整式中规律性探索的三种考法（解析版）（北师大版）

专题08整式中规律探索的三种考法

类型一、数字类规律探索问题

例1.将一列有理数T,2,3,4,-5,6,......,如图所示有序排列.根据图中的排列规律

可知，"峰1〃中峰顶的位置(C的位置)是有理数4,那么，“峰6〃中。的位置是有理数—，

2022应排在A、B、C、。、E中的位置.正确的选项是()

A.-29,AB.30,DC.29,BD.-31,A

【答案】A

【分析】观察不难发现，每个峰排列5个数，求出5个峰排列的数的个数，再求出，“峰6”

中C位置的数的序数,然后根据排列的奇数为负数，偶数为正数解答；用(2022-1)除以5,

根据商和余数的情况确定所在峰中的位置即可.

【详解】解：由题意得，每个峰排列5个数，排列的奇数为负数，偶数为正数

•・•每个峰需要5个数，

.'.5x5=25,25+1+3=29,

••・“峰6”中C位置的数的是-29，

•••2022+5=404……2,

・・・2022应排在4、B、C、。、E中A的位置，

故选：A.

【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出每个峰有5个数是解题的关键，难点在于峰

上的数的排列是从2开始.

例2.一组按规律排歹州式子：今今4A'l

,，…(，活工())那么第〃个式子是：)

【答案】c

【分析】根据分子的变化得出分子变化的规律，根据分母的变化得出分母变化的规律，根据

分数符号的变化规律得出分数符号的变化规律，即可得到该组式子的变化规律.

【详解】解:分子为V其指数为2,5,8,11,...其规律为加-1,

分母为其指数为1,2,3,4,...其规律为〃，

分数符号为一，+,-，+,L,其规律为(-1)、

所以第〃个式子(-1)"亍.故选：C.

【点睛】此题考查了探索规律，先根据分子、分母的变化得出规律，再根据分式符号的变化

得出规律是解题的关键.

【变式训练1】找规律：观察算式

I3=1;

13+23=9:

13+23+33=36;

13+23+33+43=100;

⑴按规律填空

l3+23+33+43+L+103=_;

/+2、+33+4,++/=_.

⑵由上面的规律计算：仃+123+133+143+.+503=(要求：写出计算过程)

【答案】⑴3025；((〃山.

4

⑵1622600

【分析】(1)根据题干中算式总结出公式：「+23+33+4、……+/=(1+2+3+4+……+〃)2,

根据规律计算即可；

(2)根据规律用前50项减前10项即可；

【详解】(1)该列数的规律是：户।23।3,।43I……In3-(lI2।……I研，

/.13+23+33+43+53+63

=[-xl0x(l+10)]2=552=3025,

2

32tJ八、1，+2〃2+1

13+23+33+43+.......+/=|-«(1+«)]•=-------------,

24

故答案为：3025,〃」〃+)；

4

(2)113+125+133+143+……+50'

=(1+2+3+4+......+50)2-(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)2

_(50x5lj(lOxllj

=(1275)2一(55)2=(1275+55)(1275-55)

=1622600；

【点睛】本题考查了数字的变化规律，总结归纳出规律并应用规律是解题的关键.

【变式训练2】观察下列等式:

1,1II1111

-----=1——,-------=——―,-------=--------

1x222x3233x434

将以上三个等式两边分别相加得:

-------1---------1-------=11-----------1---------=I—=—

1x22x33x42233444

⑴猜想并写出

1x22x33x44x5

11।1

⑵计算下列各式的计算结果:---H------1----+H-------

1x22x33x499x100

1

⑶探究并计算:+2008x2005

4x17x410x7

1I1499669

【答案】⑴诉T丁初下⑵而⑶阚

【分析】（1）根据已知等式做出猜想，再计算即可；

（2）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；

（3）仿照（2）将：原式转换成;+++募一焉即可轻易算出

31I■//I\/-Vz\/Oy

结果.

111

【详解】（1）解:猜想:----------——―-------

〃(〃+1)n〃+1

1111

0----1-----1-----1----

1x22x33x44x5

一~2+2-3+3-4+4-5

4

5

1

(2)L-L+-L++99xl00

1x22x33x4

1I

・d-------------

99100

99

100

1111

(3)-------1---------1-----------bH------------------

4x17x410x72008x2005

111

----1----+F+

1x44x77x10-----2005x2008

1）

—+

ioj2008>

11111I1、

3（44771020052008>

If.11

312008J

12007

—x----

32008

669

-2008

【点睛】本题考查了数字的变换规律问题，解题的关键是能够总结出规律等式

焉rL并应用于求和运算.

1

V79fn_2_i

【变式训练3】对于实数x>0,规定〃月==丁例如〃2)=宙=：⑸一百一针

2

那么计算/（费）+/（募）+/（短卜••+/（//⑴+/（2）+/（3）+…+/（2。20）的

结果是.

【答案】2019.5

【分析】通过计算，发现呜)+/(2)=1,吗)+/⑶=1…

据此即可求解.

【详解】解：0/(1)=-^=1

“2）C，吗［平］

N+lJ\,乙）_+|）

2

I

/⑶*T吗卜亡1

3

1

团，(加羔/

<n）1+1n+\

n

且吗卜⑵"吗卜/ODO加W+羔♦

团《募用（短M嬴卜•••+出卜川）+"2）+"3）+…+”2020）

=/0)+吗卜/⑶+叫)+〃3)+…+《嬴+”2020)

=-+1x2019=2019.5

2

故答案为：2019.5

【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字得到一I!卜/㈤=】•

类型二、图表类规律探索问题

例1.为给同学们创造更好的读书条件，学校准备新建一个长度为L的读书长廊，并准备用

若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按如图所示

的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为0.6m.

（1）按图示规律，第一个图案的长度匕=m,第二个图案的长度J=m.

（2）请用代数式表示带有花纹的地面砖块数〃与走廊的长度"之间的关系.

【答案】1.831.2n+0.6

【分析】（1）观察题目中的已知图形，可得前两个图案中有花纹的地面砖分别有：1,2个，

第二个图案比第一个图案多1个花纹的地面砖，所以可得第〃个图案有花纹的地面砖有〃

块；第一个图案边长。=3x0.6,第二个图案边长=5x0.6：

（2）由⑴得出则第〃个图案边长为4=（2〃+1）X0.6.

【详解】解：（1）第一个图案的长度A=3X0.6=1.8,

第二个图案的长度A=5x86=3；

故答案为：18,3；

（2）解：观察可得：第一个图案中有花纹的地面砖有1块，第二个图案中有花纹的地面砖

有2块，......，故第〃个图案中有花纹的地面砖有〃块；

第一个图案边长4=3x0.6=（2xl+］）x（）.6,

第二个图案边长右=5X0.6=（2X2+1）X0.6,

则第〃个图案边长为L”=（2〃+1）x0.6=I.2n+0.6:

所以带有花纹的地面砖块数〃与走廊的长度。之间的关系为4=L2〃+0.6；

故答案为：1.2〃+0.6.

【点睛】本题主要考查了平面图形的有规律变化，以及列代数式等，解题的关键是分析、归

纳出其中的规律.

例2.如图所示，将形状大小完全相同的按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中

的个数为外,第2幅图中“"的个数为外,笫3幅图中“，”的个数为生，L,以此类推，若

—0+—2+—2++2—=焉〃(〃为正整数)，则〃的值为一.

4ai6an2022

□□□口口

口口□□□□□口口

C□□□□□□口□□□口口

uunun□□□口口□□□口

第1幅图第2幅图第3幅图第4幅图

【答案】4043

【分析】先根据已知图形得出为=〃5+1),代入到方程中，再将左边利用所得规律化简即

可.

【详解】解：由图形知4=1x2,%=2x3,&=3x4,.

2222n一…，，2222n

/.1--------1--------F・・・H=--------可转化为■----1-----------1----------------------------;--------7=---------,

5%为an2022匕外.1x22x33x4nx(w+l)2022'

，2x-^-=-^-,“=4043.

n+12022

故答案为；4043.

【点睛】本题主要考杳图形的变化规律,解题的关键是根据已知图形得出规律是解题关键.

【变式训练1】观察下列图形:

★

★★

★★

★★★★

★★★★★★★★★

★★★★★★★★★★★★

★★★★

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形中共有个0.

【答案】19

【分析】先根据图形得到规律第〃个图形有l+3x〃=l+3〃个团，再当〃=6时，代入即可求

得答案.

【详解】解：根据图形可得：

第1个图形有1+3=4个国

第2个图形有l+3+3=l+3x2=7个团，

第3个图形有1+3+3+3=1+3x3=10个国，

第4个图形有1+3+3+3+3=1+3x4=13个以

第〃个图形有l+3x〃=l+3〃个团，

••・第6个图形中有1+3x6=19个%

故答案为：19.

【点睛】本题主要考查了整式一图形规律类，根据图形找到规律第〃个图形有l+3x〃=l+3〃

个凡是解题的关键.

【变式训练2】观察与思考：我们知道1+2+3++〃=如誓2,那么尸+2、3、-•+,广

结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形。与•算•式。的。关。系•，•解•决・下列问题：

•••。。。•••・

ooooooeeee

oeeoooooocooeeee

••・oooooooooeeee

•••ooo

oooooo

oooooo

ooooooo•••••••••••・••♦••••

13=12;P+23=32：l3+23+33=62;l3+23+33+43=102;

⑴规律观察：/+23+33+43+53=2.

(2)推算概括：用含〃的式子表示出「+2)33+…+/的值；

■

【答案】(1)15；(2)如出2.(3)5050

【分析】(1)根据所给的式子进行分析即可得出结果；

(2)结合(1)进行求解即可；

(3)利用(2)中的规律进行求解即可.

【详解】(1)解：P=l2,l3+23=(I+2)2=32,l3+23+33=(l+2+3)2=62,

13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102,

13+23+33+4-X+53=(1+2+3+4+5)2=152；故答案为:15；

(2)由(1)得：

F+23+33+...+/=(1+2+3+…+〃)2=修辿『；

(3)EX'……+3=2+3+…+哂="2+3+…+100=世理生=5050.

1+2+3++1(X)1+2+3+...+1002

【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律，并

灵活运用.

【变式训练1】我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非，数

形结合的思想方法在数学中应用极为广泛.观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截卤图：

【分析思路】

图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法，从图形排列中找规律；把图形看成儿

个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律.

如：要解决上面问题，我们不妨先从特例入手（统一用S”表示第〃个图形钢管总数）.

【解决问题】

⑴如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗？像

n=\,〃=2,〃=3的情形那样，在所给横线匕请用数学算式表达你发现的规律.

30

18mrn

，口工〕二）、CXOlCIIXTXlkl

（iji_

OuCXXX）

n=3

S]=l+2,S2=2+3+4,53=3+4+5+6,S4=

⑵其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的.请你像（1）那样对每一个所给图

形添加分割线，提供与（1）不同的分割方式；并在所给横线上，请用数学算式表达你发现

(3)用含〃的式子列式，并计算第〃个图的钢管总数为.

【答案】⑴4+5+6+7+8；

(2)I+2»1+2+3+3»1+2+3+4+4+4,1+2+3+4+5+5+5+5：

3

(3)-n(n+l).

【分析】（1）根据所给的式子的形式进行解答即可：

（2）结合图形的特点，对图形进行分割，从而可求得相应的图形中钢管的总数;

（3）根据（1）（2）进行求解即可.

【详解】（1）解：由题意得:，=4+5+6+7+8,

故答案为:4+54-6+7+8；

（2）如图,

S=l+2；S2=1+2+34-3；S,=1+2+3+4+4+4；S4=I+2+3+4+5+5+5+5,

故答案为：1+2,1+2+3+3,1+2+3+4+4+4,1+24-3+4+5+5+5+5；

(3)05,=1+2；

—

S21+2+3+3；

=1+2+3+4+44-4；

Sq=l+2+3+4+5+5+5+5,…

2+1)/、3z

团5“=1+2+3+...+〃+〃=

3

故答案为：—n（n+\）.

【点睛】木题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律.

第1个图第2个图第3个图

⑴第5个图案有张黑色小正方形纸片;

（2）第〃个图案有张黑色小正方形纸片；

⑶第几个图案中白色纸片和黑色纸片共有81张？

【答案】（1）16；（2）（3〃+1）；（3）20

【分析】（1）观察图形，发现：黑色纸片在4的基础上，依次多3个；

（2）根据（1）中的规律，用字母表示即可；

（3）根据（2）的规律，得出3〃+1+〃=81,解之得出〃的值即可作出判断.

【详解】（1）团第1个图形中黑色纸片的数量4=l+3xl,

第2个图形中黑色纸片的数量7=l+3x2,

第3个图形中黑色纸片的数量10=1+3x3,......,

团第5个图片中黑色纸片的数量为1+3x5=16,故答案为：16；

（2）由（1）知，第〃个组案中黑色纸片的数量为3〃+1,故答案为：（3〃+1）：

（3）设第〃个图案中共有81张纸片，由3〃+1+〃=81,解得：〃=20,

即第20个图案中共有81张纸片.

【点晴】本题考查规律型：图形的变化类，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论.注

意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第〃个图案中有3〃+1张黑色纸片.

类型二、程序类问题

例.有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是1,可发现第一次输出的结果是

4,第二次输出的结果是2,......,请你探索第2023次输出的结果是.

【答案】4

【分析】由题意知，第一次输出的结果是4,第二次输出的结果是2,第三次输出的结果是

L第四次输出的结果是4,第五次输出的结果是2,......,可知三次为一个循环，由

2023=3x674+1,进而可得第2023次输出的结果.

【详解】解：由题意知，第一次输出的结果是4,第二次输出的结果是2,第三次输出的结

果是1，第四次输出的结果是4,第五次输出的结果是2,......,

团可知三次为一个循环，

02023=3x674+1,

团第2023次输出的结果是4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查r程序流程图与有理数计算，规律探究.解题的关键在于根据推导一般性

规律.

【变式训练1】按下面的程序计算：

若输入”=100,输出结果是501；若输入〃=25,输出结吴是631,若开始输入的〃值为正整

数，最后输出的结果为6£6,则开始输入的〃值可能有（）

A.1种B.2种C.3种D.4种

【答案】C

【分析】分三种情况讨论，当输入〃经过一次运算即可得到输出的结果为656,当输入〃经

过两次运算即可得到输出的结果为656,当输入〃经过三次运算即可得到输出的结果为656,

再列方程，解方程即可得到答案.

【详解】解：当输入〃经过一次运算即可得到输出的结果为656,

.*.5/1+1=556，

5/1=655,

71=131.

当输入〃经过两次运算即可得到输出的结果为656,

「.5（5〃+1）+1=656,

+i=131,/2=26.

当输入〃经过三次运算即可得到输出的结果为656,

.-.5[5（5n+l）+l]+l=656,

「.5（5〃+1）+1=131,/.5/24-1=26,/.n=5.

综上：开始输入的〃值可能是5或26或131.

故选：C.

【点睛】本题考查的是程序框图的含义，-元•次方程的解法，分类思想的应用，掌握以上

知识是解题的关键.

【变式训练2】按如图所示的运算程序，能使输出结果的值为11的是（）

A.x=3,>'=1B.x=2,y=2C.x=2,y=3D.x=0,)=1.5

【答案】A

【分析】把各项中的X与），的值代入运算程序中计算得到结果，即可作出判断.

【详解】4、把x=3,y=l代入运算程序中得：输出结果为9+2=11,符合题意；

B、把x=2,y=2代入运算程序中得：4-4=0,不符合题意；

。、把工=2,），=3代入运算程序中得：4-6=-2,不符合题意；

。、把x=0,）=1.5代入运算程序得：0・3=-3,不符合题意，

故选：A.

【点睛】此题考查计算机的程序计算，能正确理解程序图的计算过程及要求是解题的关键.

【变式训练3】按图示的程序计算，若开始输入的x为正整数，最后输出的结果为67,则x

的值是（）

A.2或7B.2或22C.2或22或7D.2或12或22

【答案】C

【分析】根据运算程序列出方程求得相应的x值，直到x不是正整数为止即可解答.

【详解】解：回最后输出的结果为67,

团3戈+1=67,解得：x=22：

当3x+l=22时，解得：x=7；

当3x+l=7时，解得：x=2：

当3>1=2时，解得：

回开始输入的x为正整数，

取=；不合题意.取的值可能为：2或7或22.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了运算程序、一元一次方程的应用等知识点，根据运算程序正确列出

关于X的一元一次方程是解题的关键.

课后训练

1.定义一种对正整数〃的“尸’运算：①当〃为奇数时，结果为3〃+5；②当〃为偶数时，

结果为玄（其中女是使£为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取〃=26,则：

若”=49,则第2022次“广运算”的结果是（）

A.31B.49C.62D.98

【答案】B

【分析】分别计算出前6次“F运算〃的结果即可得到规律，根据规律求解即可.

【详解】解：当〃=49时，第1次“产运算”的结果是3x49+5=152,

152

第2次“产运算”的结果是黄=19,

第3次“尸运算〃的结果是19x3+5=62,

第4次"F运算”的结果是券=31,

第5次“产运算〃的结果是3X31+5=98,

98

第6次"F运算''的结果是万=49,

团可知每6次运算为一个循环，运算的结果为152,19,62,31,98,49循环出现,

02022+6=337,

团第2022次“F运算”的结果与第6次“户运算”的结果相同，即为49,

故选B.

【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，正确进行计算找到数字间的规律是解题的关键.

23

2.如图所示的运算程序中，如果开始输入的x的值为彳，我们发现第一次输出的结果为-・，

第二次输出的结果为2,…，则第2023次输出的结果为（）

【答案】C

【分析】计算出第3次，第4次的输出结果，发现输出结果以-31、2、-：1为•个循环组依

次循环，然后计算即可.

3

【详解】解：目第1次输出的结果为-

第2次输出的结果为2,

团第3次输出的结果为-」=-!，

2-13

1_3

第4次输出的结果为一一

---r1

3

31

团输出结果以-1、2、为一个循环组依次循环，

团2023+3=674.」，

3

团第2023次输出的结果为

故选：C.

【点睛】本题考查了规律型一数字的变化类，找出变化规律是解题的关键.

3.将正整数1至1050按一定规律排列如图所示，从表中任取一个3x3的方框，方框中九个

数的和可能是（）.

1234557

891011121314

15161718192021

22232425262728

・・・・・・・・・・・・・・・・.・・・・

A.2025B.2018C.2016D.2007

【答案】D

【分析】组成3x3方框的九个数不能从第六列、第七列开始，故因此确定。工72—1且”73

然后依据数据规律逐一分析适合题意的答案即可.

aa+1a+2

【详解】观察表格中的数据可知，能组成3x3方框。+7。+8。+9的〃值需满足：

4/4-144+15。+16

aw7k-l且a07k,这里女为正整数（即从第六列、第七列开始的3x3方框不存在）.

aa+\〃+2

3x3方框。+7〃+8〃+9中九个数的和N=9a+72=9（a+8）,故九个数之和必须满足

a+14。+15«+16

N

是9的倍数，将N=9a+72=9（a+8）变形得：

20”

对于A选项，由于八于-8=217=7x31,〃属于7k型，故A错误；

对于B选项，由于N=2（）18不是9的倍数，故B错误;

对于C选项，由于。=等-8=216=7、31-1,属于7A-1型，故C错误;

2007

对于D选项，由于。=-8=215=7x31-2,不属于，:或一1型，故D正确.

9

215216217

组成的3x3方框为222223224,九个数之和为2007.

229230231

故选：D.

【点睛】本题考查了规律型的数字变化类，根据题意恰当地表示出九个数的代数式并结合

3x3方框所处的位置分析是解题的关键.

4.如图是由相同的菱形按一定规律摆放而成，第1个图形有3个菱形，第2个图形有7个

菱形，第3个图形有13个菱形，按此规律排列下去，第9个图形的菱形个数为（）

图1图2图3图4

A.73B.81C.91D.109

【答案】C

【分析】根据图形，将每个图形分为上下两部分，分别数出每个图形两部分中菱形的个数,

总结出数量变化的一般规律即可.

【详解】解：由图可知：

第一个图形：上面由3个菱形，下面有。个菱形，

第二个图形：上面有6个菱形，下面有1个菱形，

第三个图形：上面有10个菱形，下面有3个菱形，

第四个图形：上面有15个菱形，下面有6个菱形

第n个图形：上面有个菱形,下面有鳖J个菱形，

22

回第9个图形的菱形个数为：Pi业3+丝二12=91.

22

故选：C.

【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形，总结出变化的一般

规律.

5.如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.例如：称图中的数1,5,

A.62B.70C.84D.108

【答案】B

【分析】观察图形得到第1个五边形数为1，第2个五边形数为1+4=5,第3个五边形数

为1+4+7=12,第4个五边形数为1+4+7+10=22,即每个五边形数是从1开始，后面的

数都比前面一个数大3的几个数的和，旦数的个数等于序号数，则第7个五边形数为

1+4+7+10+13+16+19=70.

【详解】解：团第1个五边形数为1,

第2个五边形数为1+4=5,

第3个五边形数为1+4+7=12,

第4个五边形数为1+4+7+10=22,

回第5个五边形数为1+4+7+10+13=35.

第6个五边形数为1+4+7+10+13+16=51,

第7个五边形数为1+4+7+10+13+16+19=70.

故选：B.

【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因索或按规

律变化的因素，然后推广到一般情况.

6.如图是按照一定规律“生长”的"勾股树经观察可以发现：图①中共有3个正方形，图

②中共有7个正方形，图③中共有15个正方形，照此规律“生长”下去，图⑤中共有正方

形的个数是（）

①②③

A.31B.32C.