2026年高考数学复习（全国）数列求和（讲义）试题版

专题6.5数列求和（举一反三复习讲义）

【全国通用】

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考情分析

L题型1公式法求和

尸题型2错位相减法求和

数列求和L题型3裂项相消法求和

L题型4分组（并项）法求和|

J提升•必考题型归纳

一题型5倒序相加法求和

・题型6奇偶项问题讨论求和

一题型7先放缩再裂项求和

・题型8新定义、新情景下的数列求和

高考真题练

1、数列求和

数列求和是高考的重点、热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属

于高考的必考内容之一。从近三年的高考情况来看，数列求和在选择、填空

命题规律题中考查较为简单，主要考查等差、等比数列的前〃项和及前〃项和性质，

难度不大；在解答题中，往往在解决数列基本问题后考查数列求和，数列求

分析和问题有时会与不等式、函数、导数等知识结合，难度中等，数列求和方法

多种多样，需要灵活求解。

近几年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景问题，综合性强，难度

大，需要灵活求解。

考点2023年2024年2025年

新课标H卷：第8题，

5分

高考真题新课标II卷:第18题，新课标II卷:第12题，全国一卷：第16题，

12分5分15分

全国甲卷（文数）：全国甲卷（文数）：全国二卷：第7题，5

统计数列求和

第5题，5分第17题，12分分

全国甲卷（理数）：全国甲卷（理数）：全国二卷：第9题，6

第17题，12分第18题，12分分

全国乙卷（文数）：

第18题，12分

预测在2026年全国卷高考数学中，数列求和的考情将继续维持稳定态

势。选择题、填空题仍然以单独考查等差、等比数列的前〃项和为主，分值

年

2026稳定在5分左右，难度较易；解答题中主要考查几类常见数列求和公式的灵

活运用，也可能会与不等式、函数、导数等模块结合命题，难度中等。核心

命题预测考查数列求和公式的灵活运用，注重公式的运用和数学运算能力，复习时要

加强这方面的训练，学会灵活运用数列求和公式。

n(ii，q=1

,公式法H等比数列的前〃项和公式：S・=<

<-</1-7

分组（并项）（1）分组求和法；（2）并项求和法

求和法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之

数列求和的几积构成的，那么这个数列的前〃项和即可用此法来求

--错位相减法•

种常用方法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵

消^从而求得其和

-裂项相消法-f常见的五大裂项技巧

列

如果一个数列的前〃项中与首末两端等,•距离”的两项的和相等或等于

求同一个常数，那么求这个数列的前〃项和即可用倒序相加法求解

I倒序相加法•

奇偶项讨论求和

—常懒帆-通项含有（-1）"的数列求和

特殊数列求和

知识梳理

知识点1数列求和的几种常用方法

1.公式法

直接利用等差数列、等比数列的前〃项和公式求和.

①等差数列的前〃项和公式:

〃(0+«)〃(〃一1)

na

sn=----2----='+-2-----d.

②等比数列的前〃项和公式：

na^q=\

闭(1一夕”)_6-a“q,1•

｛1-g=-^T^

2,分组求和法与并项求和法

C)分组求和法

若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后

相加减.

(2)并项求和法

一个数列的前〃项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如凡=(-1)"/(〃)类型，可兴用两项合并

求解.

3.错位相减法

加果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前〃项和即

可用此法来求，如等比数列的前八项和公式就是用此法推导的.

4.裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

常见的裂项技巧：

⑴1

’n〃十1

1

(2)=lflM

I，〃(〃+2)2\n〃+21

]=X/___1_________1___\

⑸(2〃-1)(2〃+1)=212〃二1—2〃+”,

(4)a+焉=衍_"・

⑸_______!_______=_______________!______\

5.倒序相加法

如果一个数列｛〃”｝的前〃项中与首末两端等“距离”的两项的和相笠或笠王同一个常数，那么求这个数列的

前〃项和即可用倒序相加法求解.

知识点2特殊数列求和

1.奇偶项讨论求和

_I-为奇数

通项公式分奇、偶项有不同表达式;例如:c,,=］儿，〃为偶数.

〃为奇数

的前的项和的;

角度1:求。”=儿，〃为偶数

角度2：求c.=｛丁;*髓的前〃项和

2.通项含有（・1）”的数列求和

通项含有（/）〃的类型：例如：G=（-l）"%.

【方法技巧与总结】

常用求和公式：

⑴1+2+3+4+…+〃=〃(丁)

(2)1+3+5+7+•••+(2/7-1)=a2.

(3)12+22+32+…+M=〃("+噂2"+1)

333H

(4)P4-2+3+-+H=曾52).

举一反三

【题型1公式法求和】

［例1］（2026•山东枣庄•模拟预测）记等差数列｛%｝的前〃项和为S“，公差为"，若S4=。8+7,。8+1=2a4,

则S5=（）

A.15B.25C.35D.45

【变式1-1］（2026・云南•模拟预测）记5rl为等比数列｛斯｝的前ri项和，已知%=1,53=7,若｛%｝的公比小于

零，则S5=（）

A.15B.-20C.31D.61

【变式1-2］（2026,重庆九龙坡•一模）已知｛%｝为等差数列,其前〃项和为羽,24+。7=。2+。1。+3，则

55=（）

A.10B.15C.20D.30

【变式1・3】（2025•广东肇庆•一模）设S”为正项等比数列｛斯｝的前〃项和，若的+3即=8,即+3刖=64,

则S3=（）

A.4B.1C.1D.2

【题型2错位相减法求和】

【例2】(2026•江苏镇江•模拟预测)已知等比数列｛%｝的前几项和为S”，的=1,S4=a3+4a2-1.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)设数列｛n%J的前n项和为4,求A。.

【变式2-1](2026•河北沧州•一模)已知数列｛册｝满足%=2,口=12,%+2=4(册+1—即).

(1)证明:存在非零实数々，使得数列｛%+i+k%｝是等比数列;

(2)求数列｛4｝的前n项和S”.

【变式2-2](2026・新疆•模拟预测)已知数列｛册｝的前几项和%=n2.

(1)证明：a2n=2%+1；

(2)若bn=(%+l)x2A2,求数列｛九｝的前ri项和7V

【变式2-3】(2026・辽宁沈阳•一模)已知数列｛Q”｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64,数列仍”｝是公

比大于()的等比数列比=3,%—>2=18.

(1)求数歹式册｝,｛九｝的通项公式；

(2)记呢=^(nWN,nN1),求数列&｝的前几项和S“.

【题型3裂项相消法求和】

【例3】（2025•甘肃金昌•模拟预测）已知数列｛%｝的前〃项和Sn=n（n+l）（n+2）,则上+工+…+!=（）

«1a2斯

A.；B—^―c.；DT

6n3(n+l)

【变式3-1]（2026•广东湛江•一模）在数列｛斯｝中，⑥=1,。“+1=同"，令垢=—则数列｛"｝的

Qn+1+Qn

前15项的和为（）

A.2B.3C.V15D.4

【变式3-2]（2026•吉林白山•一模）已知等差数列｛%｝的前〃项和为Sn，2a2+的=21，S6=51.

⑴求｛6｝的通项公式;

（2）若%=----,求数列｛4J的前〃项和丁八.

a/n+i

【变式3-3]（2026•重庆九龙坡•一模）设等比数列的前几项和为S“，己知触=9,9fll+«3=54.

（1）求%和1;

（2）设以=logg%，证明：白+言+•••+——<4.

力匕2。3坛外+1

【题型4分组（并项）法求和】

【例4】（2025•浙江台州•一模）已知等比数列｛%｝满足:at+a3=10,a2+a4=20.设6n=%+log2an+p

记数列｛儿｝的前n项和为Sn，则S6=（）

A.149B.153C.155D.157

【变式4-1]（2025•江苏,三模）设q=即I%,数列（瓦J为等比数列,数列[即）是公差不为零的等差数列,

且5=瓦=1,。2=、2,。4=匕3，则数列｛。｝的前10项和为（）

A.1078B.1077C.567D.550

【变式4・21（2026•广西柳州•二模）设等差数列｛%｝的前ri项和为Sn,且。2=2,S5=15.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）设匕n=2%+an,求数列｛b｝的前九项和7\.

【变式4-3】（2026,云南昭通・模拟预测）已知各项递增的等比数列｛%｝,等差数列出“｝其前〃项和分别为S“,

Tn,满足$2=72=6,S4=30,74=20.

（1）求｛%｝，（bj的通项公式;

（2）将数列｛斯｝与｛%｝中的项按从小到大依次排列构成一个新数列｛金｝,求数列｛c,J的前50项和，50.

【题型5倒序相加法求和】

【例5】（25-26高一上•重庆・月考•）已知函数/（©=急，/（短）+/（/）+-..+/©+/（2）+,・・+

/（2024）+/（2025）=（）

.4048„4049「4050_4051

A-TB.丁C.—D.—

【变式5-1］（25-26高二・全国•假期作业）已知数列｛斯｝是各项均为正数的等比数列，若。2，。2。25是方程好-

3%+2=0的两个根，则log2al+log2a2+3g2a3+…+log2a2026的值为（）

A.等B.1013C.2023D.1022

【变式5-2】（2025高二•全国•专题练习）设/（无）=芸，S=f（击）+/（蠢）+…+/（翳），求S的值.

【变式5-3](2025•上海•模拟预测)已知2+1x,数列｛%｝的前n项和为S“，点S，Sn)(7iWN")均

在函数y=f(x)的图象上.

(1)求数列｛斯｝的通项公式：

(2)若g(x)=六/令勾=9(鼠)(八WN*),求数列m｝的前2024项和72024.

【题型6奇偶项问题讨论求和】

【例6】(2025•四川泸州•一模)记S”为数列｛斯｝的前n项和，己知2S”=3即一3.

(I)求数列｛即｝的通项公式；

(2)设心=1?督，求数列也｝的前2n项和72n.

ll0g3即，孔为偶数

【变式6-1](2025•天津•一模)已知等比数列｛%｝的前〃项和为L，满足。4一。2=12,Sd+2S2=3S3,数

列｛bj满足九%+1-5+l)dn=n(n+1),nGN♦,且瓦=1.

(I)求数列｛%｝,｛以｝的通项公式；

(争甥，九为奇数

(2)设金==片，几为｛♦｝的前〃项和，求72n.

2,n为偶数

【变式6-2](2025・河南•三模)已知等差数列｛册｝的前"项和为Sn,且的+电=6,S12=45.

⑴求%;

~3牌盗紫求数列应｝的前2()项和720・

【变式6-3](2026•江西上饶•一模)已知递增的等差数列｛%｝满足%+。2+的=9,。1・。2・。3=15,数列

｛bj的各项均为正数,b]=2,且2或一b“+i•勾+2b“一九+1=0.

(I)求数列&｝,｛九｝的通项公式；

bn,n为奇数

⑵设q=1旬里到，求数列匕J的前2几项和72n.

--------，豆为斶效

\斯-「斯+1

【题型7先放缩再裂项求和】

【例7】(24-25高三上•辽宁•期中)已知｛丁｝是各项均为正数的数列,Sn为｛回｝前〃项和，且回S,，%-2

成等差数列.

(1)求｛%｝的通项公式;

⑵求证：力…

(3)已知以=(-1)”即，求数列｛分｝的前〃项和q.

【变式7-1](2025•四川成都•一模)已知正项数列｛即｝的前n项和为S”，且2即S〃=a；+1.

(1)求｛%｝的通项公式:

(2)若数列电｝满足bn=S3证明：六十盒+京+含+…+

【变式7-2](2025•黑龙江吉林•模拟预测)已知数列｛斯｝的首项为1,其前几项和为工，且满足3九4+1-6S”=

n(7i+l)(n+2).

(1)求数列Sn｝的通项公式.

(2)证明：-+-+-+-+-<2.

«2«3an

【变式7-3】(2025・广东汕尾•一模)记配为递增数列｛%｝的前几项和，ai+4n=4Sn.

(1)求｛册｝的通项公式：

(2)求数列｛的•6”｝的前几项和：

(3)记0=」一，｛九｝的前几项和为7”，证明：Tn<\.

«2n«2n+l2

【题型8新定义、新情景下的数列求和】

【例8】(2025•广西•模拟预测)行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算

定义如下：[di=ad~bc，已知I是等比数列｛%｝的前n项和，若管力=0,%=1,则$7二()

A.31B.63C.127D.255

【变式8-1](24-25高二下•安徽亳州•期中)定义”等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方

与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方

公差.设数列｛%｝是由正数组成的等方差数列，且方公差为2,Q13=5,则数歹的前n项和%=（）

V2n+1-1

A.TTn^T-lC.72rL+1—1D.>/2n—1—1

22

【变式8-2]（2025・湖北•模拟预测）已知｛即｝是无穷正整数数列，定义操作。（k,s）为删除数列｛册｝中除以k

余数为s的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列仍“｝.若%=3，-，neN\进行操作”3,1）后剩余项

组成新数列｛%｝,设数列｛1死3（册+以）｝的前几项和为Sn.

⑴求S”；

（2）设数列｛%｝满足金=log3b2n_1,求数歹WMj的前几项和.

【变式8-31（24-25高二下•江西南昌・期中）对于数列eN\（pnGZ且八-（pnE（一??，则称数列｛/｝

为打的“四分差数列已知数列｛%｝为数列｛册｝的“四分差数列”.

⑴若斯=2"+右求瓦也也的值.

（2）设。“=n+1.

①求出〃｝的通项公式：

②若数列｛cj满足疯7=1,且｛%｝的前〃项和为T”，证明:T+2<-.

ncn

高考真题练

考点一数列求和

一、单选题

1.（2025•全国二卷•高考真题）记工为等差数列｛Q,｝的前〃项和.若53=645=—5,则56=（）

A.-20B.-15C.-10D.-5

2.（2023•新课标n卷•高考真题）记S”为等比数列｛Qn｝的前〃项和，若$4=-5,S6=21S2,MSs=（）

A.120B.85C.-85D.-120

3.（2023•全国甲