构基于大概念的初中数学八年级下册因式分解单元整体教学设计

构基于大概念的初中数学八年级下册因式分解单元整体教学设计

一、基于课程标准的单元教学解读

（一）课标要求分解

【基础】《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域对本章内容提出了明确要求。首先，在知识技能层面，学生必须“能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）”。这界定了教学的广度与深度，即掌握两种基本方法，且公式法的使用有明确的次数限制，强调基础性和规范性。其次，在素养导向层面，课标强调“体会数学知识之间的联系”、“掌握必要的运算技能”以及“经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观”。这意味着本章教学不能仅停留在程序性知识的操练上，更应引导学生理解因式分解与整式乘法的内在联系，感悟数学抽象的层次性，并通过几何直观加深对代数恒等变形的理解-1-3。

（二）内容解析

【重要】本章是“数与代数”领域中对“整式”学习的深化与完善。学生在七年级已经系统学习了整式的加减乘除运算，特别是掌握了整式乘法（包括单项式乘多项式、多项式乘多项式及乘法公式）。因式分解正是这一知识的逆向应用，二者构成了互逆的恒等变形过程。从知识体系看，本章起着承上启下的关键作用：它既是整式乘法的延续和逆用，又是后续学习分式的化简与运算、解一元二次方程、二次函数等内容的必备基础-6。从数学思想看，本章蕴含着丰富的数学思想方法，包括逆向思维、类比（与因数分解类比）、数形结合（用面积解释因式分解）、整体代换（将多项式看作一个整体）以及化归与转化（将复杂多项式转化为简单整式的积）-3-7。

（三）学情研判

【基础】八年级学生已经具备了整式乘法的运算能力，对用字母表示数和代数式运算有了一定的认识，这为学习因式分解提供了必要的知识准备。然而，学生面临的挑战同样显著。其一，思维定式的阻碍。长期的整式乘法运算（正向思维）使学生形成了思维习惯，而因式分解需要逆向思考，这种逆转对学生来说是一个不小的挑战，容易产生混淆-1。其二，对“公因式”和“公式结构”的识别困难。提取公因式时，学生往往容易遗漏公因式或提不彻底；运用公式法时，则难以准确把握公式的本质特征（结构的不变性，字母的可变性），当公式中的“a”和“b”变为多项式时，理解的抽象层次要求更高，成为学习的难点-1-7。其三，综合运用能力薄弱。在面对需多步分解（先提公因式，再用公式）的问题时，学生常常缺乏整体的解题策略，分解不彻底。

二、指向核心素养的单元整体设计

（一）大概念统领

本单元的学习围绕“逆向恒等变形”这一大概念展开。它揭示了因式分解与整式乘法之间的本质联系，即二者是同一关系下方向相反的两种变形。整式乘法是将“积”化和为“和”，因式分解则是将“和”化积为“积”。理解这一大概念，有助于学生构建结构化的知识体系，从整体上把握代数变形的本质，而非孤立地学习两种方法。

（二）单元主题与目标

1.单元主题：探秘“和”与“积”的互逆变换——因式分解方法与应用。

2.单元教学目标：

（1）【基础】理解因式分解的意义，能准确判断一个变形是否为因式分解，明确它与整式乘法的互逆关系。

（2）【重要】掌握提公因式法，能准确确定多项式各项的公因式（包括系数与字母），并熟练地进行分解。

（3）【重要】掌握公式法（平方差公式、完全平方公式），能准确识别公式的结构特征，并熟练运用公式将符合条件的多项式分解因式。

（4）【高频考点】【难点】能综合运用提公因式法和公式法（不超过两次）对较复杂的多项式进行因式分解，直到不能再分解为止。

（5）【非常重要】在探索和运用因式分解方法的过程中，经历观察、类比、归纳、猜测等数学活动，体会逆向思维、类比、数形结合、整体与化归等数学思想方法，发展运算能力和逻辑推理能力。

（6）能运用因式分解解决简单的实际问题（如简便计算、整除问题、几何图形面积问题等），感受数学的应用价值。

（三）单元整体教学框架

本单元共设计6课时，以“概念理解—方法习得—综合运用—回顾反思”为主线，层层递进。

第一课时：因式分解——概念的建立与意义的探寻

第二课时：提公因式法（一）——单多项式公因式的提取

第三课时：提公因式法（二）——多多项式公因式的提取与符号处理

第四课时：公式法（一）——平方差公式的逆用

第五课时：公式法（二）——完全平方公式的逆用

第六课时：因式分解的综合运用与回顾反思

三、单元教学实施过程详案

第一课时：因式分解——概念的建立与意义的探寻

【基础】本课时是单元的起始课，核心任务是帮助学生建立因式分解的概念，理解其与整式乘法的互逆关系，感受学习因式分解的必要性。

【教学流程】

（一）情境创设，激活经验

教师首先呈现一个计算问题：用简便方法计算736×95+736×5和-2.67×132+25×2.67+7×2.67。学生迅速运用乘法分配律的逆用（提取公因数）完成计算。教师顺势引导学生回顾小学学过的“分解质因数”，如将30分解为2×3×5。接着，教师将数的运算迁移到式，呈现一组整式乘法练习：3x(x-1)=？m(a+b+c)=？(m+4)(m-4)=？(y-3)²=？学生快速口答-6。

（二）逆向思考，建构概念

教师将上述整式乘法的结果作为已知条件，逆向提问：请将下列多项式写成几个整式乘积的形式：3x²-3x，ma+mb+mc，m²-16，y²-6y+9。学生尝试完成后，教师引导学生对比“整式乘法”的题目与现在所做的题目，观察它们的变形方向有何不同。学生小组讨论后，归纳出：整式乘法是把整式乘积化为多项式，而今天的学习是把多项式化为几个整式的乘积。教师由此引出课题，并明确给出因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解-6。

（三）深化辨析，把握本质

教师呈现一组辨析题，让学生判断哪些变形是因式分解，哪些不是，并说明理由。题目包括：

（1）2m(m-n)=2m²-2mn

（2）2a²b-ab=2ab(a-0.5)

（3）4x²-4x+1=(2x-1)²

（4）x²-3x+1=x(x-3)+1

（5）a²-2ab+b²=(a-b)²

在辨析中，【重要】引导学生总结出因式分解的几个关键要素：对象是多项式；结果是整式的积的形式；变形过程必须恒等；与整式乘法互为逆运算。教师特别强调（2）式中因式分解的结果要规范，通常不出现分式或小数系数。

（四）数形结合，加深理解

教师呈现一个由两个小长方形（长m，宽a和b）和一个大长方形（长m，宽c）拼成一个大长方形的几何图形，要求学生用两种不同的方法表示这个大长方形的面积。学生得出：ma+mb+mc和m(a+b+c)。教师指出，这个等式既可以从整式乘法（m(a+b+c)=ma+mb+mc）理解，也可以从因式分解（ma+mb+mc=m(a+b+c)）理解。通过几何直观，学生进一步感悟到因式分解与整式乘法的互逆关系，以及因式分解的几何意义-1-6。

（五）应用迁移，感受价值

教师提出问题：993-99能被100整除吗？引导学生思考。学生通过观察发现，可以将993-99变形为99×(99²-1)，进一步再变形为99×(99+1)×(99-1)=99×100×98，从而得出结论。教师小结：将算式转化为乘积形式（即因式分解）是解决此类整除问题的关键，体现了因式分解的初步应用价值-6。

（六）课堂小结与作业

学生畅谈本节课的收获，重点围绕“什么是因式分解”、“因式分解与整式乘法的关系”、“为什么要学习因式分解”三个方面进行总结。作业为基础练习：识别因式分解的判断性题目，以及简单的根据整式乘法写出因式分解的题目。

第二课时：提公因式法（一）——单项式公因式的提取

【基础】本课时聚焦于提公因式法中最基础的情形——公因式为单项式。

【教学流程】

（一）回顾引入，类比联想

教师带领学生回顾上节课的因式分解概念，并复习乘法分配律a(b+c)=ab+ac。引导学生思考，反过来，ab+ac可以写成什么形式？学生自然得出a(b+c)。教师指出，这里的“a”就是多项式ab+ac各项都含有的公共因式，称之为“公因式”。由此引出提公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

（二）探究发现，掌握方法

教师呈现一组多项式，让学生小组合作，找出它们的公因式：

（1）3x²-6x

（2）4m³+8m²-6m

（3）5a²b³-10a³b²+15a²b²

【非常重要】学生在找公因式的过程中，教师引导学生从“系数”、“字母”、“指数”三个维度进行观察和总结。学生汇报后，师生共同归纳出确定公因式的方法：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母；指数取相同字母的最低次幂。

（三）范例教学，规范步骤

教师以多项式3x²-6x为例，板书示范提公因式法的完整步骤：

第一步：确定公因式3x。

第二步：将原多项式除以公因式，得到另一个因式x-2。

第三步：写成3x(x-2)的形式。

教师强调：提公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数相同，可以用整式乘法进行验证。

（四）分层练习，形成技能

学生独立完成课本例题和随堂练习，如把下列各式因式分解：

（1）2x²-4x

（2）8m²n+2mn

（3）-4x³+6x²-2x

【难点】对于第三小题，首项系数为负的情况，教师引导学生思考如何处理。可以先将负号提出，使括号内首项系数变为正，再进行分解。即-4x³+6x²-2x=-(4x³-6x²+2x)=-2x(2x²-3x+1)或者直接提取-2x，得-2x(2x²-3x+1)。教师强调，当多项式第一项系数为负时，通常提出一个负号，使括号内第一项系数为正，这一步骤易错，需重点练习。

（五）纠错辨析，强化认识

教师展示一些学生在练习中常见的典型错误，如公因式提不彻底（如把4x²-6x分解为2(2x²-3x)），或提公因式后，括号内的项数出错（如把2x²-4x分解为2x(x-2)，而误写成2x(x-4)）等，让学生进行辨析和纠正，进一步巩固正确方法。

（六）课堂小结

学生回顾如何确定公因式，以及提公因式法的基本步骤。教师再次强调“提公因式要提尽”和“首负要变号”两个关键点。

第三课时：提公因式法（二）——多项式公因式的提取

【重要】本课时是提公因式法的深化，公因式本身可以是多项式，并涉及符号处理。

【教学流程】

（一）问题驱动，引发思考

教师呈现多项式：a(m-n)+b(m-n)。提问：这个多项式的各项有公因式吗？如果有，是什么？学生观察后容易发现，两项都含有因式(m-n)。教师指出，公因式不仅可以是一个单项式，也可以是一个多项式。由此进入新课。

（二）探索交流，方法迁移

学生尝试将a(m-n)+b(m-n)分解因式。学生汇报：将(m-n)看作一个整体提取出来，得到(m-n)(a+b)。教师肯定学生的思路，并强调“整体思想”在因式分解中的重要作用。接着，教师呈现第二个问题：把2a(x-2y)-3b(2y-x)分解因式。学生观察后发现，两项中的多项式(x-2y)和(2y-x)看似不同，但存在互为相反数的关系。教师引导学生思考如何变形。学生讨论后得出，可以将(2y-x)变为-(x-2y)，或者将(x-2y)变为-(2y-x)。教师板书一种解法：原式=2a(x-2y)+3b(x-2y)=(x-2y)(2a+3b)。

（三）归纳提升，总结规律

师生共同总结：当公因式是多项式时，关键是要把该多项式看成一个“整体”进行提取。如果两个多项式互为相反数，可以通过提取负号将其转化为相同的多项式，然后再提取公因式。【高频考点】教师引导学生总结符号变化的规律：对于(a-b)和(b-a)，有b-a=-(a-b)。

（四）巩固训练，变式拓展

学生分组完成一组练习：

（1）3a(x+y)-2b(x+y)

（2）4p(1-q)³+2(q-1)²

【难点】第（2）题中，涉及高次幂和符号变化，需要学生先观察指数奇偶性对符号的影响。教师引导学生分析：(q-1)²=[-(1-q)]²=(1-q)²，因此原式可化为4p(1-q)³+2(1-q)²，公因式为2(1-q)²，提取后得2(1-q)²(2p(1-q)+1)=2(1-q)²(2p-2pq+1)。通过此题，深化学生对符号处理和整体思想的理解。

（五）课堂小结与拓展

学生交流处理多项式公因式的经验，特别是遇到互为相反数的多项式时的处理方法。教师布置拓展性作业：寻找生活中可以用提取公因式思想解决的问题，鼓励学生用数学的眼光观察世界。

第四课时：公式法（一）——平方差公式的逆用

【重要】【高频考点】本课时学习运用平方差公式进行因式分解。

【教学流程】

（一）复习回顾，搭建桥梁

教师呈现一组整式乘法练习，要求学生口答：

（1）(x+3)(x-3)

（2）(4x+y)(4x-y)

（3）(1+2x)(1-2x)

学生口答后，教师引导学生回顾平方差公式的文字语言和符号语言：(a+b)(a-b)=a²-b²。接着，教师将问题反过来：将下列多项式写成乘积的形式：

（1）x²-9

（2）16x²-y²

（3）1-4x²

学生尝试后，教师指出，这个过程正是平方差公式的逆用，即a²-b²=(a+b)(a-b)-7。

（二）观察归纳，辨识特征

教师引导学生观察a²-b²=(a+b)(a-b)这个公式，从左边多项式的特征入手进行归纳：

（1）左边是二项式。

（2）两项都能写成平方的形式（即都是平方项）。

（3）两项的符号相反（一正一负）。

【非常重要】教师强调，公式中的“a”和“b”既可以代表单项式，也可以代表多项式，体现了字母的可变性，但公式的结构必须保持“平方差”的不变性。

（三）范例导学，分层应用

教师通过例题示范平方差公式的应用层次。

层次一：直接应用。如25-16x²，教师引导学生将25写成5²，16x²写成(4x)²，则原式=5²-(4x)²=(5+4x)(5-4x)。

层次二：系数为分数或需要转化。如9a²-1/4b²，引导学生将9a²写成(3a)²，1/4b²写成(1/2b)²，然后应用公式。

层次三：指数为4的倍数。如x⁴-81，引导学生将x⁴写成(x²)²，81写成9²，得到(x²+9)(x²-9)，然后发现x²-9还可以继续分解，得到(x²+9)(x+3)(x-3)。【难点】教师在此强调，因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

（四）议议辩辩，突破难点

教师呈现一组多项式，让学生判断能否用平方差公式分解，能分解的请写出结果：

（1）-x²-y²

（2）-x²+y²

（3）x²-(-y)²

通过辨析，学生进一步明确平方差公式的关键是“两项平方，符号相反”。同时，教师引导学生关注当多项式需要先整理才能看出平方形式的情况。

（五）综合练习，形成能力

学生独立完成一组练习，包括直接应用、系数为分数、指数为4以及需要先提取公因式再用平方差公式的题目（如2x³-8x）。教师巡视指导，重点关注学生能否准确识别平方项，以及能否做到分解彻底。

（六）课堂小结

学生回顾平方差公式的结构特征，以及在因式分解中应用时的注意事项。教师再次强调“一提二公三公式”的解题顺序，即首先考虑提取公因式，然后再看是否能用公式。

第五课时：公式法（二）——完全平方公式的逆用

【重要】【高频考点】本课时学习运用完全平方公式进行因式分解。

【教学流程】

（一）复习引入，类比学习

教师首先复习平方差公式的逆用，然后呈现一组整式乘法练习：

（1）(y-3)²

（2）(2x+1)²

（3）(3m-2n)²

学生口答后，教师引导学生回顾完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²。接着，教师将问题逆向：将下列多项式写成乘积的形式：

（1）y²-6y+9

（2）4x²+4x+1

（3）9m²-12mn+4n²

学生尝试后发现，这些多项式可以写成完全平方的形式，从而引出用完全平方公式分解因式：a²±2ab+b²=(a±b)²-1。

（二）剖析结构，把握特征

教师引导学生观察完全平方公式左边的多项式特征：

（1）左边是一个三项式。

（2）其中有两项是平方项，且符号相同（通常为正）。

（3）第三项是这两个平方项底数乘积的2倍，符号可正可负，与中间的±号一致。

【非常重要】教师通过具体例子帮助学生识别“a”和“b”。如在4x²+4x+1中，4x²=(2x)²，1=1²，而4x正好是2·(2x)·1，所以a=2x，b=1。教师强调，识别“a”和“b”的关键是先找出两个平方项，并确定它们的底数，然后验证中间项是否符合2ab的形式。

（三）范例导学，规范书写

教师通过例题示范完全平方公式的应用。

例1：把4x²-12xy+9y²分解因式。分析：4x²=(2x)²，9y²=(3y)²，-12xy=-2·(2x)·(3y)，符合a²-2ab+b²的形式，所以原式=(2x-3y)²。

例2：把-x²-4y²+4xy分解因式。【难点】教师引导学生观察，多项式不是标准形式，可以调整项的顺序为-x²+4xy-4y²或4xy-x²-4y²，然后提出负号，变为-(x²-4xy+4y²)=-(x-2y)²。

例3：把3ax²+6axy+3ay²分解因式。学生观察发现，各项有公因式3a，应先提取公因式，再考虑完全平方公式。得到3a(x²+2xy+y²)=3a(x+y)²。教师再次强化“先提公因式，再用公式”的解题策略。

（四）闯关练习，巩固提升

设计三个层次的练习供学生选做。

第一关（基础）：判断是否符合完全平方公式，并分解。

第二关（变式）：将多项式变形后再分解，如-2xy-x²-y²。

第三关（综合）：需要先提公因式再用完全平方公式，或涉及整体代换的题目，如(a+b)²-6(a+b)+9。

（五）课堂小结

学生总结完全平方公式的结构特征，以及在分解因式时如何准确地找到“a”和“b”。教师强调因式分解的完整步骤：一提公因式，二套公式，三检查是否分解彻底。

第六课时：因式分解的综合运用与回顾反思

【非常重要】【高频考点】本课时是单元的整理提升课，旨在帮助学生构建知识体系，综合运用所学方法解决问题。

【教学流程】

（一）知识梳理，建构网络

课前布置学生用自己喜欢的方式（如思维导图、知识树等）整理本章的知识结构。课堂上，请几位学生展示并讲解自己的作品，师生共同评价补充。教师引导学生从“一个概念”（因式分解的定义）、“两种方法”（提公因式法、公式法）、“三个思想”（逆向、类比、整体）、“四个步骤”（一提二公三公式四检查）等方面进行系统梳理-1。

（二）综合应用，提升能力

教师呈现一组综合性题目，让学生在独立思考和合作交流中完成。

1.计算与简便运算：利用因式分解计算3.14×5.2²-3.14×4.8²。学生通过观察，应用平方差公式逆用，简化为3.14×(5.2+4.8)×(5.2-4.8)=3.14×10×0.4=12.56。

2.整除问题：证明25⁷-5¹²能被120整除。引导学生将25⁷写成(5²)⁷=5¹⁴，则原式=5¹⁴-5¹²=5¹²(5²-1)=5¹²×24=5¹¹×5×24=5¹¹×120，从而得证。