高中数学一轮复习-复数的概念及运算

专题8.1复数的概念及运算

巴巴背知更

L复数的有关概念

名称含义

形如a+bi(a,b€R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位，

复数的定义

见匕分别是它的实部和虚部，且=

①若b=0,则a+bi为实数：

复数的分类②若bHO,则a+尻为虚数;

③若Q=0且bH0,则Q+6为纯虚数.

复数集全体复数所构成的集合，即。=｛。+抗|或bER]

fCl=c

复数相等a+bi=c+di=I=d，(Q，b，c,d6R)

复数间的关系复数不能比较大小,若复数Z1>Z2,则Zi*2为实数

设被对应的复数为z=Q+bi,则向量被的长度叫作复数z=a+儿的模，

复数的模

即|z|=|a+bi\=Va2+b2

复数z的共枕复数2Zi=a+bi与z2=c+di共挽={,(a,b,c,d€R).且区|=\z2\

2.复数的几何意义

⑴复平面:建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面,工轴叫作实轴,y轴叫作虚轴.如图所示：

⑵复数概念的几何意义

复数集C和复平面内所有的点组成的集合是••对应的，复数集C与复平面内所有以原点。为起点的向量

组成的集合也是一一对应的.如图所示：

⑵复数运算的几何意义

若复数为=a+从修2=c+di(a,b,c,deR),在复平面内对应的点为别为Zi(a,b),Z2(c,d),

。为坐标原点，若西，沟不共线，

则复数4+Z2是以西，西为邻边的平行四边形的对角线被对应的复数；

复数Z]-Z2是西＞一=Z1Z2对应的复数.

⑶从几何意义理解复数的模

若复数4=a+bi,z2=c+di(a,bfc,deR),在复平面内对应的点为别为Zi(a,b),Z2(c,d),

则z\=y/a?+Z)2表不点z(a,b)到原点的距因,其-Z2I表不点Zi和Z2之间的即罔.

⑷两个复数的差的模%-Z2I的几何意义

设复数Z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d€R)在复平面内对应的点分别是A(a,b),B(c,d),

①|Z]-Z2l=\AB\=J(a-c)2+(c-d)2,则％—Z2l的几何意义是复平面内表示复数Z],Z2的两点之间

的距离.

②设复数z对应的点是点Z,

I.若|z-z1|=r,则点Z的轨迹为圆；

n.若riVlz-ZilVT2,则点Z的轨迹为圆环,但不包括边界；

HL若怙-Zil=lz-z2j,则点Z的轨迹为垂直平分线;

IV,若忆一21|十怙-22|=常数,则当常数大于|AB|时，点Z的轨迹为椭圆；当常数等于|AB|时，点Z的轨

迹为线段；当常数小于|AB|时，点Z的轨迹不存在；

V若|2—马|一怙一22|=常数,贝]当常数大于|AB|时，不存在；当常数等于|AB|时，为一条射线；当常数

小于|AB|时，为双曲线的一支.

3.复数的四则运算

设Zi=a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR),

运算法则运算公式复数的运算律

加法Zi+Z2=(a+c)+(b+d)i加法交换律:Zi+z2=z2+zt

减法加法结合律

Zi-z2=(a-c)+(b—d)i:(z1+z2)+Z3=Zi+(z2+z3)

乘法乘法交换律:

zx-z2=(ac—bd)+(ad4-bc)iZi•Z2=Z2•Zi

乘法结合律

Zi(ac+bd)+(be-ad)i：(Z1-z2)z3=z1-(z2,Z3)

除法

Z2"炭+d2(C+山工。)

乘法分配律：(Zi+z2)-z3=z1-z2+z2-z3

【重要结论】

1.复数的模与共规复数的关系：z-z=\z\2=\z\2；

l,n=4k

上〃二_41+l@WZ)；

™~XjTV*AC十/

(-i,n=4k+3

3.利用复数相等Q+bi=c+出列方程时，注意a,b,c,dER的前提条件;

4.解决复数模问题常用结论：

22

\z\=Va+b;\z\=|z|;||zil-|z2l|4%±z2\<|zj+㈤;。zl=|zjx0|;|到=科.

■z21lz21

区教材变编

L【人教A版必修二习题7.1第8题P74］更数z€C,在亚平面内z对应的点Z,满足14忆一三|42,

则点Z所在区域的面积()

A.7TB.27rC.37rD.47r

2.1人教A版必修二复习参考题7第9题P95］复数Zi=3-43z2=cos2x-isin2x,则像I=()

A.2B.3C.4D.5

考点归纳

考点一复数的基本概念

【典例精讲】

例1.(2025•江苏省无锡市♦期中考试)已知z=窘。为虚数单位)，则|z|=()

A.1B.yJ~2C.2D.4

例2.(2025•山东省荷泽市•模拟题E知Zi，a是两个虚数，则“4,Z2均为纯虚数”是“生为实数”的()

z2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【方法储备】

复数概念问题的解题方法：

⑴求一个复数的实部与虚部：将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b£R),则该复数的实部为a,虚

部为公

⑵求一个复数的共扼复数：将已知的复数化为代数形式Z=Q+沉(a,b€R),实部不变，虚部变为相反数,

即得原复数的共轨复数.

⑶复数的分类及对应点的位置问题：将已知的复数化为代数形式z=Q+bi（Q,be/?）,列出实部和虚部满

足的方程（不等式）组即可.

【拓展提升】

练1-1.（2025♦江苏省•模拟题）设复数2=若+（3+39（其中1为虚数单位），则下列说法中正确的是（）

A.它的实部为一3B.共挽复数彳=3+4i

C.它的模|z|=5D.在复平面对应的点的坐标为（3,-4）

练1-2.（2024•浙江省温州市月考）（多选）已知复平面内表示复数：z=m+1+（m-l）i（m6R）的点为

M,则下列结论中正确的为（）

A.若zGR,则m*1

B.若M在复平面所在直线y=2x上，则m=3

C.若z为纯虚数，则m=-1

D.若M在第四象限，则

考点二复数的运算

【典例精讲】

例3.（2025・湖北省武汉市・月考）若斗筌=%+0（兄%,、£/?）,且町/>1,则实数a的取值范围是（）

A.（―w,—V-2）U（V-2,+w）B.（―w,—2）U（2,+w）

C.（吃+8）D.（2,+oo）

例4.（2024•湖南省娄底市模拟）已知复数为，Z2是方程/+%+1=0的两个根，则等T+含=（）

A.—1B.1C.—2D.0

例5.（2024•湖北省黄冈市模拟）设复数z满足*然然=，，贝口的虚部为（）

1（1—2i）z+（1+2i）z=6

A-\B-C.[口.V

【方法储备】

1.复数代数形式运算问题的解题策略

⑴复数的加减法：在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则（实部与实部相加减，虚部与

虚部相加减）计算即可.

⑵复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看

作另一类同类项，分别合并即可.

⑶复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共枕复数，解题中要注意把i的幕写成最简形式.

2.复数相等：实部、虚部分别对应相等,列方程组求参数.

3.常用结论

①[l±i)2=±2i;④罕=b-Qi;⑤i4n=I,，4n+l=i,i4n+2=一1,，4n+3=

—i(n6N).

4.复数范围内解方程

⑴在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的工,可宜接求解.

⑵在含有z,W|z|中至少两个的复数方程中，可设z=a+bi(a,beR)变换方程,利用两复数相等的充要条

件得出关于Q*的方程组,求出Q,8的值,从而得出复数z.

【拓展提升】

练2-1.(2024•广东省佛山市月考)已知i为虚数单位，复数z满足z(2-i)=i2024,则下列说法正确的是()

A.复数z的模为！B.复数z的共物复数为-女-1

JJJ

C.复数z的虚部为9D.复数z在复平面内对应的点在第一象限

练2-2.(2024•吉林省吉林市月考)(多选)已知复数Z1=m之-1+。/+i)j,Z2=cos26+下列说

法正确的是()

A.若Zi纯虚数，则。1=1

B.若Z2为实数，则。=1<71,kGZ

C.若Z]=z2,则m=。或m=

D.若Zi>0,则m的取值范围是(一8,-1]u[l,+oo)

考点三复数的几何意义

【方法储备】

复数的何意义体现数形结合思想,考查复数的坐标表示、复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的

最值问题等；兔数加法、减法的几何意义可按平面向最加法、减法理解,利用平行四边形法则或三角形法则

解决问题.

对复数几何意义的考查往往以复数的运算为载体,解法如下：

⑴进行友数运算，将更数化为标准形式；

⑵把复数问题转化为复平面内的点之间的关系问题，依据是复数z=a+bi(a,beR)与复平面上的点(a,b)

一一对应,建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程（组）或不等式（组）求解.

【典例精讲】

例6.（2025•上海市市辖区•月考试卷）已知a是实数，方程/+2x+a=0的两根在复平面上对应的点分别为

P和Q,若三角形POQ是等腰直角三角形，则。=

例7.（2024•重庆市联考）若复数z满足|z—2—3i|=5,则复数z的共舸复数不可能为（）

A.2+8iB.-2—6iC.5+iD.5—7i

例8.（2025•河南省•模拟题）已知复数Z]=l-i,\z2\=3,那么0-zj的最大值是.

【拓展提升】

练3T.（2024广东省佛山市月考）己知复:数为=2+i是关于x的方程x2+px+q=0（p,qeR）的一个根，

若复平面内满足|z—々I=p+q的点Z的集合为图形M,则M围成的面枳为（）

A.nB.16nC.25TlD.81TT

练3-2.（2024•河南省洛阳市月考）已知三个复数ZI，/?,Z3,且%|="|=2,|z3|=z]，z2所对应

的司量西，西满足西•西=0;则|Z3-Zi-Z2l的最大值为.

新题放

1J2025•江苏省镇江市•模拟题）已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对且数z的陈述

如卜（i为虚数单位）：甲：z+z=2：乙：z-z=丙：zD=4；丁：W=§.在甲、乙、丙、丁四人陈

述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z=.

2.12025•山东省济南市•模拟题）复平面上两个点Z1，Z2分别对应两个复数为，Z2,它们满足下列两个条件：

①Z2=zi•2i；②两点Zi，Z2连线的中点对应的复数为-1+3i,若。为坐标原点，则4Z1OZ2的面积为

3.12025•上海市•历年真题）已知i是虚数单位，狂数z满足z2=⑵2,且团＜1,则|z-2-3i|的最小值

为.

【答案解析】

教材改编1

解,工=j=匕一」,

械.1+i(l+O(l-i)222'

|2-2|=1,2分别表示以(；,一)为圆心，1,2为半径的圆，

Xi-C乙乙

因比有1W|z-+|W2,点Z所在区域的面积=7TX22-7TXI2=3w,

故选：C.

教材改编2

解：因为Zi=3-4hz2=cos2x-isin2xt

tn.fZi(3-4i)(cos2x+isin2x)3cos2x+4sin2x+(3sin2x-4cos2x)i

则,=7-o~・•.”――.、=-------r---------7----------------=3ncos2nx+4sin2nx+(3sin2nx-

：2(cos2x-isin2x)(cos2x+isin2x)cos22x+sinz2x

4cos2x)i,

所以Iz”=J(3cos2x+4sin2x)2+(3sin2x—4cos2x)2=5.

z2

故选Q.

例1解...z_l+2i_(l+2i)(2+i)

例L解.•Z-2T一(2—i)(2+i)T'

|z|=1.

故选A.

例2.解：充分性：

・.2

若Z]=m,z2=bi,a,bER,则2=捺=半建，是实数，所以“Zi，Z2均为纯虚数”能得到*为实

数”；

必要性：

取zi=1+i,z2=2+2i,所以2=2,但此时azz均不为纯虚数，所以“为为实数”不能得到“为，z2

均为纯虚数”，

所以“与，Z2均为纯虚数”是“六为实数”的充分不必要条件，

故选：A.

练1-1.解：因为z=^^+(3+3i)=3+4i,

则它的实部为3,共它复数彳=3-4i,

它的模|z|=5,在复平面对应的点坐标为(3,4).

故选C.

练1-2.解；z=znI1I(ml)i(mC/?),

对于4,若zER,则m-l=O,解得m=l,故A错误；

对于B,若M在复平面所在直线y=2x匕则m-1=2(m+1),解得m=-3,故8错误:

对于C,若z为纯虚数，贝皿山+：:?，解得m=—l,故C正确；

对于0,M在第四象限，则解得一lvmvl，故O正确.

故选：CD.

例3.解：因为片鲁=x+yi(a,x,y£R),

所以2+2ai=x—y+(x+y)i,

所以｛：；；二fl,解得*=Q+Ly=aT

因为xy>L所以十一1>1,解得。<一。或Q>/2故选4

例4.解：因为复数为，Z2是方程M+x+l=0的两个根，

所以Z1+Z2=-1»Z]Zz=1>

所以Z2Z[_Z2(Z2+l)+Zi(Z「l)_Z22+Z2+Z/+Z1_(ZI+Z2)2+(Z1+Z2)-2Z】Z2_1-1-2

Zj+1Z2+I(Z]+1)(Z2+1)Z]Z2+(Z]+Z2)+1Z[Z2+(Z1+&)+l1-1+1

故选c.

例5.解：设2=。+万(。,力€/?),则5=a-bi,

(1+2i)(Q+bi)+(1-2i)(a-bi)=4用徨[2a-4b=4_

由题意

(1-2i)(a+bi)+(1+2i)(a-bi)=6'"寸12Q+4b=6

故z的虚部为*

练2T,解：z(2—i)—则2=尝=*舒=等=>"

|Z|=J(I)2+G)2=故A错'

复数z的共聊复:数为绊"故8蒲

复数Z的虚部为之故。错；

复数z在复平面内对应的点为得金)，在第一象限，故。正确.

故选D.

练2-2,解：对于4复数为=m2-i+(m+l)i是纯虚数，贝1“加2-1=0,6=1,人正确;

对于B,若z?=cos28+isin。为实数，则sin8=0,则。=/CTT,kEZ,5正确;

对于C,若Z1=Z2，贝皿根2—1一8320,则一一i=i-2(m+l)2,解得?九=0或m=一1C正确;

对于D,若Zi20,则Tn?-1之0,且m+1=0,则m=—1,。错误.

故选：ABC

例6.解：根据题意设方程/+2%+。=0的两复根为/=一1+6，x2=-l-bi,b为实数，

••・方程的两根在复平面上对应的点分别为P和Q，三角形POQ是等腰直角三角形，

OP1而，

'.OP-OQ=1-b2=0,

­,■a=xxx2=1—(仅¥=2,

:.a的值为2.

故答案为：2.

例7.解：设2=。+儿，因为复数z满足|z—2—34=5,则有3—2)2+3—3)2=25①，

对于4若复数z的共规复数为2+83贝收=2-83故Q=2,b=-8,不符合①式，故A错;

对于8：若复数z的共轨复数为一2-6i,则z=-2+63故。=一2,8=6,符合①式，

对于C：若复数z的共规复数为5+i,则z=5-i,故Q=5,b=-1,符合①式，

对于。：若复数z的共挽复数为5-7i,则z=5+7i,故a=5,b=7,符合①式，

故选：A.

例&解：根据题意，z1=l-i表示复平面上坐标为(1,-1)的点儿

\z2\=3,则Z2表示的点为距离原点距离为3的点,即以原点。为圆心,r=3的圆,

那么%-Zzl的几何意义为圆上的点与点4的距离，

由点与圆的位置关系分析可得％-zzl的最大值是。力+r,即3+C.

故答案为：3+，工.

练3-L解：：Zi=2+i是关于x的方程/+口无+q=0(p,qeR)的一个根,

:.(2+t)2+p(2+i)+q=O(p,qER),化简得(3+2p+q)+(4+p)i=0,

代MT°，解蹴二u

二|z-Zi|=p+q=—4+5=1,

yi

如国所示复平面内，复数z和Zi=2+i表示的点为Z和Z],表示的向量为方和西,

则由复数减法的几何意义，复数z-Zi表示的向量为次-西=北2,

若|z—zj=l,贝小普团=1,.•.点Z的集合图形M是以Zi为圆心，半径为1的圆，

M围成的面积为S=7TXI2=7T.

故选:A.

练3-2.解：设复数Z],z2,Z3在复平面内对应的点分别为4B,C,

因为0|=|z2|=2且Zi，Z2所对应的向量两，西满足西•西=0,即西1两,

不妨令A(2,0),B(0,2),则Zi=2,z2=2i,

X|z3l=XT-2>iSC(V~~2cos0,V-7sin0)(0GR),B|Jz3=V_2cos9+(AA_2sin0)i

-

则?3-Zi-z2=>/~2cos0+(•/2sin0)i-2-2i=(y/~2cos0-2)+(V-2sin^-2)i,

\z-Z]-Z2I=J(\T-2COS0—2『+(Vising-2)2=

所以3

V2cos204-2sin20-4-/-2€05^-4y/~2sin0+8

=J10-4A/~^(C