2026年中考数学总复习寒假训练：第三章 函数（综合训练）解析版

第三章函数(举一反三综合训练)

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分)

1.(2025•陕西西安•模拟预测)在如图所示的象棋盘上，若“帅〃和哪〃所在位置的坐标分别是(0,-1)和(2,-1),

则"炮"所在位置的坐标是()

A.(-3,2)B.(-3,3)C.(-2,2)D.(-2,3)

【答案】A

【分析】本题考查了用坐标表示实际位置，根据已知点的坐标，确定原点的位置，画出直角坐标系，进而根

据坐标系即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键.

【详解】解•：建立平面直角坐标系如图所示：

由图可得，"炮”所在位置的坐标是(-3,2),

故选：A.

2.(2025•甘肃武威・模拟预测)在函数y=泰中，自变量x的取值范围是()

A.x>1B.x>1C.x<1D.x<1

【答案】A

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求自变量的取值范围，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运

用求解.

根据函数、=看有意义，列出不等式求解.

【详解】解：（3函数y二焉有意义，

0X-1>0,解得：x>1,

故选：A.

3.（2025•山东临沂•模拟预测）若一次函数y=kx+b（k,b都是常数，kH0）的图象经过第一、二、四

象限，则一次函数y=bx+k的图象大致是（）

【答案】B

【分析】本题考杳了己知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数解析式判断其经过的象限.因为一次函

数y=kx+b（k,b都是常数，女工0）的图象经过第一、二、四象限，故〃V0.b>0,所以一次函数y=bx+k

的图象经过第一、三、四象限，即可作答.

【详解】解•：团一次函数y=kx+b（k,b都是常数，ZH0）的图象经过第一、二、四象限，

0/c<0,b>0,

即一次函数y=bx+k的图象经过第一、三、四象限，

故选：B

4.（2025•北京西城•期中）如图，点4、B、。在反比例函数y=>0）的图像上，过这三点分别向x轴

作垂线,垂足分别为4、J则△4。4148。83。口的面积&、$2、$3之间的关系为（）

A.Si=S2=S3B.Si<S2<S3C.S3<Si<S2D.Sr>S2>S3

【答案】A

【分析】该题考查了反比例函数y=：（xHO）中人的几何意义，由于4、B、C是反比例函数y二｝（工>0）的

图象上的三点，根据反比例函数比例系数A的几何意义，可知图象上的点与原点所连的线段和坐标轴，和向

坐标轴作的垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=；|k|,是个定值，即可得出结果.

【详解】解：依题意，过双曲线上任意一点与原点所连的线段和坐标轴，和向坐标轴作的垂线所围成的直角

三角形面积S是个定值，

即S=：|k|,

团S3=S2=Si.

故选：A.

5.（2025・辽宁抚顺•一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与％轴交于4、8两点，顶点C的纵坐标为一2,

现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=ax2+瓦x+q,则下列结论正确的是（）

A./)>0B.c>0

C.a—b+c<0D.阴影部分的面积为4

【答案】D

【分析】本题主要考杳了二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象与系数的关系，平行四边形的性质等

知识，解决此题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识点.

根据二次函数的图象与性质和平行四边形的面积进行判断即可.

【详解】解：A、回抛物线开口向上,

(3a>0,

团抛物线对称轴％=-2>0,

2a

助<0,

故选项不符合题意；

B、抛物线y=ax2+bx+。与、釉交点在，轴的下方，

(3c<0,

故选项不符合题意；

C、从图象可知当靠=一1时，y>0,

0a-/7+c>0,

故选项不符合题意；

D、(3抛物线向右平移了2个单位，

团平行四边形的底是2,

团函数的最小值是-2,

同平行四边形的高是2,

向阴影部分的面积是：2X2=4,

故选项符合题意.

故选:D.

6.(2025•天津和平一模)如图，在平面直角坐标系中，。为原点，A0A8是直角三角形，力(4,0),LAOB=90%

LABO=30。，点B在)，轴正半轴，等边△OCD的顶点D(-4,0),点C在第二象限，将4OCD沿x轴向右平移,

得到△00,点。，C,。的对应点分别为。'，C,D'.设。。=%，△O'C'D，与△0AB重叠部分的面积为

S,当点。与点A重合时停止运动.则表示S与/的函数图象正确的是()

DD'Ax

【分析】本题主要考查了平移变换的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，二次函数的性质，三

角形面积等，熟练掌握次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键.根据已知条件求出AOCD和

△04B的相关边长和角度等信息.然后，分不同阶段分析^O'C'D，沿工轴平移过程中与△OAB重叠部分的形

状和面积计算方法，进而得到S与x的函数关系，最后根据函数关系判断函数图象.

【详解】解：①当0<%32时，△。（，。与△OAB重叠部分为如图1,

由平移得：4C‘O'D'=乙COD=60°,

:.OM=。。'•tan乙C'0'D'=%-tan60°=V3x,

••・S=SA00，M=；。。'•OM==yx2,

//

图象为开口向上的抛物线，A选项不符合题意；

②当2V%W4时，△OP'。，与△。4B重叠部分为四边形OO'C'M,如图2,

八y

图2

由平移得：。'。'=。0=4,Z.C'D'O'=Z-CDO=60°,OD'=4-x,

vZ.ABO=30°,

・••/84。=60°=4(?'。'0',

AO'C||AB,

在Rt△D'OM中，OM=ODr•taMC'D'O'=(4-x)tan60°=6(4-x),

S=S四边形00，C，M=ShOfCfD>-SHD'OM=：x4x?一：(4一%)・V3(4—x)=+4\/3x—4V3；

图象为开口向下的抛物线；C选项不符合题意；

则/D'=8-x,且乙C'D'O'=乙BAO=60°,

・•.△4D'N是等边三角形，作NQ104于Q,

AQ=DfQ=^ADf=^(8-x),

:.NQ=AQ-tan60°=y(8-%),

S=SMD，N=(8-x)Xy(8-/)=Y(8-X)2,

图象为开口向上的抛物线，B选项符合题意;

故选：B.

7.(2025•江苏宿迁•中考真题)如图，点4、B在双曲线yi=，(x>0)上，直线4B分别与不轴、y轴交于点。、

D,与双曲线力=m(x<。)交于点E，连接。4、OB,若S-oc=20MB=3BC,AD=DE,则总的值为()

C.-12D.-13

【答案】C

【分析】过点E作EKJ.y轴于点K,过点力作无、y轴的垂线，垂足为G,H,过点8作％轴的垂线，垂足为F,连

接0E,H吃8H,力凡先证明四边形为平行四边形，则8F=证明△力HDCFB(AAS),则AD=BC,

再iE明△EKD=△AHD(AAS),则负£吊。=SMHD»ED：AD：A8：BC=1:1:3:1>则540°必==[SA^OC=

5,由AG||y轴,得到方=方=下则SAAG。=SAAHO=（SAAOC=4,则Sgon=SM。。-5"耳0=1,则可

求SkOEK=S^OED+S&EKD=6=［隹1即可求解七的值.

【详解】解：过点E作EKly轴于点K,过点A作小y轴的垂线，垂足为G,H,过点B作％轴的垂线，垂足为F,

连接。力尸，

•••点4、8在双曲线％=曰（%>°）上，

回S&0AH~S^OBF=小1，

•••8F||y轴，AH||x轴，AG||y轴，

回S&04H=S^AHF=S^OBF=S^BFH，

HSAZ/VF=S&BFH，且^AHFA共底F",

团△力在rH上的高相等,

(MB||FH,

回四边形。”FB为平行四边形，

^BF=DH,

国AHIIx轴，

^Z.DAH=乙BCF,

^Z-AHD=ACFB=90°,

团△/HDdCFB(AAS),

^AD=BC,

团乙EDK=乙ADH,乙EKD=乙4HD=90°,AD=DE,

团AEKD三△AHD(AAS),

团SAEKD=SAAHD，4。=ED,

匹4B=3BC,

^EDiAD-.AB-.BC=1:1:3:1,

^ED=-4AC,

回S^ODE=S^OAD=[SMOC=-x20=5,

回4G||y轴，

胖=竺=，■—

OCDC3+1+15

=X

团S&4G0=SMHO=[SAAOC720=4,

团SMD'=SMOD—SXAH。=5-4=1,

团S^EKD=S^AHD—1，

团S&OEK=S^OED+S&EKD_5+1=6=1|fc2|,

团双曲线为=7（x<0）经过第二象限，

回k2=—12，

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数A的几何意义，平行线分线段成比例定理，平行四

边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握反比例函数有关的“等角、

等线段〃的性质是解题的关键.

8.（2025・浙江绍兴•模拟预测）如图，函数丫=一:。-4）（%+1）的图象与％轴交于4，8两点（A在8的左侧），

与并由交于点C,点P是BC上方抛物线上一点，连接4P交BC于点D,连接力C,CP,记△力CD的面积为Si，△PCD

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，抛物线与不轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知

二次函数的图象与性质是解题的关键.先将部专化为白过点P作工轴的平行线交8C的延长线于点M,得到

S]Au

△PMDfABD,从而得到黑=需将会转化为白利用待定系数法求出直线8。的函数解析式，设点P的

ADABS]AB

坐标为（初一：m2+：^+3）,点M的坐标为GM，—：%M+3），表示出PM的长，进而表示出翳，最后根据二

次函数的图象与性质求得最大值.

【详解.】解.：由题知图

SiAD

如图所示，过点P作x轴的平行线交8c的延长线于点M,

△PMDABD,

PD_PM

A9~AB'

SiAB

对于函数y=-久%-4)(%+1),

令『=0,则有o=一：。-4)(%+i),

解得％i=-1,x2=4,

71(-1,0),8(4,0),

•••AB=5^

令X=O,则有y=-qx(0-4)x(0+1)=3,

C(0,3),

设直线BC的函数解析式为y=kx+b,则有：

「A：、；。，解得｛；［］士

直线BC的函数解析式为y=-^x+3,

4

y=一沁-4)(x+1)=~^x2+)+3,

二设点P的坐标为(m,-：机2+：m+3),点M的坐标为+3),

•*«—-Tn2+：m+3=—：XRC+3，

444

2

•••xM=m—3m,

•••PM=m—(TH2—3m)=~m2+4m,

唠=智瞑7…2)F，

•・T<o,

••・抛物线开口向下，当m=2时，署有最大值，最大值为，

/iDO

即金的最大值为"

315

故选:B.

9.(2025•河南，累河•三模)如图，平面直角坐标系中，4(0,48)，B(4,4V5),点P为4B的中点，将△4。8作

以下操作：①将沿。8折叠，得至必。。8,点P的对应点为点Pi；②将ACOB沿OC折叠，得至

点Pi的对应点为点P2；③将△COD沿。。折叠，得到△EOD,点P2的对应点为点。3…按此规律操作，则点「2025

的坐标为()

C.(一5,3百)D.(-5,-373)

【答案】A

【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形.利用旋转的性质求得点P的坐标为（2,48），LAOB=30°,

点。的坐标为（8,0）,观察图形，每12个一次循环，2025+12=168余9,则点P2025的坐标与「9的坐标相同，

据此求解即可.

【详解】解：见0,4⑹,B（4,4g）,点羊为48的中点,

回点P的坐标为（2,4⑹，tan乙408=券=焉=’,=^42+（473）2=8,

I3Z4CB=30。，点。的坐标为（8,0）,

由折叠的性质得点B的坐标为（5,3遍），

点P2的坐标为（7,V5）,

点P3的坐标为（7,-b），

观察图形，每12个-一次循环，

团2025+12=168余9,

团点「2025的坐标与的坐标相同，

由轴对称的性质，点02025的坐标为（-7,75），

故选：A.

10.（2025•四川乐山••模）新定义：一动点到定直线的最小距离我们称为“亲密距离如图，在平面直角

坐标系％Oy中，直线04的表达式为y=小，直线AC的表达式为3，=一去+2,。。平分乙40C,点8为DC中

点，延长BC使CE=8C,动点尸在平面内运动，恒有8P1PE,点P到直线。。的“亲密距离〃为d,求d的

值是（）

【答案】B

【分析】联立两个解析式，求出A点坐标，令y=0,求出C点坐标，作力尸1OC,OG!■。。，角平分线的性质

结合等积法求出OG的长，进而求出。点坐标，勾股定理求出CD,。。的长，进而求出BC的长，圆周角定理,

得到点P在以C为圆心，BC的长为半径的圆上，过点C作。HJLOD,等积法求出CH的长，得到点P在线段CH

上时，点夕到直线的距离最小，根据新定义，进行求解即可.

【详解】解.：回直线OA的表达式为？=枭，直线AC的表达式为y=-果+2,

联立]y~=—Jx,解得：片呼，

y=_当+2叱1

V3

回4（百,1）,

By=-yx+2,当y=0时，x=2V3»

121c（2心0）,

团OC=2百，

1OC,DG1OC,则：OF=y[3,AF=1,

团0A="042+4户=2,

团OD平分乙40C,

回点。到04的距离等于点。到OC的距离，为DG的长,

团S^AOC=S^AOD+S^c。。，

^■OCAF=-(OC+OA)-DG,即：26x1=(2百+2)•DG,

WG=1，

2

团。在直线4c上，

同当、=学时，—?x+2=萼，

解得：无=空，

皿萼,萼）,

13c（2g,0）,

印标轲商=3-倔。。4（竿）2+（等）、倔

囹。为CD的中点，

I3BC=―,

2

0CF=BC,BP1PE,

（3点P在以C为圆心，8C的长为半径的圆上，

团CP=BC=等；

过点C作C”_LO。，贝lj:Sh0CD=\OC-DG=^OD.CH,

□2^3x^=V6CH,

团CH=越*,

2

回点P在以C为圆心，8c的长为半径的圆上，

回当点P在线段C“上时，点P到直线0。的距离最小，

阳=C"-C昨3"-3+巴

2

故选B.

%

【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆周角定理，正确的求出A、。点的坐标，确定〃点就迹，掌

握新定义，是解题的关键.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)

11.(2025•江苏徐州•模拟预测)如果点P(m+1,8-2m)在第四象限，则m的取值范围是.

【答案】m>4.

【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数.

【详解】团点P(m+1,8-2m)在笫四象限，

(m+l>0

困，

(8-2m<0

解得m>4,

故m的取值范围是m>4.

故答案为：m>4.

【点睛】本题考查象限点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键.

12.(2025・安徽池州•模拟预测)若函数y=(m-3)x2-4x+2的图象与亢轴只有一，个交点，则m的值

为.

【答案】3或5

【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，一次函数的性质，分两种情况：当m-3=0,即m=3时,

此时为一次函数：当加-300时，此时为二次函数，由此计算即可得解，熟练掌握二次函数的性质，采用

分类讨论的思想是解此题的关键.

【详解】解：回函数、二(爪一3)/-4工+2的图象与.丫轴只有一个交点，

回当m-3=0,即m=3时，函数为、=-4%+2,此时为一次函数，该函数图象与x轴只有一个交点，

当m-3工0时,此时为二次函数，令y=0,贝ij(zn—3)x2—4x+2=0,此时△=(-4)2—4x(m—3)x2=

0,

解得？n=5,

综上所述，利的值为3或5,

故答案为：3或5.

13.某快递公司每天上午9:30-10:30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快

件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间》（分）之间的函数图象如图所示，那么从9:30开始,

经过,.分钟时，当两仓库快递件数相同.

【分析】本题考查了由函数图像获取信息，待定系数法求函数解析式，利用待定系数法分别求出甲、乙两仓

库的快件数量y（件）与时间》（分）之间的函数关系式，再求出两直线的交点即可得到答案.

【详解】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间工（分）之间的函数关系式为力=人6+打,

；仇=40

根据图象得,160kl+瓦=400'

ki=6

解得:

仇=40

:，%=6%4-40,

设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为%=公X+尻，

b2=240

根据图象得,f

60k2+b2=0

k=-4

解得:2

b2=240'

y2=-4x+240,

联立国U"，

x=20

解得:

y=160'

••・经过20分钟时，当两仓库快递件数相同,

故答案为：20.

14.（2025•广西•一模）如图，将一块等腰直角三角板的一条直角边8c放置在无轴上，反比例函数y=：的图

象经过点力(2,6),交斜边AC于£点，则力£=

【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数图像的交点问题，解题的关键是结合题意，利用待定系数法求

出反比例函数和一次函数的解析式.

先求出反比例函数的解析式y=9,结合图形求出点C坐标(8,0),利用待定系数法求出直线力。的解析式为：

y=-x+8,联立反比例函数y=?和直线4:：y=-x+8,即可求出两个图像的交点，从而得到点E的坐

标，再构造直角三角形，利用勾股定理求解即可.

【详解】•.•反比例函数y=3过点”(2,6),

k=2x6=12,

反比例函数解析式为y=?,

又依题意可得C(8,0),

设直线力C的解析式为y=kx+b,

•••直线过力(2,6),C(8,0),

(6=2k+b

二1。=8k+b'

.*=T

,(=8，

•••y=-x+8,

联立方程组得f,

(y=t+8

解得:

••T(2,6),

•••E(6,2),

如图，构造RtZkAED,

°\kB9x,4。=6-2=4,DE=6-2=4,

AE=,4?+42=V32=4\/2.

故答案是：4\/2.

15.(2025•河南省宜辖县级单位•一模)如图，在平面宜角坐标系中，抛物线、二%2一2%一3与方轴交于点

4,与)，轴交于点从该抛物线的顶点为C点P为该抛物线上一点，其横坐标为〃?.当m＞。时，设该抛

物线在点B与点P之间(包含点B和点P)的部分的最低点和最高点到x轴的距离分别为d、〃，当d-九=1

时，则〃?的取值范围为

(答案】1WmW2或m=1+\/7

【分析】本题考杳了二次函数的最值，函数的增减性与最值，掌握二次函数图象的性质，数形结合思想是解

题的关键.

过点8作8EII”轴交抛物线于点E,分三种情况讨论：①当点P在点8和点。之间时，②当点。在点C和

点E之间时，③当点P在点E上方时，分别根据d-n=l列式求解即可.

【详解】解：过点3作BEIIx轴交抛物线于点E,

Hy=%2—2x—3=(%—I)2—4,

回抛物线对称轴为％=1,顶点坐标为。(1,-4),

回点七与点4关于对称轴％=1对称，E(2,-3),如图所示：

①当点尸在点打和点。之间时，即UWmCl时，抛物线在点8与点P之间的部分最低点为点P,最高点为

点8,

回d=\m2—2m—3|=-m2+2?n4-3,n=|-3|=3,

团d—7i=1,

0（-7n2+2m+3）—3=1,

解得：m=l（不合题意）；

②当点P在点。和点E之间时，即lWznW2时，抛物线在点8与点P之间的部分最低点为点C,最高点为

点B,

回d=4,n=3,

-n=1符合题意，

ai<m<2,

③当点。在点上上方时，即m>2时，最低点为点C,最高点点P,

团d=4,n=|TH2-2m-3|,

0d-n=1,

圆n=3,

0|m2-2m-3|=3,

0m2—2m—3=—3或病—2m—3=3,

解得：m=0或m=2或m=1±、/7,

Bm>2,

Om=1+V7.

综上所述，〃?的取值范围为1<m<2或m=1+V7.

16.（2025・江苏无锡•二模）如图，平面直角坐标系中，直线y=+与x轴交于点4与），轴交于

点B,P（3,2V3）,点E在线段A8上，点/在A右侧的x轴上，且乙EPF=60。，则4P力尸=°；连接EF,

则。〃的最小值=.

O\A\FX

【答案】602V3

【分析】过点P作P，lx轴于点从连接P8,求出PH=2V5,力，=3-1=2,得tan/P”=2=V5,

AH

/.PAF=60°；求出。8=6，WtanzF/40=—=V3,/-BAO=60°,证明△48P三△4HP(SAS),得PB=

OA

PH,Z.ABP=Z.AHP=90°,用证明APBE三APHF(ASA),得PE=PF,△PEF是等边三角形，得EF=PF,

由PF>PH=2d5,得EF的最小值为2，5.

【详解】解：过点P作PH1”轴于点H,连接PB,则NAHP=90。，

0P(3,2V3),

0Hi：3,O),

0P/7=2V3,

对),=-V3x4-V3,

令y=0,

则-债+6=0,

解得％=1，

团4(1,0),

0/1//=3-1=2,

0tanz.Pi4F=—=V3,

AH

^/.PAF=60°；

对)，=-V3x4-旧，

令x=0,

则y=V3,

0F(O,V3),

回。8=百，

004=1,

团tanz_R4。=—=V3,

OA

回乙BAO=60°,

^BAP=180°-Z.BAO-Z.PAF=60°,

^BAP=Z-PAF=60°,

团4B=，。42+o"2=2,

MB=AH,

团力户=AP,

^ABP/IHP(SAS),

团P8=PH,Z.ABP=/.AHP=90°,

+Z.AHP=180°,

回4BAH+乙BPH=180°,

^Z.BAH+/-BAO=180°,

QUBPH=/.BAO=60°,

^BPH=乙EPF=60°,

0ZFPE+乙EPH=乙HPF+Z.EPH=60°,

团乙BPE=乙HPF,

(21APBEPHF(ASA),

团PE=PF,

0APEF是等边三角形，

0FF=PF,

0PF>PH=2V3,

(3ET的最小值为

故答案为：60：2百.

【点睛】本题考查了一次函数综合即，熟练掌握一次函数的图象和性质，等边三角形的判定和性质，全等三

角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题，构建方程解决问题.

三、解答题（本大题共8小题，满分72分）

17.（6分）（2025•山东潍坊・中考真题）如图，已知菱形4BCD的顶点在方格纸的格点上，其中4B,C的

坐标分别为（0,1），（-2,4）,（-4,1）.该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）.

⑴画出平面直角坐标系，并写出对称中心G的坐标和点B的对应点的坐标；

⑵将菱形48CC平移，使点C的对应点为点8,画出平移后的菱形.

【答案】（1）见解析，6（0,-1）,"（2,-5）；

（2）见解析.

【分析】本题考查了坐标与图形，建立平面直角坐标系，作图一一平移变换，中心对称，掌握知识点的应用

是解题的关键.

（1）根据儿B,C的坐标分别为（0,1）,（-2,4）,（-4,1）建立平面直角坐标系即可，找出对应点即可求对称

中心G的坐标和点B的对应点"的坐标：

（2）根据平移的性质即可求解.

【详解】（1）解：如图，建立平面直角坐标系,

团对称中心G的坐标是（0,-点5的对应点夕的坐标是（2,-5）；

（2）解:画出平移后的菱形,如图所示.

18.（6分）（2025•陕西汉中•一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2%+b（b为常数）与％轴、y轴

分别交于点46（0,2）,且与反比例函数y=§（k为常数，且ZTO,X>0）的图象交于点8（l,a）.

⑴求反比例函数的表达式;

(2)点Q在反比例函数y=：(%>0)的图象上，点E的坐标为(2,0),连接。8、AQ.EQ,若S^EQ=25&。/8，

求点Q的坐标.

【答案】(l)y=：

⑵制)

【分析】本题考查了一次函数与反比例函数，求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，反比例函数的几

何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先求出一次函数的解析式，再得出8(1,4),然后代入y=：进行计算，即可作答.

(2)先求出M(—1,0),得?1。=1,则SAOABWxAOxyB=2,因为S&/.EQ=2s人得S—EQ=4,整理得4E=3,

再把数值代入S-EQ=^xAExy=4,进行计算，得最后代入反比例函数y=士进行计算，即可作

Z0oX

答.

【详解】(1)解：(3直线y=2x+b(b为常数)与不轴、y轴分别交于点A、6(0,2)

(3把C(0,2)代入y=2x+b,得2=2x0+小

解得b=2,

0y=2x+2,

把点8(1,a)代入y=2%+2,得Q=2x1+2=4,

即8(1,4),

依题意,把8(1,4)代入y=

得4=p

解得k=4,

13y=%

(2)解：由(1)得y=2x+2,B(l,4),y=^

依题意，令y=0,MO=2x+2,

解得力=一1即力(-1,0),

团40=1,

则SAOA8=2xAOxye=-xlx4=2»

团S“EQ=2s△0AB，

但SMEQ=2X2=4，

团点E的坐标为(2,0),

团4E=2—(-1)=3,

则SAAEQ=x4FxyQ=1x3xyQ=4,

解得%=p

田点Q在反比例函数y=:的图象上，

■=2,

3xQ

圾=

回点Q的坐标为(|5).

19.(8分)(2025・贵州遵义•一模)一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀

期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮.某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学

习：

K素材某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9

万元.

K素材2》某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天

售出200本.经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本.

问题解决：

(1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？

(2)根据素材2,使每天销量达到400本时，应降多少元？

⑶根据素材2,商家每天固定成本为300元(如房租、水电、人工等)，在进价、成本、售价与销量关系不

变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？

【答案】⑴30%

(2)5

⑶售价为23.5元时，每天最大利涧为3310元

【分析】(1)设从7月28H到7月30日票房收入的平均增长率为X,依素材1列方程求解即可；

(2)设应降y元，依素材2可列方程求解；

（3）设售价为〃?元，每天利润为W元，依素材2,可得卬关于抑的二次函数关系，根据二次函数的性质即

可求

本题考查列一元一次方程和一元二次方程解应用题，以及二次函数性质的应用.

【详解】（1）解：设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x,

依素材1，可得:10（1+x）2=16.9,

解得％1=0.3,x2=-2.3（不合题意，舍去）.

答：从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为30%.

（2）解：设应降1y元，依素材2,可列方程200+40y=400,

解得y=5.

答：应降5元.

（3）解：设售价为加元，每天利润为卬元，依素材2,可得：

W=（771-14）（200+40（28-?7i）]-300

=-40/n2+1880m-18780

=-40（血一23.5尸+3310,

当?n=23.5时，W取得最大值为3310.

答:售价为23.5元时,每天最大利润为3310元.

20.（8分）（2025•福建•中考真即）若关于％的函数y,当《一14工工1+1时，函数y的最大值为M,最小

值为N,令函数九二?，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数

⑴①若函数y=2025%,当t=2时，求函数y的"共同体函数"九的值；

②若函数、=心:+匕（k手0,k,b为常数），求函数y的“共同体函数〃，九的解析式；

⑵记函数y=-x2+4x-k的最大值为P,请问是否存在实数匕使得函数y的"共同体函数"/i的最小值等于

P.若存在，求出上的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）①九-2025；②九一[2嬴:：

⑵存在，k=l

【分析】（1）①£=2时，1WXW3,利用y=2025%的性质求解最大值和最小值，即可得解；

②按照k>0和k<0分类讨论，利用y=々％+b的性质求解最大值和最小值，即可求解：

（2）分£工1、1<士工2、2Vt<3、t工3四种情况讨论，分别利用二次函数的性质求出〃的最小值，解方

程即可得解.

【详解】（1）解：①£=2时，1<%<3,

团y=2025%,

由随工的增大而增大，

团％=1时，N=2025,%=3时，M=3x2025=6075,

M=当仁2025；

②0y=kx+匕，t-1<x<t+l,

回当k>0时，y随工的增大而增大,

%=t-1时，N=kQ-1)+b,x=t+1时，M=k(t+l)+6,

eM-N.

B/i=---=k,

2

当AV0时，y随x的增大而减小,

以二1-1时，M=k(t—1)+b,%=t+l时，N=k(t+1)+b.

=-k

k(k>0)

综上，h=-k(k<0);

(2)解：[3y=-x2+4x-k=—(x-2)2+4—/c,

0%=2时，P=ymax=4—k.

①当t4-1<2即t<1时,

0t-l<x<t+l<2,

回％=t+l时，M=-Q—l)?+4—k.

x=t-1时，N=-Q-3)2+4-k,

0/i=如W=4—23

酰=1时，hmin=2：

②当t-l工2即tZ3时,

02<t-l<x<t+l,

(?lx=t-1时，M=-(t-3)2+4-k,

x=t+1时，N=—(t—l)2+4-fc,

[Uh=—=2t-4

0t=3时，hmin=2:

③当1V£W2时，x=2,M=4—k,

x=t-l时，N=-（£-3）2+4-Z,

0/i=1（t-3）2,

酰=2时，hmin=1：

④当2Vt<3时，，x=2时，M=4—k,

x=t+1时，N=-1尸+4-k,

（3h=1（t-l）2,

吗<h<2,

团2>-,

2

团最小值为《

团p=4—k=；,

2

龈=:符合题意.

【点睛】本题考查了函数新定义，要掌握一次函数，二次函数的性质，难点在于分类讨论时，，的取值范围

的取舍.

21.（10分）（2025•四川眉山•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线h：y=krx十匕与反比例函数y=§

的图象交于A，3两点（点A在点3右侧），己知点A的坐标是（6,2）,点8的纵坐标是-3.

yjk

⑴求反比例函数和直线4的表达式；

⑵根据图象直接写出+h<当的解集；

⑶将直线加y=k1x+b沿y轴向上平移后的直线I?与反比例函数y=g在第一象限内交于点C,如果△ABC

的面积为15,求平移后的直线h的函数表达式.

【答案］(l)y=?；y=^x-l

(2)0<x<6或“<-4

(3)y=1x+2

【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标

特任，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积.

(1)将点(6,2)代入y=0,求出反比例函数的表达式；可求出B点坐标，再将A,3两点的坐标代入":y=

hx+b,利用待定系数法求出直线匕的表达式；

(2)找出••次函数落在反比例函数图象下方(含交点)的部分对应的自变量x的取值范围即可；

(3)设直线匕与工轴交于点E,平移后的直线G与％轴交于点。，连接则E(2,0),依据CDIIAB,即

可得出△43C的面积与△A3。的面积相等，可求得。(-4,0),即可得出平移后的更线的函数表达式.

【详解】(1)解：团反比例函数的图象过点A,点4的坐标是(6,2),

团2=枕，即七=12，

6

(3反比例函数的表达式为y=苫，

回反比例函数y=?的图象过点8,8的纵坐标是-3,

回y=-3时，％=-4

05(-4,-3).

把点A(6,2),8(-4,-3)代入y=Aix+b得:

6k，+b=2k1=W

-也+解"

5=-3'.b=-1

团直线的表达式为y=-x-1；

(2)解：观察图象得：当0cx$6或不三-4时，一次图数的图象在反比例图数图象的下方(含交点)，

0^1%+b<勺的解集为0<%W6或x<-4；

(3)解：如图，设直线。与x轴交于点£,平移后的直线。与工轴交于点。，连接力则£(2,0),

ECDIIAB,

团△/BC的面积与△/8D的面积相等，

团/MBC的面积为15,

团S&ADE+S&BDE=15,

即泗(仅川+仅8|)=15,

吗xDEx5=15,

团。E=6,

跖(2,0),

0D(-4,O),

设平移后的直线%的函数表达式为y=1x+n,

把。(一4,0)代入，得0=；x(—4)+九，

解得71=2,

团平移后的直线。的函数表达式为y=1x+2.

22.(10分)(2025•山东济南•模拟预测)函数在生活中无处不在。图1展示了两种水杯的外形，1号水杯

为厚底圆柱形，2号水杯为底部厚度忽略不计的普通圆柱形。图2描述的是1号水杯中水的体积匕(ml)与水面

到水平桌面的距离的函数图象；

r（ml）

1号杯2号杯O|12345678910HA(cm)

图1图2

⑴求匕与h之间的函数表达式；(不需要写出自变量的取值范围)

(2)2号水杯中水的体积力(ml)与水面到水平桌面的距离八(cm)之间的关系如下表所示.在图2中，画出彩与

九之间的函数图象，并直接写出函数表达式；(不需要写出自变量的取值范围)

h/cm0246810

V2/m\050100150200250

⑶求出当h(cm)为多少时，1号杯和2号杯中水的体枳相差107山？

【答案】⑴匕与h之间的函数表达式为匕=30/1—30

(2)作图见解析，/与九之间的函数表达式为%=25/1

⑶当九为8cm或4cm时，1号杯和2号杯中水的体积相差

【分析】本题考查了一次函数的表达式求解、函数图像绘制以及一元一次方程的应用，掌握一次函数的性质

与方程分类讨论思想是解题的关键.

(1)通过观察函数图像确定一次函数的两组对应值，利用待定系数法求出匕与h的函数表达式；

(2)根据表格数据判断眩与人的函数类型，代入数据求出表达式并绘制图像；

(3)分“匕>/〃和“彩>匕〃两种情况，列方程求解满足体积差为107nL时的九值.

【详解】(1)解：设匕与九之间的函数表达式为匕=kh+b(k、b为常数，月4工0),

将(1,0)和(11,300)分别代入匕=kh+b,

|O=k+b①

(300=llk+b②'

②一①得10k=300,

解得：k=30,

把A=30代入①得30+6=0,

解得:b=-30»

••・二元一次方程组的解为

匕与h之间的函数表达式为匕=30/i-30；

°246810121416Rem%与人之间的函数表达式为匕=25/i；

(3)解：根据题意：\V1-V2\=10,

①当看一七=1。时，

30/1-30-25/1=10,h=8,

②当%—匕=10时，25无一(30八—30)=10,25/i-30/i+30=10,九=4,

答：当力为8cm或4sn时，1号杯和2号杯中水的体积相差107nL

23.(12分)(2025•湖北褰阳•一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线丫=一/+2%+3与工轴交

于点4C(点力在点C的右边)，与y轴交于点直线y=kx+b经过点A,B

⑴求4B,C三点的坐标及直线58的函数解析式.

(2)P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PQII%轴交直线4B于点Q,设点P的横坐标为

PQ的长为L.求L与m的函数关系式，并写出根的取值范围；

⑶设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点N，使得为直角三角形？若存在，直接写出点N的坐

标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴力(3,0),8(0,3),(?(-1,0),直线45解析式为y=-％+3

[2}L=m2—3m(-1<m<0)

⑶存在，可(0,-|)或可(0,9或'(0,1)或可(0,3).

【分析】本题考杳二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股

定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键.

(1)令尤=0,求出y值，令y=0,求出工的值，进而得到48,C的坐标，待定系数法求出直线4B的解析式

即可；

(2)求出Q点坐标，根据两点间的距离求出L的解析式，根据点P在第二象限，写出机的取值范围即可；

(3)分别以N为直角顶点，M为直角顶点和力为直角顶点三种情况，进行讨