预习：复数的概念（学生卷）-高一数学寒假讲义（人教A版）

第10讲复数的概念

6,【学习目标】

1、了解从实数系到复数系的扩充过程和方法.

2、研究更数的表示、运算及其几何意义.

♦【考占目录】

L考点目录1

考点一：复数的基本概念

考点二：复数相等

考点三：复数的几何意义

考点四：复数的模

考点五：复数的轨迹与最值问题

■5【基础知识】

知识点一：复数的基本概念

I、虚数单位，

数，叫做虚数单位，它的平方等于-1,即，=-1.

知识点诠释：

①，是一1的一个平方根，即方程/二一1的一个根，方程/=-1的另一个根是7;

②i可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.

2、复数的概念

形如a+bi(Q/CR)的数叫复数，记作：z=a+bi(a,bwR)；

其中：。叫复数的实部，〃口L复数的虚部，，是虚数单位.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母。

表示.

知识点诠释；

复数定义中，。力£〃容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.

3、复数的分类

对于复数z=c/+6i(〃,b£R)

若h=0,则a+bi为实数，若算0,则a+bi为虚数，若a=0且原0,则a+bi为纯虚数.

分类如下：

实数@=0）

z=a+bi(a,bwR)<纯虚数（a=0）

虚数（bwO卜

徘纯虚数（awO）

用集合表示如下图:

4、复数集与其它数集之间的关系

N至Z呈。呈/?呈C（其中N为自然数集，Z为整数集，。为有理数集，A为实数集，。为复数集.）

5、共枕复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共挽复数.虚部不等于0的两个共

施复数也叫做共扼虚数.

通常记复数z的共扰复数为2

知识点二：复数相等的充要条件

两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：

a=c

如果a,b,c,deR,那么。+4,=c+山o<

b=d

特别地：a+bi=O<=>a=b=O.

知识点诠释：

（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个更数就唯一确定；反之一样.

根据复数。+4与c+小相等的定义，可知在所c,两式中，只要有一个不成立，那么就有“+4九+力

（a,b,c,d£R）.

（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比

较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.

知识点三：复数的几何意义

1、复平面、实轴、虚轴：

如图所示，复数z=a+biA）可用点Z（a/）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面

叫做复平面，也叫高斯平面，X*口叫做实轴，y轴叫做虚轴.

or......."

X

知识点诠释：

实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2、复数集与复平面内点的对应关系

按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点,

有唯一的一个复数和它对应.

更数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数2对内>复平面内的点Z(a1)

这是复数的一种几何意义.

3、复数集与复平面中的向量的对应关系

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对

应的，所以，我们还可以用向量来表示复数.

设复平面内的点Z(〃,6)表示复数z=Q+,向量。Z由点Z(〃,b)唯一确定；反过来,

点Z(d»也可以由向量OZ唯一确定.

复数集C和复平面内的向量。Z所成的集合是一一对应的，即

复数z=a+bi<一~.丁处'—平面向量0Z

这是复数的另一种几何意义.

4、复数的模

没友=a+bi(a,bwR),则向量应的长度叫做复数2=Q+ZH.的模，记作|。+4|.

即lz|=i应

知识点诠释：

①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.

②复平面内，表示两个共枕复数的点关于人轴对称，并且他们的模相等.

【考点剖析】

考点一：复数的基本概念

例I.(2023・全国•高一)若2+("-2)i(aeR)为实数，9-1)+石(beR)是纯虚数，则复数a+〃i

为（）

A.2-iB.l-2iC.2+iD.l+2i

例2.（2023・全国•高一课时练习）设集合4=｛虚数｝,8=｛纯虚数｝,C=｛复数｝，则A,B,C间的关

系为（）

A,ABCBACC.B5DACB

例3.（2023・贵州・沿河民族中学高二开学考试（理））已知复数z=?士竺心+（/-2m-15）i（i是虚数

m+2

单位）

（1）复数z是实数，求实数机的值；

（2）复数z是虚数，求实数〃，的取值范围；

（3）复数z是纯虚数，求实数机的值.

考点二：复数相等

例4.（2023・全国•高一课时练习）当xj为何实数时，复数（，-3x+2）+（y2-2y-3）i等于2?

例5.（2023•上海市宝山中学高二期中）已知复数马=2x+（y-l）i,z?=-4+5i（x,yeH）,若4=22,则

x+y=.

考点三：复数的几何意义

例6.（2023・山西怀仁•高三期末（文））复数z满足（z-l）（l-i）=2i,则z对应复平面内的点的坐标为

（）

A.（0,-1）B.（0,1）C.（2,-1）D.（2,1）

例7.（2023・河南•温县第一高级中学高三阶段练习（理））设：是复数z的共扼复数.在复平面内，复数

z+2与=+2i对应的点关于V轴对称，则,二（）

1i1i

A.-1+iB.————C.----D.——

222222

考点四：复数的模

例8.（2023•河南洛阳一模（理））已知复数2=5皿2+江0$2,则恸=（）

A.4B.3C.2D.1

例9.（2023•全国•高一课时练习）已知复数z的模为10,虚部为6,则复数z为

考点五：复数的轨迹与最值问题

例10,（2023•江苏•金陵中学高三阶段练习）若狂数z满足zS=l，则IN-2”的最大值是

例11.（2023・重庆市实验中学高三阶段练习）设复数z满足|"l|=|z+l|=|z+i|,则2=

H【真题演练】

I.（2023•浙江,高考真题）已知出bwRM+3i=（b+i）i（i为虚数单位），则（）

A.B.。=-1力=3C.a=-\,b=-3D.a=1,/?=3

2.（2023•浙江•高考真题）已知aeH,（1+出"=3+:,（，•为虚数单位），贝此=（）

A.B.1C.-3D.3

3.（2007・北京•高考真题（文））当〃Y1时，豆数z=2+（/〃-l）i在复平面上对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.（2007•全国•高考真题（文））在复平面内，与复数z=-l-i的共扰复数对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.（2007•北京♦高考真题（理）)已知Z1,Z2WC,且=若ZJ+Z2=2,则R—Zzl的最大值是（）

A.6B.5C.4D.3

6.（2007•全国•高考真题（理）)复平面内，若复数z满足|z+l|=|z-i|,则z所对应的点Z的集合构成的

图形是（）

A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线.

7.（2007•全国•高考真题（理）)已知zeC,z+同=2+i,则z等于（）

3D.%

A.B.c

4-4

2

8.（2007•北京,高考真题（理）)当5Vm<1时，复数z=（3〃L2）+（/»-1）/在平面上对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.（2007・海南•高考真题（文））i是虚数单位，i+2i?+3i3+...+8i8=（用。+加的形式表示,

a,bGR）.

10.（2007•全国•高考真题（文））已知实数〃?满足2x2-（2i-l）x+m-i=0,求〃?及x的值.

【过关检测】

一、单选题

1.（2023•上海市大同中学高一期末）己知纯虚数+切2-（4+i）“+3,其中i为虚数单位，则实数加

的值为（）

A.1B.3C.1或3D.0

2.（2023•广东•阳江市第三中学高一期末）已知i为虚数单位，则复数-2+3i在复平面内对应的点在

（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（2023•浙江•高一期中）已知i为虚数单位，复数z=i+i2,则z的共规复数为（）

A.-1+iB.-1-iC.l+iD.1-i

4.（2023,福建省福州格致中学高一期末）设加GR,复数z=（//-2〃L3）+（2/+〃L]）i,若z为纯虚

数，则〃?=（）

A.3或-1B.3C.1•或-1D.g

5.（2023•江苏苏州•高一期末）设i是虚数单位，若复数马=2i,Z2=cose+isin/ewR）,则归一目的最小

值为（）

A.1B.2C.3D.9

6.（2023・全国•高一课时练习）若xi-2i2=y+2yi,x9yeR,则复数x+yi等于（）

A.-2+iB.4+2iC.l-2iD.l+2i

7.（2023・全国•高一单元测试）已知复数z满足z1+4，=5+H，则实数。的取值范围为（）

A.[-4,4]B.[-6,6]C.[-8,8]D.[-12,12]

2

8.（2023•天津西青•高一期末）已知复数2=市

①在复平面内Z对应点的坐标为（1,-I）；

②复数的虚部为-i:

③复数的共挽复数为i-1;

@|z|=V2：

⑤复数z是方程/-2x+2=0在发数范围内的•个根.

以上5个结论中正确的命题个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

9.（2023・全国•高一单元测试）下列关于|（3+2i）-（l+i）］的说法中正确的有（）

A.表示点（3,2）与点（1,1）之间的距离B.表示点（3,-1）与点（2,-1）之间的距离

C.表示点（2,1）到原点的距离D.表示坐标为的向量的模

10.（2023•全国•高一单元测试）下列说法中正确的有（）

A.若awR,则（〃+Di是纯虚数

B.若/一1+任+3'+2）是纯虚数，则实数工=±1

C.若aWO,则z=/—b2+（a+|B|）i（a,〃GR）为实数

D.若a,6cR,且心力，则而

11.（2023・全国•高一课时练习）（多选）若4=-3-4i,z?=（〃2-3川-1）+（〃2wR）,且

4=Z2，则6+〃等于（）

A.4B.-4C.2D.0

12.（2023•黑龙江齐齐哈尔・高一期末）设复数4=6+匕z?=x+W（xjwR）,4/?对应的向量分别

为西，龙；（。为坐标原点），则（）

A.|=2B.若丙//垣，则+y=0

C.若鬲_L区，则平2=0D.若IZ2+4区JL则|今一2”的最大值为3百

三、填空题

13.（2023・湖北•丹江口市第一中学而一期中）复数z的虚部为6,在复平面内复数z对应的向量的模为

2,则复数z=.

14.（2023•黑龙江•望奎县第一中学高一期末）若复数z=-（〃L2）+（〃7+l）i（meR）在复平面上对应的

点位于第二象限，则机的取值范围是.

15.（2023•上海市朱家角中学高一期末）若zwC,且|z|=l