%），

Iy=kx+2

—16k12-16k—4k

所以…l罚』二E'所以上「二TF二不4k

即x}+x2=

YW+)‘2%=(S+2)/+(3+2)x=2%马+2(芭+z)24k-32k-Sk

~4k2+\+4k2+\-4公+1

△二16廉2-4乂12（4公+］）=16（4*—3）＞0,解得左£一少,

又M在第一象限，所以攵£一双

2

/\Vi-1.y,-1

由（1）知，A（O,1）,所以心f“二一一，火.二上一

所以心M二(丁7)(%T)=(依+1)(3+1)=公x/2+%(%+速)+1\2k2-\6k2+4k2+1

“XxX2XtX2X^X-2~12

1

12

(ii)

x+1,令x=x，则%=(”-')、+上

X2X?

(y,-l)x+x>

)%+Wy+——――-=Y&+%--芯+?2何工2+%+3々

又。为A/P的中点，所以）b=x

222x,2X

Y2

山川八2代X,+办+3为

所以Q%,一~-----

2匹

2kx]x2+3X2

所以直线AQ的斜率.2%_2a%+(-+%)：

kAQ=

玉2X}X2

2

AL—kx^XI

又耳+々=一左王X2,所以左二322/,所以直线4。的方程为），=£"+1

3八。2中233

,3=扣+1

‘得%=一去％.

由：

y=kx\2