2025年人教版八年级数学上册 三角形的边（题型讲练+习题巩固）解析版

第02讲三角形的边

01段?后Rd

课程标准学习目标

掌握三角形的三边关系，能够熟练判断是否能组成三角形以及进行相关

三角形的三边关系

求值。

02

三再形8勺三边关系

知识点

03£出对因

知识点三角形的三边关系

1.三角形的三边关系：

由两点之间线段最短可知，三角形的任意两边之和第三边。任意两边之差-11第三边。

这是三角形的限定条件。解题时常用两边之差小于第三边小于两边之和建立不等式。

【即学即练1】

2.以下列长度的各组线段为边，下熊组成三角形的是（）

A.3,5,8B.3,4,6C.10,8,7D.1,2,2

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行解答即可.

【解答】解：A.3+5=8,不能组成三角形，符合题意；

B.3+4>6,能组成三角形，不符合题意；

C.8+7>10,能组成三角形，不符合题意；

D.1+2>2,能组成三角形，穴符合题意，

故选：A.

【即学即练2】

3.一个三角形的两边长分别为3a〃和5c〃?，则第三边的长可能是（）

A.\cmB.2cmC.1cmD.Scm

【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和.

【解答】解：设第三边的长为工。“，

由三角形的三边关系可得5-3VXV5+3,

却2Vxe8,

所以它的第三边的长可能是7m.

故选：C.

【即学即练3】

4.等腰三角形的一边等于3,一边等于6,则它的周长等于15.

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和6,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论,

还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【解答】解：当3为腰，6为底时，3+3=6,不能构成等腰三角形；

当6为腰，3为底时，3+6>6,能构成等腰三角形，周长为3+6+6=15.

故答案为：15.

【即学即练4】

5.已知a、氏c•分别是△ABC的三边的长，化简la-a-c-加的结果为2a-2c.

【分析】根据三角形的三边关系判断出。・〃+c及。的符号，再去绝对侑符号，合并同类项即可.

【解答】解：:。、b、c是△ABC的三边的长,

:.a-b+c>(),a-c-bVO,

:.原式=“+方-c-(-a+b+c)

=a+b-c+a-b-c

=2a-2c.

故答案为：2a-2c.

04题型精讲

题型oi求三角形第三边的取值范围

【典例1】若三角形的三边长分别为3,4,x,则x的取值范围是（）

A.l<x<7B.2<x<lC.l<x<6D,0<x<7

【分析】据三角形三边关系，4-3JV4+3,即lV.rV7,问题可求.

【解答】解：由题意,4-3<x<4+3,即l<xV7.

故选：A.

【变式1】一木工有两根长分别为30厘米和50厘米的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架，则第

三根木条的长度x厘米应在的范围是（）

A.30<x<50B.50cx<80C.20Vx<50D.20cx<80

【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可得到20V%V80.

【解答】解：由二角形二边关系定埋得：5（）-30JV50+30,

.\20<x<<80.

故选：D.

【变式2】若实数a,b,c分别表示△ABC的三条边，且“，"满足|a-4|则△A8C的第三条

边c的取值范围是（）

A.c>4B.c<12C.4<c<12D.4WcW12

【分析】先由非负性求出。，〃的值，再结合“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行列式

计算，即可作答.

【解答】解：•・•〃，〃满足|a-4|

A«-4=0,8-8=0,

即<7=4,b=8,

•・•实数a,b,。分别表示△48C的三条边，

/.8-4<c<8+4,

即4<c<12,

故选：C.

【变式3】设△ABC的三边长分别为小b,c,其中。，〃满足|a+〃-6|+(a-h+4)2=0,则第三边c的长

度取值范围是()

A.3<c<5B.2<c<4C.4<c<6D.5<c<6

【分析】根据非负数的性质，易得a+6a-〃的值，再根据三角形三边关系即可求出第三边的长c的取

值范围.

【解答】解:(〃・H4)2=0,

.*.£/+/7=6,ba=4,

・•・第三边的长c的取值范围是4<c<6.

故选：C.

【变式4】A。是△43C中4c边上的中线，若A4=5,AC=7,则3。的取值范围是()

A.BD>\B.BD<5C.\<BD<5D.\<BD<6

【分析】由三角形的三边关系可求解.

【解答】解：:AD为中线，

:・BD=CD,

在△ABC中，7-5CBCV5+7,

即2V2BDV12,

/.1<BD<6,

故选：D.

题型02根据三角形的三边关系求值

【典例1】已知三条线段的长分别是6,小，8,若它们能构成三角形，则整数用的最小值是1)

A.2B.3C.6D.8

【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可.

【解答】解：:三条线段的长分别是6,m,8,它们能构成三角形，

A8-6<m<8+6,

A2<m<14,

・•・整数,〃的最小值是3.

故选:B.

【变式1】若三角形的两边长是和5a〃，第三边长的数值是奇数，则这个三角形的周长是()

A.9anB.12cmC.IOcinD.14cin

【分析】首先设三角形的第三边长为XC7〃，再根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；

三角形的两边差小于第三边可得5・2VxV5+2,然后根据第三边的数值为奇数，确定第三边长的值，再

求出周长即可.

【解答】解：设三角形的第三边长为xc/〃，由题意得：

5-2VxV5+2,

解得：3<x<7,

•・•第三边的数值为奇数，

•*A*=5>

.•.这个三角形的周长为：2+5+5=12(cm),

故选：B.

【变式2】已知三角形的三边长分别是3,4,x+1,则x的取值范围是0Vx<6.

【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案.

【解答】解：根据三角形的三边关系可得：4-3VX+1V4+3,

即0VxV6.

故答案为：0<xV6.

【变式3】在△ABC中，A8=5,BC=2a-1,4C=8,则。的取值范围是（）

A.\<a<6B.2<A<7C.3<n<8D.4<«<14

【分析】根据三角形的三边关系定理，可得不等式8-5V2a-1V8+5,解此不等式即可.

【解答】解：■△ABC中,AB=5,BC=2a-1,AC=8,

根据三角形的三边关系定理可得，

AC-AI3<BC<AC+AI3,

.\8-5<2«-1<8+5,

解得,2VaV7.

故选:B.

【变式4】五条线段的长度分别为3,4,〃?，〃，14（m,〃均为整数，且4</〃已知任意相邻的

三条线段为边长均能构成三角形，则〃的值为（）

A.7B.8C.9D.11

【分析】根据三角形三边关系求解即司二

【解答】解：由题意，4Vm<7,则〃?的值为5或6.

若〃?=5,5V〃V9,〃最大取8,而5,8,14不能构成三角形：

若机=6,6V〃V10,〃的值为7或8或9,只有6,9,14能构成三角形，

所以71=9.

故选：C.

题型04三角形的三边关系与等腰三角形

【典例1】若等腰三角形两边的长分别为35?和7c7〃，则第三边的长是7c〃i.

【分析】根据三角形的三边美系和等腰三角形的性质解答.

【解答】解：当3c咋为腰时,3+3V7,不合题意,舍去.

所以只有7a〃为腰，

故答案为：7.

【变式1】已知等腰三角形的周长为16,且一边长为3,则腰长为（）

A.3B.10C.6.5D,3或6.5

【分析】因为腰长没有明确，所以分边长3是腰长和底边两种情况讨论.

【解答】解：（1）当3是腰长时,底边为16-3X2=10,

此时3+3=6V10,不能组成三角形；

（2）当3是底边时，腰长为（16-3）=6.5,

2

此时3,6.3,6.3三边能够组成三角形.

所以腰长为6.5.

故选：C.

【变式2】小明有两根女小、7“力的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选用一根，

cm长的木棒.

【分析】题目给出长为3c7〃和7c7〃的木棒，做一个等腰二角形，而没有明确腰、底分别足多少，所以要

进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【解答】解：（1）当3c〃?为腰长时，因为+3=6<7,不符合三角形三边关系，所以舍去；

（2）当7c/〃为腰长时，符合三角形三边关系，符合题意.

・••再选用一要把的长度为7cm.

故答案为7.

【变式3］已知实数X,），满足|x-4|+石两=0,则分别以x,），的值为两边长的等腰三角形的周长是（）

A.8B.20C.16D.16或20

［分析］根据绝对值与二次根式的非负性即可求出x与），的值.由于没有说明x与y是腰长还是底边长，

故需要分类讨论.

【解答】解：由题意可知：x-4=0,y-8=0,

解得x=4,y=8,

当腰长为4,底边长为8时，

•.•4+4=8,

・•・不能围成三角形，

当腰长为8,底边长为4时，

V4+8>8,

・••能围成三角形，

・••周长为：8+8+4=20.

故选:B.

题型04三角形的三边关系与绝对值的化简

【典例1］已知三角形的三边长分别为2,4,则化简3|+|〃-7|的结果为()

A.2a-10B.1()-2aC.4D.-4

【分析】据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求。的取值范围，进

而得到化简结果.

【解答】解：由三角形三边关系定理得4-2Va-1V4+2,

却3<a<7.

\a-3|+|a-7\=a-3+7-a=4.

故选：C.

【变式1］已知小b,c是一个三角形的三条边长，则化简>-c-引-1c-〃+例=0.

【分析】根据三角形三边关系得到a-c-b<0,c-〃+b>0,再去绝对值，合并同类项即可求解.

【解答】解：•・•“，b,c是一个三角形的三条边长，

.\a-c-/?<0>c-«+/?>(),

\a-c-b\-\c-a+b\

<.a-c-by-(.c-a+b)

="a+c+b-c+a-b

=0.

故答案为：0.

【变式2】已知a,b,c是三角形的三边长，化简：\a-b-C|+|P-c+«|+|c-a-b\=a+3b-c.

【分析】此题的关键是根据三角形三边之间的关系得出a、仄c之间的大小关系，再根据绝对值的性质

求值.

【解答】解：•・•〃、b、c是三角形的三边长，

/.a+b>c,b+c>a,a+b>cf

*.a-b-c<0,b-c+fl>0,c-a-Z?<0,

\a-b-c|+|/?-c+t/|+|c-a-b\=-a+b+c+b-c+a-Cc-a-b）=a+3b~c.

故答案为：a+3b-c.

【变式3】已知三角形的三边长分别为a,b,c,化简：\a+b-c\-2\a-b-c\+\a+b+c\.

【分析】三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此条件来确定绝对

值内的式子的正负，从而化简计算即可.

【解答】解：:△ABC的三边长分别是a、b、c,

・•・必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则什〃-c>0,a-b-c<0,a+b-c>0,

\a+b-c\-2\a-b-c\+\a+b+c\=a+b-c+2a-2b-2c+a+b+c=4a-2c.

05强化训练

1.在学习“认识三角形”一节时，小颖用四根长度分别为2cm,3cm,4cm,5c相的小棒摆三角形,那么所

摆成的三角形的周长不可能是（）

A.9cmB.10c〃？C.11cmD.12cm

【分析［根据三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，判断即可

得.

【解答】解：当三角形三边长分别为：2cm,3cm,5c〃？时,

•••2+3=5,不能构成三角形，

・•・所摆成的三角形的周长不可能是10c///,

故选：B.

2.如图所示，为估计池塘两岸A,8间的距离，小华在池塘一恻选取一点P,测得限=8〃?，PB=6m,那

么4,8之间的距离不可能是（）

A.B.10/7/C.\2mD.14/〃

【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到2

即可得到答案.

【解答】解：由三角形三边关系定理得：8-6VABV8+6,

；・A、8之间的距离不可能是14m.

故选：£）.

3.在△ABC中，48=8,8c=2,AC的长为奇数，△ABC的周长为（）

A.17B.19C.17或21D.17或19

【分析】首先根据三角形的三边关系定理可得2-2VACV2+2,再根据AC为奇数确定AC的值.

【解答】解：由题意得：8-2<AC<8+2,

即：6<AC<10,

•••AC为奇数，

・"C=7或9,

♦△ABC的周长为17或19.

故选：

4.已知三角形的三边长分别为3,5,-则k不可能是（)

A.3B.5C.7D.8

【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出x的取值范围，再根

据取值范围选择.

【解答】解：:3+5=8,5-3=2,

A2<x<8.

故选：。.

5.已知数轴上点A,B,C,。对应的数字分别为-1,1,X,7,点C在线段8D上且不与端点重合，若线

段4从BC,能围成三角形，则x的取值范围是（）

A3g0r

oix7

A.\<x<lB.2<J<6C.3<x<5D.3<x<4

'x-l+7-x〉2①

【分析】由三角形三边关系定理得：2+x-l>7-x②，得到不等式组的解集是3<x<5,即可得到答

2+7-x>x-l®

案.

【解答】解：由点在数轴上的位置得：AB=\-（-1）=2,BC=x-1,CD=7-x,

'x-l+7-x>2①

由三角形三边关系定理得：2+x-l>7-x②，

2+7-x>x-l®

不等式①恒成立，

由不等式②得：x>3,

由不等式③得：x<5,

・•・不等式组的解集是3<A<5,

故选:C.

6.若△A8C的三边长分别为5,3,匕旦关于y的一元一次方程3（y1）-2（厂A）=7的解为非正数，

则符合条件的所有整数k的和为（）

A.13B.18C.21D.26

【分析】直接解一元一次方程，进而表示出y的值，再利用三角形三边关系得出4的值,即可得出答案.

【解答】解：3()，・1)-2Cy-k)=7,

则3y-3-2y+2攵=7,

解得：y=\0-2k,

•・•关于)，的一元一次方程3(y-1)-2()，-攵)=7的解为非正数，

A1()-2&W0,

解得：k25,

一△ABC的三边长分别为5,3,k,

•••2V&V8,

故符合题意的女的值为：5,6,7,

则符合条件的所有整数左的和为：5+6+7=18.

故选:B.

7.已知三角形两边长分别为6和3,第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是13.

【分析】根据三角形三边关系即可求解•.

【解答】解：设第三边长为小

•・•第三边为整数，

・•・最小整数为4,

，周长最小为6+4+3=13,

故答案为：13.

8.如果不等边二角形的二边长分别是2、7、r+l,那么整数r的取值是5或7.

【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求已符合条件的x的值即可.

【解答】解：依题意有7-2<x+lV7+2,即4cxV8,

所以符合条件的整数x的取值为：5或7.

故答案为：5或7.

9.在一节数学活动课上，小敏同学用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如图所示.按照这种方式继续

拼下去，若图形中用了41根火柴棍，则图形中含有个三角形.

【分析】根据图形的变化，通过归纳总结得到规律.

【解答】解：1个三角形需要火柴棍3根，

2个三角形需要火柴棍5根，

3个三角形需要火柴棍7根，

•••

发现规律：〃个三角形需要火柴棍2〃+1根，

/•2〃+1=41,

解得：”=20.

故答案为：20.

10.若。，b,c,是三角形的三边，则I0-c-。1+1。-8+d-la-b-cl=3a-3b+c.

【分析】利用三角形的三边关系得到b-c-a<0,a-h+c>0,a-b-cVO,然后去绝对值符号后化简

即可.

【解答］解：Vc是△ABC的三边K，

«<0,a-/?+c>0»a-b-c<0»

:.原式=-b+c+a+a-b+c+a-b-c=3a-3/7+(?.

故答案为:3a-3b+c.

11.已知a,b,c为△ABC的三边长，b,c满足・2|+(c・3)2=0,且a为方程|a-5|=1的解，则△ABC

的周长为9.

【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b=2、c=3的值，再解绝对值方程可得。=6或a=4,

进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出AA3c的周长.

【解答】解：・・・|b-2|+(c-3；.=0,

・•・》・2=0且c-3=0,

・••8=2、c=3,

••Z为方程|〃・5|=1的解,

；・〃=6或〃=4,

乂2+3V6,不能构成三角形，

a=4,

则△ABC的周长为2+3+4=9,

故答案为:9.

12.已知△ABC的周长为45c〃?，

(1)若A8=AC=23C,求4c的长；

(2)若AB：BC：AC=2：3：4,求△ABC三条边的长.

【分析】(1)根据三角形的周长公式列出关于3C的方程并解答即可求得答案；

(2)设/lB=2x,则8C=3x,AC=4x,根据三角形的周长公式列出方程并解答.

【解答】解：(1)由题意，得AB+AC+8C=2BC+2BC+8C=45cm,

解得BC=9cm.

即BC的长是9cm.

(2)设A8=2xcm,则BC=3xcm,AC=4xcm,

由题意，得2v+3x+4x=45,

解得x=5.

故2x=10,3x=15,4x=20.

,所以A8=10c〃?，则8c=15a〃，AC=20cm.

13.已知△ARC的二边长为小b.c,旦〃，b,d都是整数.

(1)若a=2,〃=5,且c为偈数.求△ABC的周长.

(2)化简:\a-b+c\-\b-c-a\+\a+b+c\.

【分析】(1)先根据三角形的三边关系得出C的取值范围，再由C为偶数即可得出C的值，进而可得出

结论；

(2)根据三角形的三边关系得出。+c>〃，再去绝对值符号，合并同类项即可.

【解答】解：⑴・・・。=2,b=5,

A5-2VcV5+2,

A3<c<7,

Ye为偶数，

；・c=4或6,

当c=4时，XABC的周长="/?+c=2+5+4=11；

当c=6时，△48C的周长=o+〃+c=2+5+6=13,

综上所述，△ABC的周长为11或13；

（2）;△ABC的边长为mb,c,

:.a+c>b,

\a-b+c\-\b-c-a\+\a+b+c\

=a+c-b-（a+c-b）+a+lHc

=