2026年高考数学二轮复习：三角恒等变换（分层训练）原卷版

专题05三角恒等变换

一、核心先导

二、考点再现

1同角三角函数的基本关系式：Sin2e+cos2e=i,tan。二位，

cosd

2正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)

3和角与差角公式

sin(«±/?)=sin«cos/7±cos«sin0;cos(«±/?)=cosacos[i»sinasinfi;

/n\tanex±tan0.、，.।c.

tan(«±p)=-------------—.(sina±cosa)=l±2smacosa

1>tantanft

asina+bcosa=\ja2+b2sin(a+(p)(0由点(。,〃)的象限决定，tan</>=—).

3二倍角公式及降幕公式

sin2a=2sinacosa.

cos2a=cos2«-sin2a=2cos?a-1=l-2sin2a

_2tana

tan2a=-------三—.

l-tan-a

.,1-cos2a,1+cos2a

sin-a=------------,cos-a=-------------

22

4三角函数的周期公式

函数y=sin(公r+e),(A,h,°为常数，且A羊0)的周期7二二三；

函数y=tan(公r+夕),x^k7r+—,keZ(A,co,0为常数，且AHO)的周期7=—

2\co\

三角函数的图像：

y=sinx)

/「、-殁7「、3Kp/0

幺-35-|0W汗\|"

I,z-

三、解法解密

1.基本公式的变形

(1)、诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变,符号看象限.

(2)、同角三角函数基本关系式的常用变形：

(sina±cosa)2=l±2sinacosct；(sina+cosa)24-(sina-cosa)2=2；

“o一八八'1+cos2ai1-cos2a

(3)、降精公式：cos2a=----5----,siira=--------.

(4)、升塞公式：1+cos2a=2cos%/-cos2a=2sin%.

(5)、辅助角公式：4siru+Z?cosx=，？TPsin(x+0),其中加.。=后b铲-。=后a*

2.对称与周期

(1)、正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称

轴之间的距离是(个周期.

(2)、正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.

3.奇偶性

若yU)=Asin(sx+0)(AG#)),则(1成幻为偶函数的充要条件是8=W+E(R£Z)；(2)/U)为奇函数的充要条件

是s=E伏£Z).

4.由尸sinOJX到y=sin(wx+3)(①＞()加＞0)的变换：向左平移'个单位长度而非中个单位长度.

5.函数1y=Asin(Gx+9)的对称轴由GX+*=E+/k£Z确定；对称中心由/x+e=E,A£Z确定其横坐标.

6.三角形中的三角函数关系

A+8CA+BC

(1)、sin(A+B)=sinC；(2)、co$(4+^)=­cosC；(3)、sin-—=cos-；(4)、cos--=siny.

7.若G是△A8C的重心，则GA+初+Gt=0.

&在△ABC中，若通就＜0,则AABC为饨角三:角形.

9.在△ABC中，若成等差数列，则BW60；若。力,。成等比数列，则5W60；若A8C成等差数

列，则8=60.

1（）.在锐角4c中，（）<A<9（）,A+3>90,sinA>cosB,sinB>cosA.

四、考点解密

题型一:应用三角函数公式化简求值

例1.⑴、（2022.河北.模拟预测（理））已知8s2a二巫,贝人却〃+均=（）

sina+cosa

2V2

D.--

(2)、设aw(0,工),£>(0,3),且tana=1.sin',则(

71

B.3tt+/?=y

Q.2a十万后

【变式训练1・1】、已知tan(a+，)=2,tan(4—C)=L,那么laMa+巳)等于()

5444

【变式训练L2】、（2022•广东韶关—模）已知。£（0,幻，且匕£2/=_2,则8s（〜。）=.

题型二:应用三角函数的性质求参数的范围

例2.(1)、(2022・吉林・东北师大附中模拟预测)已知函数/(x)=sin|x|-6cosx,若关于x的方程/(%)=，〃

(4兀

在卜上有三个不同的实根，则实数〃7的取值范围是_________.

(2)、【2017河北沧州一中II月月考】将函数/(x)=2cos2x的图象向右平移巳个单位后得到函数g(x)

6

的图象，若函数g(x)在区间0:和2内文上均单调递增，则实数。的取值范围是()

【变式训练2・1】、【2018届江苏省常熟市高三上学期期中】已知函数f(x)=sinx-工,若对任意的实

V6)

数ae，都存在唯一的实数间，使〃a)+/(0=0厕实数〃?的最小值是.

62

【变式训练2-2】、(2022•广西北海•一模(理))已知函数/(X)=COS(5-?TW＞。)，将人力的图象

上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g("的图象，已知g(“在［。，兀］上恰有5个零

点，则。的取值范围是()

A.闻B.词CE卷

题型三:三角函数的图像变换

例3.（1）、（2022•广西・模拟预测（理））若将函数"x）=sin2x-x/5cos2x的图象向右平移个

单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则，〃的最小值是（）

71-兀-2兀c5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

（2）、（2023•全国•模拟预测（理））已知函数/（x）=sin（s+8）S>0,悯<5与函数y=g（x）的部分图象如

图所示，且函数“X）的图象可由函数g（x）的图象向右平移「个单位长度得到，则g（0）=（）

【变式训练3.1】、（2022•全国・安阳市第二中学模拟预测（理））已知函数/（x）=Mcos（3+8）（M>0,

@>o,网苦）的部分图象如图所示，其中心目，喉,o）,c席，。）.将函数小）的图象上所有

点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移三个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数

g（'）的单调递减区间为（）.

y八

°V'

【变式训练3・2】、（2022•河南河南•一模（文））把函数/（.r）=sin2/的图象向左平移[个单位，再将得到

6

的曲线上所有点的横坐标变为原来的5倍’纵坐标不变’得到函数），二双，）的图象.若函数），=双幻在

0，灯上恰有3个零点，则正数。的取值范围是（）

58f811As8

A.B.c.D.—,4-00

3,33

题型四:与数列、向量等结合的综合问题

例4.（1）、（2022.浙江省杭州学军中学高一期中）已知与e；为单位向量，且q+20«2,若非零向量

•（2q+ej

的最大值是（

满足ayKag,则'll3)

HI

3733拒376D・乎

A.rVx•

~4~2

（2）、[2018届河北省定州高三上学期期中】设向量。也。满足同=忖=2,ab=-2,

4一w）-c=60。，则同的最大值等于（）

A.4B.2C.0D.1

【变式训练4・。、设AA8C的内角A,B,C的对边分别为凡b,cjl〃也c成等比数列，则角B的取值范围是

（）

A.（0,—]B.[―，^）C.（0,—]D.[—7T）

6633y

【变式训练4・2】、（2020・湖南•长郡中学模拟预测（理））如图，a,夕，V是由直线/引出的三个不重合

的半平面，其中二面角。一/一夕大小为60。，/在二面角内绕直线/旋转，圆C在/内，且圆C在

a，。内的射影分别为椭圆G，G.记椭圆G，G的离心率分别为G，%则e；+e；的取值范围是（）

五、分层训练

A组基础巩固

（.河北.模拟预测）若则翳喘=（）

1.2°22

669_2

A.B.D.

5-5c?-5

,0<a<n,则cos(2a+；1=()

2.（2022・四川资阳•一模（理）)已知sina+cosa=1

5IQ

17d217」31后

A.一逆B.rv_-•D.

5050505()

3.（2022•江苏•苏州外国语学校模拟预测）若sinlO=（>/3tan10-lj-sin(a-20),则sin(2a+50)=()

7

A.B.,1C.D.

8888

4.（2022•吉林长春•模拟预测）定义域为［0,兀］的函数/'（x）=（#sincox-coss)cosrav+—(<y>0),其值域

2

为一T1,则。的取值范围是（）

‘八33-<112

A.0,-B.二,Jc.|o.；D.

k2.2I3」l_33」

5.（2023•四川资阳•模拟预测（文））已知函数〃x）=sins+8sw,其中G>0.若/（x）在区间《百

上单调递增，则。的取值范围是（）

1-

A.（0,4］B.0,-C.r3

6.（2022•河北沧州•二模）将函数〃x）=cos2x+sin2x图象上的点P（0j）向右平移8（。>0）个单位长度得到

点、P,若P恰好在函数g（x）=c《2x-sin2工的图像上，则。的最小值为（）

7.（2022・吉林•东北师大附中模拟预测）求值、tan-7.5。”——=_______.

tan27.5°-8sin27.5°+l

8.（2022•江西师大附中三模（理））定义在。汨上的函数y=（x/5sin5-coss）cosc0x+g（<y>O）有零点,

「11

且值域Mu-5,+8,则①的取值范围是.

9.（2022•黑龙江•大庆实验中学模拟预测）已知函数/（x）=；sins+等cossQO）在［0,2司有且仅有3

个零点，则。的取值范围为.

10.(2022・安徽・芜湖一中三模(理))已知函数y=sin-5(①>0)的图象与函数丁=5比'"<+7®>0)

的图象相邻的三个交点依次为A,4,C,且“BC的面积是&，则“=.

11.(2021.陕西•宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室一模(理))已知函数

/(A)=COS(VX(2x/5sins-cos/x)+sin2的侬>0)的最小正周期为24

(1)求。的值;

(2b4友?中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,/(团=2,〃=8c面积S=述，求。.

4

12.(2022•四川泸州•模拟预测(文))已知函数/(x)=2cosHsinx-Gcosx)+>/5.

(1)求/J)的最小正周期和/(1)的单调递减区间；

(2)当xw;兀时，求函数/(x)的最小值及取得最小值时x的值.

13.(2021•浙江•温州中学模拟预测)已知函数/(x)=4cosxs嚼4+6

(I)求函数/(x)在区间*上的值域.

(II)在二48C中，角A,从C,所对的边分别是a,b,c,若角C为锐角，〃C)=G,且c=2,求X8C

面积的最大值.

B组能力提升

14.（2022・全国•模拟预测）将函数/（x）=sin22（段57C一1）—s一i.M一2x+目的图象向左平移。（°>0）个单位长度

后，得到函数g（”的图象，若武力满足且6-q=g（>；|,则e的最小值为（）

n-兀-2兀、3兀

A.-B.-C.—D.—

4234

15.（2022・浙江•永嘉中学高一竞赛）已知点?是边长为1的正王边形八5CDE内（含边界）一点，则

|"+P/3+PC+PQ+P目的最大值是（）

2cos362sin362cos362sin36

16.（2023・全国•高三专题练习）奔驰定理：已知。是.48。内的一点，若_BOC、AOC、认。8的面积

分别记为邑、S3,则S/OA-S2-O8+S3-OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这

个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理”如图，已知。是/WC的垂心,

且。A+2O4+4OC=0，则cosA=（）

17.（2022.江苏.扬中市第二高级中学模拟预测）（多选题）在，ABC中，角A、B、C的对边分别为〃、b、

c,面积为S,有以下四个命题中正确的是（）

B.当。=2,sinB=2sinC时，A3。不可能是直角三角形

C.当a=2,sin/?=2sinC,A=2。时，/8C的周长为2+2退

/7_i

D.当。=2,sinB=2sinC,A=2。时，若。为二A8C的内心，则的面积为

3

18.（2022•全国•武功县普集高级中学模拟预测（理））若），=cos（2%+£）的图象向右平移双叱0）个单位

长度得到y=cos2x的图象，则。的值可以是_____.（写出满足条件的一个值即可）

19.（2022•山东潍坊•三模）已知函数/（x）=cos2x向右平移专个单位长度后得到g（“.若对于任意的

，总存在94小〃］,使得/（xj=g（9），则|〃L〃的最小值为.

20.（2022•江苏扬州•模拟预测）已知函数/（x）=2sin将y=/（x）的图象上所有点横坐标变为原来

的、倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移:个单位长度，得到产g（x）图象，若晨到=1在［0,2兀］

〜42

有1个不同的解小々，，/，

21.（2021.广东深圳•二模）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（160L1665）于1643年提出的平

面几何极值问题：”已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中

的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当丛8C的三个内角均小于120。

时，则使得NAP8=N8PC=NC?A=120°的点尸即为费马点.已知点尸为.ABC的费马点，且AC/8C,

若|PA|+|P0=©PC|,则实数4的最小值为

22.（2020•江苏•南京师大附中模拟预测）在锐角三角形ABC中，已知ccTR+CCt^A^2/?=4fm24ms2R.

sin2Asin2Bgg/土一中日

则mil-；~，:c.c,.的取值氾围是

4cos'C+2sin2Asin2B

23.（2021•江西九江•二模（文））费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角

形三个内角都小于学时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为学.已知点P为一ABC的费马

点，角A,R,C的对边分别为“，b,c,若cosA=2sin（C-.卜osB,且/=（〃一。）?+6,则

PAPB+PBPC+PAPC的值为.

C组真题实战练

24.（2021•全国•高考真题）若