天津市某中学2025-2026学年高二年级上册适应性练习二数学试题（解析版）

天津市耀华中学高二适应性练习二数学学科试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分共io。分，考试用时io。分钟.

第I卷（选择题共36分）

一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题的4个选项中，只有一项是

符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.

1.设等差数列的前〃项和为S”，若4=7,§5=25,则弓二（）

A.1B.2C.3D.5

【答案】A

【解析】

【分析】设等差数列｛4｝的公差为d,根据题意，列出方程组，即可求解.

【详解】设等差数列｛为｝的公差为d,因为&=7且S$=25,

q+3d=7

可得L5x4f解得q=L"=2・

5“+cl-25

故选:A.

2.已知｛〃“｝为递增等比数列，其前〃项和为S“，若的=3,S5=13,则牝=（）

11»

A-B.27C.81D.一或81

99

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解即可二

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4,

&=qq=3卜=9

由题意可得八0，解得｛1或〈C，

邑=4（1+4+夕-）=13q=-匕=3

又数列｛4｝为递增等比数列，所以《二，所以％=卬/=k3=81.

k*■

故选:C.

3数列｛%｝满足囚=3,4川=1一丁，则々28=（）

212

A.--B.--C.-D.3

323

【答案】D

【解析】

【分析】利用代入法求出数列前几项可以判断数列的周期性，利用数列周期性进行求解即可.

,I

【详解】因为6=3,an+l=1一一，

an

,12,11f1

所以2333224_1

3~2

因此可以判断该数列的周期为3,

%8=6x9+1=q=3,

故选：D

4.若双曲线。：，一r=1（I>0。>0）的一条渐近线方程为），=3,则。的离心率为（）

A.2瓜B.必C.2D.瓜

6

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件得2=石，再由离心率的计算公式，即可求解.

a

【详解】因为双曲线C:0—/=1e>0,b>0）的一条渐近线方程为_y=瓜,

所以c的离心率为《=£=Ji+0

则2=6=J1+5=瓜,

a

故选：D

5.若1，4，叼，4成等差数列；1,/不打,4,4成等比数列，则三上等于

I1

1-

A---C±--

222D.4

【答案】A

【解析】

【分析】利用等差数列以及等比数列的性质求出等差数列的公差，等比数列的公比，然后计算求解即可.

【详解】若1，0，42，4成等差数列，4=1+34,d=1,

-。2=-1.

又I,",历，方3,4成等比数列，历2=]x4,解得历=2,历=-2舍去（等比数列奇数项的符号相同）.

・%一%二1

**b22

故答案为A.

【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其

一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.

22

6.已知双曲线*■一乐=1（4>0/>。）的左顶点为A，离心率为2,抛物线丁=2〃戈（〃〉0）上一点

利）到其焦点的距离为4.若双曲线的一条渐近线与直线A"平行，则双曲线的方程为（）

22

A.x2-=1B.——y2=1

33

【答案】A

【解析】

【分析】先由定义求出抛物线方程，再由渐近线和离心率求出双曲线方程.

【详解】因为y2=2px（〃>0）上一点到其焦点的距离为4，

由定义可得1+^|=4,得〃=6,所以抛物线方程为），2=I2X.

代入点M，可得加=12,

双曲线左顶点为A（—a,0）,渐近线斜率为±2,

a

由e=2得々=百，直线AM的斜率为砥“=/一,

a\+a

因渐近线与直线AM平行，则1勺用1=2,BPI—|=A/3,

a\-\-a

2]2

两边平方得一^二3,将〃P=i2代入，得大一1=3,解得1+。=2（。〉0故1+。〉0）,

（1+。厂（1+。）

所以a=l,则/，=3c/=3,双曲线方程为f一工_1.

3

故选:A.

7.已知数列｛为｝的前〃项和为S”，且5〃=1%一1（〃£4）.设么=2陛34+1,则

111

------1F…-I=（）

她b2b3--------b,-b.

11

A.--------B.-------

2/2-32/?-1

【答案】C

【解析】

【分析】先根据凡与S”的关系求数列｛g｝的通项公式，再利用裂项相消求和.

3

【详解】当〃=1时，q=5。]-1,工4=2.

当〃N2时,5“亭-1，①，九亭一「1，②

,3、（3、

・••①一②得4=-an-\--atl_x-\,即a”=3c*.

IZ/\/

・•・数列｛qj是首项为2,公比为3的等比数列，

・・・a”=2.3"T.

・・・2=2k）g3&+l=2〃—1.

ItDJ2

111111

八人他b也34_仇1x33x5⑵-3）（2〃-1）

故选：C

8.设函数/（"二八：1"）'二5'”"8,数列｛q｝满足%=/•（%）,且数列｛4｝是递增数列，则a的范围

[a,x>o

是（）

,、,、<13A「13、

A（1,4）B.（3,4）C.--,31D.—,4

【答案】B

【解析】

【分析】由数列递增得到分段函数在两个区间上分别递增，得到对应。的范围，然后由的＞%,求。的范

围，从而得到结果.

【详解】•・•数列｛%｝是递增数列，

・,.当〃£（YO,8］时，/（〃）=（4一々）〃一5单调递增，即4一〃＞0,则々＜4,

当〃£（&”）时，.f（〃）="T单调递增，则

又的＞/,即。"8＞（4-a）x8—5,则。＞27—8〃，则。＞3,

/.〃«3,4）.

故选:B.

9.双曲线。的左右两个焦点为G，鸟，以C的实轴为直径的圆记为。，过匕作。的切线与C交于M,

M在同一支上）两点，且cos/6”=B，则C的渐近线方程为（）

后j

A.y=±-xB.y=±2xC.y=±&D.y=±-x

【答案】D

【解析】

【分析】依据题意可知双曲线的焦点在工轴上，设过£作圆力的切线切点为8,过K作直线MN的垂

35

线，垂足为A，根据已知条件分别求解出加用=5〃-2/，，|N周二］〃，代入双曲线定义

|N周一加用二勿中可得：a=2b,进而求解渐近线方程.

M、N在双曲线的同一支，设过耳作圆。的切线切点为从

所以。8_1,耳可，因为COS/6NE=3＞0,所以鸟为锐角,

5

22

\OB\=a,\OF]\=c,\F]B\=ylc-a=b，

过F?作直线MN的垂线，垂足为A,

由此可得：|伍|=2|0却=2%|"；|=2忸耳|=»,

3.44

设/F、NF?=a,由cosa=《，得sina=g,tancr=—,

\NA\=-a,\NF2\=-af\NF.\=\NA\-\AF]=-a-2b

5r3、

由于|/76|一|77耳|二2〃，得：-a--a-2b=2a,

212/

解得：a=2b,即得：C的渐近线方程为y=±gx.

故选：D

第n卷（非选择题共64分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡上.

10.已知点41,2）在抛物线。：9=2/"上，则4到C的焦点的距离为.

【答案】2

【解析】

【分析】先根据题意求出抛物线的方程，再结合抛物线的性质即可求出.

【详解】由题意知，将点A（l,2）代入抛物线。：），2=2内，可得〃=2,

抛物线C:y2=4x,可知抛物线的准线方程：x=~],

结合抛物线的性质：抛物线上点到准线的距离等于到焦点的距离，即〃=

故答案为：2.

11.已知等比数列也｝的前〃项和为S.,若$2=12,54=18,贝”6=.

【答案】21

【解析】

【分析】根据等比数列的性质进行计算求值.

【详解】因为数列｛〃〃｝是等比数列，所以S2,S「S”S6-$4成等比数列，

因为耳=12,\=18,所以S「S2=6,所以§6—54=3,

所以§6=21.

故答案为：21

12.已知直线3x+y+m=0(6>0)与圆/+),2-2丫-4=0相交于A,8两点，若|A8|=Ji6,则〃?的

值为•

【答案】4

【解析】

【分析[求出圆心到直线的距离，利用勾股定理表示弦长，进而求出用即可.

【详解】由尢2+y一2y一4二0可得不2+()，-1)2=5,

所以该圆圆心为(0,1),半径为r=逐，

,11+w|

所以圆心到直线3x+y+，〃=0的距离d=,==—y=-,

V32+l2M

又因为21,一储二恒同,即2,5-屋=如,解得d二芈，

所以=微0,即|1+讨=5,解得〃2=4或根=-6(由加>0舍去)，

所以,%=4,

故答案为：4

13.数列｛q｝的前〃项和为S”=“2-6〃，则数列｛㈤｝的前10项和同+图+…+|叫=_.

【答案】58

【解析】

【分析】根据句与S”的关系，利用相减法求得明，再根据%确定其各项的正负取值情况，从而可求

M+同+…+%|的值•

[详解】因为数列｛%｝的前〃项和为S"=n2-6/7

所以当〃=1时，q=S]=r-6x1=-5：

当〃N2时，=S“-S”_]=(〃2-6〃)一[(〃-1)2-6(〃-1)]=2〃-7,

又〃1=-5符合上式，所以q二2"-7,〃£N",

所以时，。〃<0，时，an>0,

故同+|七|++|q()|=_q一生一6+〃4+''+4。

(4+4())x7(q+4)x3(14-13)X7(-5-1)X3

----------------------=--------------------5o•

2222

故答案为:58.

22

14.双曲线。：三-1=1(〃〉0力>0)的左、右焦点分别为尸、F2,以尸2为焦点的抛物线

_/=2*(〃>0)与双曲线C在第一象限的交点为尸，若|P周+归囚=2忻图，则双曲线C的离心率大

小为________

【答案】3

【解析】

【分析】根据双曲线的概念和抛物线的概念，以及题干所给条件，列出方程组，求出参数的关系，进而根据

离心率的定义，求出结果.

根据题意可设封日,0,双曲线的半焦距为c,尸(玉)，%)，则〃=2c,

I2/

过片作X轴的垂线/,过尸作/的垂线，垂足为A,

显然直线为抛物线的准线，则

由双曲线的定义及已知条件可知楣摘(加|=4c'即牒苴F=陷

由勾股定理可知|A娟2=需二|?耳『-|^A|2=(〃+2c)2-(2c-a)2=Sac,

又片=45,所以x°=2a,即受一斗二年一聿二=1,整理得3c2—3/=8。。，

a-b-a-c-a~

所以(3c，+a)(c—3a)=0,所以c=3a,

所以双曲线C的离心率为e=£=3.

故答案为：3.

15.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子.他年幼时，在1+2+3+L+100的求和运算中，提出

2、_

了倒序相加法的原理.现有函数=设数列｛可｝满足

2'+夜

4=/（。）+/0+/（升+/（幻+/⑴（卜/N）若存在〃£N*使不等式

川+4〃-2katl+15工0成立，则攵的取值范围是___________

【答案】［9,内）

【解析】

/、（\1

【分析】先计算出“X）的图像关于点成中心对称，利用倒序相加求出知,从而得到

Iz乙）

k>n结合对勾函数的单调性得到求出k的取值范围.

n+\

2T21T2X2

【详解】因为山）+〃〜）=口+声7万二』+春声

2*Q

1,所以f（x）的图像关于点成中心对称.

2r+V2&+2、I，乙）

因为凡二/（0）+/0+/1卜…+/（F）+川），

所以4〃=f(l)+/+…+f+

两式相加得2q=〃+1,所以为二等.

由it2+4/7-Ika+15<0,得〃°+4〃-2〃x+15<0,

2

*ri7、I+4〃+15(〃+1)+2(/?4-1)+1212

n+\〃+1n+\

12

令g(x)=x+l+_--(x>1),

则当1J<26-1时，g(x)在(0,26-1)上单调递减;

当工>26—1时，g(x)在(26—1,+8)单调递增.

1712

又乳3)=3+1+寸=7,所以4所以g(%L=7,

即2的取值范围是［9,+8).

故答案为：［9,内).

三、解答题：本大题共3小题，共40分，将解题过程及答案填写在答题卡上.

16.如图所示，在儿何体A3CDGFE1中，四边形A8CD和均为边长为2的正方形，AD//EG,

4£_1_底面48。。，加、N分别为OG、所的中点，EG=\.

(2)求真线AN与平面CRJ所成角的正弦值；

<3)求平面CDG与平面CFG所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵正

3

⑶拽

5

【解析】

【分析】(1)依据题意建立以4为原点，分别以A8，A。，AE方向为x轴、轴、z轴正方向建立空间直

角坐标系Az,求出MN和平面CFG的一个法向量，计算MN・〃即可得证.

(2)由(1)得直线AN的方向量4N，平面G的一个法向昼4=(1,2,2),设直线AN与平面CFG所

成角为6,则由sin6=cos〃|,A/V即可得解.

(3)求出平面COG的一个法向量〃2,计算kos%,吗卜则由计算结果即可得解.

【小问1详解】

如图，以A为原点，分别以A8，AO，方向为％轴、)，轴、z轴正方向建立空间直角坐标系

由题意可得4(0,0,0),5(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(0,0,2),F(2,0,2),

G(0,l,2),N(l,0,2),

则C尸=(0,—2,2),CG=(-2,-l,2),MN=

,、勺1CF

设平面CTG的一个法向量为“二(%,)"),则＜

[/?)_LCG

77,CF=O-2v,+2z.=0y=z

故＜，明R-'则i，

77]CG=O

令4=2,得q=(1,2,2),

所以＜MN=(1,2,2)[1,-3,1]=1x1+2x(-3)+2x1=0,

\2＞\2J

所以又MNa平面CFG,

所以MN〃平面CFG.

【小问2详解】

由(1)得直线AN的一个方向向量为AN=(1,0,2),平面C/G的一个法向量为勺=(1,2,2),

设直线AN与平面CWG所成角为G,

.八..11x1+0x2+2x215亚

222

'\n；［\AN\Vp7FVl4-2+23加3

所以直线AN与平面CFG所成角的正弦值为好.

3

【小问3详解】

设平面COG的一个法向量%=(&,%，Z2)，由(1)可得8=(—2,0,0),CG=(—2,

CDn、CD

1=0-2x7=0七=0

则<.，故，，即《n

n.lCG小CG=0-2x,-必+2z,=0y：=2z2

令马T，得%=(0,2,1),

|0xl+2x2+lx2|_6_2右

所以cos外,“？=二在+15#+22+22"/丁丁

所以平面CDG与平面CFG所成角的余弦值为撞.

5

17.已知数列｛aj满足％=6,册s=2q,+2"+2(〃£N“).

(1)证明：数列｛表为等差数列，并求数列｛%｝的通项公式;

(2)设'二("+1)%,记数列也J的前〃项和为S”.

2/7+1

(i)求S〃；

(ii)若V"£N'，S“-"3田<0,求胴的取值范围.

n

【答案】(1)证明见解析，an=(2n+l)-2i

40

(2)(i)S=〃・2"7；(ii)m>—.

81

【解析】

【分析】(1)对《5=2a“+2”+2左右同除2向后，结合等差数列定义即可得证，再利用等差数列性质计算

即可得｛〃”｝的通项公式；

(2)(i)借助错位相减法计算即可得；(ii)由题意可得〃z>〃一上--，构造数列％=n--[-

I2J3"I2)⑴

借助作商法可得数列｛g｝单调性，即可求出数列｛。”｝的最大值，即可得解.

【小问1详解】

则=2%+2"、=殳.

由〃向=2%+2-2,2,

2〃+i2“讨2”

即有色―生=2,又4=9=3,

2”+】2〃212

故数列愕为以3为首项，2为公差的等差数列,

则会=3+2（刀-1）=2刀+1,故%=（2〃+1>2”；

【小问2详解】

(〃+l)c/,(〃+1)(2〃+2"

⑴4=r二(〃+)2"，

2774-12/?+1

则S〃=2-2i+3.22+4"+..+(〃+1)・2",

2\=2-22+3-23+4-24++(〃+1〉2日,

则S”一25〃=-S〃=4+(22+23+-+2")—+1)・2向

4(l-2n-1)

=4+1?/_(〃+]).2川=4+2rt+l-4-(z?+1).2,,+,=-n-2H+,»

则5.二小2川

i

(ii)S”—〃八3向<0,即1•/7-2n+1-/7?-3,,+,<0,

n+l

整理得H-]2〃+112

，令C〃=n----

2132

、a十2

1)21)2

n+—•〃+一x—

令@1=2j3J34〃+2

\n+l21，解得〃工二，又〃EN,故〃<2,

1)216n-32

n--n——

2)3J2

则数列匕｝在〃W2时,单调递增，在〃N3时，单调递减,

(1、<2?3843-儿251640

又。2=2--X—=—x一=一,Q=­x—=—

213,227923J28181

故｛q｝的最大值为c=-Y,故用>-Y.

38181

18.已知椭圆G=+4=1（。>〃>0）的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直

crb~

杼的圆与百线工+），-2=0相切.

(I)求椭圆。的标准方程;

(2)设过椭圆右焦点且不重合于8轴的动直线与椭圆。相交于人4两点，探究在x轴上是否存在定点

使得EA•以为定值？若存在，试求出定值和点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y+/=l：(2)定点为(；,o.

【解析】

【详解】分析：(1)根据一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，以椭圆。的长轴为直径的圆与直线

x+y+2=0相切，结合性质,列出关于。、b、。的方程组，求出。、8、c,即可得

结果；⑵设直线y二攵(工一1)(人工0)联立2,一，得

y=k(x-\)

(1+2A:2)X2-4A:2X+2A:2