广东省中山市某中学2025-2026学年高二年级上册12月段考数学检测题

广东省中山市桂山中学2025-2026学年高二上学期12月段考数

学检测题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若直线的一个方向向量为（3,6）,则它的倾斜角为（）

A.30"B.120C.60°D.150

2.已知椭圆看+4=|过点（6,1）,则该椭圆的焦距为（）

A.2&B.2后C.4D.2瓜

3.已知直线4：奴一丁+1=0,/2：ar+4y+2=0,则“a=2”是，4”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

一.---2一

4.空间四边形0ABe中，OA=a^OB=b，OC=c，点M在OA上，OM=-OAf点N

为8c的中点,则MN=1）

5.圆G：（x—2）2+V=4,圆C2：x2+），2—4y=（）,则圆C1与C,（）

A.相离B.有3条公切线

C.关于直线工一丁=0对称D.公共弦所在直线方程为x+y+i=o

6.连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是

2”，事件8为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（）

A.P（A）=—B.A与。相互独立C.A与C对立D.B与C互斥

36

7.已知直线x+y+a=O与圆。:/+12=4相交于A,8两点，若△OW为正三角形，则实

数〃的值是（）

A.x/6B.V3C.或⑺D.-瓜或瓜

8.已知椭圆（7:=■+），=1（。＞0）,该椭圆上一点到直线—距离的最大值为孚则

该椭圆的离心率是（）

A.3B.正C.正D.正

4322

二、多选题

9.某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了50名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的

频率分布直方图如图所示，则（）

:1频率/组距

3。60708090病绩/分

A.频率分布直方图中〃的值为0.005

B.估计这50名学生的竞赛成绩的上四分位数为85

C.估计这50名学生的竞赛成绩的众数为80

D.估计总体中成绩落在［60,70）内的学生人数为150

10-已知椭圆的左右焦点分别为小匕点户是椭圆上的一个动点，则以下

说法正确的是（）

A.6Kp居的周长为8B.若/隼”=60。，则.尸/人的面积为G

11

C.椭圆C上存在两个点，使得/与尸乙=90。D.西+西的最小值为1

11.己知直线/：（1+2〃7）%-（〃?-2）），+6-3〃?=0与圆。：/+），2-4%=0相交于4,4两点，

则下列说法正确的有（）

试卷第2页，共4页

A.当|A却最大时，〃7=-8

B.当VABC面积最大时，|Aq=2拉

C.直线/过定点A且俨4卜|阳=3

4

D.若直线0A,(用f勺斜率分别为《，&-则尤+幺

三、填空题

12.已知直线/过点4(1,20),且直线/的一个方向向量为〃2=(0,-1,1),则坐标原点。到直

线/的距离为.

13.已知点加。,2)在圆。:/+),2=，上，则过点”的圆C的切线方程为.

14.点尸为椭圆二十上=1上仃.意一点，为圆N:(x-1)2+)，2=1的仃.意一条直径，则

1615

PEPF的取值范围是

四、解答题

15.已知椭圆C的方程为+/=左焦点为2(-2,0),且离心率为丰.

(1)求椭圆。的方程；

(2)经过椭圆C的右焦点且斜率为I的直线/与椭圆C交于M,N两点，求MV的长.

16.设梯形A8CO的外接词为OM,已知/W//CO,且A(2,0),8(0,2后)，。卜,6).

(1)求M的标准方程；

(2)求梯形/1BCO的面积.

17.多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从A,B,C,Q四个选项中选出所有正

确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分(如有两个正确选项的每

选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分)，有选错的得0分.

⑴考生甲有一道答案为ABO的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求

他本题至少得2分的概率；

⑵现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为!,

得3分的概率为:：每道题考生丙得6分的概率为得3分的概率为;.乙，丙二人答题

242

互不影响，旦两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18

分的概率.

18.如图，在三棱锥A—BCQ中，DB=DC=BC=2,AD=>/1,AB=逐，平面AC8人平

面。CB,E是的中点.

⑵点产满足防=彳94（0</1<1），且8〃平面£48.

（i）求力的值；

（ii）求平面QA3与平面月43的夹角的余弦值.

19.已知在平面直角坐标系xQv中，动点MEy）与定点F（G,O）的距离和M到定直线

/”=26的距离的比是常数正.

2

⑴求动点M的轨迹G的方程；

（2）已知直线x=〃少+3与乳迹G交于P,Q两点.

①求〃，的取值范围；

②已知点。（2,1）,直线。尸,。。与直线x=3分别交于点M,N,平面内是否存在一定点〃,

使得四边形。例"N为平行四边形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

《广东省中山市桂山中学2025-2026学年高二上学期12月段考数学检测题》参考答案

题号12345678910

答案ACADCBDCABDBD

题号11

答案ABD

1.A

【分析】利用直线的方向向量求出直线的斜率再设出百线的倾斜角,然后根据斜率建立方

程即可求解.

【详解】由直线的一个方向向最是（3.6）,

可得直线的斜率为2=立，

3

设直线的倾斜角为则tana=乎，且。目0,兀），所以a=3O，

故选：A.

2.C

【分析】根据椭圆过一点可得椭圆方程，再根据椭圆方程中。力"的关系可得。的值，从而

得椭圆的焦距.

【详解】已知椭圆工+工=1过点（右得?+-V=l,解得＞=2,

6m''76m

故椭圆方程为工+工=1，

62

设椭圆的半焦距为。，则d=6-2=4,则c=2,

所以该椭圆的焦距为2c=4.

故选：C.

3.A

【分析】根据两直线垂直，列出方程求得。的值，结合充分条件、必要条件的判定方法，即

可求解.

【详解】由题意，直线《：奴-y+l=O,〃：以+45+2=0,

若IK可得。2+1X（-4）=0,解得a=±2,

即4山2的充要条件是〃=±2,所以“。=2”是UU”的充分不必要条件.

故选：A.

4.D

答案第1页，共12页

【分析】利用空间向量的线性运算法则计算可得结果.

【详解】易知MN=ON-OM=L（O4+OC）—2oA=-2a+_L/,+_Lc

23322

故选：D

5.C

【分析】求出两圆的圆心及半径、两圆的圆心距离判断ABD；求出线段GG的中垂线方程

判断C.

【详解】圆G：（x-2）2+y2=4的圆心G（ZO）,半径4=2,

圆G：Y+（y-2）2=4的圆心。2（。，2），半径/=2,牛1=2限3+办

圆G与圆G相交，有2条公切线，AB错误；

对于D,两圆方程相减得公共弦所在直线方程x-），=0,D错误；

对于c,线段GG的中垂线的斜率为T，过线段GG的中点（1.1），该中垂线方程为工-丁=。，

又圆G与圆C,是等圆，它们关于线段GG的中垂线对称，c正确.

故选：c

6.B

【分析】先罗列所有可能结果,由古典概型依次计算P（A）、P（C）、尸（AC）,结合独立事

件定义、对立和互斥事件定义即可逐项判断各选项.

【详解】根据题意，连续他掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，

＜（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3卜（6,4）,（6,5）,（6,6）,共36个不同结果,

对于A,事件A为“第一次的点数是2”，包含6种情况，则P（A）=3=，，A错误；

366

对于B，事件C为“两次的点数之和为偶数”，包含18个结果，则尸（C）=g,

事件AC,即（2,2）,（2,4）,（2,6）包含3个结果，则P（AC）='，

则有P（AC）=P（A）P（C），事件A、C相互独立,B正确.

对于C，事件A、。可以同时发生，故不互斥，于是更不对立，C错误；

答案第2页，共12页

对于D,事件C、8可以同时发生，不互斥，D错误;

故选：B

7.D

【分析】由题意，圆心0(0,0)到直线x+)，+a=O的距离为"=*「=百，利用点到直线的

距离公式求解.

【详解】由圆O:d+y2=4可得圆心0(0,0),半径r=2,

为正三角形，边长为「，

・•・圆心0(0,0)到直线x+y+a=0的距离为d=

即解得"=士".

故选：D.

8.C

【分析】设椭圆上一点PScosasin。)，根据三角函数的性质求出该点到直线x-y=0距离

的最大值，求出“，最后求出离心率.

【详解】设椭圆上一点P(acosasine),

则点尸到直线％-y=0的距离为d=…炉叫=’"+2血(0-也，其中。满足

x/22

lan夕=。，

因为卜in(O-(p)L=l，所以4g=叵踵=巫，所以。=2(负值舍去)，

22

所以c=\]a2—b2=>/3

所以椭圆的离心率为e=£=正，

a2

故选：C

9.ABD

【分析】先根据频率之和为I可得。=0.005,进而可求每组的频率，再结合统计相关知识

逐项分析判断即可.

【详解】由l()x(2a+3a+7a+6a+2a)=l,可得。=0.005,故A正确：

前三个矩形的面积和为IOx(2a+3。+7a)=0.6,

第四个矩形面积为10x6a=0.3,

答案第3页，共12页

0.6+^=0.75,估计这50名学生的竞赛成绩的上四分位数为80+5=85,故B正确；

由成绩的频率分布直方图易知，这50名学生的竞赛成绩的众数为75,故C错误；

总体中成绩落在［60,70）内的学生人数为36〉1（似1（。）=15（）,故D正确.

故选：ABD

10.BD

【分析】先求出根据椭圆的定义即可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义及三角形

的面积公式即可判断B：求出鸟的最大值即可判断C；根据椭圆的定义结合基本不等

式中“I”的整体代换即可判断D.

【详解】椭圆C寸+£=1的长短半轴长分别为〃=2力=石，半焦距c=l,

43

由点P是椭圆上的一个动点，得|P£|+|P勾=2〃=4,

对于A,SP玛的周长为归周+|即|+山闾=2+2c=6,A错误;

对于B,在'"P6中，4牝=60。，由余弦定理得，旧修2=|尸耳『+『用2Tp用仍用

二（归用+归用）2-3|防||%|,则4=16-3归用|P周，|P£||P周二4,

因此那尸入的面积为：|百|归用sin/£尸乙=6,B正确；

对于C,当点〃位于椭圆的上下顶点时，/百产鸟最大，此时归耳|=|2用=2=忻图，

即.4P6为等边三角形，NKP6的最大值为60。，因此畸圆C上不存在点人使得

/疗e=90。,C错误；

对于D,4+^^=上疗用+|产用）（4+^^）=,（2+盟+阳）21,

附I|尸身4”"1211ml归局41M

\PF2\

当且仅当愣=制，即|"|=|尸制=2时取等号，D正确.

故选：BD

答案第4页，共12页

【分析】当|A8|最大时，直线/经过圆心C(2,0),求出小，可判断A：根据三角形面积公式

可知，ZAC8=90。时，VA8C面积最大，求出|A初可判断B；解得直线/过定点?(。,3),

根据圆辕定理得|04|"夕例=1尸。|2-，求解可判断0由题意设直线/的方程为广质+3,

代入圆的方程，利用韦达定理计算尢可判断D.

【详解】圆C：/十一4%=0,即(％-2尸+)2=4,圆心C(2,0),半径广=2.

当|A8|最大时，直线/经过圆心C(2,0),

贝iJ(l+2〃?)x2+(〃?-2)xO+6-3m=0,解得m=一8,A正确：

S.=-|CA||CB|sinZACB='x2x2xsinZACB=2sinNACB,

2

则当448=90。时，VA6c面积最大，此时|A3|=&r=2点，B正确；

直线/：(1+2m)x+(tn-2)y+6—3”?=0整理得：(2x+y-3)m+(x-2y+6)=0,

由I,一：=:，解得直线/过定点?(。，3).

x-2y+6=0

IPC\=J(。一21+(3-0)2二屈,

根据圆幕定理得|P4||PBRPC『f2=]3_4=9,c错误；

直线/过定点P(0,3),由题意直线/的斜率存在，设直线/的方程为)』履+3,

代入圆C:x2+丁-4x=0得:x2+(Ax+3)2-4x=0,

即(1+炉)/+(6"4)K+9=O,

A=(6〃-4)2-4(1+公)x9=-48k-20>0,即k<一卷，

4一6女9

设A(w，y)8(X2，%)，则X+X2=——7T，=7~~7T，

答案第5页，共12页

x

则再乂+t%=#2(g+3)+X|(Ax2+3)=2kx1x2+3(X]+x2)

904—6k12

=(2k)x-----+3x-----=-----,

I)\+k2\+k21+k2

12

4

故占+-21+&=如3=廿=—>D正确,

%x2X1J29

1+F

【分析】应用向量法求点线距离即可.

【详解】由题设。4=(1,2,0),则坐标原点。到直线/的距离

故答案为：G

13.x+2y-5=0

【分析】先求得半径产，然后根据点斜式求得切线方程.

【详解】由于点M(l,2)在圆+、,2=,2上,

所以产=『+22=5,所以圆C/+)3=5,

所以圆心。(0,0),&皿=2,

所以过点M的圆C的切线的斜率为-；，

所以过点M的圆。的切线方程为y-2=-1(x-l),

化简得4+2y-5=0.

故答案为：x+2y-5=0

14.[8,24]

答案第6页，共12页

【分析】利用NF=-框化简可知=1,再利用。-。工|叫<。+。，即可得到

结论.

【详解】由题意，PEPF=^PN+NE）-^PN+NF）=（P/V+NE^PN-/VE）=\PN^-|A^|2,

又所为圆N：a-1了+），2=i的任意一条直径，则|N目=1,

由题意得，椭圆的半长轴a=4,半焦距c-JWM-l,右焦点为（1,0）,

圆N的圆心为（1,0）,故点N为椭圆的右焦点，

22

在椭圆方常］中，^a-c<\PN\<a+c,即3中N卜5,

所以，8<|P/V|2-1<24,故2£//=,叫2-1的取值范围为［8,24］.

故答案为：［8,24］.

15.⑴工+匚1

62

⑵而

【分析】（1）根据半焦距及离心率可计算得。力,进而确定椭圆方程;

（2）联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理与弦长公式求解.

【详解】⑴由题意，椭圆半焦距c=2且0—=逅，得”=几方=/-/=2,

a3

因此椭圆方程为工十二=1.

62

（2）过尸（2,0）且斜率为1的直线为），=1-2,设"q,），）,%（&,%），

y=x-2

联立直线方程与椭圆方程x2y，可得2f-6X+3=0,

3

根据韦达定理，有内十七=3小七二1

2

|MN\=yj\+k\xt-x2|=>/2-+占)2-44泾

=&x」9-6=瓜.

16.(l)(x-l)2+(y->/3)2=4

⑵

【分析】（I）设的一般方程为/+V+qx+用y+/,；=。，根据c“过4",力三点，将

答案第7页，共12页

点的坐标代入方程，列出方程组求解即可；

（2）根据平行关系求出CO的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线C。的距离,

结合弦长公式即可求出|CD|,由梯形的面积公式求解即可.

【详解】（1）设。M的一般方程为/+/+。4+6.丫+片=0,

4+2A+F=0,

由题意可知，｛12+26片+”=0,

12+3"+庭+£=0

解得。二-2,E1=-2V3,片=0,

所以CM的一般方程为V+y2—2x—26），=0,

故。北的标准方程为（x-1『+b-百『=4.

（2）因为A8〃C。，所以^8=3#=辿二2=-G，

0—2

则直线的方程为y-行=一行（1-3）,即Gr+y-4、行=0,

所以圆心加（1,网到直线CQ的距离为八苧=6,

22

因此|CO|=2y]r-d=2,2?_（6）2=2,

易知|4/3|=/而可=4,且圆心M在直线48上，所以梯形A8CO的高力=d=6,

故梯形A88的面积为又形2=T（|A3|+|m）/=g（4+2）x6=3G

17.⑴；

崂

【分析】（1）设相应事件，利用列举法结合古典概型运算求解;

答案第8页，共12页

(2)分析得分刚好得18分的可能性情况，根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加

法公式运算求解.

【详解】(1)甲同学所有可能的选择答案有14种：A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,

BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,

设事件N表示“猜对本题至少得2分”，

则N={AR,D,AB,AD,BaABD},有7个样木点,

71

所以尸(N)=R=].

(2)由题意得乙得0分的概率为1-=丙得0分的概率为乙丙总分

刚好得18分的情况包含：

事件氏乙得12分有6+6一种情况，丙得6分有6+0,0+6,3+3三种情况，

pillP(E)=1xlx|1x1x24-1x1|=—,

33U422)24

事件F：乙得9分有6+3.3+6两种情况，丙得9分有6+3,3+6两种情况，

则尸(F)=T_X2X-x—x2

32142J12

事件G：乙得6分有6+0,0+6,3+3三种情况，丙得12分有6+6一种情况,

13

—X—x2+—X—

(3622)516

I[2

故乙丙总分刚好得18分的概率2=P(E)+P(尸)+P(G)=二十二十二二笺.

2412576576

18.(1)证明见解析

(2)(i)叫；(ii)小

【分析】(1)根据等腰三角形三线合•的性质得到OE18C,然后利用面面垂直和线面垂

直的性质定理得到根据勾股定理得到4E,最后利用勾股定理证明垂直即可；

UUUUIIU

(2)⑴建系，根据口-得到八F，然后计算平面E44的法向量，根据〃平面£4"

列方程，解方程即可：

(ii)利用空间向最的方法求面面角即可.

【详解】(1)连接OE,因为OB=DC,E是8C的中点，所以OE_L8C,DE=6

因为平面4c81平面。C8,平面AC8rl平面DCS=3C,且。Eu平面。C8,

所以OE_L平面A。，

答案第9页，共12页

又因为AEu平面AC8,所以DELAE.

由4£>=近，DE=6可得AE=〃£>'一£>炉=2,

又AB=加,BE=1,所以AE2+8£：2=A8L故AE_LBC.

(2)(i)由(1)知，即,臣,£4两两互相垂直，

以E为坐标原点，直线团,班,£4分别为x轴、)，轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则用0,0,0),D(x/3,0,0).£?(0J,0),4(0,0,2),C(0,-l,0),

所以4E=(0,0,—2),DA=(-73,0,2),A8=(0J—2),CO=(G,1,0),

则AF=AE+EF=AE+ADA=(一6尢0,22-2).

设〃=(x,y,z)是平面的法向量,

由/?AF=-V3Ax+(2A-2)z=0.2Z-2

可取〃=

n-AB=y-2z=0,V32

因为CQ〃平面EAB,所以CO_L〃，

02_oi

即CO〃=^=——+2=0,解得％=—.

At2

(ii)设〃[=(«〃,c)是平面/MB的法向量，平面。/W与平面6W的夹角为"

03=(-⑸.0),4/?=(0,1,-2),

m-DB=-Jia+Z?=0

由《可取用=(2,2氐6).

m-AB=b-2c=0

2

由⑴知，平面£45的一个法向量为〃=[-耳21

答案第10页，共12页

-2+46+百

11

所以18ss=|COS///,»|=6

"+1