广东省东莞市2025-2026学年第一学期教学质量自查高一数学试题

广东省东莞市2025-2026学年第一学期教学质量自查高一数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.己知全集U={xlx是小于8的正整数},集合力={2,4,5},则Q/中元素的个数为［)

A.3B.4D.7

2.如图,®<g③④中不属于函数,y=log]X的一个是)

C.③D.©

3.一个扇形的弧长与面积的数值都是5,则这个扇形中心角的弧度数为()

A.5B.-C.1D.T

22

4.下列函数中，为偶函数且在(-8,0)上单调递减的是()

A.y=yj\-x2B.y=^—^—

C.y=ewD.y=lg(-x)

5.已知角。的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边过点尸(3,-4),则sin(a+5

4

6.函数y=2-3x--(x<0)的最值情况是()

x

A.有最小值2-4石B.有最大值2-4\/J

C.有最小值2+4x/JD.有最大值2+4百

试卷第1页，共4页

7.己知cos(a—万)=2^Z,sinasin/?=-^,则cos(2a+2/7)=()

77c55

A.—B.——C.—D.——

9999

8.设函数/(x)的定义域为R/(x+l)为奇函数，/(x+2)为偶函数，当xw[l,2]时,

/(幻=4—以，则/半卜()

A.-2B.-I

二、多选题

9.下列命题中正确的有（）

A.“。＞2”是“是＞4”的充分不必要条件

B.”。＞叱是“小＞南”的必要不充分条件

C.“sin62①”是“cos”走”的充要条件

22

D.“心/〉"是/＜4”的既不充分也不必要条件

10.已知函数y=3tan卜-2p）的图象关于点司,（）对称,贝IJ。的值可能为（

Dz

11.已知函数/a）=3'+x-2,ga）=log/+x-2,/7（x）=x3+x-2的零点分别为a,b,c,则

下列结论正确的有（）

A.c>h>aB.b>c>a

3

C.a+b+c=3D.3"+log5/)+c=3

三、填空题

12.命题“小＞2,,/-41”0"的否定是.

13.己知〃外=2Q＞0）,则^—.

tz'-a'x

14.如图，点4,〃分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点/从初始位置

41cos?,sin?）开始，按逆时针方向以角速度2rad/s做圆周运动，同时点8从初始，立置

综（2,0）开始，按顺时针方向以角速度2rad/s做圆周运动.经过/秒后，点4与点4的纵坐标

试卷第2页，共4页

之差的绝对值最大，贝W的最小值为.

四、解答题

15.已知集合力="x0，《二卜上=L46t-8｝：C=卜1。-1<X<<+<.

⑴求力U4：

(2)若(%8)=。，求实数。的取值范围.

16.已知函数/(.r)=sin4x4-2sinxcosx-cos4x,

(1)求函数/(X)的最小正周期并说明/(幻的图象可由正弦曲线经过怎样的变换得到：

(2)求函数/(X)的单调递减区间；

(3)求使/(》)>一成立的x的取值集合.

17.已知函数)，=1。儿.丫5>0且。工1)在1,2］上的最大值和最小值之和为1,函数

/(x)=6-三是奇函数.

⑴求。和〃的值；

(2)用函数单调性的定义判断并证明函数/(》)的单调性；

⑶若/卜2_4/)+/(6-。<0,求,的取值范围.

18.如图，正方形48co的边长为1,P,。分别为。力上的动点，且△力夕。的周长为

2.

试卷第3页，共4页

（1）证明NPC0为定值，并求出该定值；

⑵求△PC0面积的最小值.

19.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是MC,空气的温度是/C,那么！min

后物体的温度为。⑺（单，'立'C）可由公式。=eo+（a-a）e”求得，其中左是一个随着物体

与空气的接触状况而定的正常数.某日室温保持为20c，小李用某品牌电热养生壶烧一升水,

8分钟后水烧井（温度为100C）,再过30分钟，壶中开水自然冷却到60C.假设烧水时水

的温度是关于时间的一次函数，水的初始温度与室温一致.

（I）从开始烧水算起，求壶中水的温度，Q）关于时间，的函数解析式；

（2）养生壶在保温模式下会自动检测水温：若水温高于临界值C,保温管不加热；若水温不

高于临界值C,保温管开始加热至80℃后停止，已知保温管加热时水温的上升速度是正常

烧水时的若小李在一升水烧开后立即将养生壶设定为保温模式，此时时钟显示9点整，

10点38分小李发现养生壶处于未加热状态且水温为50℃.

①求养生壶在此保温过程中加热次数及保温临界值C；（提示：临界值C为正整数）

②若小李需要40c〜451的水，请写出他在9点到12点之间倒水的时间段，并说明理由.

（假设保温管加热时水温的上升速度与水容量无关，计算结果保留到分钟）

参考数据：log23a1610的5郑2.3

试卷第4页，共4页

《广东省东莞市2025-2026学年第一学期教学质量自查高一数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BCBCACDAABDBC

题号11

答案BCD

1.B

【分析】先求全集中的元素,再求集合力中的补集•，进而求出元素个数.

【详解】因为U={x|x是小于8的正整数},所以U={1,2,3,4,5,6,7},

又因为集合4={2,4,5},所以Q.M={1,3,6,7},所以Q/的元素个数为4.

故选：B.

2.C

【分析】利用指数函数和对数函数的图象与性质即可得出结果.

【详解】根据函数都是指数函数且为减函数，过点（。，1），

\2/13J

又;结合图象可知①函数为歹=

,②函数为y=

函数J，=log；x为单调递减的对数函数，过0,0）,（2,-1）,结合图象可知④函数图象符合.

所以⑤不是已知函数的图象.

故选：C

3.B

【分析】根据塌形的弧长和面积公式计算.

ar=5

【详解】设扇形中心角为半径为〃，则1<「得。=4，

—x5r=52

12

则扇形中心角的弧度数为1.

故选：B

4.C

【分析】根据奇偶函数的定义，结合指数函数、对数函数的单调性逐项判断即可.

【详解】对于A,令1-/20得-1KXW1,所以y=Jl=7的定义域为［7,1］，

答案第1页，共13页

因为ji-(-xy=m,所以函数旷=用7是偶函数，

定义域不包含(-8,0)，不合题意，A错误：

对于B,函数y=三匚定义域为R,记j,=/(x)=£i[]，

因为/(T)=1F=_*二

所以函数j，=W二为奇函数，B错误；

对于C,y=e国定义域为R,因为右M=*，所以函数7=阴是偶函数，

当XC(YO,0)时，y=eT=(：J单调递减，C正确；

对于D,函数y=lg(-x)的定义域为(-8,0),所以函数在(0,中)。)上是没有图象，

是非奇非偶函数，D错误.

故选：C

5.A

【分析】利用三角函数的定义结合诱导公式可得出sin(a+5)的值.

33(jr\3

【详解】由三角函数的定义可得c°sa=02+(_4)2=《‘故叫a+"|=cosa=7

故选：A.

6.C

【解析】结合基本不等式性质即可求解

4

【详解】5x<0,-3x>0,——>0,

x

)，=2-3工一3=2+(一3少1占卜2+2«3x)-^j=2+4<Tt

当且仅当-3x=-&时，即k-挛时取到等号，故函数y=2-3x-±(x<0)取到最小值

x3x

2+4百

故选：C

【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题

7.D

【分析】根据两角和与差的余弦公式及二倍角公式求值即可.

答案第2页，共13页

2^2^2

【详解】由cos(a一4)=cosacos/7+sinasin/?=----,sin«sinp=——,

36

可得cosacos[=迪—五=且，

362

所以cos(a+/?)=cosacos/?-sinasin〃=>

263

所以cos(2a+2/)=cos[2位+Q)]=2cos?&+/)-1=2x-1=4

故选：D

8.A

【分析】由题意可得/（一"=一/"+2）,/（—工+2）=—/（一切，贝1]/（工+4）=—/"+2）=/（力,

从而可判断函数的周期性，再结合指数运算，利用周期性计算求解.

【详解】因为/(x+1)为奇函数,所以/(r+l)=—/a+l)，即/(r)=—/(x+2),

因为/(x+2)为偶函数，所以/(—x+2)=/(x+2),所以/(—x+2)=—/(—x),

令』x,所以/。+2)=—/(/),

故/(x+2)=-小),

所以/(x+4)=—/(x+2)=/'(x),所以4为〃x)的一个周期,

所以/（等卜心253十%/出,

,2025、

所以/

故选：A

9.ABD

【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质及同角公式逐项推理判断即可.

【详解】对于A,若。＞2,则/＞人而当。＜一2时，也有/＞4,因此“〃＞2”是“/＞4”

的充分不必要条件，A正确；

对于B,a＞b,取c=0,得w?=0=儿2,反之由〃/＞儿2,得cwO,则c?＞。，a＞b,

因此“a"”是“括＞府”的必要不充分条件，B正确；

答案第3页，共13页

对于C,取8S6=-1,满足cos。。立^，而sinO=O＜』^，因此‘飞＞82也^'不是“8$。《也^'

2222

的充要条件，C错误；

对于D,取4=1]=-1,满足a＞b,而，=1＞一1=1,反之取=

ab

满足而acb,因此“。＞6"是“』＜?”的既不充分也不必要条件，D正确.

abab

故选：ABD

10.BC

【分析】根据正切型函数的对称性可得出关于。的等式，结合赋值法可得出合适的选项.

【详解】因为函数y=3tan(x—2。)的图象关于点(紧(“对称，则三一2o=g(AeZ),

解得°4一”(&Z),令左=7可得展上,

6412

令次=0可得9=3,令〃=1可得。=-白，令人=2可得0=—BC选项符合题意.

6123

故选：BC.

11.BCD

【分析】由题意得函数)，=3、，y=\o^x,y=/与函数y=-x+2的交点的横坐标分别为

〃/,c,画出函数图，结合图象及函数的对称性即可逐项求解.

【详解】由函数/(x)=3'+."2,g(x)=lo&x+x-2,h(x)=i+工-2的零点分别为。，瓦c,

得函数歹=3"y=log3x,^=/的图象与函数》=-工+2的交点的横坐标就是“,〃,。，

如图，在平面直角坐标系中，作函数y=3、，y=lo^x,»=V的图象,

由图知，h＞c＞a,故A错误，B正确;

因为y=3、，y=bg/互为反函数，其图象关于直线J"》对称.

因为J，=r+2与J，=x垂直，所以(d3")与(/Mog*)的中点是直线y=x与y=—x+2的交点.

答案第4页，共13页

y=x/、

由|；=r+2得（1」），所以。+〃=2,3"+log"=2.

又〃（1）=1+1-2=0,所以c=l,所以a+"c=3,故C正确；

又d=i,3°+log*=2,所以3"+log*+c3=3,故D正确.

故选：BCD

12.Vx>2,x3-4x>0

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解即可.

【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知：

命题“女>2,r-4xK0”的否定为“Vx>2,/-命>0

故答案为：VX>2,X3-4X>0

7

13.-/3.5

2

【分析】由0=2（"0）可得优一「工0,根据3=（，-b）（a2x+1+a*）对原式化

简计算即可.

【详解】由/x=2仅>（））,得（/一4-，）2=。2，+/2*-2=：,所以

乙土二回土匝工山二,产+

a—aa-a22

7

故答案为：

I4-i

【分析】根据三角函数的定义先确定必，为与[的函数关系式，从而得到所求函数关系式，再

利用两角和与差的三角函数公式将函数关系式化成y=7?sinjz+m],最后根据正弦时数

k6）

性质求解即可.

【详解】由题意可知：经过/秒后，点力的纵坐标为M=sin（2z+g）

点8的纵坐标为必=2sin（-2r）=-2sin2r,

则点A与点B的纵坐标之差的绝对值为》=|凹-讣s巾+巧+2sinZ

答案第5页，共13页

cos2/=百sin（2/+2）,

22

所以当2/+工=仄+京£2时，sin(2/+4取到最大值，

62I6；

此时/=”+5,4CZ,又>0,所以当％=0时，，有最小值为5.

266

故答案为：J

6

15.(1)Ju5={x|-5<x<4}

(2)Q41或。之5

【分析】(1)解分式不等式求解集合力，求解函数定义域可得集合氏然后利用并集运算求

解即可；

(2)先求出集合8的补集，然后利用交集运算得。q气8,进而列不等式求解即可.

【详解】(1)因为二<0,所以(工一3乂X+5)<0,解得一5<》<3,所以/(={x|-5<*<3},

x+5

因为r」+6x-820，即x〉-6x+840,所以("2)(x-4)W0,解得2W4,

所以B={x|2«x<4},

所以NuB={xl-5<x<4}；

(2)由8={x|2«x44},得Q8={x|xv2或x>4},

若Cc（气8）=C,则C={x\a-\<x<a+\],

当a+l«2,即a«l时,满足Cq'B；

当a—124,即。之5时，满足。£%占；

综上，。的取值范围是“41或。25.

16.(1)加，答案见解析

(2)—+^71,-+^7TkeZ

8o

(,3兀，I〃

(3)[E,]+EkeZ

【分析】3)利用平方差公式，倍角公式，辅助角公式化简，再用周期公式可求周期：利用

伸缩变换，平移变换的法则即可求解：

(2)利用复合函数的单调性即可求解

答案第6页，共13页

（3）先将问题化为sin（2..5>-或，再将2x-：作为一个整体，结合正弦函数的图象即

I4；24

可求解.

【详解】(1)由题可知，/(x)=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+sin2x

=sin2x-cos2x

=&sin（2x-（）

所以最小正周期r=

2

方法一：

/\

将函数y=sinx的图象向右平移三个单位得到函数歹=sin的图象，

4IM

再将函仔象上所有点的横坐标缩短为原来的g倍（纵坐标不变）得到函数

y=sin（2x—1）的图象，

再将函数J，=sin"x-图象上所有点的纵坐标伸长为原来的拉倍（横坐标不变），

可得到函数/*）的图象；

方法二：

将函数N=sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的1倍（纵坐标不变）得到函数

y=sin2x的图象，

再将函数V=sin2x的图象向右平移方个单位长度得到函数），=sin（2x-的图象，

再将函数丁=疝（2..5的图象上各点的纵坐标伸长为原来的拉倍（横坐标不变），

可得到函数/G）的图象.

（2）—+2kn<2x--<—+2Ar7i,eZ

242

解得—+kn<x<—+kit,keZ

88

即函数/（X）的单调递减区间为1号+E,萼

（3）即sin（2x—：）>—乎.

所以一=+2%兀<2x—色<2+2左兀,左eZ

444

答案第7页，共13页

解得kn<x<一+kit、kwZ

4

所以满足要求的x的取值集合为卜兀,牛+反卜£2

17.(1)4=21=1

(2)函数/(幻在R上单调递增，证明见解析

⑶*［2</<3}

【分析】(1)结合对数函数的单调性，利用最值和为1列式求得〃=2,方法一：先利用奇

函数性质/(0)=()，求得6=1,再代入检验；方法二：利用奇函数的定义列式求解•；

(2)结合指数函数性质，利用单调性的定义证明即可；

(3)利用奇函数性质将已知式化为/(r-4/)〈/(-6),然后利用单调性可得产-5/+6<0,

解一元二次不等式即可.

【详解】(1)当时，函数y=l照产在口,2］上单调递增；

当0<a<1时，函数<=啦\在口,2］上单调递减，

(因为函数2=logax(a>0且在1,2］上单调)

所以函数在［L2］上的最大值与最小值之和为log。1+log.2=1,解得a=2.

2

所以f(x)=b---J(x)的定义域为R,

2+1

方法一：

2

因为函数/(x)是奇函数，所以/(())=力—号=6一1=0,

解得力=1,

2

当。=2/=1时，/(X)=1-^—y,

因为VxeR,都有一xeR,且

xx

〜A_I22x2_\-2_,2_(.21_一、

f(-X)=1----------=1----------=--------=-1H-i--------=—11----------I=一/(X)，

'2"+11+2、2V+I2V+1I2X+1J八'

则函数”X)是奇函数，满足题意.

故。=2,6=1.

方法二：

因为函数/*)是奇函数，所以〃T)=-/a),即/(-、)+/a)=o,

答案第8页，共13页

则9-帚+1?-呆”

即2"2+2_2（2-'+1）+2（2、+1）_2『+1+2、1）

2V+12-r+l（2X+1）（2~X+1）l+2r+2-x+l

解得b=l.

故。=2力=1.

（2）函数/（x）在R上单调递增.

证明如下：

Vxpx2eR,且石＜%，

“、〃、/2、J2）_222（2升一2"）

八玉尸八刈一（"rTT）［亍不）亍M，

显然有*+1＞0,2%+1＞0,则（2项+1）（2"+1）＞0,

又由司〈x?,得2』＜2%，则2%-2七＜0,

2（2』-2”

于是/«）-/&）=.1依二广。，即/&）＜/（%），

所以，函数/*）在R上单调递增.

（3）由/'（12-4/）+/（6-；）＜0,得/（/一旬〈一/（6-），

由函数〃x）为奇函数,得-/（67）=/（-6）,

所以/（产一4/）＜〃-6）

由函数/（%）在R上单调递增,得K-6,即，一5/+6＜0,

解得2＜f＜3,

故，的取值范围为82＜3}.

18.（1）证明见解析，3

4

⑵及-1

【分析】（1）设NQC?=%N0CO="a,/?c（（）,5）,在直角三角形中表示出力产,力。,PQ,

进而表示出△力P。的周长，根据已知化简得出⑶1（。+0=1,结合角的范围即可得出答案;

答案第9页，共13页

s=_________________

(2)方法一：利用角的正弦表示出面积"也6Ghe4•n4，然后根据角的范围结合

7zsin乙aH+1

I4J

三角函数的性质得出最值；方法二：SACPQ=l-S&CDQ-SAeBP-S^Q,将面积表示成角的正切

形式，根据正切运算结合基本不等式求解得出答案；方法三：设4P=占力。=乂(1八/>0),

根据已知三角形的周长，化简得出y=H；(O<x<l),然后表示出三角形的面积，进而根

x-2

据基本不等式求解即可得出答案.

【详解】(1)设NPC8=%NQCQ=Aa,££(0,1)

由已知可得，PB=BC-tana=tana,DQ=CZ)-tan/?=tanp,

所以4P=1—tana,4Q=l-tan/，PQ=^(1_tana)2+(1-tan/?)2.

因为△4P。的周长为2,

所以2=]—tana+]—tan夕+yj(\-tana)2+(I-tan/3)2»

即tana+tanp=7(1-tana)2+(1-tan/?)2»

所以tana+tan/?=1-tanatanp.

，/mtana+tanp,

所以，tan(«+/?)=-------=1.

1-tanatanp

又

所以0<。+/?<兀，a+/3=-,

4

所以=]>:，为定值.

(2)方法一：

11

£陋=；。。〃=9。・6呜二4

cosfiCOSCZ

V21111

-------------Z----------:----------=—.-----------------------------=-----------------------------

4(n)2cos2a+sinacosasin2a+cos2a+1

cos——acosa

(4J

答案第10页，共13页

所以54CPQ最小值为拉-1.

方法二:

SdCPQ=1—SACD0.SdCBP~^„APQ

=1一;tana—;tan/—;(1一tana)(l—tantanatanp.

,/tana+tan/n,

riItan(a+p)=----------=tan-=1,

'f1-tanatar^4

化简得1-tana-tan/?=tanatanfl.

因为tana+tan£22Jim瓦，当且仅当tana=tan£=0-MH",等号成立

所以，tanatan=1-tana-tan<1-2Jtanatan§,

整理可得tanatan/7+27tanatanp-1<0,

所以7tanatanp<V2-1,

整理得tanatan〃43-2£,

所以邑廿步(3—2向=G1.

方法三：

设AP=x,AQ=y,(l>x,y>0)

-2=AP+AQ+PQ=x+y+y)x2+y2

.•・)，=生当。。<1)

x-2

,ii、"、i,、ia+2

•'-c5=1一可一工(Z11)丁(1-_}0=(工+¥一个)=^--------.

222222-x

令f=2-xw(l,2),

1(2-r)2-2(2-/)+2121—、［Ticr,

则milSc=一-1——----——-——=-/+——1>-X2J--1=<2-1.

2tt)2V/

当且仅当"及时，S的最小值为上—1.

答案第11页，共13页

10r+20,0</<8

19.(I)6>(r)=-(涓

20+80x111">8

(2)①加热次数为一次，40°C:②答案见解析

【分析】(1)根据题意分0W/S8和/>8两个情况，根据已知条件分别求出解析式即可；

(2)①分别求出水温从100(冷却至临界值。所需时间4,水温从临界值C加热至80C所

需时间4,水温从80℃冷却至临界值C所需时间G，然后根据已知条件结合函数单调性分析

即可；②根据①所得结论分析即可.

【详解】(1)当0KY8时，依题意设。()=加+20,则100=8m+20,

解得加=10,所以弥)=L+20,

1

当”8时，依题意得60—20=(100—20>/。3即e'=g,所以

此时^(/)=20+(100-20)xc…⑹，即=20+80x(g)