四边形（题型专练）-青岛版八年级数学下册【含答案】

8.1四边形

题型一四边形的丁恃定性

基础达标题

题型一四边形的不稳定性

1.下列图形具有稳定性的是（）

此来控制门的大小.这种方法应用的数学知识是（）

A.三角形的稳定形B.四边形的不稳定性

C.勾股定理D.黄金分割

4.下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（）

试卷第1页，共6页

A.屋顶支撑架B.自行车脚架C.伸缩门D.旧门钉木条

题型二与四边形有关的简单计算与证明

（24-25七年级下•全国•期中）

5.如图，已知连接40、AD.BC,在BD上取一点E,使DE=AB,连接

EC,若Nl=/2.求证：BD=CD.

（24-25七年级下•全国•课后作业）

6.如图，在四边形［8CZ）中，E是边8c上一点，且BE=CD,N8=N/EO=NC.求说

7.如图，梯形川?。中，AD//BC,/8=60。，求/力的度数.

8.如图，梯形力4。。的对角线交于点O,AD〃BC.若,则AD=CB.

从①OA=OC,（2）ZABC=ZCDA,③力〃=8这三个选项中选择一个作为条件，使结

论成立，并说明理由.

试卷第2页，共6页

9.如图，在四边形中，N/=N8=90。，E是48上的一点，且/UAC,连接。E,

(l)RtZLWEgRSEC.

(2)DE1CE.

10.已知：如图四边形4E8c中，AB=4C,4。是8c边的中线，EB=DB,

NAEB=90。，垂足为E.求证：AD=AE.

（25-26八年级上•陕西榆林,期末）

11.如图，在四边形48。。中，连接/。、BC.已知力C=8O,BC=AD,求证:

4ACB=ABDA.

能力提升题

题型一四边形中的面积问题

（25-26八年级上•河北张家口•月考）

12.如图，力。是/比1。的平分线，DEtAB,垂足为E.若加边形祖oc=24,DE=4,

AB=7,则AC的长是（）

试卷第3页，共6页

A

A.3B.4C.5D.6

（25-26八年级上•吉林四平•期末）

13.如图，在四边形48C。中，AD=CD,AB=CB,下列结论正确的是（）

A.AB=CDB.AC1BD

C.AC=BDD•Spq边形.co='C，BD

14.如图，在四边形48。中，乙4+/8=150。，点E为48的中点，力。=2,8c=4,则

=

SdADE+S.BCE—S&CDE

15.如图，四边形488中，NB4D=NC=90°,4B=肛4E工BC,垂足是E,若线段

（25-26八年级上•全国・期末）

16.如图，在梯形/18C。中，N8=/C=90°,E是8c的中点，OE平分/4。。，下列说

法：©ZCDF=60）;©DELAEx@AD<CD+AB-,®1,其中正确的

是•（填序号）

试卷第4页，共6页

AB

（25-26八年级下•全国•课后作业）

17.如下图，在四边形W8CQ中，AD〃BC,4c与3。相交于点0.求证:

题型二证明线三条段之间的数量关系

（25-26八年级上•上海虹1期末）

18.如图，在四边形力中，BC=CD,过点C作CE工力B于E,C尸^L4D于F且DF=BE.

（2）求证：AB+AD=2AE.

（25-26八年级上•河南周=1・月考）

19.如图，在四边形49CZ）中，/8=/C=90。，E是BC的中点，平分/D48.

求证：CD+AB=AD.

20.如图，在四边形力BCD中，力。〃BC,点E为对角线8。上一点，NA=NBEC,且

AD=BE.求证：AD+DE=8C.

试卷第5页，共6页

题型一四边形几何探究题

(25-26八年级上•云南昭通・期末)

(1)如图(1),若4B工CB,AD1CD,/EAF=；NBAD,则线段FD、E/7之间的数量关

系，下列三个关系式中：

®EF=BE+FD,②EF>BE+FD,®EF<BE+FD

正确的是.(只填序号)

(2)如图(2),若418C+N4)C=180。，点£，点尸分别在线段C8,0c的延长线上，且满

足=试探究线段ERBE、之间的数量关系.

(3)如图(3),若乙44C+/4)C=180。不变，点£在线段C8的延长线上，点/在线段C0的

延长线上，若EF=BE+DF,试探究/与N7LW的数量关系.

试卷第6页，共6页

1.D

【分析】本题考杳了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性逐项判

断即可.

【详解】解：A、图中含有四边形，故本选项不符合题意；

B、图中含有四边形，故本选项不符合题意；

C、图中含有四边形，故本选项不符合题意；

D、图中都是三角形，故本选项符合题意；

故选：D.

2.C

【分析】本题考查三角形的稳定性，三角形具有稳定性，由此即可判断.

【详解】解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，

所以选项A,B,D中的图形都是有若干个三角形构成,，具有稳定性,不符合题意：

选项C中的图形是由一个四边形和一个三角形构成，四边形不具有稳定性，符合题意.

故答案为：C.

3.B

【分析】由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性.

【详解】由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性.

故选：B

【点睛】本题考杳四边形的不稳定性，抓住题意的关键词从而解决问题.

4.C

【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即

可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形.

【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三

角形的稳定性，

故选：C.

5.见解析

【分析】根据平行线的性质得出=进而利用AAS证明"8。与△EQC全等

解答即可.

【详解】证明：

：.NABD=NEDC,

答案第1页，共15页

在△48。与△EQC中，

Zl=Z2

</ABD=NEDC,

DE=AB

；・“BD知EDC（44S）,

BD-CD.

6.见解析

【分析】先利用平角的定义和三角形内角和定理，推导出/历^=NCE。；再结合已知的边

和角，证明“4£与4成》全等，从而得到<£=££）.

【详解】解：•:NB=NAED=NC,Z.B4-ZBAE+ZAEB=Z.AEB+ZAED+ZCED=180°,

:.ABAE=ZCED.

在IRE府I△EC。中，

Z.BAE=NCED,

<NB=NC,

BE=CD,

cABEAECDg^）,

:.AE=ED.

【点睛】本题考查了仝等三角形的判定（AAS），掌握通过角的关系推导相等角，结合AAS

判定三角形全等是解题的关键.

7.120°

【分析】本题主要考查了平行线的性质.根据两直线平行，同旁内角互补，即可解答.

【详解】-AD//BC.

.-.ZJ+Z5=180°,

^15-60°,

.•.ZJ=180°-Z5=120°.

8.@OA=OCng@ZABC=ZCDA

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由梯形性质，三角形边的关系与角的关系得

到三角形全等是解决本题的关键.

选择①：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等“可得ND4O=NBC。，再由角边

角的证明方法即可证明与△ACO全等，由此可得结论：

答案第2页，共15页

选择②：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等“可得/。力。=/4。0,再由角角

边的证明方法即可证明与△。以1全等，由此可得结论.

【详解】解：选择①Q4=0C,理由：

vAD//BC,

:"DAO=/BCO,

-：OA=OC,B.ZAOD=ZBOC,

在△D40与△ACO中，

NDAO=/BCO

由，OA=OC

Z.AOD=4B0C

△。力。丝△8CO(ASA),

/.AD=CB：

&i^@ZABC=ZCDA,理由:

•••AD〃BC,

ADAO=ZBCO,

•••N4BC=NCDA,

在△力力。与△C4/中，

4DAO=々BCO

由・ZABC=ZCDA,

AC=CA

••.△ADC且AC5J(AAS),

AD=CB.

故答案为：①O4=OC或②/48C=NCD4.

9.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理.

(1)根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可.

(2)根据全等三角形的性质得=然后求出〃%=90。即可.

【详解】(1)解：•••/力=/5=90。，

s.LADE和＞BEC均为直角二角形.

答案第3页，共15页

在Rt△力QE和RS3EC中，

[DE=EC

[AE=BC，

二.Rt“O%RL8EC（HL）.

（2）vRtAJD^RtA^C,

zLADE=乙BEC,

:4=90°,

ZJ£Z）+ZJDF=90o,

/AED+NBEC=90°,

ZD£C=180°-90°=90°,

.-.DEICE.

10.证明见详解

【分析】本题重点考查等腰三角形的“三线合一”、全等三角形的判定与性质等知识，推导出

AADB=NAEB=90。，进而证明R3/18。物Rg/8E（HL）是解答该题的关键.

【详解】证明：••・/8=4（7,力。是8c边的中线，4^=90。，

:.AD1BC,

："ADB=NAEB=9V,

在RtZ\48O和中，

AB=AB

DB=EB'

RtAz45Z）^RtAJ5E（HL）,

•••AD=AE.

11.见详解

【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三边对应相等的两个三角形全等和

全等三角形的性质是解题的关键.

由三边对应相等的两个三角形全等证明△48。三△84C,再根据全等三角形的对应角相等

即可证明.

【详解】证明：在△4和AB/IC中

答案第4页，共15页

AD=BC

BD=AC,

AB=BA

丝AB4c(SSS),

ZACB=ABDA.

12.C

【分析】本题考查角平分线的性质，掌握该性质是解题的关键.

过点。作。〃_L力。交力C于点尸，由角平分线的性质，可得DF=DE=4,根据面积的计算

关系，可求出4c的长.

【详解】解：过点。作。F1/1C交4c于点尸，如下图所示：

*，-S^DC=S四边形/BQC一$28。=24—14=1°，

•.•力。是N84C的平分线，DEA.AB,DFJ.AC,

:.DF=DE=4»

.力。=*蟠=5,

4

故选C.

13.B

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识解

决问题.

根据题意证得“QB%CZ)8(SSS),根据全等三角形的性质得到4QB=NCQ4,进而得到

DBLAC,计算四边形/灰?。的面积，由此判断即可.

【详解】解：在和△CD?中，

答案第5页，共15页

DA=DC

DB=DB

AB=CB

;."DB知CDB(SSS)

:"ADB=NCDB

DBVAC

四边形AACO的面积为;.4COO+gAC.8O=；4C(Q0+8O)=；4C.8Z),

综上所述，选项B正确，选项D错误，无法判断A,C选项，

故选：B.

14.2

【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，如图，

延长。七到K,使DE=EK,连接C'K,BK,过K作KQ_LC方交C8延长线十P,再证明

“DE知BEK，再利用割补法可得答案.

【详解】解：如图，延长OE到K,使DE=EK,连接CK,BK,过K作KQ_LC8交。8

延长线于点。，

・q—q

,,3CDE一°AC£K；

:点E为＜8的中点,

•••AE-BE,

vAAED=/BEK,

••.△ADE%BEK,

:•NA=NKBE,BK=AD=2,

•••/4+/48。=150。，

:"CBK=ZABC+/KBE=150°,

答案第6页，共15页

.•.NK8Q=30。，

：.KQ=\,

•••4C=4,

:SCBK=；x8CxK0=；x4xl=2,

S&ADE+S*CBE-S4CDE=S&BKE+S&CBE~~^^CEK=^ACBK=2；

故答案为：2.

15.16

【分析】过力点作4ELCQ交CQ的延长线于F点，由血8C,AFA.CF,乙。=90。可得四边

形力改尸为矩形，则42+/3=9()。，而4&10=90。，根据等角的余角相等得41=，2,加I上

^EB=Z.AFD=90°^AB=AD,根据全等三角形的判定可得△力8E三ZUOR由全等三角形的

性质有力石=彳/=4,SAABE=SAADF,WJ5^ABCD=S^AECF,然后根据正方形的面积

公式计算即可.

【详解】过4点作4ELCD交CO的延长线于尸点，如图，

•:AE工BC,AFLCF,

山EC=4CE4=90。，

而NC=90°,

.•.四边形力为矩形,

••22+43=90。，

又•..44/。=90°,

在△/8E和△4。尸中

Zl=Z2

<Z.AEB=AAFD,

AB=AD

:△ABEwAADF,

答案第7页，共15页

:.AE=AF=4,S^ABE=S"DF,

四边形AECF是边长为5的正方形,

2

•••SmABCD=SmAECF=A=16.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定的

应用，做出辅助线构造出全等三角形是解此题的关键.

16.②④I##④②

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线及掌握全等三角形的判定定

理是解题的关键.过点£作样14。于点凡证明△QM%OEC(AAS),得到

EF=EC=EB,4FED=£CED,DF=CD,再证明Rt"EFgRt-£8(HL),得到

AF=AB,4EF=N4EB,由此判断③错误；ZFED+ZCEZ)+AAEF+^AEB=180°

判断②正确；根据全等三角形的性质及，阳+8成+山防+5“稗=5悌般小，得到

由此判断④正确；题中无条件证明/COE=60。，故①错误・

【详解】解：过点上作罚工力。于点凡则茗二90。，

・•・E是BC的中点，

:.EB-EC,

vZ5=ZC=90°,

.­.ZZ）FE=ZC,

•：DE平分N4DC,

:.ZFDE=ZCDE,

又•••DE=DE,

.•.△OE/&OEC（AAS）,

:.EF=EC=EB,4FED=4CED,DF=CD,

•••乙4FE=Z5=90°,AE=AE,

RtA,4E尸组RtA/E8（HL）,

答案第8页，共15页

•••AF=AB»Z.AEF=Z.AEB,

.•.AD=DF'+AF=CD+AB,

故③错误；

v/FED+4CED+Z.AEF+乙4EB=180°,

：./FED+/AEF=9Q0,即//EZ)=90°,

:.DE工AE,

故②正确；

=++

,:SgEF=S,DEC'SjEFS》EB，^^DEF^aDEC\/IEF+\.<EB=梯形48a>，

,SGEF+SjEF-5S梯形718s»即S^ADE=/S梯形48c0»

故④正确；

题中无条件证明NCDE=60。，

故①错误；

正确的有②④.

故答案为：②④.

17.见解析

【分析】先过4。作8c的高，利用力。1|8。得到这两条高相等；再结合同底的条件：证

明A/BC与△8QC面积相等；最后减去它们的公共部分小0。的面积，即可得到△/O8与

△C。。的面积相等.

【详解】证明：如图，过点力作力后人5。于点£,过点。作。“1BC于点F.

-Sa/AloBC.C=2-BCAE,Salfit{A.r.e=2-BCDF.

S“8C=S&BDC»

c_c

^^ABC»ABOC3sBDC-NvGBOC)

c一q

°”OB_60coD•

答案第9页，共15页

【点睛】本题考查了三角形面积与平行线间距离的性质，掌握同底等高的三角形面积相等,

通过减去公共部分面积推导目标三角形面枳相等是解题的关键.

18.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，角平分线的判定定理，掌握相关知识是解题的

关键.

(1)根据直角三角形全等的判定定理证明得到W=CE,再由角平分

线的判定定理即可证明；

(2)根据直角三角形全等的判定定理证明RlZ\4C尸/R:△力CE,得到力”=力后，再由线段

的和差即可证明.

【详解】(1)证明：•••CE1/18,CF1AD,

;.NBEC=NF=90°.

•.•在RtACDF和RtAC5E中，

CD=CB

DF=BE'

・••RsCDFgRtKBE(直角三角形全等的判定定理)，

:.CF=CE,

•:CEJ.AB,CFA.AD,

•••力。平分/。力8.

(2)证明：•.•在RtaXC/和RtA/lC£中，

AC=AC

'CF=CE'

：.^ACF^^ACE(直角三角形全等的判定定理)，

AF=AE,

vBE=DF

：.AB+AD=AE+BE+AF-DF=AE+BE^-AE-BE=2AE.

19.见解析

【分析】先证AEC尸治AEB/,再利用等角对等边即可得证.

【详解】证明：延长力£交。。的延长线于点产，

答案第10页，共15页

DC

尸F

4

AB

•:NB=NDCE=90。,

:.NECF=180°-90°=90°=NB,

DF//AB,

:.NF=ZBAE,

••・E是8c的中点，

EC=EB,

•••AECFWGEBA,

:.AB=CF,

•••力七平分

：2DAE=/BAE=/F,

:.AD=DF=DC+CF=CD+AB即CD+AB=AD.

【点睛】本题考杳了全等三角形的判定及性质，等角对等边以及角平分线的定义，熟记性质

是解题的关键.

20.见解析

【分析】由平行线的性质得乙=进而证明△力得8c=8D从而即

可得证.本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定

及性质是解题的关键.

【详解】解：•；4D〃BC,

ZADB=4EBC,

在和花8c中，

Z.A=Z.BEC

AD=BE

ZADB=4EBC

/\ADBg/\EBC,

...BC=BD

答案第11页，共15页

:.4D+DE=BE+DE=BD

AD+DE=BC:

21.⑴①；

(2)EF=DF-BE；

(3)=180°-1ZDJ5.

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，同角的补角相等，冏角定义，掌握知识

点的应用及正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关健.

(1)延长C4到点G,使4G=。/，连接力G,可判定/(SAS),进而得出

ZBAG=NDAF,AF=AG,再判定△力EFgAXEG(SAS),可得结论；

(2)对于图2,在Z)厂上截取QG=8E,连接4G,先判定△力8七g△力。G(SAS),进而得

出NB4E=ND4G,力£=4G,再判定“MglG/^SAS),可得结论；

(3)如图3,在。C延长线上取一点G,使得。G=8E,连接力G,先判定

“8E式”。G(SAS),进而得出々/汪：二N"G,4E=ZG,再判定尸尸(SSS),

得出NE4E=N£4G,又NE4E+N£4G+/G力尸=360°,所以

2ZFAE+(ZGAB+ZBAE}=360°,所以2/出E+(/6力8+/。力6)=360。，即

2N£4E+/D44=360。，即可得出结论.

【详解】(1)解：如图(1),延长C8到点G,使BG=DF,连接/G,

G

图⑴

在△/BG和△力。/中,

BA=DA

<乙4BG=Z.ADF

BG=DF