河北省沧州市2026届高三年级上册12月教学质量监测 数学试卷

河北省沧州市2025-2026学年高三上学期12月教学质量监测

数学试题

一、单选题

1.已知sina-cosa=且，则sin2/7=（）

3

A1C2〃1

A.—B.—C.—D-

333-l

2.已知复数z满足(T+i)z=-3,则|z|=()

A.GB.y/2C.1D.正

2

3.已知），=T是抛物线。：/=2万，（〃>0）的准线，点（4,为）为C上一点，则为=（）

A.4B.3C.2D.1

4.已知。为坐标原点，OP=mOA+AB,若四功形OAP5为平行四边形.则〃?=（）

A.-2B.2C.1D.-1

5.过点P。/）且斜率为人的直线/被圆（工-1『+（），+1『=6截得的弦长为4,则k的值为（

A.±1B.1C.±V3D.73

20

6.已知各项均为正数的数列｛q｝满足生=4,且对任意〃都有6"+“=4M,，则凡+丁的最小值为

a

/、

()

71

A.9B.—C.4石D.2石

7.在直四棱柱ABC。-48cA中，底面"C。为菱形，△A8O为等边三角形，AA,=AB=BD,若该直四

棱柱的体积为46，则以8为球心，表面积为28兀的球面与侧面A4,。。的交线长度为（）

8.已知函数八刈=1-xlnx+x（a>。）有两个极值点，则〃的最小整数值为（）

A.2B.3C.5D.7

二、多选题

9.某公司员工参加技能测试，统计得出从第1题至第8题每题的平均得分分别为4.41、3.21、3.90、4.22、

3.42、4.30、3.05、1.30.关于这组数据，下列说法正确的有（）

A.极差为3.11B,平均数小于3.30

C.平均数大于3D.上四分位数为4.26

10.已知工二一白是函数/(x)=sin(2x+°)(-g<e<g]的一个零点，g(x)=/(x+0),则()

A.函数/(“在区间0,：上的值域为(等1]

B.函数g(x)在区间「0,等]上单调递减

O.

C.若方程/(x)=g(.r)的相邻的两根分别为a,0(a>#,则a-夕=]

D.函数g)=呜-；卜口司的最大值为2

11.已知双曲线C:£-£=l(a>03>0)的一条渐近线的倾斜角为詈，点?为。上位于第二象限内一点,

耳，鸟分别为。的左、右焦点，P"巴内切圆的圆心为/(-3,〃?)，则()

A.C的虚轴长为行

B.当机=2。一3时，上「耳鸟的面积为2道

C.|喝2T闽2=246

D.若。为坐标原点，则归酊|尸图-1尸O|'二6

三、填空题

12.已知函数/(x)=2.Lln(17)-l,则曲线y=/'(x)在点(0,f(0))处的切线方程为.

13.已知集合4=卜|/一犬一2>0},集合4={x|-3<x<a},若集合AcB内恰有两个整数，则实数〃的取

值范围是.

14.已知。ec分别为A8C的内角ARC的对边，48c的面积为S,且2Gs=AB.AC，若

入。恒成立，则实数,的最小值为——•

四、解答题

15.在一个不透明的袋子中有7个不同标记的红球和个不同标记的白球，所有球的大小、质量均相

同.

(1)若〃=3,每次从袋中摸出I个球，摸出后不再放回，求第3次摸出的是第2个白球的概率：

(2)若〃=4,从袋中一次性摸出4个球，其中红球个数为x,白球个数为V,记X=k-y|,求X的分布列

和数学期望.

16.已知函数/(x)=aliu-x+幺wR.

X

⑴讨论函数/(X)的单调性；

⑵若函数“X)在区间[1，+8)上的最大值为2,求实数4的值.

17.如图，在三棱锥P—48c中，AA=AC,/8AC=],PA_L底面AAC,侧面与底面ABC所成的二

面角为;，。为BC的中点.

(1)若8c=2,求三棱锥P-45C的体积；

(2)若异面直线P。与AC所成的角为。，直线产。与平面小C所成的角为夕，求cos号的值.

18.已知数列｛%｝,｛"｝,匕｝,对于任意〃eN,都有4-2+q“=。也-c”+矶=0成立.

⑴若册=-〃+8,求数列｛|c“|｝的前n项和.

⑵若数列卜“｝是等比数列，且4=%=0"2=1，％=3,求数列匕Jogzqj的前〃项和.

⑶若凡是否存在常数S值＞0)，使得对于任意〃cN]〃之2。+++恒成立？若存在,

84C2c3Cn

求出6的值；若不存在，请说明理由.

19.“极点与极线”是圆锥曲线的一种基本特征，已知圆锥曲线。:心2+为2+26+2a+尸=0(*+82工0),

点P(%,%)(工0)，0H0),直线/:Av+8)，0)，+。(％+x)+E(.y0+y)+尸=0,则称点P(与,兄)和直线/是圆锥

曲线。的一对极点和极线.已知E为圆M：(x+G)2+)3=]6上一点，点N(6,0),动点。满足：

（QE+QN）.（QE-QN）=。，且Q.M,£三点共线，动点Q的轨迹为曲线T,点尸（%,%）为「上一点.

⑴若对于曲线「，与点尸（事,兄）对应的极线为匕

（i）证明：4与「有且仅有一个公共点；

/NHP

（ii）若点P'（一/，一%）,PR与/。相交于点〃，求方丽的值.

⑵过点P且斜率为-1的直线与曲践「的另一个交点为）（%>”>0）,证明：四边形PKM7的面积

,「9

小于不

参考答案

1.B

【详解】由题意，sina-cosa=正两边同时平方得

3

sin2«z-2sinacosa+cos2a=-,

3

由同角三角函数平方关系得1-2sinacosa=；,

2

则sin2a=—.

故选：B.

2.C

/、2i2i2i2i...

【详解】因为=-币=不，所以z=（—1）（_]+i）=5=L则忖=1，

故选：C.

3.D

【详解】因为直线尸7是抛物线C的准线，所以勺4,即〃=8,所以C的方程为/=16），，

又（4,%）在C上，代入可得16%=42,解得%=1,

故选：D.

4.B

【详解】因为四边形O4P8为平行四边形，

所以。尸=OA+OB，

所以QA+08=/"M+（08-0A）=（/"-l）CM+08,

所以〃?-1=1,解得〃?=2,

故选:B.

5.A

【详解】依题意，圆心为1，1,半径为不，直线/的方程为l=«x—1）,即如一）「女+1=。,

于是圆心到直线I的距离为d=+:=~r^==J（府"=&,解得k±1,

故选:A.

6.A

【详解】依题意，与>0间2=44=4,解得4=2,

令〃7=1,则可讨=24，则｛q｝是以2为首项，2为公比的等比数列，故氏=2”，

因为4=2”是递增数列，函数），=x+§（.r>0）在（0,26）上单调递减，在（2底田）上单调递墙

厂r-20

且4=4<2石，d3=8>2V5,故《十丁的最小值必在〃=2或〃=3时取得，

…20420,、，.202021

又当〃=2时L，/+—=4+-7=9,当〃=3时，/+—=o8+彳=k，

a24a382

20

所以当〃=2时，。”+一取得最小值为9.

故选：A.

7.D

【详解】依题意，设惧=48=①>="〃>0）,

匕t«rn=sinZB4D«=«3sin60=且/=4百，解得a=2,

〃_小勺L2

如图，取A。的中点E,连接BE,

因为△4/）是边长为2的正三角形，所以BE1A。,

且3石=JAB2-A炉=J22-』=0,

以8为球心的球的半径为R,则该球的表面积为4M2=28兀，解得R=S，

因为■平面AAC。，BEu平面4ACO.故8E_LA4,，

又因为8EJLAO,AOcA4,=A,A。、平面44,。。，政BE_L平面明。。,

在侧面A4,。。中，以E为圆心的圆弧与棱AA、DR的交点分别为M、N,

则其半径EM=EN=JR?-BE?=4行丫—（可=2,则MN即为所求的交线，

因为从A~LA。，AE=\=-EM,故/AME=2,则/AEM=¥,

263

同理可得/。硒=4，故/MEN」,

33

又因为EM=EN=2,所以MN的长度为gx2=T，

JJ

故选：D.

8.B

【详解】函数/（刈=』一如虹+足〃>0）的定义域为（0，+8），

问题等价于:红）在（0,+8）内存在两个变号零点，

即尸（同=]/一1内在（0,+。）内有两个变号零点，

因为XW（0,+8）,令：=机，

问题可以转化为关于X的方程〃田e"“-Nnx=0在（0，+8）内有两个不同的解，

乂方程〃次e^—xhir=0川化为〃*e皿一hu-eg=0,即/加・。皿=山飞3,

令力（力=&二x>0,则〃（力=。+力白>0在区间（0,+8）上恒成立,

所以函数力（力在区间（0,+。）上单调递增.

又〃底>0,所以hu>0,即x>l,所以问题等价于ku=/nr,

即〃?=则在（1,+8）内有两个不同的根，

X

令p（x）=岑，则d（x）=,

当工«l,e）时,"（x）〉0,函数制刈在区间（l,e）上单调递增；

当工«e,+oo）时，d（x）<0,函数Q（x）在区间（e,+8）上单调递减，

所以函数。（"在x=e处取得极大值p（e）=L

e

由图象可知，当加€（（）」]时，直线）'=〃，与函数。（X）的图象有两个交点，且其横坐标分别为为、

又"土‘所以“€（e,+8）'所以"的最小整数值为3,

故选：B.

9.ACD

【详解】将这组数据由小到大依次排序为：1.30、3.05、3.21、3.42、3.90、4.22、4.30、4.41,

对千A选项.数据中最大的数为4.41,最小的数为1.30,极差为4.41-1.30=3.11,所以A选项正确:

▲T八3岳加八3存力出必“4.41+3.21+3.90+4.22+3.42+4.30+3.05+1.30,小“一八、小小-「十.

对于B选项和C选项，平均数为-----------------------------------------®3.48,所以B选项不正确,

O

c选项正确；

对于D选项，上四分位数即为第75百分位数，又8*6,

422+430

则上四分位数为..=4.26,所以D选项正确.

乙

故选：ACD.

10.BCD

Z\

【详解】依题意，2x一弓+(p=E,kcZ,所以e=+

又《〈eg，所以0=：，所以/(x)=sin2x+：,g(x)=/(x+：)=cos(2x+：,

V21

亍,1,A不正确；

B,xe0,y,2x+%;兀，所以函数g(x)在区间0,y上单调递减，B正确；

C,方程即为sin(2x+‘=cos2.r+—1,BP2x+—=An+—,Z:GZ,

14；I4；44

解得x=所以a—尸=[,C正确；

24

D,//(x)=|siav-cos2.v|=|2sin2x+siiu-l|=2|sinx+-2

l4

当且仅当Siiu-=l时，函数力（X）取得最大值2,D正确.

故选：BCD

11.BC

【详解】

设.内切圆/与PE，PF2,FE的切点分别为”,设。,

则\PM\=\PN\,\F2N\=怩。|,恒=比。，

因为点尸为。上位于第二象限内一点，所以|尸5|一|班|二2%

又|p周=归%|+1向段'归用=1尸网+任阳,

所以|PN|+|N周一（|PM|+甯M|）=|N周一但必=内。|一忸0=2,

则点。即为。的左顶点，又/（T⑴，所以。=3,

因为tan2=-且，则2=@,所以人行，所以c=2g,|耳周=2c=4g,双曲线。的方程为工—£=1,

63a393

对于A选项，C的虚轴长为2力=26，所以A选项不正确：

对于B选项，加=26-3,即袍内切圆半径为2G-3=c-a,

所以|/M|=2G—3=|60,所以密J_E4，

即解为直角三角形，所以网-2"1）,所以人心也的面积为今£用xl=26,所以B选项正确;

对于C选项,因为/（-3,〃?）/（-2石,0）,6（2G0）,

所以陷12T优|2=/〃2+（3+26）2-"?2_QG_3）2=24G，所以c选项正确：

对于D选项，PO=UPFI+PF2）,所以2。2=幺/^+/＞鸟）2,

整理得4Po*=俨片（+仍5「+2%.夕尼，

又归图2=附「+附「_2|明.|P周cos/"",

222

两式相加可得4PO,+忻周2=2|P/-|+2|PE|=2(|PZ^|-|PF2|)+4归用|P用,

即4P4+48=72+4|P刑尸图,所以|P周•山玛|-|尸0『=一6,所以D选项不正确.

故选:BC.

12.3x-y-l=0

【详解】对于函数〃x)=2x-ln(l-x)-l,由—>0可得x<l,故函数”力的定义域为(一吃1),

广(力=2+上，所以:(0)=3,/(0)=-1,

I-K

所以曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线方程为)」(-1)=3(公0),即3'-)，-1=0,

故答案为：3x-y-l=o.

13.(3,4]

【详解】不等式储一工一2>0可化为(x-2)(x+l)>。，解得x<—l或x>2,

所以A=(T>,T)U(2,+OO),

若集合内恰有两个整数，则这两个整数为-2,3,所以3<〃V4.

故答案为：(3,4].

14.4

【详解】解析：因为2A/5S=AB.AC,BP2>/3xlz?csinA=bccosA,整理得VJsiM=cosA,

所以laM="，又Ae（（U）,所以A=^,

在A8C中，ff+C=n-A,

4cr+b2_4a24-Z?2

则cos（。+C）=-cosA人6Z2COS2B+Z?2COS2（B+C）42cos23+b2cos2A

4a2+b~_4sin2/4+sin2^_I+sin2/?_2sin%+cos%

2222

由正弦定理可得acosB+bcosA-sin?Acos%+sin5cos2A-亚行葛盘"H岸短’

4444

2sin2B+cos2B28

当人衬，几加,-一=一

33，

444

2n11、

tanB+-Q

2sin,3+cos*2tan%+l82_86

当B吟时,-------------1+

)cos*+Osin%132n3tan28+13

一十-tanB[an*+-

444433)

I

-

Q6

因为tan*c(O,+e),所以§1+

tan2B+-

3,

综上，，，\£1-4b则实数/的最小值为4.

/cos〃+/厂cos(B+C)\_3)

故答案为：4.

⑸呜

⑵分布列见解析，S

【详解】(1)若〃=3,即袋中有7个红球和3个白球，

第3次摸出的是第2个白球的概率＜g.

A1。60

(2)若〃=4,即袋中有7个红球和4个白球，

从袋中一次性摸出4个球，

x=4x=3x=2x=1x=0

依题意可知，红球数与白球数可能为八,0,

y=0Iy=1p'=2[y=4

所以X所有可能的取值为0,2,4,

P(X=0)=^i啜P(X=2)=CXC+GXC：=28尸(YT_C；+CL6

C155'I)C：55

所以X的分布列为

X024

21286

P

555555

”,21.28.616

E(X)=A0x—+2x—+4x—=—

V755555511

16.(1)答案见解析

⑵e+L

【详解】(1)函数〃力的定义域为(0,+0,

r㈤，一>二=壬与"11=_皿土/山.«0,+8),

XrX-

当。-1=1,即〃=2时，r(x)«O在区间(0，+8)上恒成立,

所以函数/(外在区间(0,+8)上单调递减：

当〃一1>1,即1>2时，X«l,a-l)j'(x)>。，所以函数/(“在区间1)上单调递增；

x<0,l)U("l,+8)时，r(“<0,所以函数八力在区间(04),+oo)上单调递减:

当0<〃—1<1,即1<〃<2时，XG(t/-l,l)，r(x)>0,所以函数“X)在区间上单调递增;

X«O,a-l)U(l,+00)时,r(x)<0,所以函数/(4)在区间(0,4-1),(1,+8)上单调递减;

当〃一140,即时，xe(01br(x)>0,所以函数/(外在区间(0,1)上单调递增，

xe(l,+oo),/'(x)<0,所以函数/(x)在区间(1,+oo)上单调递减.

综上，

当时，函数/("在区间(01)上单调递增，在区间(1,+8)上单调递减；

当1<。<2时，函数/")在区间5-1,1)上单调递增，在区间(0,4-1),(1，+8)上单调递减；

当<7=2时，函数在区间(0,+8)上单调递减；

当〃>2时，困数/(“在区间上单调递增，在区间(0,1),(。-1,田)上单调递减.

(2)由(1)可知，当时，/(“在区间［L+8)上单调递减，

所以/(X)在［1，+8)上的最大值为/⑴=。-2=2,解得a=4>2,不合题意；

当〃>2时，/卜)在区间上单调递增，在区间(。-1,+8)上单调递减，

所以/(X)在［1，+8)上的最大值为=1)-(〃-1)+1=2,

整理得Hn(a—1)—。=0,即ln(a-1)=1,所以a=e+l>2,符合题意，

综上可知，函数/(力在区间［1,内)上的最大值为2时，实数〃的值为e+L

17.⑴/

2

【详解】(1)如图，连接AO,因为A6=AC,。为y。的中点，所以工NC,

由题知PA_L底面A8C,又8Cu底面4次？，所以PA_L8C,

又AOcPA=A,ARPAu平面PA。，

所以BCJ_平面A4O,因为PQu平面A4O,所以POJ.8C,

所以APDA即为侧面PBC与底面ABC所成的二面角的平面角，即NPD4=方,

又BC=2,/BAC=],所以AD=1,P4=G，

所以三棱锥尸-ABC的体积%械.・PA」X、2XIXG=3.

3323

(2)如图,分别取A。AC的中点瓦尸,连接DE,DF,PE,PF,

因为。E//AC,所以NPDE即为异面直线P。与AC所成的角，即NP£)E=a,

因为力blAC,又Q4_LOF,H4cAC=A,PAACu面PAC,

所以。尸/侧面P4C,所以/。尸产即为直线PD与平面P4C所成的角，即/。?尸二夕,

在」DPF与二DPE中,DE=DF,PD为公共边,/DEP=/DFP=^,

所以DPF-DPE,

所以NPDE=NPDF,/DPF=NDPE,

又NDEP=NDFP=J

2

?rIT

所以/POE+/OP/即。+0=5，

所以cosa+尸=cos—=—.

362

c，f-2/?2+26/t,1<//<7,

18.⑴S“=<2

2〃2―26〃+168,〃之8.

⑵。=(〃-1)2叫2

(3)不存在，理由见解析

【详解】(I)设数列匕)的前〃项和为S”，数列｛院|｝的前〃项和为S”,

依题意，%=—〃+8,a=q+4.i=—〃+8—(〃+1)+8=-2〃+15,

cn=bn+bn^=-2/2+15-2(//+1)+15=-4/2+28,

72(24-4/?+28).

S=--------------L=-2iv+26〃,

”2

当上47时，S；=S,r=—2〃2+26〃,

22

当工之8时，Sn=S7-(S„-S7)=2S7-SZf=2x84-(-2n+26/z)=2n-26n+168,

-2n2+26/7.1</?<7,

所以£二•

2/-26〃+168,〃28.

(2)因为4=4+%=1M=%+%=1，A=2+4=3,

q=&+H=2,C2=&+&=4,又｛%｝是等比数列，所以%=2”,

所以log2cz.=log,2"=n,则cn・log2ctl=〃♦2",

设数列｛q,Jog?。”｝的前〃项和为十，

由7；=1X2+2X22+3X23+-+(〃—I)2"T+〃.2",

27；=1x2?+2x23+3x2"+…1)2"+〃.22，

两式作差得—7；=2+2?+2?++2"-〃•2川

_小2向

=(l-«)2n+'-2.

所以7；二(〃—1)2向+2.

(3)则2=47+q+=£-］，《="+4+1=5-〈，所以;=7^7

o44oZZ

所以,+,+•1=2储+3…+

。2。3

令f(x)=g+1)-虫-°)，则/'(X)==771­0，

所以“X)单调递减，即〃”《/⑼二。，即ln(x+l)4x,

令、=■!■>0,则In<—,

nnn

所以In?<l,ln]<!，ln:<Jn—^―<--,累力口可得In”<1+!+：+…+—-,

12233n-\n-\23n-\

因为当〃一Inn—>+<x),所以1H1—FH------>+x>,

23n-\

所以不存在常数b使得对于任意〃eN',〃22—+,+…+J_<6恒成立.

。2q3

/NHP

19.(1)(i)证明见解析；(ii)-=1

NHPN

(2)证明见解析

【详解】3)因为(QE+QN)・(QE—QN)=(),即口目=|。叫，

又%E三点共线，所以|QM+|QV|=|QM+|0E|=|EM=4>2V5,

所以动点。的轨迹是以知(-6,0)小心,0)为焦点，长轴长为上的椭圆，

所以「的方程为工+丁=]

4

2

(1)⑴证明：因为P(M，%)(为>为%>0)为「上一点,所以有五+4=