高考数学复习：离散型随机变量及其分布列、数字特征（附答案）

离散型随机变量及其分布列、数字特征

一、单项选择题

1.抛掷2枚骰子，所得点数之和记为。那么<=4表示的随机试验结果是()

A.2枚都是4点

B.1枚是1点，另1枚是3点

C.2枚都是2点

D.1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点

2.若随机变量X的分布列为

X-2-10123

P0.10.20.20.30.10.1

则当P(Xv〃)=0.8时，实数。的取值范围是()

A.(-8,2]B.[l,2]

C.(l,2]D.(1.2)

3.设离散型随机变量4的分布列如下表所示：

1-10123

11112

P

1051055

则下列各式正确的是()

A.PQ<3)WB.P(,1)W

2

C.P(2<c<4)=-D.P(f<0.5)=0

5

4.已知随机变量X的分布列为

X123

111

P

236

且Y=〃X+3,若E(K)=-2则a等于()

A.-3B.-2

C.-D.3

3

5.现有3道单选题，学生小明对其中的2道题有思路』道题完全没有思路,有思路

的题答对的概率为士没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为"若每

54

题答对得5分,不答或答错得0分，则小明这3道题得分的均值为()

6.某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队

员比赛一局胜的概率为4,平局的概率为4负的概率为cm6已知他比赛

一局得分的均值为1,则cib的最大值为()

A.iB.—

312

4D.：

7.泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布,由法国数学家泊松首次提出，泊松

分布的概率分布列为尸(X=A)=ge"(A=0,l,2,…)，其中e为自然对数的底数)是泊

松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车

人数X服从参数为2a>())的泊松分布，若该线路某站台的候车人数为2和3的概

率相等，则该线路公交主两个站台各有1个乘客候车的概率为()

e4e4

8.己知随机变量d(i=l,2)的分布列如下表所示:

**

c012

12

p

3Pi3^

若0<〃1<*〃2<*则()

A.E(Q)>E(<2),D(<I)>D(<2)

B.E©)<E(切D©)>D(a)

C.E(<i)>E(ft),D(Ci)<D(C2)

D.E(^I)<£(^2),£>(^I)<£>(<2)

二、多项选择题

9.若随机变量X的分布列为

X123

p0.20.5q

则下列结论正确的是()

A.E(X)=2.1B.£)(X)=0.49

C.E(3X+1)=6.3D.Q3X+1)=1.47

10.(2024•辽宁沈阳一模)右图是离散型随机变量X的概率分布直观图，其中

3。=5/7,2/?=3。,则()

A.〃=0.5

B.E(X)=2.3

C.D(X)=0.61

D.D(2X)=1.22

11.袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小

球，直至取到白球后停止取球，则()

A.抽取2次后停止取球的概率为g

B.停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为总

C.取球次数^的期望为2

D.取球次数j的方差为捺

三、填空题

12.若随机变量X的概率分布列为尸(X=k)=3k=l,2,3,贝ijP(XW2)=.

13.随机变量X的分布列如表所示，若E(X)］，则O(3X.2)=.

X-101

1

Pab

6

14.(2024.新高考I/4)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的

卡片上分别标有数字L3.5.7.乙的卡片上分别标有数字2.468,两人进行四轮比

赛，在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上

数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡

片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的

概率为.

四、解答题

15.(15分)(2021.新高考U,21)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设

一个这种微生物为第()代,经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2

代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个

微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=D=pi(i=0,1,2,3).

(1)己知po=0.4,pi=0.3,02=0.2,“3=0.1,求E(X);

⑵设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方

程ipo+pix+p'd+psx3=x的一个最小正实根，求证:当E(X)W1时,〃=1,当E(X)>1

时,〃<1；

(3)根据你的理解说明⑵问结论的实际含义.

答案：

l.DA表示的是随机试验中4=8的其中一个结果,B,C中表示的是随机试验中

"4的部分结果，而D是代表随机试验中<二4的所有试验结果.

2.C由随机变量X的分布列知P(X<-

1)=0.1,P(X<O)=O.3,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,则当P(X<a)=0.8时，实数a的取值范

围是(1,2].

3cP("3)=X+»行处错误；

P(〈>1)W+|=|,B错误;

P(2<c<4)=P(c=3)=pC正确；

P(«0.5)4+L，D错误.

4.AE(X)=1xi+2xi-3x-=-.vY=aX+3,：.E(Y)=aE(X)+3=-a+3=-2,M〃=-3.

23633

5.B记小明这3道题的得分为随机变量X,则X的所有可能取值为

0,5,I0,15,P(X=0)=(1)2X：=总P(X=5)=禺x:x|x|+(j)2x(=；,P(X=10)=屐x

-x-xi+(-)2x-=—,P(X=15)=(-)2X-=2,所以E(X)=0x—+5x-+10x—+15x

554V57425V7425—100425

_4__37

25-4,

6.B由题意得，比赛一局得分的均值为3xa+1x/?+0xc=l,故3〃+8=1,又。，仇c、E

[0』),故3u+>22V3ab,解彳导ab<上当且仅当3〃二4即〃=三力二工时，等号成立.故ab

1262

的最大值为看

7.D由题意可知P(X=2)=P(X=3),即*”•二*”•,解得2=3,

ofc_Q1Q

所以P(X=A)春气依。/？,…)，从而P(X=1)=#3噎

故该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为P=C)2=亲

8.AE0)=()x1+lxpi4-2x(|-P1)=%%,£皑)=(坟|+lxp2+2x(|-p2)=1仍

由于?”2,所以£©)>£(&).

。©)=(0-1+〃|)2乂1+(l-^+pi)2x/?i+(2-j+pi)2x(|-pi)=(pi-i)2x|+(pi-

;)2xpi+(|+pi)2x(;-pi)=-Pi-+*

同理可得D(C2)=-pl-]2+*

D(<l)-D(<f2)=P2-Pl+抽-0)=(0・pi)(P2+pi+3>O,

•3J

所以。©)>Q(a).

9.ABA选项，由题意得0.2+0.5+q=l,解得q=0.3,故

E(X)=\xO.2+2xO.5+3xO.3=2.1,A正确;B选项Q(X)=(l-2.1)2X0.2+(2-2.1)2XO.5+(3-

2.1)2XO.3=O.49,B正确;C选项,E(3X+1)=3E(X)+1=3X2.1+1=7.3,C错误;D选

项,O(3X+1)=32D(X)=9x0.49=4.41,D错误.

Q+/)+C=1,

10.ABC由题知3a=5b,解得6/=0.5,Z?=0.3,c=0.2,A选项正确;所以

2b=3c,

£(X)=lx0.2+2x0.3+3x0.5=2.3,B选项正确;Q(X)=(l・2.3)2xO.2+(2-2.3)2xO.3+(3・

2.3)2X0.5=0.61,C选项正确;Q(2X)=22.Q(X)=2.44,D选项错误.

ll.BD袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1

个小球，直至取到白球后停止取球，对于A,抽取2次后停止取球的概率为:x:=

。，故A错误;对于B,停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为?+|X：=

10554

亮故B正确;对于C,P(f=l)=|,n<=2)=|x:・P(4=3)Wx：x：=白所以

105541054310

E©=lx1+2x0+3x白=2故C错误;对于D,取球次数己的方差为D(e)=(l-1)2x

5101J/4

1+(2-1)2x^+(3-1)2x9=套故D正确,

12.；由题意知,P(X=1)=；,P(X=2)WM以P(XW2)=P(X=l)+P(X=2)W+：="

263632

(Q+8+*=1,

13.5依题意可得[]6]

-lx-+0xa+lx/?=-,

I63'

1

Q=一

解得1_；所以D(X)=(-l-i)2x|+(0-i)2x*(1守X泻，所以D(3X-

2)=32D(X)=9X1=5.

14.1设每轮比赛中，甲选的卡片上的数字为，，乙选的卡片上的数字为，则每轮比

赛可用数字组(4)表示，其中i=l,3,5,7J=2,4,6,8.当甲选的卡片上的数字为1时，甲

这一轮得()分，所以在四轮比赛中，甲最多得3分,且要得3分,只有一种情形，即

(1,8),(3,2),(5,4),(7,6).

甲得2分,有以下情形：

①当甲所选卡片上的数字为3和5时分别得1分,所选卡片上的数字为1和？时

分别得0分，有(1,6),(3,2),(5,4),(7,8),共1种.

②当甲所选卡片上的数字为3和7时分别得1分,所选卡片上的数字为1和5时

分别得0分，有(1,8),(3,2),(5,6),(7,4);(1,6),(3,2),(5,8),(7,4);(1,4),(3,2),(5,8),(7,6),共3

种.

③当甲所选卡片上的数字为5和7时分别得1分,所选卡片上的数字为1和3时

分别得0分，有

(1,6),(3,8),区2),(7,4);(1,8),(3,6),(5,2),(7,4);(1,4),(3,8),(5,2),(7,6);(1,8),(3,4),(5,2),(7,6)

;(1,6),(3,8),(5,4),(7,2);(1,8),(3,6),(5,4),(7,2);(1,2),(3,8),(5,4),(7,6)洪7种.

综上可知，共12种情况满足四轮比赛后，甲的总得分不小于2.而四轮比赛中的所

有情况共有4!种，

故所求概率为等=：.

4!2

15.⑴解E(X)=0x0.4+1x