高等数学（应用类）

第一章函数、极限与连续第一节函数第二节常用的经济函数第三节极限第四节无穷小量和无穷大量第五节极限的运算第六节两个重要极限第七节无穷小量的比较第八节函数的连续性与间断点第九节初等函数的连续性第一节函数一、区间及邻域二、函数的概念三、函数的表示法四、函数的性质五、反函数六、基本初等函数七、复合函数八、初等函数九、建立函数关系举例区间1区间的名称和记号的引入设a,b是两个实数，且a<b

，则数集{x|a≤x≤b}为以a,b为端点的闭区间，记作[a,b]，如右图（a）所示；数集{x|a<x<b}为以a,b为端点的开区间，记作(a,b)，如右图（b）所示；数集{x|a<x≤b}或{x|a≤x<b}为以a,b为端点的半开半闭区间，记作(a,b]或[a,b)，如右图（c）和右图（d）所示；图（a）图（b）图（c）图（d）任何一个变量都有一定的变化范围．如果变量的变化范围是连续的，常用一种特殊的数集——区间来表示．有限区间区间的名称和记号的引入在无限区间中，区间的端点（如上述的

a,b

）可以无限扩展，即数集{x|a≤x<+∞

}可记作[a,+∞

)；数集{x|a<x<+∞}可记作(a,+∞

)

数集{x|

-∞<x≤a}可记作(-∞,a]；数集{x|

-∞<x<a}可记作(-∞,a)；

(-∞,

+∞)表示全体实数的集合R．无限区间（1）区间是实数集的子集．（2）

和

分别表示“正无穷大”和“负无穷大”，它们不是数，仅仅是一个记号．注意邻域2邻域的引入设a与δ是两个实数，且δ>0,则

数集{x|a-δ<x<a+δ}称为点a的δ邻域，记作U(a,δ)，如图（a）所示，即图（a）图（b）若将邻域的中心a去掉，则所得的集合{x|0<x-a<δ}称为点a的去心δ邻域，记作

，如图（b）所示，即

设有一非空实数集D，如果存在一个对应法则f，使得每一个

x∈D，都有一个唯一的实数y与之对应，则称y是x的函数，记作

y=f(x)．定义1函数的定义1

其中，x称为自变量，y称为因变量，自变量的取值范围D称为定义域．

当自变量x取定义域D内的某一定值x0时，按对应法则f所得的对应值y0称为函数y=f(x)在x=x0处的函数值，记作f(x0)，即y=f(x0)．当自变量x取遍D中的数时，所有对应的函数值y构成的集合称为函数的值域，记作M，即高等数学中主要讨论单值函数．解：已知

f(x)=x2-x-1

，求f(0),f(1),f(-x)．例1f(0)=02-0-1=-1．f(1)=12-1-1=-1．f(-x)=(-x)2-(-x)-1=x2+x-1．解：求下列函数的定义域。例2（1）（2）（1）因所以，函数的定义域为（2）因所以，函数的定义域为(-1,3]函数的两个要素2如果两个函数的定义域、对应法则均相同，那么可以认为这两个函数是同一函数；反之，如果两要素中有一个不同，则这两个函数就不是同一函数．函数对应法则定义域（1）函数

与

因为即这两个函数的对应法则相同，且定义域均为R，所以它们是同一函数。（2）函数与

虽然但由于它们的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数．解析法（公式法）1把两个变量之间的关系直接用数学式子表示出来，必要时还可以注明函数的定义域、值域，这种表示函数的方法称为解析法．这在高等数学中是最常见的函数表示法，它有显式、隐式和参数式之分，如显式隐式参数式在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数．例3例4函数称为符号函数，可记作y=sgnx。解：其定义域为D=(-∞,+∞)

，值域为M={-1,0,1}．它的图像如右图所示．函数称为绝对值函数,其定义域为D=(-∞,+∞)

，值域为M=[0,,+∞)．例5函数,其中，[x]表示不超过x的最大整数，称为取整函数。在取整数时，若n≤x≤n+1

，则[x]=n，如[0.68]=0,[7.3]=7,[-7.1]=-8．分析：行李按下列标准支付运费：不超过10公斤的不收行李费；超过10公斤不超过25公斤的，超出10公斤的部分每公斤收运费0.50元；超过25公斤不超过100公斤的，超出25公斤的部分每公斤收运费0.80元．试列出行李的运费与行李的重量之间的函数关系式，写出其定义域，并求出所带行李分别为16公斤和65公斤的甲、乙两旅客各应支付多少运费？例6在不同情况下运费的计算方法不相同，因此，其函数关系式常用分段函数来表示．假设行李的重量为x公斤，运费为y元，则解：故甲、乙两旅客应分别支付行李运费3元和39.5元.其定义域为[0,100]．例6表格法2

表格法是把自变量和因变量的对应值用表格形式列出的方法．这种表示法有较强的实用价值，如三角函数表、常用对数表等．3图示法

图示法是用某坐标系下的一条曲线反映自变量与因变量的对应关系的方法．这种方法的几何直观性强，函数的基本性态一目了然，但它不利于理论研究．单调性1设函数y=f(x)在区间I内有定义，若对区间I内的任意两点x1，x2.当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)

，则称y=f(x)在区间I内单调增加，区间I称为单调增区间.当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)

，则称y=f(x)在区间I内单调减少，区间I称为单调减区间．单调区间函数y=x2在区间(-∞,0)内单调减少，在区间(0,+∞)内单调增加.函数y=2x,y=x3在区间(-∞,+∞)都是单调增加的．例如奇偶性2设函数y=f(x)的定义域关于原点对称（即若x∈D，则-x∈D），

若对于任意的

x∈D，都有f(x)=f(-x)，则称y=f(x)为偶函数.

若对于任意的x∈D，都有f(x-)=-f(x)，则称y=f(x)为奇函数.偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称．例如在定义区间上都是偶函数在定义区间上都是奇函数．有界性3设函数f(x)在区间I上有定义，

如果存在一个正数M，使得与任一X∈I所对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)|≤M

，则称函数f(x)在I内有界.

如果这样的M不存在，则称函数f(x)在I内无界.函数f(x)=sinx在(-∞,+∞)内是有界的，因为无论x取任何值，|sinx|≤1都成立.例如函数在开区间(0,1)内是无界的，而在开区间(1,3)内是有界的．笼统地说某个函数是有界函数或无界函数是不确切的，必须指明其所讨论的区间．周期性4设函数y=f(x)在区间D上有定义，若存在常数T≠0，对于任意的x∈D

，恒有f(x+T)=f(x)，则称y=f(x)是以T为周期的周期函数．通常所说周期函数的周期是指它们的最小正周期。Y=sinx的周期是2

π，y=tanx的周期是

π．例如函数y=C(C为常数)是周期函数，但不存在最小正周期.解：判断下列函数的奇偶性。例7（1）（2）（3）（1）因为所以是偶函数。（2）因为所以是奇函数。（3）因为它既不等于f(x)也不等于-f(x)，所以是非奇非偶函数。设函数y=f(x)，其定义域是(a,b)，值域是(c,d)．若对于(c,d)中的任一

y值，都有唯一的x∈(a,b)，使得

成立f(x)=y，即x也是y的函数，则称这个函数为y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)．定义2这时，称y=f(x)为直接函数．由定义可知，反函数x=f-1(y)的定义域是直接函数的值域；而反函数的值域是直接函数的定义域．（1）因习惯上常用

表示自变量，

表示因变量，所以经常把反函数

记作y=f-1(x)

．（2）在同一直角坐标系

中，函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图像是关于直线y=x对称的．注意求下列函数的反函数。例8（1）（2）解：（1）等式两边同乘以（x+1）

，得则故的反函数为习惯上写为（2）由得，两边取对数得，故的反函数为下列6类函数统称为基本初等函数．常数函数1常数函数y=C(C为常数)的定义域为(-∞,+∞)，对应法则是对于任何x∈(-∞,+∞)，x所对应的函数值

y恒等于常数C．其函数图像为平行于x轴的直线，如右图所示．幂函数2幂函数y=xa(a为任意常数)的定义域和值域由a而定，但在(0,+∞)内都有定义，且其图像都经过点(1,1)．如下图所示给出了几个常见幂函数的图像．指数函数3对数函数4指数函数y=ax(a>0,a≠1)的定义域为(-∞,+∞)，值域为(0,+∞)，图像都经过点(0,1)．当a>1时，y=ax单调增加；当0<a<1时，

y=ax单调减少．指数函数的图像均在x轴上方，如右图所示．对数函数y=logax(a>0,a≠1)是指数函数y=ax的反函数．对数函数的定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)，图像都经过点(1,0)

．当a>1时，

单调增加；当0<a<1时，

单调减少．对数函数的图像均在y轴右方，如右图所示．当a=e时，y=logax简记为y=lnx

，它是常见的对数函数，称为自然对数．三角函数5余弦函数y=cosx余切函数y=cotx余割函数y=cscx正弦函数y=sinx正切函数y=tanx正割函数y=secx三角函数有以下几种123456

(1)sinx和cosx的定义域为(-∞,+∞)，值域为[-1,1]，都以2

π

为周期．sinx是奇函数，cosx是偶函教，如右图所示．

(2)tanx的定义域是，cotx的定义域是，它们都以π为周期，且都是奇函数，如右图所示．反三角函数6反余弦函数y=arccosx反余切函数y=arccotx反正弦函数y=arcsinx反正切函数y=arctanx反三角函数1234（1）反正弦函数y=arcsinx是正弦函数y=sinx在区间

上的反函数，其定义域为[-1,1]，值域为

，如下图（a）所示．图（a）图（b）（2）反余弦函数y=arcosx是余弦函数y=cosx在区间[0,

π]上的反函数，其定义域为[-1,1]，值域为[0,

π]，如下图（b）所示．图（a）图（b）（4）反余切函数y=arccotx是余切函数y=cotx在区间(0,

π)内的反函数，其定义域为(-∞,+∞)，值域为(0,π),如下图（b）所示．（3）反正切函数y=arctanx是正切函数y=tanx在区间

内的反函数，其定义域为(-∞,+∞)，值域为

，如下图（a）所示。解：求下列反三角函数的值．例9（1）（2）（3）（4）（1）因，且故（2）因，故（3）因，且故（4）因故示例设

，u=1+x2

，则以1+x2代替

中的u可得

，我们称它为由

和u=1+x2复合而成的复合函数．

如果y是u的函数y=f(u)，u又是x的函数u=φ(x)，

φ(x)的值域与y=f(u)的定义域的交集非空，则y通过中间变量u成为x的函数，这个函数称为由函数y=f(u)和u=φ(x)构成的复合函数，记作y=f[φ(x)]．定义3例10试写出由函数y=u2,u=lnv和构成的复合函数，并求出其定义域．解：

把

代入u=lnv，得

，再把

代入y=u2

，得所求的复合函数为

，其定义域为(0,+∞)．指出下列函数的复合过程．例11（1）（2）（3）（4）解：（1）是由和复合而成。（2）是由y=eu和u=-x2复合而成。（3）是由y=lnu,u=tanv和

复合而成。（4）是由复合而成。求复合函数y=log2(x2-x-2)的定义域．例12解：

y=log2(x2-x-2)是由y=log2u和u=x2-x-2复合而成，

对于y=log2u,需要u>0,即x2-x-2>0,解得x<-1或x>2.

所以，复合函数y=log2(x2-x-2)的定义域为(-∞,-1)∪(2,+∞)由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合所构成，并且可用一个解析式表示的函数称为初等函数．定义4例如，

是一个分段函数，由于

，因此，y=|x|

也是初等函数．同理，y=|sinx|

,y=ln|x2-1|都既是分段函数，也是初等函数．电力部门规定：居民每月用电量不超过30度时，每度电按0.5元收费；当用电量超过30度但不超过60度时，超过的部分每度按0.6元收费；当用电量超过60度时，超过部分按每度0.8元收费．试建立居民月用电费G与月用电量W之间的函数关系．例13解：当0≤W≤30时，G=0.5W

；当30<W≤60时，G=0.5×30+0.6×(W-30)=0.6W-3;当W>60时，G=0.5×30+0.6×(60-30)+0.8×(W-60)=0.8W-15;所以，

某企业生产某种产品，固定成本为20000元，每生产1kg产品，成本为50元，且每天最多生产100kg．试将每日产品的总成本C（元）表示为产量Q（kg）的函数．例14解：由经济学知识可知，总成本

固定成本

可变成本，故*第二节常用的经济函数一、需求函数与价格函数二、供给函数三、总成本函数四、收入函数与利润函数需求函数1为简化问题的分析，现在假定其他因素暂时保持某种状态不变，只考虑商品的价格对需求量的影响，我们可建立商品的需求量Q与该商品价格P的函数关系，称为需求函数，记作Q=Q(P)

．这里，价格P是自变量，取非负值．线性需求函数:Q=a-bP,其中a≥0.b≥0且a,b都是常数。二次曲线需求函数:Q=a-bP-cP2

,其中

a≥0.b≥0,C≥0均,且a,b,c为常数；指数需求函数:Q=Ae-bP,其中A≥0.b≥0且A,b都是常数。在企业管理和经济学中常见的需求函数有：123一般地，需求量随价格的上涨而减少．因此，需求函数通常是价格的单调减少函数．价格函数2需求函数的反函数就是价格函数，记作P=P(Q)．价格函数也反映商品的需求与价格的关系．在市场经济规律作用下，市场上某种商品供应量（称为商品供给量）的大小依赖于该商品的价格高低．影响商品供给量的重要因素是商品价格，记商品供给量为S，商品价格为P，则商品供给量S是价格P的函数，称为供给函数，记作S=S(P)．幂函数指数函数线性函数二次函数常见的供给函数1234一般地，商品供给量随商品价格的上涨而增加．因此，商品供给函数S是商品价格P的单调增加函数．一是在短时间内不发生变化或变化很小，或者随产品数量增加而变化不明显的，如厂房、设备等，称为固定成本，常用C1表示；二是随产品数量的变化而直接变化的部分，如原材料、能源等，称为可变成本，常用C2表示，它是产品数量Q的函数，即C2=C2(Q)．+总成本函数

生产Q个单位某种产品时的可变成本C2与固定成本C1之和，记作C，即一般情况下，总成本函数是一个单调增加函数，常见的总成本函数有线性函数、二次函数、三次函数等．只给出总成本不能说明企业生产的好坏，在经济分析中，常用到平均成本这个概念，即生产Q个单位产品时单位产品的成本，记作A(Q)，即生产某种商品的总成本（元）为C(Q)

=500+4Q，求生产50件这种商品时的总成本和平均成本．例1解：生产50件这种商品的总成本为平均成本为：收入函数1收入平均收入总收入是指销售者售出一定数量商品所得的全部收入，常用

R表示．是指售出一定数量的商品时，平均每售出一个单位商品的收入，也就是销售一定数量商品时单位商品的销售价格，常用

表示．总收入、平均收入都是售出商品数量的函数．设P为商品价格，Q为商品的销售量，则有例2设某商品的价格函数是，试求该商品的收入函数，并求出销售10件商品时的总收入和平均收入．解：收入函数为平均收入为由此得到销售10件商品时的总收入和平均收入分别为利润函数生产一定数量产品的总收入与总成本之差就是总利润，记作L，即平均利润记作，即总利润L和平均利润

都是产量Q的函数．2已知生产某种商品Q件时的总成本（万元）为C(Q)=10+6Q+0.1Q2，如果该商品的销售单价为9万元，试求：例3(1)该商品的利润函数；(2)生产10件该商品时的总利润和平均利润；(3)生产30件该商品时的总利润；解：(1)该商品的收入函数为R(Q)=9Q，利润函数为(2)生产10件该商品时的总利润为此时的平均利润为(3)生产10件该商品时的总利润为第三节极限一、数列极限二、函数极限在某一法则下，当n(n∈N+)依次取1,2,…,n,…时，对应的实数排成一列数定义1数列极限的定义1这列数就称为数列，记作{xn}．数列中的每一个数称为数列的项，第n项xn称为数列的一般项或通项，例如，数列{xn}可看作自变量为整数n的函数xn=f(n)，它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1,2,3,…等一切正整数时，对应的函数值就排列成数列{xn}．定义2对于数列{xn}，如果当n无限增大时，数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a，则称常数a是数列

的极限，或称数列{xn}收敛于a，记作

；如果数列没有极限，就说数列是发散的．其中，“lim

”代表极限，极限符号下面的“n→∞”表示项数无限增大．讨论下列数列的变化趋势，说明极限是否存在，若存在，请写出它们的极限．例1解：(1)(2)(3)(4)的项依次为，当n无限大时，

xn

无限接近于0.所以，(2)的项依次为0,1,0,1,…，当n无限大时，

xn总是在0和1两数中跳动，不趋近于某一个常数，所以，该数列的极限不存在．(3)的项依次为，当n无限大时，

xn无限接近于0.所以，(4)为常数数列，无论n取怎样的正整数，xn始终为8，所以．数列极限的存在准则2单调有界原则若数列

单调且有界，则其必有极限．12夹逼准则如果数列{xn},{yn}和{Zn}满足下列条件：那么，数列{yn}的极限存在,且

．21根据变量

的不同变化过程，函数的自变量有以下几种不同的变化趋势，为了方便起见，我们规定：（1）

x的绝对值|x|无限增大用记号x→∞表示；

x小于0且绝对值

|x|无限增大用记号

x→﹣∞

表示；

x大于0且绝对值|x|无限增大用记号

x→﹢∞表示；（2）

x的绝对值x0无限增大用记号x→x0表示；x从x0左侧（即x<x0）无限接近x0

用记号

x→x0﹣

；

x从x0右侧（即x>x0）无限接近x0

用记号

x→x0+

；当x→∞时，函数y=f(x)的极限1例2作出函数的图形，在x>0的前提下，讨论当x→﹢∞时，该函数的变化趋势，并说出它的极限．解：所作图形如右图所示．从图中可以看出，当x沿x轴的正方向无限增大时，曲线

无限接近于x轴，但始终不与x轴相交，故当x→﹢∞

时，函数

以0为极限．定义3如果当x的绝对值无限增大，即x→∞时，函数值f(x)无限趋近于某一个确定的常数A，那么A就称为函数f(x)当x→∞时的极限，记作或例3如右图所示，有及

．解：由于当x→﹢∞和x→﹣∞时，函数arctanx不是无限接近于同一个确定的常数，所以

不存在．定理1

的充分必要条件是．例4解：如右图示为这两个函数的图形．讨论函数y=ex及y=e-x当x→∞时的极限。因为所以不存在又因为所以不存在当x→x0时，函数y=f(x)的极限2（1）对于函数f(x)=x+1，当x→1时，

f(x)的变化趋势如下表所示．示例解：（1）从表中可以看出，当x从x0=1的左边或右边越来越接近于x0=1时，f(x)的值越来越接近2．x…00.50.90.99…1…1.011.11.52…F(x)…11.51.91.99…2…2.012.22.53…（2）对于函数

，考察当x→1时，

f(x)的变化趋势．（2）如上例一样列表（除x=1点没定义外，其余均与表1-1相同）．从表中同样可以看出，当x从x0=1的左边或右边越来越接近于x0=1（x≠1）时，f(x)的值越来越接近2．定义4设函数y=f(x)在点x0的附近有定义（在x0处可以无定义），如果存在一个常数A，当x无限趋于x0(x≠x0)时，函数f(x)的值无限趋近于A，那么A就称为函数f(x)当x→x0时的极限，记作或12如果当x从x0的左边趋于x0（通常记作x→x0-）时，f(x)无限接近某常数A，则常数A称为函数f(x)当x→x0时的左极限，记作或如果当x从x0的右边趋于x0

（通常记作x→x0+）时，f(x)无限接近某常数A，则常数A称为函数f(x)当x→x0时的右极限，记作或单侧极限定理2当x→x0时，f(x)以A为极限的充分必要条件是f(x)在点x0处的左、右极限存在且都等于A，即例5设，试判断

是否存在．解：先分别求f(x)当x→1时的左、右极限：因为所以存在,且例6解:

f(x)的图像如右图所示．作图并求函数当x→1时的左、右极限．从图中可看出，当x<1且无限趋近于1时，函数f(x)的值无限地接近常数1，即函数f(x)的左极限存在，且有

当x>1且无限趋近于1时，函数f(x)的值无限地接近常数2，即函数f(x)的右极限存在，且有因为,所以当x→1时，函数f(x)的极限不存在．函数极限的性质3定理3唯一性如果函数f(x)在某一变化过程中有极限，则其极限唯一．定理4有界性如果函数f(x)在x→x0时存在极限，则必存在x0的某一邻域，使得f(x)在该邻域内有界．定理5定理6保号性若在x0的左右近旁，恒有f(x)≥0（或f(x)≤0）且

，则A≥0（或A≤0）．夹逼准则如果对于x0某邻域内的一切x(x0可除外)，有

，且

则第四节无穷小量与无穷大量一、无穷小量二、无穷大量三、无穷大量与无穷小量的关系在自变量x的某一变化过程中，若函数f(x)的极限为0，则称此函数为在自变量x的这一变化过程中的无穷小量，简称为无穷小，记作定义1无穷小量的定义1或（1）无穷小是以0为极限的变量.（2）说到无穷小，必须指明自变量的变化过程．（3）无穷小与绝对值很小的数不能混为一谈．（4）0是唯一可以作为无穷小的常数．例1解:指出自变量x在怎样的趋向下，下列函数为无穷小量．(1)(2)(3)（1）因为,所以当x→∞时，函数是一个无穷小量．（2）因为,所以当x→1或x→-1时，函数y=x2-1都是无穷小量．（3）对于a>1，因为

，所以当x→-∞时，函数为一个无穷小量；

而对于0<a<1

，因为

，所以当x→+∞时，函数为一个无穷小量．有限多个无穷小量的代数和仍为无穷小量．有限多个无穷小量之积仍为无穷小量．有界函数与无穷小量之积是无穷小量．无穷小量具有如下性质．123无穷小量的性质2推论常数与无穷小量之积仍为无穷小量．（1）性质1中的“有限多个”是必要的．换言之，无限多个无穷小量的和不一定是无穷小量．（2）两个无穷小之商未必是无穷小．例2解:求下列函数的极限．(1)(2)(3)（1）当x→0时，sinx和x均是无穷小量，因此，2sinx和x3也都是无穷小量，由性质1可知，

．（2）当x→0时，x是无穷小量，而

，即是有界函数，由性质3可知，．（3），其中|cosx|≤1，即cosx为有界函数，而x→∞时，

为无穷小量，由性质3可知，

．在自变量x的某一变化过程中，若函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)为在自变量x的这一变化过程中的无穷大量，简称为无穷大，记作

或

．定义2或（1）如果函数

为某变化过程的无穷大，那么它的极限是不存在的．但为了便于描述函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限是无穷大”．（2）无穷大量是变量，与自变量的变化过程密切相关，脱离自变量的变化过程谈无穷大量是没有实际意义的．（3）无穷大量不是一个绝对值很大的常数．定理1在自变量的同一变化过程中，若f(x)是一个无穷大量，则

为无穷小量；若f(x)是一个无穷小量，且f(x)≠0，则

为无穷大量．例2解:求下列函数的极限．(4)(1)(2)(3)（1）因为

，即x→1时x-1为无穷小，所以，

为x→1时的无穷大．（2）因为

，即x→∞时为无穷小，所以，y=2x-1为x→∞时的无穷大．接上页解:（3）因为,即x→2时

为无穷小，所以，

为x→2时的无穷大．（4）如右图所示，

x→0+时，lnx→-∞，即；

x→+∞

时，lnx→+∞,即．所以，

x→0+或

x→+∞

时，lnx都是无穷大．第五节极限的运算定理1设

，则（1）（2）（3）推论推论设则设则12结论例1求解:例2求解:因为所以结论设

，其中a0,a1,…an为常数，a0≠0，n为非负整数，则称f(x)为n次多项式，于是有（1）（2）若f(x)，g(x)均为多项式，则称

为有理函数．若g(x0)≠0，则

．例3求解:当x=2时，x-2=0，故不能直接用运算法则（3）．因为所以，由无穷小与无穷大的关系可得结论在求极限时，（1）如果

，

，则由无穷小与无穷大的关系可得（2）如果

，

，即分子、分母的极限都为0，实为两个无穷小之商，我们把这种极限形式称为

型未定式．例4求解:当x→3时，分子及分母的极限都是0，在x→3的过程中，由于x≠3，即x-3≠0，故分子与分母可约去公因式

x-3，得例5求下列极限（1）（2）解:（1）当x→1时，函数的两项均为无穷大，不能用差的运算法则，但可先通分，再求极限．接上页解:（2）由于当x→1时，

，应想办法约去是分子、分母中极限均为0的因子

x-1（称为零因子）．因故例6解:求下列函数的极限．(1)(2)（1）（2）例7解:求下列函数的极限．(1)(2)(3)（1）分子、分母同除以分母的最高次幂x2，得（2）分子、分母同除以分母的最高次幂x3，得（3）由（2）可知

，由无穷小量与无穷大量的关系知结论由例7可得出下述结论．设a0≠0,b0≠0,m,n为自然数，则特别要注意：在求极限的过程中，分母的极限不能为0，若为0，则要想办法去掉使分母为0的因式；有根式的要设法有理化；

x→x0表示x无限地接近于x0

，但永远不等于

．第六节两个重要极限一、二、列表考察当x→0时

的变化趋势，如下表所示．x±1±0.5±0.1±0.01±0.001→00.84147090.95885110.98833420.99998330.9999998→1从上表可以看出，当x→0时，

的值无限趋近于1．该重要极限的特点：1若在某极限过程中，limφ(x)=0，则在该极限过程中有

，其中，

表示在某极限过程中

φ(x)=

→0．也可形象地写成(□代表同一变量)例1解:求令u=3x．当x→0时，u→0．于是有注意：函数

通过变量替换成为

时，极限中的x→0同时要变为u→0

．也可以直接计算，即例2解:求例3解:求下列极限。（1）（2）（3）（1）（2）（3）2列表考察当x→∞时，函数

的变化趋势，如下表所示．x1010010001000010000010000002.593742.704812.716922.718152.718272.71828x1010010001000010000010000002.867972.731992.719642.718422.718302.71828从上表可以看出，当x→-∞及x→+∞时，

的值无限趋近于

，即如果令

，当x→∞时，t→0，公式还可以写成综合起来，得到以下两个公式：

这两个极限式可以统一为“1加无穷小的无穷大次方的极限为e”．为了便于记忆，可形象的记作或(□代表同一变量)例4解:求下列极限（1）（2）（1）令

，则x=3u．于是也可直接计算，即（2）例5例6计算解:计算解:=第七节无穷小量的比较当x→0时,,都是无穷小量，但是

．引例这些不同情况，在自变量的统一变化过程中，反映了两个无穷小趋于0的速度是不同的．为比较无穷小趋于0的快慢，我们引入无穷小阶的概念．设α，β是自变量的同一变化过程中（

x→x0或x→∞）的无穷小量，且α≠0．定义1（1）若

，则称β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α)；（2）若

，则称β是比α低阶的无穷小；（3）若

，则称β与α是同阶的无穷小；（4）若c=1,即，，则称β与α是等价的无穷小，记作

．等价无穷小在求两个无穷小之比的极限时有重要的作用．对此，有如下定理：定理1设

（1）若存在，则（2）若，则常用的等价无穷小12345678例1例2求解:当x→0时,,所以计算解:当x→0时,,所以例3求解:当x→0时,,，所以21（1）在利用等价无穷小量代换求极限时，只有所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而所求极限式中的相加或相减部分则不能随意替代．（2）未必任意两个无穷小量都可进行比较．第八节函数的连续性与间断点一、函数的连续性二、函数的间断点增量函数的增量1自变量从初值x0变为终值x时，终值与初值的差x-x0称为自变量x的增量（通常也称为改变量），记作Δx

．增量Δx可正可负．函数增量的几何意义如右图所示．设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在该领域内由x0变到x0+Δx时，函数y相应地由f(x0)变到f(x0+Δx)，称f(x0+Δx)-f(x0)为函数的增量（或改变量），记作Δy或Δf(x)

．函数连续的定义2定义1设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域

内有定义，若

或

，则称函数y=f(x)在点x0处连续．点x0称为函数y=f(x)的连续点．令x=x0+Δx，则当Δx→0时，x→x0，故定义2设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域

内有定义，若

，则称函数y=f(x)在点x0处连续．左连续和右连续3定义3若

，则称函数y=f(x)在点x0处是左连续．若

，则称函数y=f(x)在点x0处是右连续．定理1函数y=f(x)在点x0处连续的充分必要条件是函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续，即12若函数f(x)在开区间(a,b)内各点处均连续，则称

在开区间(a,b)内连续．若函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且在x=a处右连续，在x=b处左连续，则称

在闭区间

上连续．函数y=f(x)在(a,b)内连续的几何意义是函数y=f(x)的图形在(a,b)内连续不断．12函数y=f(x)在x0

处连续的几何意义是函数y=f(x)的图形在(x0,f(x0))处不断开；几何意义例1例2证明函数在x=0处连续。证明:因为

，

，且f(0)=1，所以

存在，且

．由定理1可知，函数f(x)在x=0处连续．讨论函数在点x=1处的连续性。因为

，

，且f(1)=1，f(x)在x=1处不连续。证明:但因，故

f(x)在x=1处左连续．间断点的定义1设函数y=f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数

y=f(x)有下列三种情形之一：定义4（1）在x=x0处没定义；（2）在x=x0处有定义，但

不存在；（3）在x=x0处有定义，且

存在，但。则称函数f(x)在点x0处不连续或间断，点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点．例3解:因为f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,﹢∞)，故f(x)在x=0处间断．讨论函数在x=0处的连续性。但因

，故如果补充定义f(0)=1，则得到函数

，该函数在x=0处是连续的．例4解:函数f(x)在点x=1处有定义，f(1)=0．因设函数，讨论f(x)在点x=1处的连续性．故，但

，所以x=1是函数f(x)的间断点．如果重新定义f(1)，使f(1)=1，函数f(x)将成为一个新函数g(x)，即显然，

g(x)在点x=1处是连续的．间断点的类型2间断点第二类间断点第一类间断点不是第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点。如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限

及右极限

都存在，那么x0称为函数

的第一类间断点．可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点解：此时，若补充定义或改变函数f(x)在点x0处的值为f(x0)=a，就可得到一个在点x0处连续的新函数：一般说来，若

存在，但函数f(x)在x=x0处无定义，或者虽有定义，但f(x0)≠a，则称点x0为函数f(x)的可去间断点．示例前面例3中点x=0为函数

的可去间断点。例4中点

为函数的可去间断点．例5解:讨论函数，在点x=0处的连续性．如右图所示，因为所以，

x=0为函数f(x)的间断点．即如上图所示，函数f(x)的图像在其间断点处产生跳跃，这种左、右极限均存在但不相等的函数间断点称为跳跃间断点．

例6讨论函数在x=0处连续。解:由于

，所以函数f(x)在点x=0处间断，点x=0属于函数f(x)的第二类间断点，我们称之为无穷间断点．例7解:讨论函数在x=0处连续。由于

不存在，且如右图所示，当x→0时，函数f(x)的图像在-1与1之间来回振荡，故点x=0也属于函数f(x)的第二类间断点，我们称之为振荡间断点．第九节初等函数的连续性一、连续函数的运算二、闭区间上连续函数的性质连续函数的四则运算1定理1如果函数f(x)和g(x)都在点x0处连续，那么它们的和、差、积、商（分母不等于0）也都在点x0处连续，即例如，数y=sinx和y=cosx在点

处是连续的，则它们的和、差、积、商在

处也是连续的．反函数和复合函数的连续性2定理2若函数y=f(x)在某区间上严格单调且连续，则其反函数y=f-1(x)在相应的区间上也严格单调且连续．例如，由于sinx在闭区间

上单调增加且连续，所以其反函数arcsinx在闭区间[-1,1]上也是单调增加且连续的．定理3若函数y=f(u)在u0处连续，函数u=φ(x)在点x0处连续，且u0=φ(x0)，则复合函数y=f[φ(x)]在x0处连续．上述定理也可表示为：若

，，且

，则

即在求连续函数的复合函数的极限时，极限符号可与函数符号交换．例1解:计算因为是由

与

复合而成的，所以例2解:计算是由y=lnu与复合而成的。因为

，且y=lnu在u=2处连续，所以例3解:计算例4解:计算令

，则

，x→0时，t→0，于是初等函数的连续性3定理4一切初等函数在其定义区间内都是连续的．注意（1）初等函数的连续区间就是初等函数的定义区间．（2）求初等函数在其定义域内某点处的极限时，只需要求函数在该点的函数值即可．例5解:求函数的连续区间。因为函数

的定义域为[-4,-1)∪(-1,1)∪(1,﹢∞)，所以它的连续区间为[-4,-1)∪(-1,1)∪(1,﹢∞)．例6解:求下列函数的极限。（1）（2）（1）（2）性质1有界定理：

如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在该区间上必有界．性质3最值定理

：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在该区间上必有最大值和最小值．如右图所示，若函数f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少有一点ζ1，使得f(x)在点ξ1处取最大值M；同样，至少有一点

，使得f(x)在点ξ2处取最小值m．性质3介值定理：

如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，C为介于f(a)与f(b)之间的任意数，则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=C

，如右图所示．性质4零点定理：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)<0，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使f(ξ)=0．从几何意义上讲，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的图形是一条连续曲线，其两个端点分别位于x轴两侧，那么这条曲线与x轴至少有一个交点．如下图所示．例7证明:证明方程x3+2x=6至少有一个根介于1和3之间。设f(x)=x3+2x-6，则f(x)在[1,3]上连续，且f(1)=-3<0，f(3)=27>0，则由零点定理可知在(1,3)内至少有一点x0，使f(x0)=0，即方程

x3+2x=6在(1,3)内至少有一根．第二章函数、极限与连续第一节导数的概念第二节初等函数的求导法则第三节隐函数及参数方程确定的函数的导数第四节高阶导数第五节微分及其在近似计算中的应用第一节导数的概念一、两个实例二、导数的概念三、求导举例四、可导与连续五、光滑曲线瞬时速度的引入变速直线运动的瞬时速度1设一物体做变速直线运动，则以它的运动直线为数轴，在物体运动的过程中，对于每一时刻t，物体的相应位置可以用数轴上的一个坐标s来表示，即s与t之间存在函数关系：s=s(t)，这个函数习惯上称为位置函数，现在我们来考察该物体在t0时刻的瞬时速度．如右图所示，设在时刻t0物体的位置为s(t0)．当自变量t获得增量Δt时，物体的位置函数s相应地有增量Δs，即于是，比值

就是物体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度，记作

，即瞬时速度的引入很明显，|Δt|越小，就越接近物体在t0时刻的瞬时速度．当|Δt|无限小时，

就无限接近于物体在t0时刻的瞬时速度，即平面曲线的切线斜率2切线斜率的引入如右图所示，点M(x0,y0)为曲线L:y=f(x)上的一点，过点M的切线MT的倾斜角为α．在曲线上另取一动点N(x0+Δx,y0+Δy)，作割线MN，其倾斜角为φ

，则其比值为当点N沿着曲线L向点M靠近时，Δx减小，∠

φ接近∠α，tanφ接近于tanα．当Δx无限小时，

tanφ就无限接近于tanα．因此，当Δx→0时，就可得到切线的斜率为定义1导数的定义1设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量在点x0处有增量Δx时，函数f(x)取得相应的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)．如果当Δx→0时，

的极限存在，即则称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数，并称函数f(x)在点x0处可导，记作或或若此极限值不存在，则称函数f(x)在点x0处不可导．特殊地，若，我们说函数f(x)在点x0处的导数为

∞

，记作f’(x0)=∞．如果令x0+Δx=x，则当Δx→0时，有x→x0，故函数在点x0处的导数

也可表示为有了导数这个概念，前面两个问题可以重述为：（1）变速直线运动在t0时刻的瞬时速度

v(t0)，就是位置函数s=s(t)在t0处对时间t的导数，即（2）平面曲线上点(x0,y0)处的切线斜率k是曲线纵坐标y在该点对横坐标x的导数，即左、右导数2称为函数f(x)在点x0处的左导数，记为f-’(x0).称为函数f(x)在点x0处的右导数，记为f+’(x0).定理1函数f(x)在点x0处的左、右导数存在且相等是f(x)在点x0处可导的充分必要条件．如果函数f(x)

在(a,b)内可导，那么对应于(a,b)中的每一个确定的x值，都有一个确定的导数值f’(x)，这样就确定了一个新的函数，此函数称为函数y=f(x)的导函数，记作或或或显然，函数y=f(x)在点x0处的导数f’(x0)就是导函数f’(x)在点x0处的函数值，即解：求函数y=x2在任意点x处的导数．例1在x处给自变量一个增量Δx，则相应的函数增量为于是即一般地，对于幂函数xa的导数，有如下公式（后面会有推出过程）：导数的几何意义3函数y=f(x)在点x0处的导数等于函数所表示的曲线L在相应点(x0,y0)处的切线斜率，这就是导数的几何意义．若

f’(x0)≠0，则曲线L上点M(x0,y0)处的切线方程为当f’(x0)=∞时，切线垂直于

轴，切线方程为若

f’(x0)≠0，则曲线L上过点M(x0,y0)处的法线方程为若

f’(x0)=0时，法线垂直于x轴，解：求抛物线y=x2在点(1,1)处的切线方程和法线方程．例2因为，由导数的几何意义可知，曲线

y=x2在点(1,1)处的切线斜率为所以切线方程为即法线方程为即变化率模型4在科学技术中常把导数称为变化率．因为，对于一个未赋予具体含义的一般函数y=f(x)来说，

是表示自变量x在以x0与x0+Δx为端点的区间中每改变一个单位时，函数y的平均变化量．

所以把

称为函数y=f(x)在该区间中的平均变化率．把平均变化率在Δx→0时的极限f’(x0)称为函数在x0处的变化率．变化率反应了函数y随自变量x在x0处的变化快慢程度．解：电流强度模型

设在[0,t]这段时间内通过导线横截面的电量为Q=Q(t)，求t0时刻的电流强度．例3（1）如果是恒定电流，在Δt时间内通过横截面的电量为ΔQ，那么，电流强度为（2）如果是非恒定电流，就不能直接用上面的公式求t0时刻的电流强度，此时，称为在Δt这段时间内的平均电流强度．我们令Δt→0，则平均电流强度

的极限（如果极限存在）就称为t0时刻的电流强度i(t0)，即解：细杆的线密度模型如右图所示，设一根质量非均匀分布的细杆放在x轴上，细杆在[0,x]上的质量m是x的函数m=m(x)

，求杆上点x0处的线