2025北京初三一模数学汇编《几何综合》含答案

2025北京初三一模数学汇编

几何综合

一、解答题

1.（2025北京东城初三一模）如图，在RlZX/18。中，N4CB=9O°,/1C=BC,点、D在4B上（ADvBD）,

过点。作交8。的延长线于点£,连接力E,CD,以CO为底作等腰RtZ\CQF（点、E,歹在直线

C。的异侧），连接

（1）依题意补全图形；

（2）求证：ED=BD；

（3）用等式表示线段4E与打，的数量关系，并证明，

2.（2025北京西城初三一模）在A46C中，zlBAC=90\AB=AC,尸为边8c上一点，点5与点E关于直

线力尸对称，过点4作8c的垂线，交线段。的延长线于点。，连接OE交直线力产于〃，连接BE,CE,

设N8XP=a.

（1）如图,当0。<0<45。时.

①求//CE的大小（用含。的式子表示）；

②诗用等式表示线段EH,DE,CE之间的数量关系，并证明；

⑵当45。<a<90°时，请直接写出线段EH,。月,以之间的数量关系.

3.（2025北京海淀初三一模）如图，在448。中，AB=AC,/力8C=a（0。<a<45。），力。工BC于。，

将射线81绕点8顺时针旋转45。得到射线8M,过点。作8M的垂线交8例于点E,交射线84于点/，连

接取

A

BDC

（1）依题意补全图形，并求NEOC的大小（用含夕的式子表示）;

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(2)在。。上取点G,使OG=4O,连接EG.用等式表示线段EG,4月与。尸的数量关系，并证明.

4.(2025北京朝阳初三一模)在止方形力品。中，E为4)边上一点(不与点力，。重合)，将线段。8沿直

线CE翻折，得到线段。/，连接FD并延长，与线段CE的延长线相交于点G,连接/G.

(1)依题意补全图形；

(2)求/CG/的度数；

(3)用等式表示线段力G与。尸的数量关系，并证明.

5.(2025北京房山初三一模)如图，在ZU8C中，/84C=90。，AB=AC,。是48边上一点.E为8c的

中点.将线段DC绕点。顺时针旋转90。得到力尸，连接/尸.

⑴依题意补全图形；

(2)若点N是力厂的中点，连接NO和NE,猜想线段NQ与NE的数量关系和位置关系，并证明.

6.(2025北京通州初三一模)以.44为斜边在它的同侧分别作RtZiZBC和Rt△力4力，其中

/。=/。=90。,力。=8。，BC、AD交于■点、E.

(1)如图1,当4?平分/C/4时，求证：BE=6CE;

(2)如图2,在力力上取一点尸，使得力尸=8。，连接反，过点C作。OJ_4。，分别交4)、FB于点O、

点，.

①依据题意补全图形；

②求证：〃是心的中点.

7.(2025北京大兴初三一模)已知正方形力8CZ),点£是8c边上一点(不与点从。重合)，将线段8E绕

点B顺时针旋转a(450<a<90°)得到线段BF，作射线AF,将射线AF绕点A逆时针旋转45。得到射线AH,

过点。作。M〃8/交力产于点M,连接知产.

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(1)求乙”。。的大小(用含。的式子表示)；

(2)用等式表示线段4£，”£。河的数量关系，并证明.

8.(2025北京初三一模)如图，在四边形ABCD中，乙4BD=ZADB,CB1BD于B.AF18D于F,CB=AF,

力户的延长线交。。于E.

(1)求证：EF=；AF；

(2)过点A作G/1_L4),交BD于G,以G为圆心，EG长为半径作弧，交/出于〃，连接〃O.

①依题意补全图形；

②用等式表示E/与"。之间的数量关系，并证明.

9.(2025北京石景山初三一模)如图，在八月5。中，AB=AC,2BAC=a,。是3c的中点，£是线段8。

上的动点(不与点从。重合)，连接力E.户是人石的中点，线段尸E绕点少逆时针旋转。得到线段开/,连

接4”,EH.

(1)求乙4HE的大小；

(2)连接。〃，判断。〃与力C的位置关系，并证明.

10.(2025北京平谷初三一模)已知线段AB,将线段AB绕着点3顺时针旋转。(0°<a<180°)得到线段BC,

再将线段4c绕着点C逆时针旋转夕(0°<夕<180。)得到线段CQ,连接力C,点力、B、。恰好在一条直线上.

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cc

图1图2

(1)如图1,求。与尸的数量关系；

3

(2)如图2,当。二］〃时，过点A作。。的垂线交。C的延长线于点E,取4C的中点尸，连接8/，在代上

截取产G=/8,连接EG,依题意补全图形；判断线段EG与8。的数量关系，并证明.

11.(2025北京丰台初三一模)如图，在ZU8C中，.48=4。，N8ZC=a(00<a<90。)，河为3C延长线

上一点，过点8作射线8N_L力9O为射线8N上一点(不与点8重合)，连接40.将线段4)绕点A逆时

针旋转。得到线段力E，连接CE.

(1)求证：/CBD=/ECM；

(2)连接CQ,作EFHCD、交射线8M于点尸.连接8E交ZC于点G,若CDLBD，用等式表示线段CG与

所的数量关系，并证明.

12.(2025北京顺义初三一模)在ZU4C中，AC=BC,过点8作DBJ.4B,ZBAD=-ZCAD=a,E是

2

力8上一点，连接DE交8C于点G,4BDE=ZCAD.

(I)如图1,用含有a的式子表示N/QE的度数；

(2)如图2,将射线EO绕点£顺时针旋转4a,分别交力C,AD亍点、F,〃.用等式表示线段4D与BG

之间的数量关系，并证明.

13.(2025北京密云初三一模)圻图，在等腰直角三角形力4。中，ZJSC=90°,。是线段力。上一点

(CA>2CD),连接3。，过点C作8。的垂线，交BD延长线于点E,交%1延长线于点”.

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c

(1)依题意补全图形；

(2)若N/CE=a,求NO8c的大小(用含a的式子表示)；

(3)若点G在线段b上，且CG=8。，连接。G,用等式表示QG,CD,之间的数量关系并证明.

14.(2025北京二中初三一模)在Rt△48C中，乙%C=90。，AB=AC,力0sBe于点。.点N分别

是48,力。上的动点，且满足44=4V.连接8N,交4D于点、E,过点时作M/IAN,交BC于点凡

垂足为从

(1)如图1,当力E=/N时，求证：BM=BF；

(2)如图2,当NEw/N时，依题意补全图形，用等式表示线段。E与4尸的数量关系，并证明.

15.(2025北京101中初三一模)在CN8c中，AB=AC,。是边8c上一动点，连接力。，将力。绕点A逆

时针旋转到力£的位置，使得NO/1E+N8/1C=18(F.

⑴如图1,当N£4C=90。，连接站交/C于点八若BE平分/ABC,BD=2,

①则4CE=；CF=；

②求才E的长；

(2)如图2,连接8E,取6E的中点G,连接力G,猜想4G与C7)存在的数量关系，并证明.

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参考答案

I.(1)见解析

(2)见解析

(3)BF=gAE.理由见解析

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟

练掌握全等三角形的性质是解题的关键，

(1)根据题意补全图形即可：

(2)证明N8EQ=NO8E=45。即可得到结论：

(3)延长£)少到点G,使连接CG,BG.证明得至lJ/£)=4G,ACBG=ACAD.iiE

明力七。丝得到力石=CG,根据直角三角形的性质即可得到结论，

【详解】(1)解：补全图形如图.

(2)证明：在RtZ\48C中，NACB=90FC=BC,

：./ABC=ABAC=45°.

,/DEJ.AB,

/.ARDE=90°.

:./BED=45°.

：./BED=NDBE=45。.

/.DE=DB.

(3)BF=-AE.证明如F：

2

如图，延长。尸到点G,使bG=D/，连接CG,BG.

•・•AQO是以C。为底的等腰直角三角形,

:・DF=CF,£DFC=90°.

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:.N8G=45°.

:£）/,'=FG,

：,CD=CG.

・•・NCGF=NCDF=45。.

：,Z.DCG=90°.

乙DCG=NACB

：.4CD=/BCG.

在〉CO和"CG中，

AC=BC

</ACD=NBCG

DC=GC

・•・“CD0BCG.

:,AD=BG,ZCBG=ZCAD.

，乙DBG=4DBC+4CBG=90°.

在△/E。和△GOB中，

DE=BD

<NADE=NGBD=9cp

DA=GB

：."ED冬GDB.

/.AE=DG

在RaGQB中，NQ8G=90。，〃为。G的中点，

BF=-DG.

2

・•・BF=-AE.

2

2.（1）①45。+。；@DE=CE+2EHf证明见解析；

（2）DE=2EH-CE.

【分析】（1）①连接力E，BH,利用等腰直角三角形的性质求得乙4牝=乙1£8=90。-0,NAEC=N4CE,

再利用四边形内角和来求解；②过点8作交。E于易得△8MO也A8EC（SAS）,利用全等三角形

的性质得到DW=CE,再利用对称性来求解：

（2）利用②的方法来求解.

【详解】（1）解：①连接/E,BH,如下图

•；P为边BC上一点,点8与点E关于直线/仍对称，

:"ABE=/AEB,AB=AE,NBAP=NEAP=a,

ion©_2a

NABE=NAEB=­—―=90c-a.

2

•••在AABC中，N〃/C=90°,44=/C,

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AABC=ZACB=45°,AE=AC,

：.ZAEC=^ACE.

ZABE+NBAC+ZACE+NAEB+ZAEC=360°,

90。一a+90。+90。-a+45°+/BCE+45°+/BCE=360°,

/.ZBCE=a,

NACE=NACB+NBCE=45°+a.

®DE=CE+2EH

证明：过点8作交。后于"，

I)

，:RD1BC

NO8c=90。，

;.NDBM=NCBE.

•••在△ABC中，Z5JC=90°,AB=AC,

：,AACB=ZABC=45°t

/.Z.ADB-/ABD-/.ABC-ZACB-45°,

:・BD=BC,AD=AB=AE=AC,

工点。,8,E,C在以点A为圆心，.4。的长为半径的圆上,

・•・/BED=/BCD=45°,

NBME=ZBEM=45。,

/.BM=BE.

在ASMO和中

BD=BC

，/DBM=ZCBE,

BM=BE

・•・/MD%BEC(SAS),

/.DM=CE.

丁点B与点E关于直线AP对称，

/.BH=EH,

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：.4HBE=/HEB=45°,

：.NBHE=90°,

BH1ME,

:.EH=MH,

DE=DM+ME=CE+2EH.

（2）DE=2EH・CE

证明：同②的方法.

【点睛】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，

四边形内角和度数，理解相关知识，作出辅助线是解答关键.

3.（l）ZEDC=90°-2a

⑵AF=EG+叵CF，证明见解析

2

【分析】（1）根据要求画出图形，证明NO8W=45。-。，再证明=,即可得到结论：

（2）过点C作/于〃，连接QH,证明。〃=8。=。E.则8,E,”在以。为圆心，〃。为半径的

圆上.得至4NHDE=2N4BE=90。.证明得到4〃=EG.求出

FH=CF-cosABFE=—CF.即可得到结论.

2

【详解】（1）解：如图所示：

如图，•・•射线BA绕点B顺时针旋转45°得到射线BM,

：.^ABM=45°

：.£DBM=/ABM-ZABD=45°-a.

•rAB=AC,ADJ.BC于D.

:.BD=DC.

TCEl8M于E,

，/BEC=90°.

：.ED=-BC=BD,

2

/EDC=4DBM+/DEB=2NDBM.

VNDBM=45°-ct,

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・•・NEOC=90°—2a.

(2)线段EG,4/和C尸的数量关系为力b=EG+匕W.

2

证明：过点。作尸于〃，连接。”，如图所示.

，£CHB=/CHF=9G.

•/BD=DC,

・•・DH=-BC=BD.

2

;由(1),BD=DE,

，DH=BD=DE.

:.B,E,〃在以。为圆心，8。为半径的圆上.

/HDE=2/ABE=90°.

VZJDC=90°.

Z.AADC=NUDE.

/.AADC-NHDC=/HDE-ZHDC.

.・•AADH=/GDE.

•：AD=GD,DH=DE,

/.^ADH义4GDE.

/.AH=EG.

VZJJ5F=45°,ZCE5=90°,

，2BFE=45°.

*/NCH尸=90。，

5

・•・FH=CFcosNBFE=—CF.

2

,/AF=AH+HF,

R

,AF=EG+—CF.

2

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、解直角三角形、圆周角定理直角三角形的性

质等知识，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键.

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4.(1)见解析

(2)45°

(3)DF=>/2AG,证明见解析

【分析】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

(1)依题意补全图形即可；

(2)设=利用正方形和翻折的性质得到NR7G=N8CG=90。-。，CF=CB=CD,再利用等腰

三角形的性质即可求出NCG/的度数；

(3)作彳“14G,交FG的延长线于点，，连接8G,利用正方形和翻折的性质证明0,得

至l]/G=4",GB=HD,推出是等腰直角三角形，则有G"=VLfG，等量代换即可得出结论.

【详解】(1)解：补全图形如图1所示：

图1

(2)解：设NOCG=a.

•••四边形力8c。是正方形，

:.CB=CD,/BCD=9H

ZBCG=90°-a,

•••将线段沿直线C£翻折，得到线段3,

：.CF=CB,NFCG=NBCG=90°-a,

:.CF=CD,/FCD=NFCG—/DCG=9伊一2a

180。-/产CO

:.NCDF=ZF==4于+a

£CGF=/CDF-/DCG=45°.

(3)解：DF=41AG,证明如下:

如图2,作力〃_L4G,交厂G的延长线于点〃，连接8G.

AHLAG,

图2

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:"HAG=9U,

•••四边形力8CQ是正方形，

/.AB=AD,N4/1O=9()。，

AHAG+ZGAD=ABAD+ZGAD,即4MD=NG4B,

•••将线段。8沿直线C£翻折，得到线段6,

:.GB=GF,NGBC=ZF,

/ABG=90°-Z.GBC,N4DH=90°-NCDF=90°-ZF,

:.ZABG=NADH,

:A4BG@"DH(ASA),

AG=AH,GB=HD,

.•.△4G”是等腰直角三角形，GF=HD,

:.GH=42AG，

DF=GF-DG=HD-DG=HG=扬G，

DF=41AG.

5.(1)见解析

Q)DN=NE,DN工NE

【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，需要

通过构造辅助线，利用以上知识来证明线段N。与NE的数量关系和位置关系.

(1)根据题意作图即可；

(2)延长力上至点。，使EQ=4E,延长产。至点P,使DP=FD,连接。〃，PA,CQ,CP,CF,根

据中位线定理可得。N=g4,NE=g/。，DN//PA,NE//FQ,可得△"!)、△PC。和APCE都是等

腰直角三角形，继而得到“CQ、△4CE和AECQ都是等腰直角三角形，证明咨△R?2(SAS),可得

PA=FQ,ZAPC=NQFC,UCP=ZQCF,从而得到DN=NE,延长P4,FQ,相交于点M,证得PAtFQ,

即可得到DV_LNE.

【详解】(1)解：如图所示，可得DC=FD,ZCDF=90°.

/

F

(2)解：如图所示，延长力上至点。，使延长产。至点P,使。。=尸0,连接。尸，PA,CQ,

CP,CF,

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DN=-PA,NE=、FQ,

22

ADN//PA,NE//FQ,

•；DC=FD,ZCPF=90°,DP=FD,

/.DC=FD=DP且CDLFD,

A/CQ和△PC。都是等腰直角三角形，

・•.«PCE是等腰直角三角形，

.1•PC=FC,ZPCF=90°,

vABAC=90°,AB=AC,E是8c的中点，

AE±BC,AE=-8C=EC,

2

•••EQ=AE,

/.AE=EQ=EC,

：.tACQ.ZX/ICE和AEC。都是等腰直角三角形，

•••AACQ=NACF+AFCQ=90°,4FCP=ZACF+APCA=90°,

APCA=AFCQ,

在△尸。。和中，

PC=FC

<ZPCA=Z.FCQ,

CQ=CA

/.tPCA^FCQ(SAS),

PA=FQ,ZAPC=ZQFC,ZACP=ZQCFt

•;DN=；PA,NE=;FQ，PA=FQ,

DN=NE,

延长产力，FQ,相交于点M,

在右口。中，NC4M=N4PC+NACP,

在&广CQrfi.ZCQM=ZQFC+LQCF,

第13页/共30页

/.CAM=ZCQM,

在ZU0A/中，NQ4M=45U-ZC^W,AAQM=ZAOC+ZCOM=45U+ZCV；W,

•••NQAM+ZAQM+NM=180°,

45°-ZCAM+45°+ZCQM+ZM=90°+ZM=l80°,

/.Z.W=90°,

PAVFQ,

♦:DN〃PA,NE//FQ,

DN工NE,

线段ND与NE的数量关系是DN=NE,位置关系是DN1NE.

6.(1)见解析

⑵①见解析；②见解析

【分析】(1)过点E作EG_L力8于点G,由角平分线的性质得到£。=反；，由sin/C'8/二空二也得到

BE2

BE=6EG，即可证明结论；

(2)①按照题竟补全图形：②连接b、CD.证明"C"WAACO(SAS),得到=CQ,[hFO=OD及

黑=盘得到FH=HB,即可得到结论♦

ODHD

【详解】(1)证明：如图1,过点E作EG_L/fB于点G,

C

图1

EC=EG,

•・•ZC=90,JC=5C,

：.ZCAB=ZCBA=45°f

s\nZCBA=—=—

BE2f

BE=6EG，

BE=xf2EC•

（2）①依据题意补全图形;

第14页/共30页

c

ED

图2

②让明：如图3,连接6、CD.

c

图3

:.CH//BD/CAD+/ACO=90°,

NOCE=NCBD,

♦.•N4C8=90。，

/./OCE+N4co=9CP,

/OCE=/CAD,

NCAD=4CBD,

在△力(?/和△8CO中

AC=BC,

・NCAD=NCBD,

AF=BD,

.-.△^CF^A5CZ)(SAS),

:.CF=CD,

CHLAD,

:.FO=OD,

•/CH//BD,

.FO=FH_

'~OD~~HB'

FH=HB,

是尸8的中点.

【点睛】此题考查了角平分线的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性

质，熟练掌握解直角三角形和全等三角形的判定是关键.

7.(\)^MDC=90Q-a

⑵广加2=4尸+DM2，见解析

【分析】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，构造

第15页/共30页

全等三角形，作出辅助线是解题关键.

(1)延长MD交BA的延长线于点P,根据平行线的性质得出ZABb+ZMPA=18()。，确定ZMPA=90°-a,

再由各角之间的等量代换即可得出结果：

(2)过点4作4K力/且4K=4/，连接KM.DK,根据全等三常形的判定和性质得出公力BFGARDK(SAS),

BF=DK,/ABF=NADK=90。+a,确定/KQM=90。，继续利用全等三角形的判定和性质证明

△4W产gz^MK(SAS),结合图形利用勾股定理即可得出结果.

【详解】(1)解：延长交8力的延长线于点P,如图所示：

VDM//BF,

JZABF+ZMPA=\^Q,

根据题意得：/EBF=a,

:.^ABf=900+a,

：./MR4=90°—a,

•・•正方形为8CQ,

・•・/ADC=NDAP=90。,

,NMDC+NADP=90°,NADP+/APD=90°,

・•・NMDC=NDPA=90°-«：

(2)过点力作且力K=/尸，连接KAKQK,如图所示:

・••/FAK=NDAB=90。,

：./DAK+ZDAF=ZDAF+NFAB=90°,

/./DAK=NFAB,

笫16页/共30页

VDA=AB,

：.4JZ>/C(SAS),

:.BF=DK,ZABF=ZADK=900+a,

由(1)得/4//)。=90。一0，

/KDM=360O-ZADK-/MDC=90°,

•・•将射线AF绕点A逆时针旋转45。得到射线AH,AKA.AF,

/HAF=/IL4K=45。,

VAK=AF,AM=AM,

・••四△/MK(SAS),

/.MF=MK,

在中，KM2=DK2+DM2，

FM2=BF2+DM2.

8.(1)证明见解析

(2)①见解析②EF=：HD；证明见解析

【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握

等腰三角形的判定和性质是关键.

(1)根据题意竺=:，BC//EF,EF=gBC,由C3=/F,得到E尸=:47即可求解；

BD222

(2)①根据题意补全图形即可；②延长。力到乙使/尸=4),连接尸8/G,则肝=；牝，

由(1)得EF=%P,可证△BGPMA〃GZ)(SAS),得到=即可求解.

【详解】(1)证明：•:乙4BD=4DB,

：.AB=AD,

•：AF1BD,

:.BF=DF,

.DF1

"~BD=2f

CBLBD,AFLBD,

NC6D=Z.EFD-90c,

z.BC//EF,

EFDF[

：.EF=-BC,

2

义:CB=AF,

:.EF=-AF:

2，

第17页/共30页

（2）解：①依题意补全图形，如图:

②历与加之间的数显关系是*=

P

C

证明：延长。力到P,使4>=力。，连接尸8,0G,

;BF=DF,AP^AD,

AF=>BP,

2

又；由（1）得E/尸，

2

:.EF=-BP,

4

•••以G为圆心，8G长为半径作弧，交.AB于H,

;.BG=HG,

Zl=Z2,

/.Z5G/7=18O0-2Z1,

AP=AD.GA1AD,

1.GP=GD,

ZAPG=NADB,

•••N/8。=乙4DB,^ABD=Z1,

?.N4PG=/4DB=Nl,

/.ZPGD=18O0-2Z1,

:./BGH=NPGD,

:.乙BGP=4HGD,

.•.△BGP主△〃GO（SAS）,

:.BP=HD,

第18页/共30页

:.EF=-HD.

4

9.(1)90°

(2)D/7UC,证明见解析

【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，圆周角定理，正确

作出辅助线是解题的关键.

(1)利用等腰三角形的定义即可解答；

(2)连接力。，连接/。，可得点乩〃，瓦。在以点尸为圆心，以以为半径的圆上，再连接。，并延长交4C

于点G,证明IN4)G=9(P即可解答.

【详解】(1)解：Tb是4E的中点，线段用绕点厂逆时针旋转。得到线段，

：.FA=FE=FH,4EFH=a,

ZAHF+AFAH=2ZAHF=ZEFH=a,NFHE=侬〜,

ZAHF=-,

2

HE=N4HF+NFHE=4怖"/90；

22

(2)解：DHLAC,理由如下：

如图，连接力O，连接五。，

：AB=ACt。是8C的中点，

AD1BC,

,••尸是4E的中点,

;.FD=FA=FE=FH,

.••点4H，E,D在以点尸为圆心，以出为半径的圆上，如图，连接力，并延长交于点G,

,:FE=FH,NEFH=a,

180°-a

，FEH=

180°-a

ZADH=Z.AEH=

~2~

v£BAC=a,AB=AC,。是AC的中点,

/.ZDAC=-ZBAC=-

221

第19页/共30页

180°-a

;./D4C+NADG=(

~2~9y,

..ZGO=90°,

DGLAC,即QH14C.

1().(1)6Z=9O°-1/?

（2）图见解析，EG=gBD.理由见解析

【分析】（1）由旋转的性质求得。8=。，4BCD=B，再利用等边对等角求得NC3O=9（）。-；/7,再根据

N4BC+/C8O=180。，列式计算即可求解；

（2）先求得。=135。，”9（）。,再证明力C是/£4。的平分线，再证明是等腰直角三角形，设

61

FG=FB=a,求得GN=CN=±^，根据线段垂直平分线的性质求得EG=EC,据此求得EGyBD.

22

【详解】（1）解：:将线段48绕着点8顺时针旋转。（0。＜。＜180。）得到线段8C,

AB=BC,ZABC=a,

•••将线段8c绕着点。逆时针旋转夕（0。＜夕〈180。）得到线段。，

:・CB=CD,4BCD=p,

•••NC8O=；（180。一夕）=90。—

'：N4BC+NCBD=180°,

・・・a=90。-%

(2)解：EG=—BD.理由如F：

2

如图，

・・・a=135。，夕=90。,

*/AB=BC,

:.Z.CAB=NBCA=1(180°-l35°)=22.5°,

•:CB=CD,

第20页/共30页

:.ACBD=/D=；(180P—9(F)=45°,

作CH上BD于点H,

，点〃为4。的中点，

:.CH=>BD,

2

•・•AFVDE,

是等腰直角三角形，

/.Z£JP=45°,

:.WEAC=45°-NCAB=22.5°=ZCAB,即4C是ZEAD的平分线,

VAF1DE,CH1BD,

:,CE=CH,即CE=，8。，

2

连接£7L作EN_L4C于点N,

•・•点尸是力。的中点，ZJ£C=90°,

/.AF=CF=EF,

:.Z.FAE=NFEA=22.5°,

:.£EFN=NFAE+AFEA=45°,

•••△E/W是等腰直角三角形，

:・CF=EF=6FN，

设FG=FB=a,

:・BG=®，NFGB=NFBG=45°,

・•.£GBC=45°-Z.GCB=22.5°,

CG=BG=\[2a，

•**CF=a+\[la，

:.42FN=a+42a，

••FN=---a+a，

2

:.CF=41冬+“…衣」，

GN=FN-FG=—a，CN=CF-FN=­a，

22

：，GN=CN=—a.

2

•:ENICG,

/.EG=EC,

第21页/共30页

Z.EG=-BD.

2

【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性

质，勾股定理.正确引出辅助线解决问题是解题的关键.

II.(1)见解析

(2)CG=1EF,理由见解析

【分析】(1)根据旋转的性质求得=ZDAE=a,证明丝”CE(SAS),求得乙1BD=4CE,

再根据等腰三角形的性质即可证明=；

(2)先求得NEFH=ZABC,作班//AC交BM于点、H,证明△BOCZACfH,BC=CH,再证明CG是

△BE"的中位线，据此即可得到CG='a\

2

【详解】(1)证明：•・•将线段/。绕点A逆时针旋转。得到线段/E,

AD=AE,Z.DAE-a,

,:£BAC=a,

：./BAD=ZCAE,

'：ABAC.

...AABD^ACE(SAS),

，/ABD=NACE,

VBNLAB,

:・NABD=9。。,

工人ABC+乙CBD=9。。，ZACE=9Q0,

:.Z4C8+NEGH=90。，

'：AB=ACt

，NABC=ZACB,

・•・/CBD=NECM；

(2)解：CG=gEF,理由如下，

2

,:CDA.BD,BD1AB,

・•.AB//CD,

,?EF//CD,

:.EF//AB,

2EFH=乙4BC,

作胡〃AC交BM于点、H,

第22页/共30页

/.Z.ACB=ZEHF,

:.Z.EF1I-2EIIF,

:.EF=EH,

A/IBDgAACE,/CBD=ZECH,

ABD=CE,ZBDC=^ACE,

•・•EH〃AC,

:.AACE=NCEH,

/.£BDC=4CEH,

•••△8QC%CEH(ASA),

・••BC=CH,

，:EI!//AC,

.BGBC,

••~=1,

GECH

：.BG=GE,

・•・CG是△BE”的中位线，

:.CG=-EH,

2

CG=-EF.

2

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的判定和性质，旋转的性质，

正确引出辅助线解决问题是解题的关键.

12.(1)90°-3«；

(2)AD-AF+2BG,证明见解析.

【分析】(1)先得出//8。=90。，结合/8力。=工/。。=a,ZBDE=ZCAD,故NCAD=NBDE=2a,

2

再整理得/力。£的度数，

(2)延长此交。8的延长线于点P,取4/的中点/连接87,过点B作BQ上DE于点、°,作8N_L尸E于

点N.结合BDJ.AB,得证区/是△PQ”的中位线，BE平分NDEP.由角平分线的性质得8。=8N,

/BQG=/BNJ=90°,运用三角形内角和得出/47/=90。—々=4"//，再根据等角对等边，则力£=力〃，

然后证明△AQGs4ANJ,故BG=BJ,即可作答.

第23页/共30页

【详解】(1)解：，

・・・//8。=90。.

•・•NB4D=L/C4D=a,

2

/.Z.ADB=90°-NBAD=90°-a.

:CBDE=ACAD,

，ACAD=NBDE=la,

AADE=NADB-NBDE=90°-3a.

(2)证明：延长FE交DB的延长线于点P,取PH的中点J，连接BJ,这点8作3。J_DE于点Q,作BN_LPE

于点N.

•:£FED=4a,ZBDE=2a,

：.N尸=NFED-4BDE=2a,

：.DE=PE.

又•:BD1AB,

：.HD=BP,/DEB=NPEB.

:.BJ是4PDH的中位线，BE平分/DEP.

：.BJ=-DH,BJ//DH.

2

・•・£BJP=/DHE.

■:BE平分NDEP,BQLDE,BN1PE,

:,BQ=BN,NBQG=/BNJ=90。.

在二DEH中，^DHE=180°-ZADE-ZFED=180°-(90°-3a)-4«=90°-a.

/./AHF=/B.JP=/DHE=90°—a.

在2AHF中，N4FH=180°-ND.4F-乙4HF=180°-(90°-a)-2a=90°-a=ZJHF.

:.AF=AH.

VAC=BC,

，2ABC=3a,

：.ND8c=90。-3a.

・•・土EGB-NBDE+NDBC=2a+90°-3a=90°-a.

第24页/共30页

在^BQG与xBNJ中,

/EGB=NBJP=9G-a

-NBQG=NBNJ

BQ=BN

・•・匕BQG34BNJ.

，BG=BJ.

：.AD=AH+DH=AF+2BJ=AF+2BG.

【点睛】本题考查了三角形内角和性质，中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性

质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

13.(1)图见解析

(2)45。-a

(3)AB=y[2CD+DG»理由见解析

【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识,

构造出等腰直角三角形和全等三角形是解本题的关键：

(1)根据题意画出图形解答即可：

(2)根据等腰直角三角形的性质进行解答即可；

(3)如图2,连接8G交“。于点延长GO交8c于点，，证明△力5。&△BCG(SAS),得出OM=GM,

可得AOMG,AGHB、△8"是等腰直角三角形，即可解答.

【详解】(1)解：补全图形，如图1,

(2)解：•;AB=EC,48c=90°,

NBAC=NBCA=45°,

/ACE=a,

•/CF1BD,

NBEF=9M,

Z.BCE+ZDBC=9(T,

90P-450-a=45"a：

(3)解：AB=ECD+DG，理由如下：

如图2,连接8G交4c于点M,延长GO交4c于点，,

第25页/共30页

H

/八\；NABC=NBEC=90P,

/、、\\

FAB

M2

.•.NABD+ZCBE=NCBE+NECB,

:.£ABD=乙ECB,

•••AB=BCtBD=CG,

.•.△48。空△8CG(SAS),

ZCBG=ABAD=4乎，AD=BG,

ZABG=ZCBG=ZBAC=49,

AM=BM,N4W4=9O°,

•/AD=BG,

AD-AM=BG-BM,即DM=GM,

/MGD=NGDM=49,

NBHG=90°,

DH1BC,

：ACDH、△GH8、△DWG是等腰直角三角形，

/.CH=DH,BH=GH,DM=GM,

设C〃=a,DM=b,

：.CD=E，DG=&b，

:.AB=BC=CH+BH=CH+GH=2CH+DG=2a+M)，

:.AB=y/2CD+DG.

14.(1)证明见解析

Q)BF=2DE,证明见解析

【分析】(1)根据等腰三角形的性质证明/4C8=//18C=N历1D=/C4O=45。，结合AE=AN,可得

/AEN=Z1ANE=1(180。-45。)=67.5。，再进一步的分别求解/BMF,Z1BFM即可得到结论；

(2)如图，连接CE,ME,证明△力EMgZVIEN,BM=CN,可得EM=EN,NAME=/ANE,证明

/BEM=ZCEN,可得C,E,M三点共线，延长EM至K,使CE=EK,而BD=CD,4DJ.BC,可得ED〃BK,

BK=2DE,BK1BC,再证明可得BK=BF,从而可得答案.

【详解】(1)证明：VZ^JC=90°,AB=AC,AD1BC,

：.Z.ACB=NABC=/BAD=Z.CAD=45°,BD=CD=AD,

VAE=AN,

第26页/共30页

:.2AEN=/ANE=y(180°-45°)=67.5°,

/.CBED=ZAEN=67.5°,

,:BNIMF,ADIBC,

:・/EHF=/EDF=90°,

：.LHFD=360°-90°-90°-67.5°=112.5°,

ANBFM=180°-ll2.5°=67.5°,

:.£BMF=180°-45°-67.5°=67.5°,

；・CBMF=Z1BFM,

・•・BM=BF；

(2)解：BF=IDE,理由如下：

如图，连接CE,ME,

VAM=AN,/MAE=/NAE=4',AE=AE,AB=AC,

:・△AEMW/\AEN,BM=CN,

:・EM=EN,NAME=N4NE,

VAD1BC,BD=CD,

:・EB=EC,

:.△BME/4CNE,

:.CBEM=4CEN,

・•・C,E,M三点共线，

延长EM至K,使CE=EK,而4。=。。，ADIBC.

ED//BK,BK=IDE,BKIBC,

•:ZJBC=45。，

:./MBK=45°=/MBF,

•：MF±BN,NA4C=90°,

:./MHN=90°=NMAN,

:.£BMH+ZAMH=180°=4AMH+4AN