江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.方程%2+2x=0的解是（）

A.丫1=0,%2=2B.Xj=0,x2=-2

C.x=2D.x=-2

2.下列图形：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形.其中，存在互相垂直的对称轴的图形有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

3.某果园2022年水果产量为1（）0/,2024年水果产量为144/,设该果园水果产量的年平均增长率为x,则根

据题意可列方程为（）

A.100（1+2%）=144B.144（1-2x）=100

C.100（1+x）2=144D.144（1-x）2=100

4.若二次函数y=（%-1产一HI的图象与x轴有两个公共点，则,M的值可以是（）

A.-2B.C.OD.2

5.已知。。的半径为1,点〃在CO上.若平面内一点4满足PA=3,则点4与。0的位置关系是（）

A.点4在。。内B.点力在O0上C.点4在。0外D.无法确定

6.若二次函数y=ad+bx+c的图象经过点4（一2,0）,8（2,0）,C（m,n）,则下列选项中，对应的〃的值最

大的是（）

A.m=0,n=—4B.m=1,n=—4

C.m.=­4,n=1D.m=4,n=-1

二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

7.二次函数y=x2+l的图象的顶点坐标是____.

8.命题“直角三角形的外心是其斜边的中点是—命题.（填“真”或“假”）

9.关千x的一元二次方程又2一2%一5二0的两个根是％1.也,则4+3=——■

xlx2

10.点力，B,C在。0上的位置如图，已知乙力。3=68°,则48—乙4=—°.

11.如图，点产在。。内，已知O。的半径为5c〃?，OP-3cm,则经过点尸的最短弦K

为___cm.

12.已知二次函数y=x2+bx+c中，函数值y与自变量x的部分对应值如表:

.V•••-101234•••

1052125

若点4(一3,%)，8(5,及)都在该函数的图象上，则力—Y2,(填“V”或“=”号)

13.若关于x的一元二次方程。-a)2-7=0有两个正实数根，则整数。的最小值是—.

14.如图，在中，4c=90。，AC=4,BC=3.点。是△ABC内切圆的圆心，A

连接力O,则4。=—.

15.如图，已知△A8C内接于。。.AB=AC,作力C的垂直平分线交介于点。,

连接S若C0.若CD〃48,则如C=

16.已知〃，左为常数(aHO),若关于x的不等式a(x-5)(%+1)Vk的解集是一2cxe6,则不等式a(x-

2)(x+4)<Z的解集为—.

三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题8分)

解方程：

(1)X2-2X-1=0；

(2)(x-3)2=(3%+1产

18.(本小题7分)

已知关于x的一元二次方程好—(m+3)x+2m4-2=0.

（1）求证：不论，〃为何值，方程总有两个实数根.

（2）若方程有一个根大于3,求机的取值范围.

19.（本小题8分）

如图，48是。。的直径，弦力。平分乙b4C,过点。的切线交4C于点£求证。E14C.

20.（本小题7分）

如图，要在一幅长80cm,宽50。刀的矩形风景画的四周镶一条等宽的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果

要使整个挂图的面积为5400cm2,金色纸边的宽应为多少厘米？

21.（本小题8分）

已知二次函数的图象过点力（0,8）,它的顶点坐标为（1,学）.

（1）求该二次函数的表达式.

（2）设该二次函数的图象与x轴交于点8,在C的左侧），则△力8C是什么特殊的三角形？说明理由.

22.（本小题7分）

尺规作图：如图，已知线段。，。是直线/外一点，作。。与直线/相交于点48,且＜B=Q.

O.।a

23.（本小题8分）

已知二次函数y=x（x-m）（m为常数）.

(1)若二次函数有最小值一4,求m.

(2)已知点火一2,2),5(4,2),连接若该二次函数图象与线段48有2个公共点，结合函数的图象，直接

写出对应的机的取值范闱.

24.(本小题8分)

已知48,CO是。0的弦，点。与ZB,CQ位置如图所示，AC=BD.

⑴求证为以/CD.

(2)仅用无刻度的直尺作弦CO的垂直平分线，说明理由.

(3)若48=14,CD=40,AB,CO之间的距离为39,求。。的半径.

25.(本小题8分)

如图(1),正方形纸片45C'。边长为G加，。是力。的中点，点、E,“分别在边力8,CO上，扇形纸片

的半径0E=6dm.剪下该扇形纸片，将其围成一个如图(2)所示的圆锥形纸

00

A1

B1—------~]C

(1)⑵(3)

(1)求该纸帽的底面半径.

(2)如图(3),N是母线OM的中点,现要在该纸帽的侧面绕两圈统带，丝带的起点是"，终点是M求丝带

的最短长度.

26.(本小题1()分)

图中是抛物线形拱桥.某日，水文站观测到河水匀速上涨，记录两次数据如下:

时刻水面宽水位变化

AB

6：00/

=20m

CD

18：00上涨37n(相比6：00的水位)

=10m

(1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的函数表达式.

(2)当F1时刻多少时，水面将经过拱顶？

(3)设自当日6：00开始至水面经过拱顶，当水位上张历〃时，水面宽为dm.

①d〃的二次函数.(填“是”或“不是”)

②画出“随力变化而变化的大致图象，标出必要的数据.

27.(本小题9分)

在平面直角坐标系中.对于点。和图形G,给出如下的定义：若图形G上存在点力和点儿使得乙4P8=90。,

则称点尸是图形G的勾股点.如图(1),已知点M(-2,0),N(2,0),连接MN.

⑴①在点。(0,1),E(1,C)，?&?)中，线段"N的勾股点是.

②如图(2),以线段"N为直径作。0,若点。是。。的勾股点，求所有点P组成的区域的面积.

(2)如图(3),将点M,N沿y轴正方向向上平移3个单位长度，得到点AT,N,顺次连接点"，N,N\M：

得到矩形MNMM：若点。是矩形MNVM，的勾股点，请在图中用阴影描出所有点Q组成的区域，无须说明理

由.

参考答案

一、选择题：

\.B

2.B

3.C

4.D

5.C

6.B

二、填空题：

7.(04)

8.真

九5

10.34

11.8

12.>

133

I4./10

15.36

16.-5<x<3

三、解答题：

17.解：(1)7-2-1=0,

移项，得好-2%=1,

等式两边都加1得%2-2%+1=1+1,

配方得：(%+1)2=2,

两边开平方得：无+1=±

解得=-1+涯，x2=-1-/2;

(2)(%-3>=(3%+1/，

两边开平方得：%-3=±(3x+l),

x-3=3%+1或%—3=—(3x+1),

解得％i=-2,x2=

18.[1)证明：•；4=[-(m+3)]2-4x1x(2m+2)

=m2+6m+9-8m-8

=/一2m+1

=(TH-l)2>0,

.•.不论，〃为何值，方程总有两个实数根；

(2)解：vxz-(m+3)x+2m+2=0,

•••(x-2)[x-(m4-1)]=0,

解得：%i=2,x2=m+1,

•••关于x的一一元二次方程/一(m+3)%+2m+2=0有一个根大于3,

m+1>3,

m>2,

二m的取值范围为m>2.

19.证明：连接O。，

•••AD平分4B4C,

Z.BAC=2/.BAD,

,:乙BOD=2Z.BAD,

:.Z.BAC=乙BOD,

AC//OD,

•••CE与。相切于点。，交4c于点E,

/.DE1OD,

••./ODE=90。，

£AED=180°-乙ODE=90°,

DELAC.

20.解：设金色纸边的宽为K厘米，

由题意得：(80+2x)(50+2x)=5400,

整理得：x2+65%-350=0,

解得：与=5,0=-70(不符合题意，舍去),

即金色纸边的宽为5cm.

21解：⑴设该二次函数的表达式为y=Q(X—I)?+奈

将4(0,8)代入，得Q+孕=8,

解得。=一;，

•••该二次函数的表达式为y=-打-1)2+早.

JJ

(2)Z\A8C是等腰三角形.

理由：令一加-1)2+孕=0,

解得％1=-4,x2=6,

.••6(-4,0),C(6,0),

:.GB=4,OC=6,

BC=10,

v>4(0,8),

•••64=8,

AC=V624-82=10,

:.BC=AC,

••.△力员:是等腰三角形.

22.解：如图，先作线段。的垂直平分线，再过点。作OC11于点C,以点C为圆心，Ja为半径画弧，分别

交直线/于点力，R,最后以点。为圆心，04的长为半径画圆，

则0。即为所求.

23.解：(1)•••、=x(%—7n)(m为常数),

•••隆象与x轴的交点为(0,0),(m,0),

.••对称轴为直线X=p

•••二次函数有最小值-4,

吗(卜m)=-4,

解得m=±4；

•••点4(-2,2),8(4,2),该二次函数图象与线段力4有2个公共点,

”(4(4-m)>2'

解得—1<m<^.

24(1)证明：连接如图，

•••AC=BD^

AZ.ADC=乙BAD,

:.ABUCDx

(2)解：OP为C。的垂直平分线.

理由如下：

连接6c交/£>丁尸点，如图，

•••AC=BD^

Z.ADC=乙BCD,

/.PC=PD,

•••GC=。0,

•••点P和点O都在CD的垂直平分线上;

0P垂直平分CD；

(3)解：连接04、OC,OP交AB于E点,交.CD于F点、,如图，设。。的半径为八0E=y,则0/=39—〃

vP01CD,AB//CD,

CP1AB,

:.AE=BE=^AB=7,CF=DF=\CD=20,

在AtZXO力E中，72+y2=r2①，

在Ac△"产中,202+（39-y）2=r20,

由①②得72+y2=2O2+（39-丫产，

解得y=24,

把丁=24代入①得N=72+242,

解得r=25或r=-25（舍去），

即0。的半径为25.

25.解：（1）连接

•.•正方形纸片ABCD边长为6dm,

A,--------

扇形纸片OE/的半径0E=6dm,/

AGE=OF=EF=BC=6dm,/

%.

••.△OEF是等边三角形，/

/./.EOF=60°,/

设纸帽底面圆的半径为八

•••r=1,

答：该纸帽的底面半径为\dm；

(2)连接MN,

尸是等边三角形，点N为中点，

:.MN10E,

v/.EOF=60°,0F=0M=6dm,

•••GN=3dm,

:.MN=V_3dni»

・・•丝带的最短长度为MN的长为6由几

26解：(1)以48的中点为原点，48所在直线为x轴，过原点且垂直于43的直线为y轴，建立平面直角坐

标系，此时，A(-10,0),B(10,0)

18：00时，水位上涨3/〃，CD=10?n,故C。的端点为C(-5,3),。(5,3),

设抛物线解析式为y=Q/+。，把力，C坐标代入解析式得：

rlCOa+c=0

l25a+c=3'

解得卜=一短

1c=4

•••抛物线的函数表达式为y二-4好+4；

(2)拱顶是抛物线的顶点，当乃=0时，y=4,从6：00到18：00,经过12小时，水位上涨36，

因此每小时水位上涨速度为焉=0.25(m"),要使水面到达拱顶(水位需从0〃?上涨到4m),所需时间为卷=

16(小时)，从6：00开始，经过16小时后是6：00+16小时=22：00,因此，当日22：00时，水面将经

过拱顶；

(3)①当水位上张/〃〃时，y=h,

•••h=-^x2+4,

解得x=±5V4-

水面宽d=2|x|=10A/4—九，

••.d不是〃的二次函数，

故答案为：不是；

②当h二0时(6：00时)，d=20,对应点为(0,20)；

当h=4时QK面过拱顶时)，d=L0V~4^4=0,对应点为(0,4),

•••国象是从(0,20)至IJ(4,O)的递减曲线，形状类似开口向左的抛物