一模常考解答压轴题（6大考点）解析版-2025-2026学年九年级数学上学期（沪教版）

一模常考解答压轴题题（6大考点）

考点归纳

考点01特殊三角形、相似三角形的分类讨论

考点02以（特殊）平行四边形为载体的综合考查

考点03以梯形为载体的综合考查

考点04截长补短的常用考法

考点05新定义题

考点06圆综合（与梯形结合、位置关系、平行关系的综合应用等）

考点专练

考点01特殊三角形、相似三角形的分类讨论

1.（2025・上海崇明•一模）已知口△48。中，乙4cB=90。，AC=6,8c=8,CDJ.AB,垂足为。，点、F

是线段CO上一点（不与C、。重合），过点8作4E///交力”的延长线于点与8。交于点“，连接

CE.

品用图

AHBH

⑴求证:

CHEH

（2）当CE4时，求CE的长;

（3）当△07/是等腰三角形时，求CH的长.

【答案】（I）见解析

14

(2)CE=-

97

⑶5或*

【分析】（1）根据题意=/AHC=NBHE,证明即可求证;

（2）根据题意可得则有/CEH=NABH,由CE4/5,得到力〃=4〃，如图所示，作

4

IIGLAB,垂足是G,由勾股定理、三角函数的计算得到力8=10,cos乙48。=1，在RM8〃G中,

1/66

3S/ABC=粤,则有三二金，得到手，再根据生=察，即可求解；

BHBH54ABBH

（3）根据等腰三角形的判定和性质分类讨论：第一种情况：当NCFH=/CHF时,可证平分NO8,

根据角平分线的性质，锐角三角函数即的计算可解得所；第二种情况：当NCH/=N〃C尸时，可得

tanNC"/=tanNC45,则若=线，即£=g，即可求解；第三种情况：当/HCF=NHFC时,结合

CHACCH6

（2）的计算即可求解.

【详解】（1）解：•.•3K_Lzi〃，

/.NAEB=90°,

ZACB=90°,

NAEB=ZACB,

/AHC=/BHE,

:AACHs^BEH,

AHCHAHBH

二.——=——即UI1——=——；

BHEHCHEH

（2）解：•.•卫=坦，NC〃E=N4"B,

CHEH

:ACHESAAHB,

：.£CEH=ZABH,

-CE\\AB,

£CEH=ZHAB,

ZABH=AHAB,

:.AH=BH,

如图所示，作〃G_L<8,垂足是G,

HGLABy

：.BG=-AB,

2

在RtZ\4AC中，JC=6,5C=8,

c4

/.AB=10,cosZ.ABC=—,

;.BG=5,

2/66

在RtA8〃G中，cosZABC=­

BHf

•__5___4

♦.♦iAjLjHl—-",

4

7

:.CH=BC-BH=—,

4

7

,CECHanCE_4

ABBH1025

T

「14

­■•C£=y•

(3)解：若△OF”是等腰三角形,那么NCFH=/CHF或NFHC=NFCH或NHCF=NHFC.

第一种情况：当NCb〃=NC〃尸时，

•••£CFH=/AFD,

/.£CHF=NAFD,

又ACHF+ZCAH=乙4FD+ZFAD=90°,

NCAH=/FAD,

vZJC5=90°,BPAC1BCHQLAB,

CH=HG,

•：AH=AH,CH=GH,

:.AG=AC=6,

BG=AB—AG=4.

在RtZXBHG中，tanZ.ABC=——，

BG

3

HG=4X：=3,即"/=3

第二种情况：当NFHC=NFCH时

ZHCF=/CAB.

£CHF=NC4B,

tanNCHF=tanZ.CAB,

ACBCHII68

CHACCH6

3/66

2

第三种情况：当NHCF=/HFC时,

•/ZCFH=ZAFD，

...NHCF=NAFD,

又UICF+/ABC=/AFD+/FAD=90°,

;.NABC=NFAD

/ABC=/CEA,

/FAD=NCEA,

CE//AB,

由（2）可知，在Rt48〃G中，cosZ.ABC=——，

BH

54

---=—,

BH5

4

77

:.CH=BC-BH=-即CH=-；

4t4

97

综上所述，C〃=3或1或

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形

的性质，锐角三角函数的计算，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法是解题的关键.

2.（2025・上海宝山•一模）如图，已知A/BC中，N4CB=90°,AC=3tBC=2,点E、厂分别在边力C、

ABk（不与端点重合），BE工CF,垂足为点。.

备用图

（1）当CE=1时，求力尸的长：

（2）当=时，求tan/C8E值；

（3）连接环，如果是直角三角形，求这时四边形8C£尸的面积.

【答案】（1）±叵；

7

4/66

(2)y;

44河-80,.,^4713-8

⑶

273

FHEC1

【分析】（1）过/作乖足为点〃，利用等角的三角函数值相等可得二二六二；，

C//oC2

taM=——=-=—,设"/=2x,则力〃=3x,可得CH=4x,所以/C=+C〃=7x=3,求出x值,

AC3AH

再利用勾股定理求出//即可；

（2）同（1）思路，证△FHC9AEC7KAAS）,即可得解；

（3）分两种情况讨论，N4E/为直角或力力必为直角，然后利用相似三角形得出比例线段，设参建立方

程求解即可.

【详解】（1）解：过尸作FH14C,垂足为点〃，

•••BEA.CF,

••.NCO8=90°,

.-.Zl+Z3=90°,Z2+Z3=90°,

Z1=Z2,

FHEC1

tanZl=tanZ2,1---=----=—

CHBC2

taM*2FH

AC~3~~AH

设式〃=2x,则力〃=3x,

AF=y/AH2+FH2=V13X»

CH=4x,

•••AC=AH+CH=3x+4x=3，

3

••・X=—

7

•••AF=AX=^^~

7

（2）解：过/作垂足为点H,

5/66

A

由（1）知，Z1=Z2,

•:NECB=NFHC=900,CF=BE,

双AAS），

:.BC=CH=2,FH=CE,

.-.AH=AC-CH=\,

BC2FH

•••tanJ

~AC~3~7H

2

:.FH=q=CE、

CE1

.-.tanZC5E=—=-；

BC3

（3）解：①当/加加=90。时，如图,

A

v3-3x>0,

x<1,

Z1=Z2,NBCE=NCEF=90°,

△CBES&ECF,

ECCB3-3x2

一=——，即Rrl-----=-----,

EFEC2x3-3x

6/66

解得X=11±2啊

9

Vx<1,

11-2710

・・X=-----------9

9

'S.gBCEF=S"8c-S"旌，

=-1x2rx3c——1x2cx-3.x

22

=3-3x2

44V10-80

27

②用4FE=90。时，如图,

•••Z1=Z2,NBDC=/EDC,

•••AEDCs^CDB，

CDED即。。2=8。小，

~BD~~CD

同理△。跖s△力尸8,得DF2=DE-DB，

CD1=DF~,即CO：。/7,

又•.BEA.CF,

EF=EC,

FEBC2

vtan4=

萧=就=3

，设EF=2x=CE.贝lj/斤=3x,

：AE=AX，

：.AC=AE+CE=[^3+2)x=3,

亚-2

解得x

-3

：•S.O8CM=S&ABC~SqFE

22

7/66

=3-3.x2

4V13-8

=,

3

综上，四边形BCEF的面积为卡、亿一80或4内心

273

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程

的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键.

3.(2025•上海金山一模)已知ZUOE的顶点E在A/BC的内部，点。、点E在直线力C同侧.

(1)如图1,联结4。、BE、CE,若ZUB。和是等边三角形时，点C、点E、点。三点共

线.CE:DE=\.2,求公小S0成的比值；

(2)如图2,联结8。、BE、CE,/.BAC=/.DAE=ZJ°(0<n<90),若4B=AC,4D=AE求NBEC-NDBE的

值(用含〃的代数式表示)；

(3)在等腰三角形/8C中，AB=BC=5,JC=8,AC,点E在高8〃上，点。在“8的延长线上，

联结力E并延长交边4C于点尸，联结。£。力，若NDAE=/ABH,△48。与AB。产相似时，求E”的长.

【答案】(呜

(2)Z.BEC-Z.DBE=n0

⑶或0

61

【分析】(1)过点/作力〃_LC。于点〃，可得AH=®，CH=DE=2a,根据勾股定理求出4C=,

根据△力AC〜△力。上，可以求出冲町二：：

,.ABC/

(2)先证明△/。8gZUEC,得到N1=N2,再证明N8EC=NA4C+N2+N3=〃o+NO8E,即可求出

NBEC-NDBE=n。；

(3)先求出4H=CH=4,N4BH=NCBH,BH=3,①当△/14QS/\D5尸时，证明

Z1=Z2=Z3,进而证明。”=力尸，.•.设//=O/=5k,贝1]力。=6小，根据尸求出

8。=3,防=与，CF=1j.过点尸作FG上4c于点G,求出产G=/,CG=],AG=^,即可求出

636361299

33

EH=——；②当△/吕力s△所加时，则/1=/2,证明/48O=NC8O,即可证明△4?。丝△7^0,即可

61

得到£、“重合，C、尸重合，从而得到E"=()•

8/66

【详解】（1）解：如图，过点力作力，_LC。于点〃,

•••△4QE是等边三角形，

DH=HE=CE,

设DH=HE=CE=a,则/〃CH=DE=2a,

在Rt△力“C中，AC=JAH?+CH?=币。，

3BC和△力。£是等边三角形，

:.AABCS^ADE,

・•・*=(年、毙)2喙

*\丽77a/

(2)解：如图,

ZDAB=NEAC,

^­.AB=AC,AD=AE,

AADBgAAEC,

Zl=Z2,

••・ZBEC=180°-(NEBC+NBCE)

=180°-[180°-(NBAC+Z2+Z3)]

4C+N2+/3

=NA4C+N1+N3

=/f+NDBE

:2BEC-NDBE=n0；

(3)解：•：AB=BC=5,JC=8,BHLAC,

AH=CH=4,/ABH=/CBH,

•••BH=4BC2-CH，=3，

①如图，

9/66

乙4BH=Z1+NDAB/DAE=Z3+NDAB/DAE=NABH,

N1=N3,

当△XBOS/XOB/Z时，Nl=/2,

.•・Z1=Z2=Z3,

•••ZADF=ZDAF,

•••DF=AF>

vZADF=ZDAF,

AU4

vsinN4BH=——=-

AB5

4

sinZ.DAF=—

5

:.设AF=DF=5k,贝lJ/Q=6A,

,:AABDSADBF,

ABDBAD

：'~BD~~BF~~DF

5BD6k

即nil——=——=—

BDB卜5k

1125

•••BD=x-=-----

536

:.CF=BC-BF=—.

36

过点尸作尸GJ_XC于点G,

FG=FCsinZC=—x-=H,CG=FCcosZC=—x-=—

365123659

AG=AC-CG=—.

9

FG

•.tanZE4G=—

AH~AG

11

曳=运

4-61

~9

10/66

解得即=六:

01

②如图，

V乙4BH=ZCBH,

ZABD=NCBD,

BD=BD,

/^BD^^FBD,

AD=FD,

:正、〃重合，C、尸重合，

综上，即==或（）.

61

【点睛】本题为相似三角形的综合应用，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形性质，等边三角形

的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数应用等知识，理解相关知识，根据题意正确添加

辅助线，是解题关键，第（2）步注意分类思想运用.

考点02以（特殊）平行四边形为载体的综合考查

4

4.（2025•上海黄浦一•模）己知平行四边形力ACO中，4B=9,BC=5,sin5=y,0是边力4上一动点，

过点P作QE_LPC,交射线CD于点E,交/C于点〃，尸是尸£上的点，=连接C尸.

（1）求证：NB4C=NPCF；

⑵当“PCSAEFC时，求线段3P的长;

（3）当沁=:时，求整的值.

°AC

【答案】（1）见解析

11/66

（吟

⑶，或上

4

【分析】（1）过点。作CG_L49,垂足为点G,由sin6=w求出CG=4,由勾股定理的出8G=3,AG=6,

J

所以tan/四C=《4=2,由户产=90。，—

AG3PC3

2

得到tanZPCF=tanABAC=§,进而可得出结论：

（2）根据平行线的性质以及角的和差关系证出NPC4=NR?£）,由"PCs陋C,得到N4PC=NEFC,

O

/#尸。=/尸尸。，所以1@11/8尸。=1211/尸产。，求出PG=y,进而可求出3尸的长；

Sy1FH1

（3）过点〃作"Ml48,垂足为点“，根据产A°=三，得到==£，证明出△MPHS.GCP,可得

'dPHc1PH3

注=驾=2，由箓=1可得粤=4,然后分两种情况讨论：①当点尸在线段尸〃的延长线_£时:

GCQjrCrJPC2

②当点尸在线段p〃上时；即可解答.

【详解】（1）解：过点C作CG_L48,垂足为点G,

.\CG=4,

BG=dBC2-CG'=3,

vAB=9,

:.AG=AB-BG=6,

•.•ZAGC=90°,

tanZBAC=,

AG3

vZCPF=90°,—

PC3

2

/.tanZ.PCF=tanZ.BAC=—,

3

•••NB4C=NPCF<90。，

：.NBAC=/PCb'；

12/66

（2）解：过点C作CG_L/〃，垂足为点G,

v四边形488是平行四边形,

/.AB//CD,

NBAC=/ACD,

ZPCF=/BAC,

ZPCF=NACD,

：.NPCA=ZFCD,

•;"PCs^EFC,

ZAPC=Z.EFC,Z.BPC=ZPFC,

/.tanZ.BPC=tanZ.PFC,

CG3

——=—,

PG2

/.PG=-,

3

17

...BP=BG+PG=——；

3

(3)解：过点〃作〃A/_L48,近足为点M,

ZFPC=90°,

£MPH+ZCPG=1800-ZLFPC=90",

又Z.CPG+Z.PCG=90°,

NMPH=Z.PCG,

又/HMP=NCGP=9。。,

.FMPHSAGCP,

.MPMHPH

''GC~~GP~~CP，

..S&//FC__L

•q-a，

JPHCJ

FH1

・•・—-_9

PH3

①当点尸在线段尸，的延长线上E寸，

13/66

,PF2r伯PH1

由正可得否=相

设MH-a,

3

QP=2a，MP=2,AM=­a,

2

38

.,.勿+—。+2+3=9,a=—

27t

ZJM/7=ZJGC=90°,

：44MHs“GC，

MH_2

~AC~~CG~1

3

GP-b,MP=4，AM——b,

2

34

，〃+—〃+4+3=9,b=一,

25

N4MH=N4GC=900,

：A4MHS“GC,

.AHMH_i

"7C~~CG~5'

综上所述桨的值为:或:.

AC75

【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的

性质，掌握以上知识点是解答本题的关键.

5.(2025・上海松江•一模)在矩形4?CO中，力4=8,力。=1().点E、/分别在边力8、8c上，AFA.DE,

垂足为点〃.

14/66

⑴求4厂:的值；

(2)当HF=2EH时,求4月的长；

(3)连接如果〃是等腰三角形，求N£QC的正切值.

4

【答案】⑴]

(2)5

4-8―

(3)§或]或2

AFAB4

【分析】(1)先由矩形的性质证明△AB/S2\O/E,即可得==不=:；

DEAD5

BFAB44

(2)延长DE、CB交于M，设力七=x,由AARFsADAE得一■=--二一，则二一.丫，证明^AEH^MFH

AEAD55

□HAF6AFAD

得亍"=U=2,进而得历尸=2x,BM=-x,再由49〃8M得亦二高力，进而可得关于工的一元二次

HFMF5BEBM

方程，解方程即可；

(3)分三种情况：①当。。=。〃=80寸；②当CO=C〃时；③当O〃=C〃时；根据三种情况分别画图求

解即可.

【详解】(1)解：在矩形中，NB=NADC=NBAD=90。,

AF1.DE.

ZI+Z2=Z2+Z3=90°,

Zl=/3

...△ABFs/^DAE,

又•.48=8,40=10,

15/66

AFAB4

DEAD5

(2)解：延长。£、交于”,

"BFs^DAE，

BFABA

~AE=7D=~5

4

则

...NMEB=NAEH,ZMBE=NAHE=9/，

：d4EHs&MFH,

EHAEc

---=----=2,

HFMF

/.MF=2x,BM=~x>

vAD//BM,

x10

AEAiDn----=-7-

---=----，:!HJ8—x6x,

BEBM~

.-.3?+25x-200=0,

40

解得x=5,x=~—（舍），

J

...月E=5：

(3)解：①当8=。〃=8时，如图,

vAD=10,

：.AH=6,

16/66

•••NEDC+=N1+N2=90°,

ZFZ）C=Z2,

tanz^FPC=tan/2==—=—；

AH63

②当CO=C〃时，

过点C作CN_LO〃，垂足为点G,交AD于N（如图），则〃G=OG,

：.AN=ND=5AN=FC=BF=5,

25

则,

4

二.tan/EDC=tanzfJED==—

JE255：

~4

③当。〃=C〃时，

过点、H作HPLCD（如图），则CP=OP,

:.AH=HF,

DF,则力。=£>产=10,CD=8,

；.CF-6，BF=4,AE=5,

tanzfEDC=tanzfAED=----=—=2.

AE5

【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，锐角三角函数与解直

角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法.

6.（2023•上海杨浦一模）已知在正方形49co中，对角线80=4,点£、少分别在边力。、C。上，

DE=DF.

17/66

备用图

(1)如图，如果NH8F=60。，求线段的长

(2)过点E作EG_L4”,垂足为点G,与BD交于点H.

①求证：瞑*

②没皿的中点为点。，如果*,求售的值.

【答案】(1)。£=26-2应;

(2)①见解析，②器=焉或器4

【分析】(1)如图，连接所交8。尸点易证"E咨ABDRSAS),得8力垂直平分E/L可得

DE=6,EM，由“8尸=60。可得8E=2£W,由勾股定理求出月历=GEM,依据应必+力M=8。=4,求

解即可；

(2)①如图1,过点H作NH〃加交BE于点N,延长EG交BC于点、M,易证△84£^A8b(SAS),可得

/ABE=NCBF,易证NE0W=N&WE得到EM=8七，由NH〃/1。，可证ABHNFBDE,^BME“NHE,

也二"EN=EH_

BDBEBEEM

②过F作PF工BF交BD于P,过E作E0~L8C交8。于/、交8c于0,连接IF,易证△EIHW.FDP,得

到EH=FP,由（1）可知80垂直平分M,得EH=FH,如图，当，在08上时，BH=1,由①可知,

-^7==~»设=3x,则=B/7=4x,EH=FH=3x,□［得tan/HBG=^^=^；=二,设

BEBD4B（jBF4

HG=3m、BG=4m,由HG?+BG，=BH?,解得"?=：,在RtZV/GF中，HG'+GF=HFL解得X=^，

从而可求得”=［;如图，当，在。。上时，4〃=3,由①可知，器=瞿=］设E〃=儿则

GF18BEBD4

HGPFi

BE=BF=4y,EH=FH=y,tanZ//5G=—,设HG=〃,BG=4〃，由HG?+BG?=BH2,解

BGBF4

得"=£亘，在RC〃G尸中，HG2+GF?=HF2,解得蚱粤，代入可得空=?.

1715GF2

【详解】(1)解：如图，连接罚交3。于点M.

由题意可知NBDC=NBDA=45°,

18/66

:,在&BDE和△8。尸中，

DE=DF

-Z.BDA=NBDC,

BD=BD

.•.△BDE知BDF(SAS),

:.QBE=ZDBF,BE=BF,

DE=DF,

.•.3D垂直平分石尸，

•••DM=EM=-EF=—>]DE2+DE2=—DE,

222

'-DE=y/2EM，

•：NEBF=600,

:.ZDBE=ZDBF=30。,

•••BE=2EM,

•••BM=y/BE2-EM2=y](2EM)2-EM2=6EM,

•;BM+DM=BD=4,

•••GEM+£M=4，

解得：EM=2(6—1),

DE=gEM=&2(6-1)=2娓-2近；

BC

(2)①如图1,过点、H作NH〃AD交BE于点、N,延长EG交BC于点、M,

在正方形力8co中，DE=DF,

•••AE-CF,

.•.在石和4CB/中，

AE=CF

NBAE=NBCF,

BA=BC

.­.△3J^AZ?CF(SAS),

ZABE=NCBF,

19/66

•••EG1BF,

••・NCM+/AWE=90。，

•.ZBE+NEBM=90°,

•••ZEBA/=4BME,

:.EM=BE,

•••NH//AD,

:.△B〃NfBDE,2BME〜ANHE,

PHENENEH

~BE~~EM'

EH_PH

EHDH

:.-----=-------

②过F作P尸工B尸交BD于P,过E作£。，灰?交8。于/、交BC于0,连接IF,

•/EG1BF,PFA.BF,

:.EG//FP,

ZEHP=ZFPH,

ZEHI=乙FPD,

在正方形ABCD中DE=DF,

易证E/Q是正方形，

ZE/H=NFDP,

：.EI=FD,

:.㈤H/FDP,

EH=FP,

由（I）可知8。垂直平分£/，

EH=FH,

如图，当〃在08上时，

20/66

/.BH=1,

由①可知,

EHPH_3

~BE~~BD~4

设E〃=3x,则8E=8/=4x,EH=FH=3x,

BD=4,

vAB=2>/2，

,1•BE>AB,

4x>2近，

.•X7---9

2

在RtAPra与RaHGB'p，

-G=gs

BGBF4

设HG=3m,BG=4m,

\HG1+BG1=BH1.

••.（3/zz）'+（4/«）'=1,

解得川=g,

在RtZiHG》中,

-HG2+GF，2=HF'\

3+（一）=（3x）2,

解得工=］或x=g（不合题意，舍去）,

44

"二一G二7

GF4x，4x2，18；

575

如图，当〃在O£>上时,

21/66

•••0/7=1,

：.BH=3,

由①可知，

EHDH1

/.——==-，

BEBD4

设，则=B尸=4y,EH=FH=y,

在Rt△尸尸8与中，

/口“HGPF1

tanZ.HBG-==一

BGBF4

设HG=〃,8G=4〃，

•/HF>HG，

y>n,

HG2+BG2=BH2,

:.n2+（4〃）~=32,

解得什噜

在RtAHGF中,

-HG2+GF2=HF2,

:2

An+（4y-4〃）’=y,

.••15y2-32〃y+17〃2=0,

解得y=冒或y="（不合题意，舍去），

BG_4〃_4〃_I_15

二透二4八4〃=4x型_4「Hi=5，

1515

妗卜乐法

综上所述：定BG二而7或.B行G二》15

【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质的应用，相似三角形的判定和性质的应用、勾股定理和三角

函数解直角三角形；解题的关键是构建相似三角形，运用相似的性质建立等量关系.

22/66

3

7.（2。24九年级下•上海・专题练习）如图,在矩形"。中，颉4皿=屋E是边DC上一动点,“是线

段1延长线上一点，且NE/iF=N4BD,加='与矩形对角线交于点G.

备用图

（1）当点尸与点。重合时,如果4。=6,求QE的长;

（2）当点厂在线段。。的延长线I.,

①求爷的值:

②如果QE=3CA\求/力七。的余切值.

7

【答案】⑴Z

41

⑵①三，②W

JD

【分析】设。E=x，根据矩形的性质即解直角三角形推出CO=/8=8,AE=CE=8-x,根据勾股定理得

到6%=（85,据此求解即可:

（2）①AE交BD于点、M,连接KG,根据相似三角形的判定与性质推出△dMG,

△,"△GM"如—,根据相似三角形的性质得出含条设，。=3%则止4%根据勾

股定理求山。。-5—据此求解即可;

②设ZQ=3a,则CO=48=4a,设C/=x,且。>0,x>0,贝lj£>F=4a+x,根据锐角三角函数得到

8/项）=学哈根据勾股定理求出出屈W，4F=ga）、（4a+xy,根据平行线的性质得出

SGW,根据相似三角形的性质得若噎,进而求出据此即可得解.

【详解】（1）如图，当点尸与点。重合时，设。£=x,

v四边形18"）是矩形,

ABIICD,AC=BD,DG=-BD,CG=-AC,NADC=NBAD=90°,AB=CD,

22

23/66

:"ABD=ZBDC,DG=CG,"="'=嬴2砺=3=8

ZACD=ZBDC,

•.•ZEAF=ZABD,

:.Z.EAF=Z.ACD,

AE=CE=8—.r,

•••ZJDC=90°,

/.AD2+DE-=AE1,

gp62+x2=(8-x)2,

7

/.DE=-

(2)①如图，力£1交3。于点连接EG,

pEC£

/\

由(1)得，NEAF=ZBDC,

4MG=4DME,

AAMGsADME,

AMGM

DMEM

又•••/AMD=NGME,

:AAMDSAGME,

ZADB=Z.GEA,

ZABD=/EAF,

.,.△ABDSAGAE,

.ABAG

BDAE

设AD=3a,则AB=4a,

/.BD=JAB2+AD2=J(44)2+(3“)2=5a,

24/66

.,.设4Q=3a,则CO=/4=4a,设CF=x,且a>0,x>0,则。”=4〃+x,

•:DE=3CF,

/.DE=3x,

.4•cotNAED=—-=T-=—,AE=VAD2+DE2-J(3a)2+(3.r)2=^9a2+9x2AF=>JAD2+DF2=yj(3a)2+(4a+x)2,

AD3aa

'：AB||CD,

..WGFSABGA,

.AGAB

"7G~~DF,

AG4a

[:IJ,——-----=------

.j(3a)2+(4a+x)2-AG4a+x，

04-J(3af+(4“+x)2

・・AU=-------------------，

8a+x

由①得,那

:.5AG=4AE,

.-'8和4+而+疗7*历

+9x2>

8a+x

两边平方并整理得,

(3x-a)(x+7〃)(3/+28ax+7a2)=0,

,/a>0,x>0,

.'.3x—a20,3x'+-28av+la'>0»

二.31-a=0,

工1

■■--=-,

a3

/.CQ\Z.AED=—,

3

即//EO的余切值g.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形

25/66

的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形并作出合理的辅助线是解题的关键.

考点03以梯形为载体的综合考查

8.(2025•上海虹口•一模)如图，在梯形/4CO中，AD〃BC,NBCD=90,，CD=2,E是CO的中点,

AC、BE交于点F,且NACD=2NEBC.

⑴求证：CE=CF；

(2)如果8C=2ZQ,求tan//8C的值；

(3)如果N4BE=N4CB,求丁的值.

DC

【答案】(1)见解析

吗

(3)X^T-5

2

【分析】(1)设NE8C=x,根据题意进行角度计算，得出NCEF=NCFE,即可得证；

(2)延长8E交力。延长线于从求出力。的长度，即可得出tan/4?C的值；

(3)过4作/1M_L8C于设8C=QH=x,AF=k,根据相似三角形和勾股定理，得出结果.

【详解】(1)解：证明：设/所。=”，则4CQ=2x,

•.Z5CD=900,

ZJCD=/BCD-/ACD=90°-2x,/CEF=90°-x,

•：NCFE="BC+ZACB=x+90°-2x=90°-x,

:.KEF=4CFE,

：.C£=CF；

(2)解：延长BE交4。延长线于”,过/作NA/J_8C于A/,

BMC

••・E是CO的中点，AD||BC,

DE=CE,ZH=NEBC

•••NDEH=NBEC,

^DEH泮CEB,

26/66

:.DH=BC=2AD,

•；/H=4EBC,NAFH=NBFC

:.“FH〜ACFB,

CFCB2

:.----=------=—,

AFAH3

:.AC=—CF=—CE=—CD=—,

2242

：.AD=>IAC2-CD2=-,

2

•:BC=2AD,AD=CM,

BM=CM,

:.AB=AC,

4

:.tanZ.ABC=tanZ.ACB=tan/.CAD=—:

(3)解：过力作4W14c于M,

.♦.△ABFfACB,

:AB?=AFAC，

由(2)可设BC=DH=x,AF=k,\)]\\AC=AF+CF=AF+CE=AF+^CD=AF=k+\

^.AB2=AFAC=k(k+\),

•••^AFH〜ACFB,

AHAF

'~BC~~CF

：.AH=kx,AD=CM=AH-DH=(k-1)x,BM=BC-CM=(2-k)x,

-AC2=AD2+CD2,

.-.(A+1)2=(Z:-1)2X2+4,

、"3

x'=------,

k—T

­•AB2=AM2+

/.M+1)=(2-Ar)2.?+4,

：•k+3k—8=0,

27/66

解律人耳口（负值舍去）,

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等，掌

握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

9.（2023・上海青浦•一模）如图1，梯形力8。。中，AD//BC,乙4=90。，AD=2,AB=4,BC=5,M

在边CO上，连接5",BMLCD.

ADADAD

图1图2缶用图

（1）求c。的长；

（2）如图2,作NEMF=90。，ME交AB于点、E,MF交BC于点F,若4E=x,BF=y,求y关于x的函数

解析式，并写出定义域；

（3）在（2）的条件下，若△MCY'是等腰三角形，求4E的值.

【答案】（1）C£>=5

（2）y=1x+2（0<x<4）

⑶4E=0或g或8

【分析】（1）过点。作。尸于点E，证明四边形48。。为矩形，则=DP=AB=4,再根

据勾股定理定理即可求出CQ；

（2）连接8。，先用等面积法求出8M=4,再证明Rl"BO9Rt3M8Q（HL）,从而得出力。=。〃=2,最后

证明根据相似三角形的性质即可求解；

（3）根据△/“6△必€尸可得△“BE为等腰三角形，根据题意进行分类讨论，当点E在线段4?上时，当

点E在4“延长线上时.

【详解】（1）解：过点D作DPL8C于点P,

-AD//DC,4—90。，

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/.ZABC=90°,

•;DP工BC,

：.£DPB=90°,

「•四边形"PO为矩形，

..BP=AD=2,DP=AB=4,

\BC=5,

:.CP=BC-BP=5-2=3,

在Rt^CQE中，根据勾股定理得：CD=dcP?+DP2=432+4?=5.

(2)解:连接8峰,

：

.SARDLcUn=-2BCDP2=-CDBM，,

即5x4=58”,

解得：BM—4,

BD=BD

在RtZ\/BO和RtAMBO中，「OiZ」

AB=BM=4

:.R〔"8OgRlAM8力(HL),

/.AD=DM=2,

:.CM=CD-DM=3,

•••BM1DC,

4CMF