新高考数学解答题核心考点预测：回归分析与独立性检验（原卷版）

第9讲回归分析与独立性检验

高考预测一：回归分析

1.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额,，（单位：亿元）的折线图.

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量』的两个线性回归模

型,根据2000年至2016年的数据（时间变量/的值依次为1,2,…，17）建立模型①:

»=-30.4+13.5];根据2010年至2016年的数据（时间变量/的值依次为1,2,7）建立模

型②：»=99+17.5/.

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

1

2.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,

需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单

位：。和年利润z（单位：千元）的影响，对近8

年的年宣传费用和年销售量F（i=l,2,…，8）数

据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计

附：对于一组数据（％,4），（勺，彩），…，（〃“，

匕），其I可归直线v=a+功,的斜率和截距的最小

£-7）（匕一刃

二乘估计分别为方=『-----------，

力（〃-万门

/=1

a-v-pu.

（I）根据散点图判断y=a+Zu,和_y=c+哪

一个适宜作为销售量），关于年宣传费x的I可归方

程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（I）的判断结果及表中数据，建立），关

于x的回归方程；

（3）已知这种产品的年利润2与X、），的关系为

2

z=0.2>'-X>根据（2）的结果回答下列问题:

①年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值

是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

，年

6()0

580Fi

360

510

3如

500

年宣化协（干兀）

480

»363840424446485052$156

3.长沙某公司对其主推产品在过去5个月的月广告投入可（百万元）和相应的销售额），，（百万元）进行了

统计，其中/=1,2,3,4,5,对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下：

5

£叱£）（£一刃£（叫-记尸

lxZ（吗一记）（州-田23,_对

1=11=1r=11=1；=!r=lr=l

6810.315.8-192.121.6020.463.56

其中吗=%：，i=l,2,3,4,5.

（1）根据散点图判断，，-法多〃与y-ci+d哪一个适宜作为月销售额关于月广告投入玉的回归方程类型？

（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及题中所给数据，建立），关于x的回归方程，并据此估计月广告投入200万元时

的月销售额.

附：对于一组数据（场,片），（的，幽，…，幽，匕）,其回归直线y=a+仰的斜率和截距的最小二乘估

3

2（%-"）（匕-万）

计分别为：6=上匕-----------，a=v-pu.

r=l

‘月HI仲靛万育万元•

3.•・•

2

I

月广告投入加百万元

0---------------------------------------------------------------►

0.5I1.52

4.“绿水青山就是金山银山”；为响应总书记的号召，某市旅游

局计划共投入4千万元，对全市各旅区的环境进行综合治理，并且对各放游量区收益的增加值作了初

步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值，工作人员绘了下面

的频率分布直方图（如图所示），由于操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数

的.

（I）频率分布直方图中各小长方形的宽度相等，求这个宽度：

（II）旅游局在投入4千万元的治理经费下，估计全市旅游景区收量增加值的平均数为多少万元（以各

组的区间中点值代表该组的取值）

（III）若旅游局投入的不同数额的经费，按照以上的研究方法，得到以下数据:

投入治理经费X（单位：千万元）1234567

收益的增加值y（单位：万元）232779

4

请将（II）的答案填入上表的空白栏，结果显示x与），之间存在线性相关关系.在优化环境的同时，旅

游局还计划使全市旅游景区收益的总额至少增加10万元，试估计旅游局应该对全市旅游景区至少投

入多少千万元的治理经费？（答案精确到0.01）

附注：回归直线方程»=+4中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

Z（8-X）（y.-y）^^y.-nxy

b=,=i—---------3,a=y-bx.

衣2

f=l1=1

收益的增加值（万元）

高考预测二：独立性检验

5.为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，8药）的疗效，某机构随机地选取20位患者服用A药，

20位患者服用8药，观察这40位患者的睡眠改善情况.这些患者服用一段时间后，根据患者的日平均增加

睡眠时间（单位：力），以整数部分当茎，小数部分当叶，绘制了如图茎叶图：

■药B药

8730.45789

51.1223456789

9877654332002.167

52103.23

（1）根据茎叶图判断哪种药对增加睡眠时间更有效？并说明理由；

（2）求这40名患者日平均增加睡眠时间的中位数机，并将日平均增加睡眠时间超过相和不超过机的患者

5

人数填入如表的列联表:

超过6不超过用

服用4药

服用8药

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为A,4两种药的疗效有差异？

.K2=n(ad-bc)。

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

nK2..k。)0.010.0050.001

6.6357.87910.828

6.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了1（）0个网箱，测量各

箱水产品的产量（单位：依），其频率分布直方图如图：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50依，新养殖法的箱产量

6

不低于50炫”,估计A的概率;

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

箱产量＜50依箱产量..50奴

旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）.

附：

Pg.k)().0500.0100.001

k3.8416.63510.828

心——niad-bcf——

(a+b)(c+d)[a+c)(b+d)

7.某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人

数均为5（）人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为［80,90）、［90,100）.［100,110）、［110,

120）、［120,130）,由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图：

7

（I）完成下面2x2列联表，你能有97.5%的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实

验有关”吗？并说明理由;

成绩小于100分成绩不小于100分合计

甲班a=____b=___50

乙班c=24d=2650

合计e=___f=一100

（H）现从乙班50人中任意抽取3人，记J表示抽到测试成绩在［100,120）的人数，求J的分布列和数学

期望

附：附二由威粽黑而彼其中〃="〃+

Pg.k。）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.2046.6357.87910.828

8.某线上学习平台为保证老学员在此平台持续报名学习，以便吸引更多学员报名，从用户系统中随机选出

200名学员，对该学习平台的教学成效评价和课后跟踪辅导评价进行了统计，并用以估计所有学员对该学习

平台的满意度.其中对教学成效满意率为。9.课后踉踪辅导的满意率为08,对■教学成效和课后踉踪辅导

8

都不满意的有10人.

(1)完成下面2x2列联表，并分析是否有99.9%把握认为教学成效满意度与跟踪辅导满意度有关.

人数对教学成效满意对教学成效不满意合计

对课后跟踪辅导满意

对课后跟踪辅导不满意

合计

(2)若用频率代替概率，假设在学习服务协议终止时对教学成效和课后跟踪辅导都满意学员的续签率为

90%,只对其中一项不满意的学员续签率为60%,对两项都不满意的续签率为10%.从该学习平台中任选

10名学员，估计在学习服务终止对续签学员人数.

附：2x2列联表参考公式：K2=----------------------,其中〃=a+A+c+d.

(a+〃)(c+d)(a+c)(b+d)

临界俏•:

Pg.k°)0.1000.0500.0250.0100.001

为2.7063.8415.0246.63510.828

9.某校高三数学竞赛初赛考试后，对考生的成绩进行统计(考生成绩均不低于90分，满分15()分)，将成

绩按如下方式分成六组，第一组［90,100)、第二组［100,110)…第六组［140,