2026年中考数学总复习专项演练：等腰三角形（优练）

专题25等腰三角形

一、选择题（共8小题）

1.（2025•西藏）如图，ZkABC为等腰三角形，AB=AC,点。是8c延长线上的

一点，NA8—110。，则NA的度数为（）

2.（2025•钟楼区校级模拟）四边形ABC。的边长如图所示，对角线AC的长度

随四边形形状的改变而变化.当&ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为

3.（2025•安徽三模）如图，点E是45。直角三角形斜边上的一点，尸是直角边上

一点，且AE=AR若N8AE=30。，则N/ED的度数是（）

4.（2025♦南开区二模）如图，正三角形A8C的边长为1,。是线段8C上一点,

过。作边的垂线，垂足为点G.有下列结论：

4

①当点。在线段上时，AG的长可以为m

②当点。为线段BC中点时，的面积达到最大值，最大值为空；

③点。在线段BC上有两个位置满足aGB。的面积为77.

64

其中，正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

5.（2025•鄂州模拟）如图,直线a〃4AB=AC,BOJ_AC于点Q,若NCBD=

6.（2025•思明区校级模拟）如图，在△48C中，AB=AC,AC的垂直平分线/

交BC于点、D.若/D4C=37。，则的度数是（）

7.（2025•岳麓区校级三模）如图，在等边△ABC中，平分N48c交AC于点

D,过点。作。七_L8C于点E,且CE=1.5,则A3的长为（）

8.（2024•石门县模拟1如图，在△ABC中，AB=AC,BC=4,面积是14,AC

的垂直平分线石尸分别交4C，AB边于E,F点.若点。为8C边的中点，点

M为线段EF上一动点，则△CQM周长的最小值为（）

c

C.8D.6

二、填空题（共9小题）

9.（2025•西宁）等腰三角形的两边长分别为3和7,则笫三边长为.

1（）.（2025•雁塔区校级四模）如图，在四边形A8CD中,BC=11,ZB+ZC=60°,

E为BC上一点,且为等边三角形，若BE=4,则图中阴影部分面积之

和为•

11.（2025•洞口县校级模拟）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这

样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为

6,则底边8C的长为.

12.（2025•建邺区二模）若等腰三角形的一个外角等于80°,则它的底角

为°.

13.（2025•天宇区校级二模）在片C中，ZA=40°,AB=AC,CD是人Z?边上

的高，则N3c。=°.

14.（2025•珠晖区校级二模）如图，在等边三角形A6C中，。为边6c的中点，

以点A为圆心，AD为半径画弧，与AC边的交点为E,则NCDE的度数

为_______•

15.（2025•宿迁）若等腰三角形的两边长为2cm和4c〃z,则该等腰三角形的周长

为cm.

16.（2025•磁县校级四模）如图，直线八〃/2，等腰直角△A8C和等边AOE/在

h，/2之间，点A,D分别在12上，点、B,C,E,尸在同一直线上.若Na

=53°,则N。的度数为.

17.（2025•东营模拟）如图，在△ABC中，AB=6,NBAC=30。，ABAC的平

分线交BC于点。，M、N分别是4。和A8上的动点，则8M+MN的最小值

是.

18.（2024•凉州区二模）在等腰△43C中，三边长分别是〃，儿c,并且满足十一

10。+25+，（匕-3，=0,求△ABC的周长.

19.（2024•泰兴市三模）如图，在△ABC中，N8=NC=a,点。是边AC上一

点（不与点4,C重合），线段AE是由线段AO绕点A逆时针旋转2a得到,

连接。£判断直线。E与8。的位置关系，并说明理由.

20.（2024•姜堰区二模）如图，在等边△4BC中，。是边AC上的一点，点E在

边8C的延长线上.

（1）若,,求证：CD=CE.（请从信息“①

②。为4C的中点，③百CE，中选择两个分别填入两条横线中,

将题目补充完整，并完成证明.）

（2）过点。作。于点M,在（1）的条件下，当MC=1,求BE的长.

21.（2025秋•金平区期末）【背景材料】

中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆

于其下，则见四邻矣这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野

的扩展，被视为早期光学探索的重要实践.

古希腊数学家海伦〔公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光

在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离.

【提出问题】如何证明"反射路径最短”？

如图①，直线/代表平面镜，点B代表一实物，点4代表眼睛，作实物B关

于平面镜/的对称点夕，连接A8,交平面镜/于点C,连接BC,则BC为入

射光线，AC为反射光线.

求证：8C+AC最短.

【解决问题】如图，在平面镜/上另取任意一点。（与点。不重合）,连接AC；

BC,B'C.

・・•点B与点方关于直线/对称，

・•・直线/是的垂直平分线.

:.CB=CB',C'B=,

：.AC+CB=AC+CB,=.

•・•在△AC8'中，AB<AC+CB\

•"C+CBVAC+C宣，即AC+CB最小.

在证明这个问题的过程中，用到的数学依据是.

请你完成上面填空.

【知识应用】如图②，牧马人从P地出发，先到草地边OB某一处牧马，再到

河边04饮马，然后回到P处，请分别在0A和0B上各找一点E,F,使得

牧马人走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）.

【知识拓展】若图②中，乙408=70。，当APEF的周长取最小值时，/EPF

的大小为_________

图①

参考答案

一、选择题（共8小题）

题号12345678

答案cBABCACB

一、选择题（共8小题）

1.【答案】C

【分析】由邻补角的性质求出NAC8=70。，由等腰三角形的性质得到NB=N

ACB=70。，由三角形内角和定理即可求出NA的度数.

【解答】解：・・・NACD=110。，

・・・NACB=180。・110。=70。，

•・・A8=AC,

：.ZB=ZACB=70\

：.NA=180。-70°-70°=40°,

故选：C.

2.【答案】B

【分析】分AC=A8、AC=8C两种情况，根据三角形的三边关系解答即可.

【解答】解：当AC=A8=3时，△A8C为等腰三角形，

当AC=3C=4时，在△ADC中，AC<AD+CD^即ACV4,此种情况不成立，

故选：B.

3.【答案】A

【分析】先求得NEAF=60。，然后证得△以尸是等边三角形，然后得到NA五E

=60。，然后根据三角形外角的性质，即可求解.

【解答】解：,••△A8O是含45。直角三角形，

AZB=ZD=45°,N8AD=90。，

VZBAE=30°,

・•・ZEAF=ZBAD-/BAE=900-30°=60°,

a

\AE=AFf

是等边三角形，

・•・ZAFE=ZAEF=ZEAF=60°f

・・,NA所是△£）£1厂的外角，

：.ZFED=ZAFE-ZD=60°-45°=15°,

即N比。的度数为15°；

故选：A.

4.【答案】B

【分析】根据等边三角形的性质的AB=BC=1,ZB=60°,

4_______

①若AG的长为『则可求BG、8D、CZ）和GD的长，进一步求得4D=<4G2+DG?,

结合点。的位置判断AD是否在其范围内即可；

②设8G的长度为乂则50的长度为2x,DGWx,即△GB。的面积4一，

结合二次函数的性质即可知当*=*时，△GB。的面积有最大值为故②错

误；

③若4G皿的面积为二，求得x即可.

64

【解答】解：•・•正三角形ABC的边长为1,

：.AB=BC=\fZB=60°,

①若AG的长为事则BG的长为BD的长为aCD的长为去GD的长为,

那么，-D=7AG?+DG?=J《）2+（咯）2=要,

:。是线段BC上一点，

<AD<1>

4

・・・AG的长可以为二，故①正确;

②设BG的长度为y则BD的长度为2r,

9：DG±AB,

:・DG=BG-tan60°=V3x>

/\GBD的面积=gBG-DG=ixxV3x=浮M,

乙乙乙

・・・。是线段BC上一点，

***OS.V<\,

・•・当％•时，△GB。的面积有最大值为：yX(|)2=故②错误；

③若△G8O的面积为普，则”/=普，解得x=*(负值已舍)，故③错误；

642640

故选：B.

5.【答案】C

【分析】先由三角形内角和定理求出NACB=70。，再根据等边对等角求得N

ABC=NACB=70。,然后根据平行线的性质求解即可.

【解答】解：・・,3Z)L4C

：.ZBDC=90°f

*//C7?Q=20。，

AZACB=]80Q-ZBDC-/CBD=70。,

'：AB=AC,

：.ZABC=NACB=70。,

*：a//b.

/.Zl=ZABC=70°.

故选：C.

6.【答案】A

【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD,结合等边对等角即可得

出NB=ZC=ZDAC=37°.

【解答】解：•・•在AABC中，AC的垂直平分线/交BC于点。，

:・AD=CD,

：.ZC=ZDAC=3T.

9：AB=AC,

：.ZB=ZC=31°f

所以N8的度数为37。.

故选：A.

7.【答案】C

【分析】由在等边三角形ABC中，DELBC,可求得NCQE=30。，则可求得

CQ的长，又由8D平分NA8C交AC于点。，由三线合一的知识，即可求得

答案.

【解答】解：I△ABC是等边三角形，

，ZABC=ZC=60°,AB=BC=AC,

9：DE±BC,

AZCDE=30°,

9

：EC=\.5f

：.CD=2EC=3,

丁BD平分/ABC交AC于点D,

：.AD=CD=3,

：.AR=AC=AD+CD=6.

故选：C.

8.【答案】B

【分析】连接A。，由于△ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点，故AO

1BC,再根据三角形的面积公式求出AD的长，再判断出点M在AO上时，

AM+CM最小，由此即可得出结论.

【解答】解：连接AO,AM,

:△ABC是等腰三角形，点。是边的中点，

：.ADA-BC,

•'-S^ABC=^BC・AD=Ix4xAD=14,解得AO=7,

•；EF是线段AC的垂直平分线，

：.AM=CM,

当点加在A。上时，OM+CM最小，最小值为AD,

•••△C/W的周长最短=(CM+MD)+CO=AO+/C=7+Jx4=7+2=9.

故选：B.

二、填空题(共9小题)

9.【答案】7

【分析】分两种情况讨论，由三角形三边关系定理判定等腰三角形的腰长是7,

于是得到答案.

【解答】解：当等腰三角形的腰长是3时，

3+3V7,不满足三角形三边关系定理，

，等腰三角形的第三边不能是3；

当等腰三角形的腰长是7时、

7+3>7,满足三角形三边关系定理，

・••等腰三角形的第三边为7.

故答案为：7.

10.【答案】7V3.

【分析】依题意求出N84£+NEOC=180。，根据8c=11,BE=4得BE=7,

将△8AE绕点E顺时针旋转60。得△FOE,过点尸作FHA.BE于点H,则EF

=BE=7,S阴影再根据三角形外角性质

得NFEH=/DFE+/C=60。,在RtZiETV7中，根据NE7H=9()。-NFE"=

30。得EH=1EF=2,

由勾股定理得由此得“FC=7V5,据此可得出图中男影

部分的面积.

【解答】解：依题意得：NBAE+NEDC=360。-ZB-ZC-ZEAD-/ADE

=180°,

VBC=11,BE=4,

：.BE=BC-BE=7,

将■绕点E顺时针旋转60。得△")£1,过点“作/77J_3E于点”，如图所

示：

••.△BAE//\FDE,

:•S△BAE=SdFDE，EF=BE=7,

S阴影=S^ABE+S^DCE=S^DFE+S^DCE=S^EFCy

VZB+ZC=60°,

；・/DFE+/C=60°,

/FEH是/XEFC的外角，

・•・ZFEH=ZDFE+ZC=60°f

'：FH±BC,

・••在RtAEFH中,EF=BE=4,NEFH=90。-NFEH=30。,

：.EH=1EF=|x4=2,

由勾股定理得：EH=y/EF2-FH2=V42-22=2A/3,

5AEFC=^CE*FH=Ix7x2^3=76.

•'•Smm=S^EFC=7y/3.

故答案为：7V3.

11.【答案】3.

【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长8C是腰长A8的2倍时，当等

腰三角形的腰长AS是底边长BC的2倍时，然后分别进行计算即可解答.

【解答】解：分两种情况:

当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，

•・,腰长AB=AC=6,

•・•底边BC的长为12,

•••6+6=12,

・•・不能组成三角形；

当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，

•・,腰长AB=AC=6,

・•・底边8C的长为3；

综上所述：底边的长为3,

故答案为：3.

12.【答案】40

【分析】根据三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角

和，等腰三角形的性质：等边对等角求解.

【解答】解：・・,等腰三角形的一个外角为80。

，相邻角为为0。-8()。=1(X)。，

♦・,二角形的底角不能为钝角，

・・・100。角为顶角,

・••底角为：(180。-100。)+2=40。.

故答案为：40.

13.【答案】20.

【分析】首先根据等腰三角形”等边对等角”的性质以及三角形内角和定理解得

N〃的值，在结合CO是人“边上的高，由N4CD=9()。-N4求解即可.

【解答】解：・・・NA=40。，AB=AC,

：•Z-B=Z.ACB=1(180°-Zv4)=70°,

♦CD是AB边上的高,B|JCDVAB,

：.ZBCD=900-Z5=90°-70°=20°,

则NBC。的度数为20。.

故答案为：20.

14.【答案】15°.

【分析】先根据等边三角形的性质得=40=劣匕8力C=30。，ZADC=

90°,再根据即可求解.

【解答】解：•・•三角形48C为等边三角形，。为边BC的中点，

：.^BAD=^CAD=^DAC=30°,ADLBC.

・•・NA7)C=90。，

•・•以点A为圆心，4。为半径画弧，与AC边的交点为E,

：.AD=AE,

：.Z-ADE=/-AED=1(180°-zD/lC)=75°,

ZCDE=ZADC-ZADE=90Q-75。=15°,

即NCOE的度数为15。，

故答案为：15。.

15.【答案】10.

【分析】已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，等腰三角形两

边的长为2c7〃和4C〃7,具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分

两种情况讨论.

【解答】解：①当腰是2。〃，底边是4c〃z时.，2+2=4,不能构成二角形，

②当底边是2cm,腰长是4a〃时，能构成三角形，

则其周长=4+4+2=10(cm),

所以，这个三角形的周长是10。〃.

故答案为：10.

16.【答案】52°.

【分析】延长AC交上于G,由平行线的性质得到NAGD+Na=180。，求出N

CGD=127。,由对顶角的性质得到NbCG=NAC8=45。，由△£)£尸是等边三

角形，得到N尸=60°,于是NGOF=360。-6()。-45。-127。=128。，由邻补角

的性质即可求出N。的度数.

【解答】解：延长AC交/2于G,

V/i^/2，

・•・NAGQ+Na=180。，

VZa=53°,

AZCGD=127°,

「△ABC是等腰直角三角形，

・•・NAC8=45。,

：.ZFCG=ZACB=45°,

•••△。后口是等边三角形，

・・・N”=60。，

・・・NGO/=360。-60°-45°・127。=128°,

.*.Zp=180°-ZGDF=52°.

故答案为:52°.

【分析】作8"J_AC,垂足为H,交AD于M，点、,过"点作垂足

为V,则3M4MN为所求的最小值，再根据AO是N8AC的平分线可知MH

=MN,再含30度角的直角二角形的性质即可得出结论.

【解答】解：如图，作3”_LAC,垂足为H,交AO于此点，过W点作

LAB,垂足为V,则3MqMN为所求的最小值.

ANN'B

由条件可知M'H=M'N',

・・・8”是点8到直线AC的最短距离（垂线段最短），

由条件可知8，=；/18=3.

:.BM+MN的最小值是BM'+M'N'=BM'+M'H=BH=3,

故答案为：3.

三、解答题（共4小题）

18.【答案】△A3C的周长是13或11.

【分析】先利用非负数的性质求解。，〃的值，再分类讨论，根据三角形的三

边关系可得答案.

【解答】解：♦a?一10。+25+J（b—3尸=0,

・・・（。・5）2+|/?-3|=0,

又•・•（a-5）2>0,\b-3|>0,

••a-5=0,b-3=0,

67-5,b=3,

又・・Z,b,。分别是等腰△ABC的边，

①当a=c=5时，5+3>5,符合三角形的三边关系，

•・•△ABC的周长是："Z?+c=5+3+5=13,

②当。=c=3时，3+3>5,符合三角形的三边关系，

•・.△ABC的周长是：a+h+c=3+5+3=11

综上分析可知，△ABC的周长是13或11.

19.【答案】DELBC,理由见解析.

【分析】延长石。交于点凡根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定

理即可得到结论.

【解答】解：DELBC,

理由：如图，延长EQ交于点F,

9：AD=AE,

：.ZADE=ZE,

*：ZDAE=2a,

：.ZADE=90°-a,

V/ADE=/CDF,

：.ZCDF=