陕西省兴平市西郊某中学2025-2026学年高三年级上册2月联考数学试题（解析版）

高三年级2月联考

数学

（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字

笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，请将答题卡上交.

4.本卷主要命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4={"'>6},3={-3,-2,0,1,4},则A08=（）

A.{—3,0,1}B.{-3,4}C.{—3,—2,4}D.{—3,0,1,4}

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式化简集合A，再利用交集的定义求解即得.

【详解】依题意，A={x|xv-«或而8={-3,-2,0,1,4},

所以8={-3,4}.

故选：B

2.已知复数z=""）（3,则复数z的虚部为（）

1

A.-2B.-2iC.4D.2i

【答案】A

【解析】

【分析】利用利用复数的乘除运算求出复数z即可得解.

2+4i

【详解】依题意，复数z=^—=4-2i,所以复数z的虚部为一2.

故选：A

3.已知函数/(力在x=%处的导数为3,则lim十一)-〃"。)=()

A-。2Ax

32

A.3B.-C.6D.

23

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件及函数在K=/导数的定义即可求解.

【详解】因为函数/(“在工=%处的导数为3,

所以r(x0)=lim/■+•)—/5)=3,

'°7ZT0-

所以lim“飞+⑸一小。)，1由小。+可一小。)=、3;

&—o2AA2Ar->oX22

故选：B.

4.设尸为抛物线C:y=o?的焦点，若点PQ2)在C上,则|丹”=()

5917

A.3B.—C.—D.

24T

【答案】D

【解析】

【分析】利用点尸在抛物线上，得到抛物线的标准方程，确定准线方程，利用抛物线的定义，1PF[=].

【详解】依题意，2=0X12,解得。=2,所以C:/=4的准线为),=—：,所以|P/7|=2-：=1，

2888

故选:D.

5.在等比数列｛4｝中，4%,%,29成等差数列，则维&一()

。14

A.!B.-C.2D.4

24

【答案】C

【解析】

【分析[根据等差中项的知识列方程，求得等比数列｛4｝的公比，从而求得"6一"[

14

【详解】设等比数列｛%｝的公比为

由于4%,%,2《成等差数列，

所以2%=44+2〃6，〃7=2〃$+〃6，/=2+%/一。=2,

所以=4应「a/=占=/_g=2.

441

故选；C

6.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知

一木制陀螺的圆柱的底面直径为6,圆柱和圆锥的高均为4,则该陀螺的表面积为（）

A.44兀B.46zC.48兀D.50n

【答案】C

【《祸斤】

【分析】分析该陀螺的表面结构，结合圆柱、圆锥的侧面积公式运算求解•.

【详解】由题意可知：该陀螺的表面有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面，

且圆锥的母线长为斤不=5，

所以该陀螺的表面积为7TX3?+2兀x3x4+7rx3x5=48兀.

故选:C.

7.已知函数/（力=|2'-2|,若不＜占且/（%）=/（%），则2一百+22T2的最小值为（）

A.1B,9C.5+2&D.§-2夜

44

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意得出2内+2'2=4,再利用基本不等式即可求得答案.

作出函数/(6=,一2卜勺图象，如图所示，因为/(5)=/仁)，即|2七一2卜|2向一斗，因为为<%，

由图可知，X)<1,1<X2<2,即2—2，=2'2—2，所以有2"+2“2=4.

2"4x2V|48

当且仅当2r=,即x,=log2-,x2=log2-时等号成立,

9

所以2一项+22~X2的最小值为一，

4

故选：A.

8.已知()<。一/?<5，()<。+夕<兀，0>0,sin(a-/?)=i,sin2«cos2^-cos2«sin2^=—,则

cos%=()

B.

1212

r2>/30-1D.一迥里或W

121212

【]A

【解析】

【分析】利用平方差公式将表达式分解，再由两角和与差的正弦公式可得sin(a+/)=；,根据角的范围

以及正弦函数单调性代入计算可求得结果.

【详解】因为sin2crcos2^-cos2(zsin2^=(sinacos分+cosasin夕)(sinacos夕-cosasin^)=—,

12

即sin(a+〃)sin(a—尸)二」-,因为sin(a-/)=，，所以sin(a+4)=，.

1234

因为且sin(a-8)=：,所以cos(a—0=逑；

233

因为尸＞0,所以a—/?〈£+/7,

若0va+〃<5时，由0<。—+则有sin(a-/)<sin(a+〃),

这与sin(a-Q)=g,sin(a+0)=；矛盾，所以5<a+尸〈兀，

又因为sin(a+/?)=；,所以cos(a+〃)=-1E.

则cos2a=cos[(a+/)+(a-A)]=cos(a+/7)cos(a-/?)-sin(a+/?)sin(a-/)

V152x/2112闻+1

=---------x---------------x—=------------------.

434312

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量〃=(2,-3),〃=(加一1,/«),则()

3

A.去a3b，则〃2二一二

B.若。，贝iJ〃z=-2

C.若|〃|二|b|,则m二一2或3

1(33、

D.若〃7=彳，则向量〃在向量Z?上的投影向量的坐标为—

2124，

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A,通过向量平行的坐标计算公式计算即可：对于B,通过向量垂直的坐标计算公式计算得到

加的值从而判断：对于C,通过向量模的坐标计算公式计算得到/"的值从而判断；对于D,通过投影向量

公式计算即可.

3

【详解】对于A,若。///?,有一3(〃7-1)=2/〃，可得小=一，故A错误；

5

对于B,若〃_!_〃，有a-A=2Q%-l)-3，%=T〃-2=0,可得〃?=-2,故B正确；

对于C,由|”|二|6，有小(m_1)2+,〃2=屈，解得〃?=-2或3,故C正确;

_5

对于D,若m=L有〃=5..-121cib~yu

一5'加=5'由而"丁"一5’

2

2

\_D

可得向量a在向量/?上的投影向量的坐标为-5，故D错误.

2,2;U2）

故选：BC.

10.已知函数/(x)=Acos®x+0)(A>O,0>O,OV0V7i)部分图象如图所示，则下列说法正确的是

B.函数/'（X）的图象关于点信0对称

C.函数/（力在上有最小值

D.直线工=一］是函数/（X）的一条对称轴

【答案】BC

【解析】

【分析】根据图象得到解析式，利用余弦函数的性质逐项判断即可.

最小正周期丁=2x（募+展）=兀,

【详解】由图可知，A=2,函数/（x）

（o=一=2,.，./（x）=2cos（2x+e）.

将点（一工,2〕代入解析式中可得2=2cos

jrrr

:.----（p=2kn^keZ）,解得口=—\-2kn^keZ）,

66

*：0<（p<n,：,（p=—,/（^）=2cosf2x+^-,故A错误.

6k6；

Vf\—=2cos2x—+—=0,

'（6；I66J

・♦・函数f（x）图象关于点（t，°）对称，故B正确.

当工6（0,,）时，2x+—s—/（力w[-2,百），即〃x）最小值为—2，故C正确.

，（兀1c/2兀兀、c（兀）八

*.*f——=2cos----+—=2cos——=0,

,I3）I36）I2）

・・・直线x=—g不是函数/（力图象的一条对称轴，故D错误.

故选：BC.

11.已知数列｛。〃｝的前几项和为S”，an>0,且2S〃="M5，则（）

A.a2=2

B.“q=1”是“数列｛?｝为等差数列”的充分不必要条件

C.若｛%｝为单调递增数列，则0</<2

D.若卬=3,则数列｛（一1）"可｝的前〃（〃为奇数）项和为一当由

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据S“，q的关系，结合等差数列的定义、充要条件的定义、数列单调性的性质逐一判断即可.

【详解】因为2S“二%%+1,所以当〃=1时，2S]=axa2,

因为S1=4，所以24=44，又因为。”>0，所以。2=2,所以选项A正确;

因为2s“=44+|①，

当〃22时，2S〃T=4M②，

①一②得：的=%（%—%）,

因为例>0,所以4+1—4一=2（"22）,

所以数列｛〃”｝奇数项与偶数项分别成等差数列.

若又生=2,因为用一4_]=2（〃22）,

所以数列｛q｝奇数项以1为首项，2为公差的等差数列，

即=]+（女_1>2=2攵-1,

列｛q｝的偶数项以2为首项，2为公差的等差数列，

即〃2A=2+（%—1）・2=2〃，

所以有q=〃，所以数列｛q｝是等差数列；

若数列｛q｝是等差数列，则有。2-4=1，所以有6=1,

因此“q=1”是“数列｛。〃｝为等差数列”的充要条件，所以B错误;

若数列｛4｝为单调递增数列，对于任意〃eN’，都有。角>可，

当"为偶数时，4川一a〃=%>0,

当〃为奇数时，-4-4=2-q>。，

解得0<4<2,所以C正确；

若〃1=3,当〃为奇数时，=3+（左一1>2=24+1,故4=〃+2；

当〃为偶数时，02k=2+（左一1>2=2%故q=/?,

则当〃为奇数时，（T）Z+（T）""a〃+i=—（〃+2）+〃+l=—1,

所以一4+%—。3+%—~%-2+an-\~Cln

/\\、n-\/x3(/?+1)

(-a]+a2)+(-a3+a4)+-•-+(-afl_2+an_})-an=-lx—(n+2)=----------

即当〃为奇数时，凡〕的前几项和为一3（"+1）,所以D正确,

2

故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设函数，（x）=（2x—l）6=%+〃/++牝/，则％=.

【答案】240

【解析】

【分析】根据二项展开式的通项公式计算即可.

【详解】显然4即为d的系数，（2x7）6的二项展开式通式为乙产晨（2X厂（一1）,，

令r=2得％=或".（-1）2=240.

故答案为：240.

13.已知函数/⑺满足"x）=.f（2—x）,且〃力是偶函数，在［0』上有/（x）=2'—l,则〃5）=

【答案】1

【解析】

（分析］根据f（x）=/（2-x）及“X）是偶函数代入可得.

【详解】由题意可知〃5）=/（2_5）=〃-3）=/⑶=/（2_3）=〃-1）=〃1）=2-1=1.

故答案为：1

14.如图，已知A,8是双曲线5=/>0）的右支上的两点（点A在笫一象限），点A关于坐

7T

标原点。对称的点为C,且NABC=—,若直线A8的斜率为一3,则该双曲线的离心率为

【解析】

【分析】作图，取AB的中点M并连接。加，得到NQMZ）=45。，tanNO力用=一3,从而求出直线OW

的斜率•，设A(z，y),3(%,%)，利用点差法得到勺加(8的值，再根据离心率的公式计算即可得结果•

【详解】如图，设直线AB与x轴交于点。，取AB的中点M，连接。M,

由双曲线的对称性可知。为线段AC的中点，则QM〃5C,所以NQMQ=45。.由直线43的斜率

kAPi=-3,得lanNO/W=-3,

tan4()DM+tan-.

4-Q3+1_j_

则直线OM的斜率k0M=tan(NOOM+Z.OMD)===

1-tanZOD/Wtan-1-(_3)xl'

4

U，，一，

设A(%,yJ,3(%,%)，则b\两式相减，得七殳一日萼=0,化简得

X+%

2一一片一夕，即坛M='=_gx(-3)="|

司+工2内一/

2

所以该双曲线的离心率

故答案为：叵

2

【点睛】方法点睛：本题主要用到了点差法，即利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的

方程，并作差.求出两交点的中点坐标和直线斜率的关系，然后再结合题中的相应条件建立等式便可解决问

题.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.在VA8C中，4、B、C分别为边〃、〃、c所对的角，且满足皿"0+生=0.

sinCcosBc

(1)求N3的大小;

（2）若a=l,b=6求VA5C的面积.

【答案】（1）—

3

⑵同

4

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理将边亿为角后，利用特殊角的余弦值及角的范围可得;

（2）先利用余弦定理求得c=l,再利用三角形的面积公式计算即可得.

【小问1详解】

因为网+网=。，所以..（兀二A）-现A：。,

sinCcosBcsinC-cosBsinC

即+浊i=o,sinAf1八

sinA所以----------+2=0,

sinCcosBsinCsinCVcosBJ

又A,6,Cw（0,7T）,所以sinAw0,sinCw0,所以一!—+2=0,

即cosB=--,

cosB2

所以23=幺；

3

【小问2详解】

在VA3c中，由。=1,b=•及/=/+/—为0cosB得,

3=1+c,2—2x1xcx——'J,HPc2+c-2=0»解得c=l或c=—2（舍去）,

\乙）

所以VA3C的面积为S=—dcsinB=—xlxlx—=—.

以2224

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，P4_L平面A8C7Z四边形A8CO为正方形，AP=AB=\,F,E分

别是P8,夕。的中点.

（1）证明：PBLEDx

（2）求平面4OEk与平面ZY7）的夹角.

【答案】（1）证明见解析

（2）60°

【解析】

【分析】（1）由线面垂直得到R4_LA。，结合正方形性质得到线面垂直，得到AO_L依，再由三线合一

得到线线垂直，证明出线面垂走，得到PBJ.ED；

（2）建立空间宜角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，得到两个平面的夹角.

【小问1详解】

:PA平面48c。，ADu平面48CZ）,

・•・PA1.AD,

乂四边形A4CQ为正方形，

故ADSA3,AB,以为平面以B上的相交直线，

・•・AD_1_平面PAB,

■:阳匚平面抬月，

:・ADtPB，

等腰三角形布B中尸是PB的中点，

・•・PB上AF，

VAD"}AF=A,AD,4bu平面A£）EF,

:.。8_1_平面人。石尸，

■:ED（^~Y^ADEF,

・•・PB工ED.

【小问2详解】

平面A8CZ）,48<=平面48。。，

故

易知A8,AD,AP两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系，

如图所示，则4（0,0,0）,尸（0,0,1）,3（1,0,0）,C（l,l,0）,吸1,0）,尸停*），

由(1)得Pg_L平面AOEF，

可得平面ADEF的一个法向量m=PB=(1,0,-1),

设平面PC。的一个法向量。=(x,y,z),

1PC/2=(l,l,-l)-(x,j,z)=x+y-z=0

[PDn=(O,l,-l)(x,y,z)=y-z=0

解得x=0,令y=1得z-l,故。=(0,1,1),

/…〃八〃(1,0,—1)(0,1,1)1

・•・cos("2,n)==\/7=--

帆•同Jl+1xJ1+12

设平面AOE尸与平面PCD的夹角为夕，则cos9=',

2

故。=60。，

・•・平面ADEF与平面PCD的夹角为60°.

22

17.已知椭圆C：与+与=1（。＞/?＞（））的焦距为4百，且椭圆C过点（0,-2）.

a~b~

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线/：＞=5（戈一M与椭圆C交于不同的A,B两点,与x轴交于点。，证明:|AQf+|町2为

定位.

22

【答案】（1）二+工=1;

164

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）求出而得椭圆C的方程.

(2)联立直线/与椭圆C的方程，利用韦达定理计算得证.

【小问1详解】

由椭圆C=+±二1过点(0,-2),得。=2,而椭圆。的半焦距C=2G，则。=病［7=4,

a-b~

所以椭圆。的方程为工+2匚=1.

164

【小问2详解】

<

l2y=x-m/、

由/+4J6消去)'得2厂一2〃--6=0,设4”),6(…),

222

A=4m-8(w-16)>0,则方<32，x]+x2=m,x]x2=^m-S,而£>Q〃,0),

222222

因此IAD|4-1BD|=(^,-AH)4-+(x2-m)+y[=[(^-m)4-(x2-m)]

22

=:[x；+xj—2/z?(.£+.r,)+2〃J]=([(.£+Xy)—2.r「匕—2/n(.r,+.r2)+2/n]

=([tn2-2(；-8)-2m-tn+2tn2]=2(),

所以|4。|2+|以开为定值.

18.小张水果店对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70亳米则大小达标,

着色度不低于90%则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标

的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果.已知小张购在了一批苹果，从中随机抽取200个进行检

验，得到如下统计表格：

直径不小于70亳

直径小于70亳米合计

大小米

光泽

着色度低于90%2050

着色度不低了90%120

合计200

（1）完成上面的2x2列联表，依据小概率值。=0.（X）5的独立性检验，能否认为苹果的大小达标和色泽达

标有关？

（2）小张按苹果的等级用分层抽样的方法从样本中抽取10个革果，再从中随机抽取4个，设X表示抽到

的一级果的个数，求X的分布列和数学期望.

附耿cL.+\(b+d)'其中〃=

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）2x2列联表见详解，有关；

（2）分布列见详解，数学期望为

耕斤】

【分析】⑴由已知条件即可完成2x2列联表，由独立性检验知识可以完成判断;

（2）依据组合的知识、古典概型公式以及期望公式即可求解.

【小问1详解】

2x2歹IJ联表如下：

大小

直径小于70亳米直径不小于70亳米合计

光泽

着色度低于90%203050

着色度不低于90%30120150

合计50150200

零假设为“0：苹果大小达标和色泽达标无关.

根据列联表中的数据，经计算得到/=个需蒜L8>7,879f

根据小概率值。=0.005的独立性检验，我们推断M)不成立，即认为苹果的大小达标和色泽达标有关;

【小问2详解】

按苹果的等级用分层抽样的方法从样本中抽取10个苹果，

则一级果：I。*端=6(个)，二级果：10><蔡=3(个)，三级果：l°x券=1(个)

X的所有可能值为0,1,2,3,4,

C4|C1C4

所以尸1(X=O7)=TCo=一210，p(1x=i7)=C^：o-=—35

。。=2)=等号，叱3)=等哈P(X=4)=3q，

jo/JoJoI一

所以x的分布列为:

X01234

1481

P2

210352114

IA3Q112

所以E(X)=Ox——+lx—+2x-+3x—+4x—=—

'721035721145

19.已知函数/(x)=xln(x+a).

(1)当〃=()时，求的极值;

(2)若/(力存在两个极值点玉,当(玉〈赴)・

(i)求。的取值范围：

4

(ii)证明：--</(x,)<0.

e

【答案】(1)极小俏为一!，无极大值

e

(2)(i)(诃)证明见解析

【解析】

【分析】