分数阶Buck-Boost变换器的建模与分析

IIModelingandAnalysisofFractionalBuck-BoostConverterAbstract：Inpreviousstudies,researchersusedCaputo'sscoredefinitiontostudyfractional-orderpowerconverters,butlaterfoundthatthemodelbasedonCaputo'sscoredefinitionwasinconsistentwiththeactualsituation.Inrecentyears,fractionalcalculus(FC)hasbeenacceptedasanovelmodelingtool.Fractionalorderdescriptivenessimprovestheflexibilityandfreedomofthemodelthroughfractionalparameters,andcanexpandthedescriptionabilityoftraditionalcalculus.ThispaperappliestherelevantfractionalcalculustheorytotheBuck-Boostconverter,establishesthefractionalordermathematicalmodelbasedontheinductorcurrentcontinuousmode,andthentheoreticallyanalyzesthecreatedfractionalordermathematicalmodel.Basedontheimprovedfractionalordercalculusfilteralgorithm,aSimulinkfractionalordersimulationmodeloftheBuck-Boostconverterintheinductorcurrentcontinuousmodeiscreated.Finally,byanalyzingtheresultsoffractionalordersimulation,thecorrectnessofthefractionalordermathematicalmodelandtheoreticalanalysisisverified.Thefactthatactualcapacitorsandinductorsare"intrinsic"fractionalorder,fractionalordercalculusisintroducedintothemodelingprocesstoestablishafractionalorderstatespaceaveragemodelofapseudo-continuousconductionmode(PCCM)Buck-Boostconverter.Theorderofthemodelisconsideredasadditionalparameters,whichhaveasignificantimpactontheperformanceofthemodel.Inductorcurrent,inductorcurrentripple,outputvoltageamplitude,andthetransferfunctionofthefractionalordermodelareallrelatedtotheorder.AcomparativesimulationexperimentwascarriedouttostudytheperformanceofintegerandfractionalBuck-BoostconvertersinPCCM.Numericalandcircuitsimulationresultsshowthattheproposedtheoreticalanalysisiseffective.ThefractionalordermodeloftheBuck-BoostconverterinPCCMhascertaintheoreticalandpracticalsignificanceforthemodelingandperformanceanalysisofotherelectricalorelectronicequipment.Keywords:Buck-Boostconverter;fractionalorderintegration(FC);MATLAB/SIMULINKmodeling第1章、引言1.1研究背景分数微积分是一个古老的数学主题，可以追溯到1695年。当。在过去的300年中，数位数学家为这一数学学科做出了贡献。近年来，分数阶微积分已被接受为可以扩展传统微积分的描述能力的新工具。结果表明，分数阶模型可以非常成功地描述科学和工程学广泛领域中的许多现象。与整数阶模型相比，分数阶模型的显着优势在于它们具有遗传和记忆特性。并且已经证明，分数阶模型可以通过分数阶参数来提高灵活性和自由度。目前，分数定义有很多种,比如非常经典的黎曼-利维尔分数定义，这恰好是因为Caputo导数具有相应的上述性质，这恰好是因为Caputo导数具有相应的上述性质，因此所有研究人员通常都使用Caputo的分数定义来研究电力电子转换器，而忽略了黎曼－利维尔的分数定义。使用Caputo的分数定义来分析分数阶Buck转换器，推导的静态工作点与传统整数阶Buck转换器的相同，即静态工作点仅与占空比有关，并且与负载无关。通过仿真来验证理论结果，但是未进行实验。为了更准确地描述电路的工作状态，研究功率电子变换器中不同分数定义的适用性问题具有重要的理论意义，此外，适用性问题也是分数阶理论在工程中应用的关键部分领域。1.2国内外研究现状在过去的二十年中，分数阶分量的理论和应用取得了很大的进步。研究人员已经报告了诸如电容器和电感器之类的真实物体的“固有”分数阶行为。Westerlund和他的同事们通过实验[构成的电容器的分数阶模型和测量的下电介质不同一些真正的电容器的行为]。韦斯特伦德还证明了真实电感是分数阶的，并测量了一些真实电感的阶数。Jesus和Machado使用不同的分形结构，实现了具有不同阶数的分数阶电容器。基于趋肤效应，Machado和Galhano提出可以构建具有不同阶数的分数阶电感器。真实分数阶电容器是由哈巴和他的同事们制作而成。分数阶电容器和电感器的这些实现表明了分数阶组件和模型在实际应用中的可能性。电容器和电感器是降压-升压转换器的基本部分。基于实际的电容器和电感器都是分数阶的事实，建立Buck-Boost转换器的分数阶模型的想法似乎更为明智。可以证明，模型的阶数对Buck-Boost转换器的性能有很大影响，可以看作是一个额外的参数。到目前为止，转换器的几个分数阶模型已建立。Martinez和他的同事建立了Buck-Boost转换器的分数阶模型，但只有电容器被看作是为分数阶电路元件。Wang和Ma建立了连续传导模式和不连续传导模式（DCM）的Boost转换器的分数阶模型；Yang和他的同事在CCM中提出了Buck-Boost转换器的分数阶模型，但是没有提供电路仿真或实验来验证这些模型。建立了伪连续导通模式下的Buck-Boost变换器的分数阶状态空间平均模型。伪连续传导模式（PCCM），其是第三操作模式。与在DCM中操作相比，在PCCM中，转换器的电流处理能力得到了改善，并且电流纹波和电压纹波降低了。在控制到输出的传递函数中表现出单极行为,负载瞬态响应比在CCM和DCM中运行要快得多。因此，研究Buck-Boost转换器的分数阶模型是一个重要的理论问题，具有实用的工程价值。1.3论文结构为研究Buck-Boost转换器的分数阶模型以及行为，本文将会介绍相关的知识，并对运行在电感电流连续模式下的升降压变换器进行分数阶研究，用仿真软件进行仿真验证分数阶模型与理论分析的一致性和正确性。第一章为引言，介绍了分数阶Buck-Boost变换器的研究背景以及现状，包括历史上的重大发现和对未来的预测，最后对本文的主要章节结构安排进行了论述。第二章介绍了Riemann-Liouville的分数微分定义，Buck型转换器的基本原理,分数阶降压转换器在CCM中包含两个工作状态。第三章介绍了Boost型转换器的基本原理和电路拓扑。第四章了Buck-Boost变换器的电路原理，以及它的状态空间平均模型。第五章对仿真进行了分析，得到关于Buck-Boost变换器在分数阶模型下的行为。最后是本文的总结与展望,提出了本设计的所得到的的结果以及未来分数阶Buck-Boost变换器的研究方向，对本文全部内容进行总结与概括。第2章、分数阶Buck型转换器2.1Riemann-Liouville的分数微分定义Riemann-Liouville的分数微分定义为：其中α是阶数，α≥0且n-1≤α<n，n是正整数，Γ（⋅）是伽马函数。当f（t）=C时，这里C是一个常数，则2.2Buck型转换器的基本原理降压变换器是一种对输入输出电压进行降压变换的直流斩波器,即输出电压低于输入电压。本文假设Vin是Buck变压器的输入电压,电感电流为iL(t),输出电压为V0(t)。Caputo的分数微分定义为：其中α≥0且n-1≤α<n，当f（t）=C时，这里C为常数，则根据（2）和（4），常数的Riemann-Liouville导数不为零。但是常数的Caputo导数为零，并且与常数的整数阶导数相同。分数阶降压转换器的电路图如图2.1所示。它主要由直流电源vin，开关S，二极管D1，分数阶电感器L，分数阶电容器C和负载R。对于分数阶电感器和分数阶电容器，它们的电压-电流关系可以表示为：图2.1分数阶降压转换器的电路图在这个地方,iL是分数阶电感器的电流，而iC是分数阶电容器的电流。vL，vo分别表示分数阶电感器和电容器的电压。α，β分别是分数阶电感器和电容器的阶数，本文讨论了阶数在零和一之间的情况。2.3分数阶降压转换器在CCM中包含的两个工作状态Buck工作模态1Buck变换器工作在电感电流连续模式下,当周期性开关脉冲信号为高电平时,功率开关导通,电感电流大于负载电流时,电容处于充电状态。二极管收到反向电压而停止,电感输入端电压值为直流输入电压与开关导通压降只差。Buck工作模态2当功率开关截止、二极管导通时,电感L为了保持其电流iL(t)不变,负载电压V0(t)仍是上正下负,电感电流小于负载电流时,电容处于放电状态,通过二极管续流,电感输入电压值为二极管正向连通电压。分数阶降压转换器在CCM中包含两个工作状态。开关Son和二极管D1off为工作状态1（t0<t<t0+dT），其状态方程表示为：开关Soff和二极管D1on为工作状态2（t0+dT<t<t0+T），其状态方程描述为：由于实际电容和电感本质上是分数阶的实例,针对以往开关变换器建模过程中一些理想化假设会引起较大误差的问题,建立了电感电流连续模式下Buck变换器的非理想状态分数阶模型及状态平均模型,提出了一种用于分数阶模型阶次辨识的改进随机数辨识方法,通过仿真验证了运行非理想状态下Buck变换器的分数阶仿真模型的合理性和可行性,并对Buck变换器分数阶阶次进行辨别,与一般传统的算法对比,结果表明改进的方法具有更高的准确性。第3章、分数阶Boost型转换器3.1Boost型转换器的原理Boost型转换器也就是我们说的升压转换器。它一般表示的是单管非隔离直流变换器。这种类型的转换器的输出电压是高于输入电压的。其中是输入电源,Q是功率开关管。通过外接信号的作用控制开关的导通或者闭合。在分析Boost转换器电路的工作原理时,考虑到了这一点,我们一般认为该电路不仅电容非常大，而且它的电感也非常大,当开关管连通时,电源开始向电感传输电量。为电感充电,电感上的电压等于电源电压,电源对电感的充电电流保持为,电感中电流增加,将电能储存在电感中。电容C中向负载提供一个电压,由于电容值很大,被供负载电压基本能保持为不变。当开关管断开时，由于电感中磁场的存在，可以保持电感电流不变，电感中的能量开始传输与输入电压一起向电容充电并向负载供电。设断开的时间为，那么断开时间内，电感放出的能量为（-）。电路状态为稳态时，每个导通与断开周期内，释放的能量（-）和储存的能量相等。（a）电路拓扑（b）电感电压变化波形能量相等有：=（-）(2.1)经过化简得到：(2.2)上式中，T/toff≥1，可知输出电压大于电源电压，升压斩波电路由此命名。该电路可以分为连续导通模式和断续导通模式，在此文中，为了使电路输出特性达到要求，只分析连续导通模式。3.2DC-DC升压变换器控制策略目前，大多数DC-DC变换器采用传统的线性控制方法，从而忽视了直流变换器的非线性特性，其对系统的参数变化很敏感。当信号扰动较大时，系统可能出现动态响应速度慢，输出不能满足期望值，输出信号失真或系统不稳定等情况。因此，近年来，对DC-DC变换器控制技术的研究已经成为一个热点方向。目前Boost型DC-DC变换器的控制算法主要包括以下几种：（1）PI控制PI控制是一种常规的线性的控制策略，其功能易于实现，结构简单易懂，应用在一些性能指标要求不高的场合[5]。总的来说，在控制工程实践中，PI控制器主要是用来改善控制系统的稳态系统[6]。（2）最优控制[7]当系统达到约束条件的时候，找到使性能指标达到最小值或最大值的控制策略，以此实现性能指标的最大优化。不同性能指标的最优控制的名称不同。时间最优控制指的是优化指标为调整时间的控制策略；位置最优控制指的是最优指标为跟踪位置的控制策略；谐波损耗最优控制指的是优化指标为谐波损耗的控制策略[8]。然而，被控对象的精确数学模型有时并不容易得到，所以最优控制器对系统的参数的变化比较敏感，鲁棒性也较差。（3）滑模控制假设在一个空间中有一个平面，其中存在一个零点，可以叫做平衡点，空间中的与它接触的轨线都将停留在该点，当然我们也非常希望被控制的系统趋向于该点。当系统的被控轨线在空间中任意分布并远离该平面且没有受到任何控制时，轨线将按特定方式移动，当我们对其进行控制时，轨线将以另一种方式移动，其运动的方向完全由控制作用的类型决定，各种控制类型对系统控制之后，系统状态可能变得与起始状态无关，其被控轨线先向平面移动，在到达平面后，沿着平面到达并停留在平衡点。以上控制就是滑模控制，以上所说的平面为滑动面，也可以叫做滑动流形。滑模控制（SlidingModeControl，SMC）能够有效处理系统信号通道中突然出现的干扰或者信号大幅变化的情况，并已在许多领域取得应用，例如电机控制，飞机和航天器控制，过程控制和电力系统等。SMC控制器的实现包含两步骤：第一是设计滑模面，让系统状态量在其上滑动；第二是设计一个控制律，迫使系统状态轨迹到达并在表面上滑动。滑模控制中有一个重要条件是到达条件，它是保证了滑动模态存在的关键。当系统状态量达到滑模面并在滑模面上保持滑动的状态，就可以保证对外部扰动等因素的鲁棒性。为了阐明滑模变结构控制的思想，解释所有状态信息可用系统的设计过程，以某一个不确定类别的线性时不变系统作为研究对象[9]，对系统中的电压、电流等控制变量进行状态空间描述得出变换器模型。第4章、Buck-Boost变换器的电路原理4.1Buck-Boost变换器的电路原理将电容的电压和电流用等效数学模型来表达，就可以把整数阶模型进行推广到分数阶模型分别表示为：式中β为分数阶电容的分数阶阶数，满足：0<β<1,α为分数阶电感的分数阶阶数，满足：0<α<1。vo是此电路的输出电压，iL是这个电路的电感电流。升降压变换器的电路如下图，周期性PWM触发信号是方波，T是开关周期。连续情况下的电感电流，BUCK-BOOST变换器的原理就变成了：如果MOS管的S连通时(S1工作状态)，VD截止，电源Vin经S向电感L供电使其储存能量。电容C将会对负载放电。维持负载两端电压。当开关器件S关断时(S2工作状态)，分数阶电感L将会对分数阶电容C充电，而且向负载供电。4.2Buck-Boost变换器的状态空间平均模型降压-升压转换器可以用作降压（用于降压）或升压（用于升压）转换器，从而反转电压极性。将电感器与电源开关并联可以使转换器在PCCM下运行。电路图如图\t"/journals/mpe/2016/6835910/_blank"1所示。有两个完全控制开关器件和，两个二极管和，一个直流输入电压，一个负载电阻器，以及两个分数阶能量存储元件和在电路中。图4.2在PCCM中的Buck-Boost变换器为了消除开关谐波，应将一个开关周期内的波形平均。在一个开关周期内作为Buck-Boost转换器的任意电路变量的变量的平均值定义如下：第5章、基于分数阶Buck-Boost变换器的仿真分析5.1MATLAB/SIMULINK仿真软件Matlab是美国MathWorks公司在1990年开发的产品，它集数据分析与科学计算于一体，有强大的交互式设计和数据可视化分析功能，是计算机高级语言和交互式环境的结合的产物。随着Matlab版本的不断升级，仿真功能越来越强大，不断为工程研究和设计等领域提供了更先进的解决办法。Simulink作为Matlab的内置模块，提供了一种可视化的仿真模式，是MATLAB里用来建立仿真系统的结构框图的开发环境。Simulink的典型模块主是由输入、状态和输出三部分共同组成的，仅需少量的代码编写即可实现仿真[20]。其原因在于Simulink模块库里封装大量的函数模块可提供快速准确的建模。该形式直观明了，易于理解，逻辑思路清晰，可图形化仿真调试结果，减少了编程复杂度，方便在仿真测试阶段不断更正错误，优化仿真模型，提高了仿真效率。5.2仿真参数的设置参数符号额定值输入电压Vi25V电容C100f电感L5mH开关频率fs50khz占空比D0.6频率拟合段N=8(1×10-6rad/s,1×106rad/s)电阻R80Ω表5.1仿真参数表5.3分数阶Buck-Boost变换器的仿真模型构建分数阶Buck-Boost变换器的Simulink数学模型如图5-2所示：图5-2Matlab/Simulink数值仿真分数阶数学模型分数阶Buck-Boost变换器的Simulink平均模型如图5-3所示：图5-3Matlab/Simulink数值仿真分数阶平均模型5.4相关图（1）电感电流连续模型下分数阶电感电流：图5-4电感电流连续模型下分数阶电感电流（2）电感电流连续模型下分数阶输出电压：图5-5电感电流连续模型下分数阶输出电压图5-6电感电流连续模型下分数阶(实线)与整数阶(虚线)电感电流图5-7电感电流连续模型下分数阶(实线)与整数阶(虚线)电感电压图5-8平均模型电感电流图5-9平均模型输出电压5.5分数阶与整数阶的对比分析为了更好的模拟实际系统需要选择合适的频率上下限和分数阶阶数值。参数选择：vin=25V，L=5mH,C=100uf,d=0.6,f=50kHz(即为开关频率)。由于拟合频率下限大于开关频率，所以选取频率拟合段为(1×10-6rad/s,1×106rad/s),N=8。图5-2和图5-3中的Convert模块为数据转换模块，FractionalInts∧{-α}模块(分数阶积分单元)。电感和电容的分数阶阶数值均取0.8时，可以算出电阻值R小于149.4744Ω，即临界电阻值为149.4744Ω，在本电路中选择电阻值为80Ω，使电感电流处于连续状态。升降压变换器的整数阶模型其实就是当分数阶阶数值均取1时模型。进行整数阶的数值仿真时，仿真模型除了分数阶模块用整数阶模块取代外其它模块均相同，仿真结果如图5-6和图5-7所示。通过对比分析整数阶与分数阶平均模型仿真图，值得注意的是前0.07s的时间内整数阶的电感电流和输出电压的超调量远远大于实际的超调量。根据电感电容的性质可知在稳态的情况下电感相当于短路、电容相当于开路，所以在实际模型中电感电容会很快趋于稳定状态.在图5-8中，用整数阶模型进行仿真时电感电流出现负值，这与实际电感电流不相符。通过对比分析分数阶模型仿真结果发现电感电流没有出现负值，与实际更接近。在稳定之后分数阶模型和整数阶模型中电感电流直流分量基本不变，输出电压直流分量稳定后也基本没变，这可以从图5-8和图5-9中分数阶仿真波形与整数阶的仿真波形在0.07s之后重合看出。纹波电感电流相对于整数阶的变化比较大，电感电流峰值相对于整数阶的变化也较大。在开关导通时的输出电压值变化不算太大，输出电压纹波相对于整数阶的改变相当大。通过以上数据分析，可以得出用整数阶模型来处理实际电感电容是有相当大误差。在集成电路中微小的误差就有可能造成器件被击穿甚至电路板被烧坏。所以在选取器件时应充分考虑器件纹波量，纹波的大小影响器件的灵敏性和决定电压电流变化范围。。5.6仿真结果分析通过进行数值仿真和理论分析，根据分数阶微积分理论创建Buck-Boost变换器的分数阶模型以及平均模型，升降压变换器运行在电感电流连续模式下，可以得出：升降压变换器运行在电感电流连续模式时，其纹波电感和纹波电压都比较大。在升降压变换器中的电感值、电阻值、占空比以及周期不变时，其电感电流和输出电压都是震荡的，包括输出电压对输入电压、输出电压对占空比、电感电流对输入电压及电感电流对占空比的传递函数。

总结与展望到了现代社会，由于分数阶模型可以通过分数参数来提高灵活性和自由度，它们在许多领域中进行了讨论，并产生了一些新概念。电压变换器在新能源发电和直流电源行业得到了广泛的应用。本文基于分数阶微积分，建立了PCCM中Buck-Boost转换器的分数阶状态空间平均模型，由于我们现代社会的工业要求，各行各业包括不限于通信、医疗、运输、电子设备、日常的照明等等都对我们的电源有着越来越高的要求，而转换器作为电源的重要组成部分，所以我们对此项技术的提升是有着很大的需求，必须要着重于变换器的稳定性、便携性、适应性这三个方面来进行改进。不仅各种客观条件能影响电源的性能，还有系统的输入电压波动和负载高频变化变化以及扰动皆能对闭环控制系统的性能产生不良影响。所以本文从分数阶这个方面来对升压-降压变换器的行为进行建模与分析。并通过理论分析以及数值和电路仿真研究了阶数对转换器静态工作点和低频特性的影响。我们已经证明，分数分量会增加两个纹波（输出电压纹波和电感器电流纹波），但是随着储能元件数量的减少，转换器的响应变得更快，过冲变得更小。一些研究人员将分数阶器件应用于功率转换器，滤波器电路和正弦振荡器，然后发现分数阶器件可以提供额外的自由度并增加设计的灵活性。此外，分数阶降压转换器的整体闭环响应随着电感阶数的降低而更加稳定。一些研究人员将分数阶器件应用于功率转换器，滤波器电路和正弦振荡器，然后发现分数阶器件可以提供额外的自由度并增加设计的灵活性。此外，分数阶降压转换器的整体闭环响应随着电感阶数的降低而更加稳定。因此，如何确定储能元件的顺序以及实际储能元件的分数阶与性能之间的关系是我们未来的研究方向。目前，市场上几乎没有特定顺序的分数阶设备。因此，需要在实验室中构造特定阶数的分数阶设备。分数阶设备主要通过有理逼近方法，和广义阻抗转换器（GIC）来实现。用有理逼近法构造的近似电路具有结构简单的特点，可以实现零阶到零阶的分数阶器件。利用GIC，可以实现零级到2级之间的分数阶设备。本文运用了方方面面的课程知识，比如高等数学、电路分析基础、模电、数电、数字信号处理等等，如果只用单一方面的知识是根本无法进行下去的。为了更好的观察到分数阶Buck-Boost变换器在高阶情况下的行为，本设计综合运用了相关知识和MATLAB仿真平台相关技术（Simulink），并且与整数阶来对比，得出结论发现从理论上讲，所有实际储能元件都应为分数阶，这可能是实际设备始终不完美的重要原因。与分数阶电感电容的分数阶阶数值也有关，而且当分数阶数值越小越易运行于连续模式下。本设计查阅资料时需要运用所学知识理解电路及方程，并且深入分析才能进行以后的设计。需要建立模型，后期得到实验数据时还要进行误差分析，仿真得到的波形图还需要进行对比。具有较高的综合性。

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