九年级上册数学《二次函数与一元二次方程》8大题型（学生版+解析版）

目录

【题型1抛物线与X轴的交点】......................................................3

【题型2利用二次函数的图象确定方程根的情况】.....................................3

【题型3求x轴与抛物线的截线长】..................................................4

【题型4利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】................................5

【题型5利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】............................6

【题型6利用不等式求自变量或函数值的取值范围】...................................7

【题型7根据两函数交点确定不等式的解集】...........................................8

【题型8抛物线与x轴交点上的四点问题】............................................9

知识点1二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程是二次函数的函数值）=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次

函数的图象与x轴交点的横坐标.

（1）若抛物线）=加+公+。（存0）与x轴两交点的横坐标分别为两，必，则西，为一元二次方程

or2+Z»x4-c=0（f/^0）的两个根.

（2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：

知识点2利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解

利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤

（1）画出二次函数广加+法+8存。）的图象；

（2）确定二次函数产aF+bx+c（今0）的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间；

（3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应），值正负交

替的地方.

二次函数与一元二次方程•八大题型（学生版）

通过列表求近似根的具体过程：

在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看），对

应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个时应值之中必有个近似根，比如x由两

取到工2时，对应），的值出现力＞0,必＜0或乃＜0,乃＞0，那么两，应中必有一个是近似根，比较Ml

与卜2的大小，若M卜上1，则说明应是近似根；反之，则说明曲是近似根.从图象上观察，Cv,），）

离X轴越近，），值越接近0，而产0时X的值就是方程的确切根.

知识点3二次函数与一元二次不等式的关系

利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤：

（1）将一元二次不等式化为或V0）的形式；

（2）明确二次项系数。的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算层-4ac的值；

（3）作出不等式对应的二次函数户办2+公+。的草图；

（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在.丫轴下方的图象对应的函数值小于零.

以产加+公+°（〃＞0）为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：

^=b2-4acA>0A=0A<0

二次函数kyy

y^ax^+bx+c

XD

X|=X

（4＞0）的图像o2X1

一元二次方程

b

ax2+bx-^c=0XI，X2没有实数根

3＞0）的根

不等式

\<5或X>X2.小|的一切实数全体实数

（。＞0）的解集

不等式

ax2+bx+c＜0X\<X<X2无解无解

（。＞0）的解集

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二次函数与一元二次方程-八大题型(学生版)

【题型1抛物线与X轴的交点】

【例1】已知二次函数产以2_4如+4〃+4为常数且存0).

(1)当函数图象经过(4,0),求该二次函数的表达式.

(2)若,判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明.

(3)若该函数图象上有两点4(X1J］),B(X2J2)，其中两令2，若。<0，刖+%2>4.求证：y\>y2-

【变式1-1］若抛物线与x轴只有一个公共点，则。的值为.

【变式1-2］己知二次函数)=%2+2〃氏+加-2,〃-3(机为常数)的图象与工轴有交点，当x>2时，)，随x

的增大而增大，则m的取值范闱是()

A.加之一;B.-1</w<2C.tn<2D.

【变式1-3］二次函数严内2-(a+l)x-2a-1(〃为常数，公>0).

(1)若该二次函数图象关于直线x=l对称，求。的值；

(2)若该二次函数图象上点M(1ji),N(2J2)满足Vi<丝，求。的范围；

⑶若该二次函数图象上两个不同的点M3,)，D，Mr,”)满足M+9=-2,求为+为的取值范围

【题型2利用二次函数的图象确定方程根的情况】

【例2】如图所示是二次函数产ax2+〃x+cG押〕的部分图象，该函数图象的对称轴是直线尸1,图象

与y轴交点的纵坐标是2.则下列结论：①2〃+氏()；②方程”2+云+c=()一定有一个根在-2和-1之

间；③方程加+法+・。=0一定有两个不相等的实数根；④点8(X2,,《2在抛物线上，且

当为十应>2时，yI>y2;⑤函数y的最大值大于其中正确结论的个数为()

【变式2-1］已知关于x的一元二次方程cvc2+bx+c-0的一个根是x=3,且二次函数的对

称轴是直线ml,则此方程a,F+灰+c=0的另一个根为.

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二次函数与一元二次方程•八大题型(学生版)

【变式2-2】如图，抛物线)=〃/与直线产法+c的两个交点坐标分别为4(-2,4),8(1,1),则关于x

的方程(ir-bx-c=O的解为.

【变式2-3］若一次函数产江+力什式分。)与x轴交于(-1,0)和(3,0),关于x的一元一次方程

存0)的两个根分别是他和〃，则2+%=.

n\n

【题型3求x轴与抛物线的截线长】

【例3】在平面直角坐标系中，已知抛物线)=c*-2办+c(a>0).

(1)当a=c时，

①求抛物线的顶点坐标.

②将抛物线向下平移机个单位(心0),若平移后的抛物线过点。-8),且与x轴两交点之间的距离

为6,求m的值.

⑵已知点M(2,2〃+l),N(T，3〃+2)在抛物线上，且"0,求〃的取值范围.

【变式3-1】设二次函数y\=(x-x1Xx-x2)(xi^x2)的图像与一次函数y2=6x+2的图像交于点(孙0),

若函数y=y+)，2的图像与x轴仅有一个交点，则归-必1的值是()

A.6B.8C.?D.7

【变式3-2】已知关于x的一元二次方程炉一俗-1比十。-2=0.

⑴求证：该方程总有两个实数根；

⑵若抛物线)=f_(〃_1卜+〃_2与x轴交于点4B,且43=2,求。的值.

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二次函数与一元二次方程•八大题型（学生版）

【变式3-3］已知Q（x2j2）是抛物线）=/+儿bit的两个不同点.

4

（1）若P,。两点都在直线尸-。上，求线段PQ的长；

4

（2）若抛物线关于y轴对称，直线尸。过坐标原点。，求打击的值；

（3）若点尸，。在抛物线对称轴的左侧，M，处为整数，且为々2,证明：由-应+）--＞为正值.

【题型4利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】

【例4】如图是二次函数产办2+以+。的图象，图象上有两点分别为A（2.68,0.54）,B（2.18-0.56）,

则关于x的方程av2+^+c=0的一个根可能是（）

【变式4-1］如表中列出了二次函数产oxHbx+c（存0）的一些对应值，则一一元二次方程（后也出力5羊。）

的解工的范围是.（两相邻整数之间）

【变式4-2】小明用GG8探索方程加+笈+c=0（存0,。、b、c为常数）的根，作出如图所示的图象,

并求得一个近似根尸-3.4,则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（）

A.2.4D.1.6

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【变式4-3］在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完

成.如，求方程/-2工-2=0的实数根的近似解，观察函数丁=］2-21-2的图象，发现，当自变

量为2时，函数值小于0（点（2,-2）在无轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点（3,

1）在x轴上方）.因为抛物线2是一条连续不断的曲线，所以抛物线），=/-合-2在

2Vx<3这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0,即方程/-2丫

-2=0在2、3之间有根.进一步，我们取2和3的平均数2.5,计算可知，对应的数值为-0.75,

与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实

值的差都不会大于3-2.5=（）.5.重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实

值.用以上方法求得方程9-筋-2=0的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超

过0.3,该近似解为

【题型5利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】

【例5】二次函数工+&存0］的图象如图所示，则不等式以2+公+CW3的解集是

【变式5-1】二次函数产/一厂2的图象如图所示，则函数值）>0时，自变量大的取值范围是（）

A.欢一1B.x>2D.x<-\或x>2

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【变式5-2］二次函数严加+历出;(今0)的图象如图，根据图象解答下列问题:

(2)直接写出)，随x的增大而减小时自变量x的取值范围;

⑶直接写出关于x的不等式以2+法+”()的解集.

【变式5-3】抛物线产渡+饭+★翔］如图所示，抛物线与x轴交于点(-1,0),顶点坐标为(1,〃)

下列结论：①〃c<()；②8〃+4/?=()；③对于任意实数〃，都有。序+加+仑利；④当一i〈x<3时，yX).其

中正确的个数是()

【题型6利用不等式求自变量或函数值的取值范围】

【例6］抛物线的顶点纵坐标与抛物线”=-炉-心的顶点纵坐标之和为4.

⑴求〃的值;

⑵己知为抛物线川=/+〃?丫+〃上一点，为抛物线)”=-/-"优上一点.

(i)若仅存在一个正数S,使得s+/=0,求p+q的最大值；

(«)若p=s+2,且当1V<2时，总有什厅4,求机的取值范围.

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【变式&1】已知二次函数）=加-6av+c,当1<丫<2时，函数值y>0；当人>5时，）<0.若点（打%），。+2,〃）

都在函数）="2-64什。上，且"?>心5。，则/的取值范围是.

【变式6-2】已知二次函数广五-砥存0）,经过点P（〃z,2].当），>-1时，x的取值范围为XUT或

心一3T.则如下四个值中有可能为〃2的是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式6-3]在平面直角坐标系屹y中，直线y=2x与抛物线尸交于点A（xiji）、班马力），

且占华，点。是该抛物线上位于A，8两点之间的动点.

（1）当修=-1,与=2时，求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，当面积最大时，求点P的坐标；

（3）设抛物线顶点的横坐标为九，当Xl=〃7,K=〃且它三时，求证：h>—.

c7

【题型7根据两函数交点确定不等式的解集】

【例7】已知抛物线）=/+版+c经过两点"2,-3）,8（4,5）.

⑴求Z?,c值；

⑵当1<A<4时，函数尸的函数值总大于函数）=/+法+。的函数值，且函数广-71+〃的函数值

总小于函数产好+〃什。的函数值.直接写出满足题意的〃的取值范围.

【变式7-1]一次函数乃二〃优+心!视）与二次函数力=aF+Zzr+c（存0）的图象如图所示，则不等式

cv^^（b-in）x+c>n的解集为（）

A..r<3B.犬>-4D.x>3或广-4

【变式7-2]已知二次函数为=4小-4工-1（存0»2=/-云+3,则下列结论正确的是（）

A.^-2<a<0<b,贝珈<丁2B.若一则乃勺2

C.若（）<〃<2</?,则yV））D.若0<〃</?<2,则

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二次函数与一元二次方程-八大题型（学生版）

【变式7-3］定义：若函数G和函数的图象关于直线广〃?对称，则称函数G和。2关于直线广，"互

为“和睦函数''，函数G和。2的图象交点叫做“和睦点

例如：函数产43关于直线广1的“和睦函数”为），=（X-2）2-3,“和睦点”为（1,-2）.下列说法不正确

的序号为.

①函数），=/—2x关于直线尸T的“和陛函数”为广。+3）2-1=/+6.什8，“和陛点”坐标为（T,3）；

②函数）=0-44+1关于直线户机的“和睦点''的纵坐标为〃，当l</w<4时，则〃的取值范围是-2勺W1：

③函数）口炉_4%关于直线户机的“和睦点”纵坐标d满足：库3,团的取值范围是3勺/区2+寸7或

2—/7</n<1

④已知”（1,-2）,M4「2）,函数6：）=。（厂1）2-4〃（心0）关于直线尸2的“和睦函数''为C2,将函数G

与。2的图象组成的图形记为7,若7与线段MN只有2个公共点，则。的取值范围是

【题型8抛物线与x轴交点上的四点问题】

【例8】已知抛物线产电）-3（国。2），抛物线与X轴交于（〃2,0〕,5,0）两点（/n<m，则"7,n,

两，面的大小关系是（）

</j

A.X1<7W<77<X2B.m<xi<x2C.m<xi<n<x2D.x\<m<x2<n

【变式8-1】已知抛物线产-f+/zt+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别爪a</?）,而-/+法+<?-2=0

的两根为M、MM<M，则a、B、M、N的大小顺序为（）

A.a</i<M<NB.M<o#NC.a<M〈N〈0D.M<a<N<»

【变式8-2］在平面坐标系中，抛物线产-3（\-九声5与x轴交于（〃必，5,0）两点，其中〃?<〃.现

将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与x轴交于S，0）,向,0〕两点，且正外下列结论正确的是（

）

A.m+n<p+q,n~m<q-pB.，〃+〃<p+［，n~m>q~p

C.ni+n=p+q,n~m<q-pD.ni+n=p+q,n-m>q-p

【变式8-3］如图，在平面直角坐标系中，抛物线尸-f-2x+〃与x轴交于4、8两点，抛物线产-小+2什〃

与x轴交于C、。两点，其中心0.若AO=38C,则〃的值为.

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目录

【题型1抛物线与X轴的交点】.....................................................10

【题型2利用二次函数的图象确定方程根的情况】......................................14

【题型3求x轴与抛物线的截线长1.........................................................................17

【题型4利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】...............................21

【题型5利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】...........................24

【题型6利用不等式求自变量或函数值的取值范围】...................................26

【题型7根据两函数交点确定不等式的解集】..........................................30

【题型8抛物线与x轴交点上的四点问题】...........................................33

知识点1二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程是二次函数的函数值产0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次

函数的图象与x轴交点的横坐标.

（1）若抛物线）=加+法+。（存0）与X轴两交点的横坐标分别为两，不，则修，必为一元二次方程

axL+bx+c=0（a^0）的两个根.

（2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系:

知识点2利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解

利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤

（1）画出二次函数产ad+ZzY+c、（存0）的图象；

（2）确定二次函数产冰^+c（c*0）的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间；

（3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应），值正负交

替的地方.

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二次函数与一元二次方程-八大题型（解析版）

通过列表求近似根的具体过程：

在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看），对

应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个时应值之中必有个近似根，比如x由两

取到工2时，对应），的值出现力＞0,必＜0或乃＜0,乃＞0，那么两，应中必有一个是近似根，比较Ml

与卜2的大小，若M卜上1，则说明应是近似根；反之，则说明曲是近似根.从图象上观察，Cv,），）

离X轴越近，），值越接近0，而产0时X的值就是方程的确切根.

知识点3二次函数与一元二次不等式的关系

利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤：

（1）将一元二次不等式化为或V0）的形式；

（2）明确二次项系数。的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算层-4ac的值；

（3）作出不等式对应的二次函数户办2+公+。的草图；

（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在.丫轴下方的图象对应的函数值小于零.

以产加+公+°（〃＞0）为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：

^=b2-4acA>0A=0A<0

二次函数kyy

y^ax^+bx+c

XD

X|=X

（4＞0）的图像o2X1

一元二次方程

b

ax2+bx-^c=0XI，X2没有实数根

3＞0）的根

不等式

\<5或X>X2.小|的一切实数全体实数

（。＞0）的解集

不等式

ax2+bx+c＜0X\<X<X2无解无解

（。＞0）的解集

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【题型1抛物线与X轴的交点】

【例1】已知二次函数产以2_4如+4〃+4为常数且存0）.

（1）当函数图象经过（4,0）,求该二次函数的表达式.

（2）若,判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明.

（3）若该函数图象上有两点A（X1J1）,BG2J2），其中X1<X2,若a<0,两+应>4.求证：y\>y2-

【答案】（1）产-/+4M（2）该二次函数图象与x轴无交点，见解析；（3）见解析

【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解

析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可.

（2）令av2-4ar+4〃+4=0,可得A=（-4ay-4〃（4〃+4）=-16〃<0,则方程一4at+4〃+4=0无实数解，即

该二次函数图象与x轴无交点.

（3）由题意得y产。才12-4a+4。+4,y2=。M2—4。X2+4。+4,则可得y1一经〉。，即可得yi•

【详解】（1）解：将（4,0»弋入juar2-4。才+4。+4,

得16a-\6。+4〃+4=0,解得a=-\,

该二次函数的表达式为）.

（2）»：该二次函数图象与x轴无交点.

证明：令ar2-4at+4〃+4=（）,

丁必），

△=（一4。》一4［（4。+4）=16a2-16a2-16a=-\64Vo,

/.方程ar-4ar+4f/4-4=0无实数解，

・・・该二次函数图象与x轴无交点.

（3）证明：・・•该函数图象上有两点4箝,），1）,8（>2,竺），

•*.yi=^12-4a¥|+4«+4,>2=4/2?-4〃X2+4a+4,,

・'・y_）'2=4（司2_与2）_4«。1一处）二@川+”〕（两一冷）一4@|一必）=。（11+与_4）U1-X2）,

\*X\<X2>Xi+X2>4,

XI_A2<0»XI+X2-4>0,

V«<0,

.•・4（工|十M一4）（%1一彳2）>°，,）'］一%>。，即力>>'2.

【变式1-1］若抛物线）=r-6戈+。与X轴只有一个公共点，则。的值为.

【答案】9

【分析】本题考查了抛物线与X地的交点，理解函数与方程的关系是解题的关键.根据二次函数与

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二次函数与一元二次方程-八大题型（解析版）

一元二次方程的关系列方程求解.

【详解】解：由题意得：关于X的方程OF-6x+。有两个相等的实数根，

A=36-4a=0»解得：0=9,故答案为：9.

【变式1-2］已知二次函数）=r+2尔+〃户一2〃L3（〃7为常数）的图象与x轴有交点，当x>2时,y随x

的增大而增大，则m的取值范围是（）

A.B.C.m<2D.m>-2

【答案】A

【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与工轴的交点个数与判别式的关系及二次函

数的性质是解题的关键.

根据图象与x轴有交点，得出判别式AK）,从而解得〃左然后求出抛物线的对称轴，结合抛物

线开口向上，且当x>2时，），随x的增大而增大，可得"2-2,从而得出选项.

【详解】解：,二次函数）=/+2皿工+加2-2〃2-3（小为常数）的图象与x轴有交点，

A=（2//7）2-4Xlx（/n2-2/77-3）>0,解得：m>-

•・•抛物线对称轴为直线户-生=-加，抛物线开口向上，当。2时，），随工的增大而增大，

）xl

.,.一〃02,

••m的取值范围是佗rg,故选：A.

【变式1-3］二次函数）=以2_5+|）（_2〃-1（〃为常数，a>0）.

（1）若该二次函数图象关于直线户1对称，求。的值；

（2）若该二次函数图象上点N（2j2）满足为<为，求。的范围；

⑶若该二次函数图象上两个不同的点M（xi,yi）,NO"?）满足可+历=-2，求为+丁2的取值范围

【答案】；（2）a>g；（3加+法0.

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象的忤质，掌握对称轴公式以及函

数图象的性质是解题的关键.

（1）根据二次函数的对称轴为直线下1即可求出4=1；

（2）将点M2j2）代入二次函数解析式，表示出力-、2，根据）"勺2，即可求解；

（3）将点M（xi,），i）,N（X2J2）代入二次函数解析式，结合工1+.（2=-2,表示出,十”求解即可.

【详解】（1）解：二次函数尸，层-（〃+1）尸2〃-1的对称轴为直线厂-等卷，

.・.1=?!,解得：a=i；

7a

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二次函数与一元二次方程-八大题型（解析版）

（2）解：・・,点M（ljD，N（2,乃）在二次函数图象上，

・二y=。一（。+1）-2。-1=一2。-2,

乃二4。-2（。+1）~2a-1=-3,

♦,）1一,2=-2。-2-（-3）=-24+1,

•事<"，

-〉2=-2。+1<0，解得：；

（3）解：点M（xi，v）,N（XZ,J2）在二次函数图象上，

,2=2-+

•.yi=axi-（a+\）x\-2a~1,y2^2（^1）x2-2a~1,

\*X|+切=-2,

・••及=-2一西，

代入/2二a丫22-（。+1）工2—2。-1得>2=。（一2一力/一（。+1）（—2—为）一2〃一1二6|2+（5。+1）为+4。+1,

.•.）］+），2=。修2-3+1）jq-2〃-1+oT|2+（5〃+1）X|+4a+1

=2or2+4奴］+2〃

=2<7（X|24-2XI+1）

二2。（工i+l产，

Vtz>0>（xi+l）2>0»

・・・）廿），2=2抬1+1丫川・

【题型2利用二次函数的图象确定方程根的情况】

【例2】如图所示是二次函数产金2+公+«存o〕的部分图象，该函数图象的对称轴是直线冲1,图象

与y轴交点的纵坐标是2.则下列结论：①为十氏0；②方程加+法+c=0一定有一个根在-2和-1之

间；③方程加+bx+c-4=0一定有两个不相等的实数根；④点*riji）,8MV2在抛物线上，JBLXI<1<¥2,

当西十电〉2时，⑤函数y的最大值大于今其中正确结论的个数为（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】B

【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的

坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合的方法解决问题.根据二

次函数的对称性，开口方向等来判断结论够，根据二次函数与一元二次方程的关系来判断结论③，

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二次函数与一元二次方程-八大题型（解析版）

根据函数的增减性，函数值判断结论④⑤即可.

【详解】解：・・,抛物线的对称轴为直线41,

*.b=-2a,即2a+〃=l,故①正确;

・・,抛物线产加+公+c（存0）的对称轴为直线尸1,与x轴的一个交点的横坐标在2和3之间,

・••抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在T和0之间，

工方程cv^+bx+c-O一定有一个根在T和0之间，故②错误；

•・•抛物线产以2+云+《存0〕图象与y轴交点的纵坐标是2,

/.c=2,

/.加-2ax+2-。=0,

△=（-2好-4"（2-4）=8々2-84=8《（4-1〕，

令△=（）,得8层一8〃=84。-1）=0,

或折1,

Vtz<0,

工方程aF+版+L〃=0一定有两个不相等的实数根，故③正确；

•・,抛物线的开口向下，

，抛物线上的点距离对称轴越远y值越小，距离对称轴越近），值越大，

*.*.¥]+X2>2,

.*.X|>2-X2，

^•—X\<-2+X2f

1-X]<-2+X2+1,

丁A点到对称轴的距离是1-为，B点到X'j称轴的距离是即-1,

.•・乃》），2，故④正确；

如图,当43时，><0,

.•・9。-6。+2<0,

当kl时，），最大二々一24+2=2—々>^,

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二次函数与一元二次方程-八大题型(解析版)

，函数)，的最大值大于g,故⑤正确，综上所述，正确的结论有：①③④⑤，共4个，故选：B.

【变式2-1］已知关于x的一元二次方程ax2+〃x+c=0的一个根是广3,且二次函数严办4麻+c的对

称轴是直线下1,则此方程加+法+片0的另一个根为.

【答案】x=-\

【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两

个交点关于对称轴对称是解题的关键.

根据抛物线的对称性，可知产以乐+c的图像与x轴的两个交点关于直线41对称，两交点的横

坐标即为方程加+版+-0的两根，根据对称性建立关系式即可求解.

【详解】解：设方程a^+Zzr+c-O的另一根为必，

二次函数产的对称釉是直线尸1,

...皙,即,解得，尸-1,・••另一根为尸-1,故答案为：X=—\.

【变式2-2】如图,抛物线尸深与直线尸M+c的两个交点坐标分别为4(-2,4),8(1,1),则关于x

的方程a^-bx-c=()的角牟为.

【答案】X1—2,x2=1

【分析】本题考查抛物线与一次函数的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知

识，学会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点

的横坐标.

【详解】解：由图象可知，关于刀的方程打2-法-c=0的解，就是抛物线尸底与直线广云+c的两个

交点坐标分别为4-2,4),3(1,1)的横坐标，

A2,

即耳二-2,x2=1.故答案为：为X2=1.

【变式2-3］若二次函数广五+6"。(存0)与x轴交于(-1,0)和(3,0),关于x的一元二次方程

存0)的两个根分别是m和〃，则%=________.

mn

【答案】一£/—3g

【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根据二次函数的性质求得

组1+3=2,-=-1«3=3,得到〃=2a,c=3a,则方程可转化为短+2r1=0,根据根与系数的关

n0

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二次函数与一元二次方程-八大题型(解析版)

系〃叶片-mn=-L再将&嚏理得到例竺*竺，代入数据计算即可求解

V?'山”mn,

【详解】解：二次函数产加+陵+C(存0)与X轴交于(-1,0)和(3,0),

，丝-1+3=2,£=-1x3=3,

H〃

^.b=-2a,c=-3a>

，一元二次方程cf+法+〃=0(存0)为-3ar2-2or+〃=0,即3f+21=0,

关于上的一元二次方程(?/+加+。=0(存0)的两个根分别是m和n,

・，2I

・・〃?+«=-mn=--f

.・.2+生邑贮之?；=-四，故答案为：一U.

【题型3求x轴与抛物线的截线长】

【例3】在平面直角坐标系中，已知抛物线)=or2_2aY+c(a>0).

⑴当a=c时，

①求抛物线的顶点坐标.

②将抛物线向下平移〃?个单位0心0),若平移后的抛物线过点(0,-8),且与龙轴两交点之间的距离

为6,求〃7的值.

(2)已知点M(2,2〃+l),N(T，3〃+2)在抛物线上，且”0,求〃的取值范围.

【答案】⑴©(1,0);②片9,(2)-l<n<-l

【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象平移，二次函数与一元二次方程的关系，熟练

掌握二次函数图象性质，二次函数图象平移规律“上加下减”是解题的关键.

(1)①把a=c代入尸加二5+心,。)，得产心―1丫，即可得出顶点坐标；

②根据平移规律得平移后抛物线解析式为广乩L1J2-〃Z,把(0,-8玳入，求得“〃z-8,贝I」

)=("2-8"2-2(加-8卜-8,设平移后的抛物线与x轴两交点横坐标为修，必，则11+应=2,xi.j2=^,

N-

又MFF6,即可得出7m—削=36,解之即可求解.

O—X-m

(2)把M(2,2〃+l),代入产底-2办+4〃>0］，得c=2〃+1,根据c<0,求得〃〈-会把1，3〃+2)代

入卢苏-2ai+c(a>()),得c=3〃-3〃+2,根据c=2〃+l和。>(),求得心-1,进而即可求解.

【详解】(1)解：①・・・)=ax2—2ar+c(a>0),a=c

y=ax2-2eix+a=a(x-I)2

・•・抛物线的顶点坐标为(1,0),

②•・•将抛物线向下平移机个单位(〃》0),

・・・平移后抛物线解析式为广心-1丫-〃7，

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二次函数与一元二次方程-八大题型（解析版）

把（0,-8玳入，得-8,

.\gn-8

.••产1产-〃?二M-8）丫2一2（〃?一8}¥-8

设平移后的抛物线与九轴两交点横坐标为由，处，

则汨+必=2,XI.X2=U-,

X-/w

.*.X|24-2X|X2+X22=4

・,・.2毋=.q4m

8-/M

・・•平移后的抛物线与x轴两交点之间的距离为6,

Aki-x2|=6

22

.,.XI-2xix2+x2=36

64m_15_解得：加二9；经检验，机=9是分式方程的解，且符合题意,

//8-/7?X-JW=36；

（2）解：把M（2,2〃+l）,代入）=加一24氏+（（4>0〕，得c=2〃+l,

Vc<0,

・・・2〃+1<0,

把N（-1,3〃+2）代入了二加一2or+&a>0）,得3〃+c=3〃+2,

C=37?-3<7+2>

VC=2M+1,

,什1

・b-r

—1<n<—g.

【变式3-1】设二次函数为二（广两X厂，2）（修抄2）的图像与一次函数），2二6.什2的图像交于点（孙0）,

若函数）=%+），2的图像与X轴仅有一个交点，则\X-X2\的值是（）

A.6B.8C.?D.7

【答案】A

【分析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练学

握，解答此题的关键是判断出：函数产乃+为与X轴的交点为（修，0）.

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二次函数与一元二次方程-八大题型（解析版）

首先根据一次函数竺=6戈+2的图像交于点（见0）,可得XL：然后根据函数）=乃+为的图象与x轴

仅有一个交点，可得函数）f+,及与x轴的交点为（无⑨，进而可得产（叶护/十^,再结合

），=/+（6-必+；）工一32+2求解即可.

【详解】解：•・,一次函数H6X+2的图象经过点QI，0）,

...6修+2=0,解得：阳=~：,

*.*当X=Xi时，）产0,丁2二0，

当X=X］时,）=乃+丁2=0，

:函数y=y\+y2的图像与x轴仅有一个交点，

.,.）=力+），2的图象与x轴的交点为（-g,0）,

-）2=x2+-x+-

'Va2Q

又y|=（x+^）（-r-X2）=X2+^X~X2X-^C2，

）=yi+）"=/+Xv-x2x-$2+6X+2

2

=X+（6-X2+$2+2，

*号*）解得：-

・，・卜1-*|=卜3-9=6,故选：A.

【变式3-2］已知关于x的一元二次方程/_（4_］）丫+〃_2=0.

⑴求证：该方程总有两个实数根；

（2）若抛物线）=5-（〃-1卜+4-2与x轴交于点4，&且AB=2,求。的值.

【答案】⑴见解析；（2）〃=1或5

【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，

二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及配方法，熟练掌握这些性质和方法是解题的关键.

（1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可；

（2）令）=0,得：/_（〃_［,+a_2=0,利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出3F］2关

于。的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出/仍二用-应卜2,即可得出关于。的等式，

求解即可.

【详解】（1）解：•••△=（〃—1丫一4（。—2）

=〃2-6。+9

=（6/-3）2>0,

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二次函数与一元二次方程-八大题型（解析版）

,该方程总有两个实数根；

（2）解：令）=0,得：/一伍一1万+〃一2=0,

；・为+工2=〃-1，尤I工2=〃-2，

・'・6一工2¥=修2+必2-2］］晓=（两+应¥-4.口^2二伍一1¥-45—2）,

•・•抛物线产小-（“-以+。-2与上轴交于点4,B,且43=2,

；・1*FF2,

二（,Ki-X2y=（ci-iy-4（a-2）=4f

化简为：a2-6a+5=O,解得：。=1或5.

【变式3-3］已知PQiji）,Q（x2j2）是抛物线）=炉+公-；上的两个不同点.

（1）若P,。两点都在直线尸上，求线段尸。的长；

4

（2）若抛物线关于），轴对称，直线PQ过坐标原点。，求、强的值；

（3）若点P,。在抛物线对称轴的左侧，两，不为整数，且由42，证明：Z-必+y1-y2为正值.

【答案】（1）1；（2/+焉4；（3）见解析

【分析】（1）根据题意得到直线P。平行于X轴，令*求出k±1,然后代入忻-应1

求解即可；

（2）首先求出/尸0,然后分两和情况：当直线PQ落在x轴上时，可得/焉=4,

当直线PQ不在x轴上，然后联立（产短一」求出设上＞汨，求出而应，电-x”然后代入六十方

（y=kx2op°Q

求解即可；

（3）首先得到用一/2+）广y2=3-/2）（西+工2+〃+1），根据乃＜¥2＜一级出月〈一，一1，然后结合工1一工2＜。即可

证明.

【详解】（1）解：・・,直线PQ平行于不轴，

/.令x2+辰-=-二，即p+Bx+与1=0,解得x=A±l＞

aa37

・・・线段PQ的长度为期鹏宁-亨|=1.

（2）解：・・•抛物线产＜十公-g关于），轴对称，

：.b=D

・・・抛物线产/一

若直线尸。落在x轴上，

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二次函数与一元二次方程-八大题型（解析版）

・•・当y=0时，即0=/-2；解得户土」

4O

六0“

，打击=2+2=4；

若直线PQ不在x轴上，

设直线PQ的解析式为尸入，联立方程，卜=*—；得解得士空

（y=kx

22

(3)证明：XI-X2+y1-y^-X2^X\~X2+/?G：I-X2)=(X|~X^X}+X2+b+1)

*.,XI<X2<-y,且Xi»工2为整数，

>即xi<一

x\-^X2+b+-+b+1=0,

又为-X2<（），

•9»x\-X2+y\-y2为正值.

【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系等知识，解题的关键

是掌握二次函数的图象和性质.

【题型4利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】

【例4】如图是二次函数产以2+以+'的图象，图象上有两点分别为4（2.68,0.54）,B（2.18-0.56）,

则关于x的方程加+区+-0的一个根可能是（）

【答案】D

【分析】本题考查了抛物线和工轴交点，理解抛物线和一元二次方程的关系是解答关键.

观察函数图象可得尸0的点对应的横坐标在2.18和2.68之间，进而求解.

【详解】解：从函数图象看，尸0的点对应的横坐标在2.18和2.68之间，

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二次函数与一元二次方程-八大题型(解析版)

而在2.18和2.68之间被选项中的数为2.45,

.,・々『+丛+<?=()的方程的一个根可能为2.45.故选：D.

【变式4-1］如表中列出了二次函数)=底+法+以省0)的一些对应值，则一元二次方程级M?X+C=03#))

的解x的范围是.(两相邻整数之间)

X•••-3-2-101•••

y・・・121-2-7・.・

【答案】-48-3或-14<0

【分析】本题考查图像法求一元二次方程的解，解题的关铤是理解函数和方程的关系.据此解答即

可.

【详解】解：*.*x=-\,y=1>0,40,广一2Vo,

・♦・根据函数的连续性可得在-1-0之间，存在一个数，使得产0,

•••尸-3和尸一1的函数值相等，

sS3

对称轴为：-V:1-21

・・・根据对称性可得：在-4--3之间，也存在一个数，使得)=0,

；・一元二次方程Q£+Z?X+C=0(WO)的解x的范围是-4<%<-3或T<x<0,故答案为：-4^r<-3或-1<x<0.

【变式4-2】小明用GGB探索方程ad+法+c=0("0.、人、c为常数)的根，作出如图所示的图象，

并求得一个近似根尸-3.4,则方程的另一个近似根(精确到0.1)为()

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由二次函数的对称性可得抛物线与x地的另一个交

点坐标为(1.4,0),据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键.

【详解】解：•・•抛物线与x轴的一个交点为(-3.4,0),对称轴为直线--1,

・•・抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1.4,0),

・••方程的另一个近似根为1.4,故选：C.

【变式4-3］在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完

成.如，求方程X2-21-2=()的实数根的近似解，观察函数)，=/-21-2的图象，发现，当自变

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二次函数与一元二次方程-八大题型（解析版）

量为2时，函数值小于0（点（2,-2）在“轴下方），当自变量为3时，函数值大于0