新高考数学解答题核心考点预测：恒成立问题与存在性问题（原卷版）

第18讲恒成立问题与存在性问题

高考预测一：不等式的恒成立问题

1.已知函数/*)=〃加(1+K)-弗(1-力+。-\,在点(0,/(O))处的切线方程为y=2x.

(1)求/(x)的解析式：

(2)求证：当xt(-l,0)时，/(x)<x+—：

3

(3)设实数4使得/(幻<。+?对xw(-LO)恒成立，求女的最大值.

2.已知函数/'(%)=4加(一%2+(2。-1)；1,(a..0).

(1)讨论/")的单调性；

(2)若/(x),,0,求。的取值范围.

3.已知函数/(x)=(e')2+(l—4a)er—2aY(a.O).

(1)讨论/(x)的单调性：

(2)若/*)..(),求a的取值范围.

4.已知函数/(x)=--2ar+4(〃-l)/〃(x+l),其中实数a<3.

(I)判断x=l是否为函数八幻的极值点，并说明理由；

(II)若fa，,。在区间［0,1］上恒成立，求a的取值范围.

1

5.设函数/(x)=(x+l)/〃(x+l).若对所有的x..O,都有f(x)..av成立，求实数。的取值范围.

6.已知函数/(x)=a+l)加(x+1),以幻=依产伏为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，g<x)为g(M

的导函数，且g'(U)=l,

(1)求女的值;

(2)对任意x>0,证明：f(x)<g(x)；

(3)若对所有的X..0,都有f(x)..or成立,求实数a的取值范围.

7.设函数f(x)=(2x+V)ln(2x+1).

(I)求函数f(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(H)求/(x)的极小值；

(HI)若对所有的x..0,都有了(口..2任成立,求实数。的取值范围.

8.设函数/0)=犯人.

2+cosx

([)求/a)的单调区间;

(II)如果对任何X..0，都有/([),,ar,求a的取值范围.

2

9.设函数f(x)=ex,g(x)=bvc-2.

(I)证明：g(x)…-J

x

(H)若对所有的x..O,都有/(幻-——..av,求实数a的取值范围.

f(x)

10.设函数/(x)=gd-(1+g/-4仆+244,其中常数a>l.

(1)讨论/(幻的单调性；

(2)若当工.0时，八幻..0恒成立，求a的取值范围.

11.已知函数/*)="一XGR

(I)证明为奇函数，并在/?上为增函数；

(2)若关于x的不等式/(X),,-2x+2〃?-3在(0,+co)上恒成立，求实数机的取值范围;

(3)设ga)=f(〃)-砌口),当x>0时,g(x)>0,求1的最大值.

12.设函数/(x)=—!-(x>0且xwl)

xlnx

(1)求函数/(X)的单调区间;

(2)已知m对任意xe(0,l)成立，求实数〃的取值范围.

x

3

13.设函数/（x）=/nr-or,（awR）

（I）判断函数/0）的单调性；

（H）当hix<a«0,+00）上恒成立时，求a的取值范围;

（III）证明：（1+，）"<式〃€N,）.

n

14.己知函数/（x）=x-lex的定义域是（0,y）.

<1）求函数/（八）在［，〃，/〃+1］（，〃>0）上的最小值；

（2）VXG（0,+CO）,不等式,\/*）>-42+九1-］恒成立，求实数义的取值范围.

15.己知f（x）=av---10/av»h（x）=-x24-（in-2）x+6.

x

（（）若函数在其定义域上是增函数，求实数。的取值范围；

（H）当a=4时，对于任意苦，9£（。，1），均有人（丹）../（工2）恒成立，试求参数/〃的取值范围.

16.已知函数/<（X）=//a+,+at（a是实数）.

X

（I）当。=2时，求函数在定义域上的最值；

（2）若函数/（幻在［1,+8）上是单调函数，求a的取值范围.

4

17.设函数/（,1）=/心+0，awR.

x

（f）当〃=e（e为自然对数的底数）时，求/。）的极小值；

（II）讨论函数g（x）=r。）-：零点的个数；

（HI）若对任意〃＞〃＞0,/（〃?）-/（〃）＜]恒成立,求。的取值范围.

m-n

18.已知函数/（%）=3/-2。。八十（。-2）x,awR•

（I）当a=—l时，求函数/（幻的极值；

（II）当avO时，讨论函数/（幻单调性；

（山）是否存在实数。，对任意的加，，?£（0,转），且〃-〃，有/（'〃）_/（〃）＞々恒成立?若存在，求出。的

m-n

取值范围；若不存在，说明理由.

高考预测二：不等式存在性问题

19.设函数/（x）=4仇r+-云，awR且4H1,曲线y=/（x）在点（1,f（1））处切线的斜率为0.

（1）求〃的值：

（2）若存在X€[l,+00）,使得求a的取值范围.

a-\

20.设函数/（x）=/心।bx,曲线）=/（*）在点（I,/（1））处的切线的斜率为0.

（1）求〃的值；

⑵设8（制=1-'/,若存在,+8）,使得也x）+（2a-l）g（x）＜，一（4WR且。*1）,求。的取值范

2a-\

围.

5

21.已知函数f(x)=—+ahix(a工0,aeR).

x

(1)若a=l,求函数/(幻的极值和单调区间；

(2)若在区间(0,e］上至少存在一点小,使得/(毛)<0成立，求实数a的取值范围.

22.已知函数f(x)=x-altix,^(x)=€R).

x

(1)若a=l,求函数/*)的极小值；

(2)设函数〃(x)=f(x)-g(x),求函数皿x)的单调区间；

(3)若在区间［1,e］上存在一点小,使得(玉)成立，求。的取值范围，3=2.718)

23.(1)若函数/(幻=丁+历：2+cr+4的单调递减区间(-1,2)求〃，c的值；

(2)设/⑴=-山+匕入2以，若/(用在(2,+oc)上存在单调递增区间，求a的取值范围；

323

⑶已知函数/a)=Hnx-⑪-3(awR),若函数y=f(x)的图象在点(2,/(2))处的切线的倾斜角为45。,

对于任意fe［l,2］,函数以力=./+/"，0)+5］在区间(二)上总不是单调函数，求机的取值范围.

24.已知函数/'(幻=笠-+012+(1-/)%,m,a,b&R.

(【)当〃?=1时，若函数/(x)是尺上的增函数，求z=+b的最小值；

(H)当a=l,2=百时，函数f(x)在(2,”)上存在单调递增区间，求〃?的取值范围.

6

高考预测三：恒成立与存在性的综合问题

25.已知函数/（幻=/m-好+・2-1（〃€/?）.

X

（［）当口.0时，讨论/*）的单调性；

（H）设g（x）=f—3x+4.当q时，

4

⑴若对任意也£（0,2）,存在与以1，2］,使/（芭）..8（W），求实数b取值范围.

（乃对于任意％，X2G（1,2］都有"（M）—/（乙）|”/1|,—求2的取值范围.

26.已知函数/（工）=；@^一（24+1»+2/几双〃€/?）.

（I）求的单调区间；

（］【）设g（x）="-x—e2+2,若对任意％e（0,2］,均存在毛£（0,2］使得/（%）v前&），求。的取值范

围.

27.已知函数/（x）=/〃g+guv）+x2-奴（4为常数，fl>0）