广东省东莞市某中学2024-2025学年下学期 九年级数学一模试题（含答案）

广东省东莞市寮步中学2024-2025学年下学期九年级数学一模试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.-2的相反数是（）

A.1B.4C.2D.±2

2.在上面直角坐标系中，点（1,一2）在（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.下列图形中，属于中心对称图形的是（)

A.B.

D.

4.由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,其左视图为（)

C才

5.下列计算正确的是（)

A.a-a3=a4B.Q?+Q3=C.Q6+Q=Q6D.(Q3)4=Q

6.全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动,厚植美丽中国亮丽底色，去年完成

造林约3830000公顷.用科学记数法表示3830000是（）

A.3.83x106B.0.383x106C.3.83x107D.0.383x107

7.关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是（）

A./c<4B.k<4C./c>4D.k>4

8.如图，直线4811c0,直线MN分别与直线48、CO交于点E、F,且乙1=40。，则42等于：）

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BD

M/EN

A.120°B.130°C.140°D.150°

9.红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg,2023年平均每公顷产8450kg.求水稻每公顷产量的年平

均增长率.设水稻每公顷产量的年平均增长率为x.列方程为（）

A.7200（1+x）2=8450B.7200（1+2x）=8450

C.8450（1-x）2=7200D.8450（1-2x）=7200

10.如图1,ZkABC中，ZC=90°,AC=15,8C=20.点。从点A出发沿折线4一C-8运动到点8停止，

过点。作垂足为E.设点D运动的路径长为％,△BOE的面积为y,若y与x的对应关系如图2所示，

则a-b的值为（）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11.分解因式：x2-16=.

12.二元一次方程组；二；的解为.

13.一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一

个球，记下颜色后放回袋中.通过天量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4,则袋中约有红球

个.

14.已知圆锥的底面半径为4,母线长为5,该圆锥的侧面积为.

15.如图，点4在双曲线为=2（%>0）上，连接4。并延长，交双曲线、2=卷（无<0）于点8，点。为工轴上一

点，且A0=4C,连接8C,若AABC的面积是6,则k的值为.

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

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-2

16.计算：2sin60°-V9+(-i)+(1-7T)°-

17.如图，Rt/kABC中，LB=90°.

（1）尺规作图：作4c边上的中线8。（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图中，将中线8。绕点。逆时针旋转180。得到D。，连接/W,CD.求证：四边形4BC0

是矩形.

18.拉杆箱是外出旅行常用工具.某种拉杆箱如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE,8C的长度

为60cm,两节可调节的拉杆长度相等，且与8。在同一条直线上.如图1,当拉杆伸出一节（A8）时，4c与

地面夹角乙ACG=53。；如图2,当拉杆伸出两节（AM,MB）时，AC与地面夹角/ACG=37。，已知两种情况

下拉杆把手A点距离地面高度相同.求每节拉杆的长度.

（参考数据：sin53°«sin37°®tan370«1）

JJI

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

19.美育是传承中华文明的重要方式，是增强文化自信的重要力量：.某校为建设美育育人环境，打造文明高

雅的校园文化，决定举办校园文化节，组织学生为文化节进行徽标设计比赛.经过初选，确定了五幅徽标入

围最后的评选.学校在各个年级随机进行“我最喜爱的徽标”问卷调查，被调查的学生只能选择其中的•幅徽

标.根据调查数据绘制成下面的两幅统计图：

各徽标投票数分布的扇形统计图

请根据以上信息，解答下列问题:

（1）本次调查的样本容量是,扇形统计图中D对应圆心角的度数为

（2）把条形统计图补充完整；（回图后请标注相应的数据）

（3）该校共有2000名学生，请你估计选择E徽标的学生有多少人？

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20.为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地.现有甲、乙两个工程队参与施工，具

体信息如下：

信息一

工程队每天施工面积（单位：m2）每天施工费用（单位：元）

甲%+3003600

乙X2200

信息二

甲工程队施工1800巾2所需天数与乙工程队施工”oom?所需天数相等.

（1）求工的值；

（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成

的施工面积不少于15000巾2.该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？

21.如图，二次函数丁=打2+以-4的图象与*轴相交于点皿-2,0）、点8,其顶点是C.

（备用图）

(1)b=

（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接8D,tan208。=1求D的坐标；

（3）在（2）的条件下，将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D,过点应0）作x轴的垂线

/.已知在1的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围.

五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）

22.综合运用

如图，△A8C中，AB=4m，D为A8中点，LBAC=/.BCD,OO是△ACO的外接圆.CE是。。的直径.

（I）求证：8c是。。的切线;

（2）求的长；

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(3)若cos乙40C=¥，求。。的半径.

23.在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动.

【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片F8CD,得到折痕力C,把纸片展平；

操作二：如图②，在边4。上选一点E,沿8E折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕8E；

操作三：如图③，在边CO上选一点F,沿BF折叠，使边8c与边BA重合，得到折痕8F.

把正方形纸片展平，得图④，折痕BE,B「与4c的交点分别为G、H.

(1)根据以上操作，得4£8尸=

图③图④

【探究证明】

(2)如图⑤，连接GF,试判断△BFG的形状并证明;

【深入研究】

(3)如图⑥，连接EF,过点G作CD的垂线，分别交48,CD,EF于点P、Q、M.请写出EM与的数

量关系，并说明理由.

图⑥

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答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：一2的相反数是2.

故选：C.

【分析】

只有符号不同的两个数互为相反数.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：点(1,-2)的横坐标为正，纵坐标为负，故在第四象限.

故答案为：D.

【分析】根据象限的坐标特征：第一象限(+,+),第二象限(一，+),第三象限(一，-),第四象限(+,-),

即可得解.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形;

B、是中心对称图形：

C、不是中心对称图形；

D、不是中心对称图形；

故选：B.

【分析】

根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：由题干中的几何体可得其左视图为।।J，

故选：A.

【分析】本题考查简单组合体的三视图，三视图的投影规律具体表现为：主视图与俯视图长度方向对正，即

主视图和俯视图的长度要相等；主视图与左视图高度方向平齐，即主视图和左视图的高度要相等；俯视图与

左视图宽度方向相等，即左视图和俯视图的宽度要相等，据此分析判断，即可得到答案.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：A.aa3=a4,正确；

B.次与标不是同类项，不能合并，故不正确；

C.a6-S-a=a5,故小止确；

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D.(〃)4=〃2,故不正确；

故选A.

【分析】根据同底数昂的乘法，同底数塞的除法，合并同类项，塞的乘方法则逐项进行判断即可求出答案.

6.【答案】A

【解析】【解答】解:3830000可表示为3.83x106.

故答案为：A.

【分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为QX10",1WQV10,〃为整数位数减1,据此即

可解答.

7.【答案】B

【解析】【解答】•••方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，

・•・△=(-4)2_4k=16-4k>0,

解得：k<4.

故答案为：B.

【分析】利用己知方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac>0,建立关Tk的不等式，然后求出不等式的

解集.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：IICD,zl=40°,

:,乙DFN=Z1=40°,

・・・42=180°-乙DFN=140°.

故选：C.

【分析】根据直线平行性质可得/OFN==40。，再根据补角即可求出答案.

9.【答案】A

【解析】【解答】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x,则2022年平均每公顷产7200(1+x)kg,

2023年平均每公顷产7200(1+x)(l+x)=7200(l+x/kg,

由题意可列方程为:7200(1+%)2=8450,

故答案为：A.

【分析】设水稻每公顷产量的年平均增长率为x,则2022年平均每公顷7200(1+x)kg,2023年平均每公

顷产7200(1+x)(l+x)=7200(l+x)2kg,进而结合题意即可得出答案.

10.【答案】B

【解析】【解答】解：在中，由勾股定理得，AB=y/AC24-BC2=25，

当点。在4C上时，

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VDE1AB,zc=90°,Z,A=

ADE—△ABC,

AD_AE_DE^

’而"而=而’

日x_AE_DE

即n西=15=20,

•••4E=学，=S

3%

BE=AB-AE=25-^

••.y=』BE-DE=10x-第

当％=10时，a=76,

如图，当点。在8c上时，

vDE1AB,ZC=90°,

又•・•乙B=cB,

BDE—△BAC>

.BD^_BE__DE_

''~AB=~BC=AC'

Rn35—xBEDE

即=20=I5，

=DE=中，

oo

l26(35r/

:.y=”DEC♦DE="，

当％=25«寸，b=24,

.•.Qi=76-24=52.

故选:B.

【分析】

分点。在4c和BC上两种情况进行讨论，再利用相似三角形求出对应情况下△BDE的底和高进而求出面积的表

达式，即可求出结果.

11.【答案】(x-4)(x+4)

【解析】【解答】解：x2-16=(x-4)(x+4)

故答案为(x-4)(x+4)

【分析】由平方差公式"a2-b2=(a+b)(a-b)”可得原式=(x-4)(x+4).

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12.【答案】上；

【解析】【解答】解：/7一以①+②，得”10,解得X2,把％=2代入①，得6-y=2,解

{2x+y=8(2)

得y=4,所以方程组的解是

故答案为：【分析】利用加减消元法解方程组即可.

13.【答案】12

【解析】【解答】解：设红球有x个，由题意可得，

=0.4>

8+x

解得：x=12,

经检验：％=12是方程的解，

故答案为：12.

【分析】设红球有x个，根据频率=红球个数♦总数可得关于x的方程，解方程即可求解.

14.【答案】20冗

【解析】【解答】解：•・•圆锥的底面半径为4,母线长为5,

/.该圆锥的侧面积为兀日=4x5x71=20兀.

故答案为：20兀.

【分析】圆锥的侧面积为兀儿据此计算即可.

15.【答案】4.

---AD||BF,.^AODBOF,二•点A在双曲线y1=：(%>0)上，点B在y2=上(尤V0)，、S-。。=去

SA80F=m•微黑=4,^=2>：.BF=^AD,-AO=AC,AO_Lx轴，•••°C=2°0，•••40°xAO=

5乙k,：•ODxAD-SAAOC=k,:.S^ABC=^^AOC+^^BOC=乙50cxAD+乙OCxBF—乙50cx(AD+BF),—

1323

(二

5乙OC乙x0D=rX*2OO)x4O=乙Sk=6,k=4,

故答案为：4

【分析】过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出丝=2,确定0C=

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20D,然后结合图形及面积求解即可.

16•【答案】解：原式=2sin60。一加+(-号］+(1一7r)o

73

=2x-2--3+4+l

=V3-3+4+1

=V34-2.

【解析】【分析】首先计算特殊角的三角函数值、算术平方根、负整数指数哥和零指数哥，然后计算乘法，最

后从左向右依次计算，求出算式的值即可.

17•【答案】(1)解：如图，线段8。即为所求；

•・•由作图可得：AO=CO,由旋转可得：BO=D0,

・•・四边形4BC。为平行四边形，

■:乙ABC=90°,

・•・四边形48CD为矩形.

【解析】【分析】

(1)作出线段4c的垂直平分线EF,交AC于点O,连接8。，则线段8。即为所求;

(2)先证明四边形4BC0为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论.

(1)解：如图，线段BO即为所求；

•・•由作图可得：力。=。。，由旋转可得：BO=DO,

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・•・四边形A8C0为平行四边形,

y^ABC=90°,

・•・四边形力BCD为矩形.

18.【答案】解：设每节拉杆长为xcm,则图1中4B=xcm,4C=(x+60)cm,

图2中AB=2xcm,AC=(2x+60)cm,

在图I中，过点4作力尸1CG于点凡

图1

在Rt"C尸中,Z-AFC=90°,

.“LAF

s\nZ.ACF=

4

AF=ACxsinZ-ACF=pJx4-48.

在图2中，过点4作4”_LCG于点H,

图2

在RtZiACH中，Z-AHC=90°,

.AH

vsinz.ACH=彳

6

X+36

AH=ACxsin^ACH5-

-AF=AH,

46

X+

=一

5-485

解得：x=30.

答：每节拉杆长30cm.

【解析】【分析】设每节拉杆长为%cm,则图1中A8=xc?n,4c=(x+60)cm,图2中A8=2xcm,AC=

(2x+60)cm,在图1中，过点4作AFICG于点八根据正弦定义可得AF；在图2中，过点A作AH1CG于

点H,根据正弦定义可得AH,再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.

19.【答案】(1)200：28.8°；

(2)C徽标投票数为：200-85-24-16-45=30,

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各徽标投票数的条形统计图

答：估计选择E徽标的学生约有450人.

【解析】【解答】(1)解：24・12%=200,

即样本容量是200；

扇形统计图中D对应圆心角的度数为360。乂芸=28.8。，

4UU

故答案为：200；28.8°；

【分析】

3)根据B徽标投票数所占的比例求出调查的总人数，用D徽标投票数所占的比例乘以360度，计算即可得

扇形统计图中D对应圆心角的度数；

(2)求出C徽标投票数，补全条形统计图即可；

(3)利用样本估计总体的思想，进行求解即可.

(1)解：调查的总人数为：24+12%=200,

即本次调查的样本容量是200

扇形统计图中D对应圆心角的度数为360。x蒜=28.8。，

故答案为：200；28.8°；

(2)解：C徽标投票数为：200-85-24-16-45=30,

把条形统计图补充完整如图：

第12页

(3)解：2000x^=450(人)，

答：估计选择E徽标的学生约有450人.

20.【答案】(1)解：由题意列方程，得甥言=粤.

方程两边乘+300),得1800%=1200x(%+300).

解得％=600.

检验：当x=600时，x(x+300)X0.

所以，原分式方程的解为％=600.

答:x的值为600.

(2)解：设甲工程队先单独施工Q天，体育中心共支付施工费用w元.

则w=3600a+2200(22-a)=1400a+48400.

v(600+300)a+600(22-a)>15000,

Aa>6.

vl400>0,

W随Q的增大而增大.

.•.当a=6时，w取得最小值，最小值为56800.

答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元.

【解析】【分析】(1)利用表中数据，根据甲工程队施工18001/所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相

等，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.

(1)设甲工程队先单独施工a天，体育中心共支付施工费用W元，根据题意可得到W关于a的函数解析

式，利用一次函数的性质可求解.

21.【答案】(1)-1；

(2)解：由(1)知：y=i%2—%—4»当y=0时，^%2—x—4=0»

解得：%i=-2,x2=4,

.•・8(4,0),

：・OB=4,

设直线80交y轴于点E,

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yk

图i

・.・.taniOcrB>rD»=而0£=矛1

：.0E=2,

・・・E(0,-2),

••,8(4,0),F(O,-2)

ABD函数表达式为y=/一2,

_1

y=2x~2o

联立得:

y=12-x—4/

解得《二乳二j(舍)，

(3)解：=2工2—x—4=/(x—1)2—，新抛物线设为：y=/(x—m)2—M，

乙,乙乙乙乙

由⑵知。（-1,-分且平移后的抛物线经过点D,

9

x(―1—rn)2—

2'

：,mi=-3,m2=1（不合题意，舍去）,

Ay=i（x+3）2-1,

•・•在I¥J左侧，平移前后的两条抛物线都卜.降,

k<-3.

【解析】【解答】（1）解：将A坐标代入二次函数表iA式，

.*./7=­1,

故答案为：—1;

【分析】

（1）将4（一2,0）代入y=lx2+bx-4即可求得b；

（2）设80交y轴于点E,根据乙080=需=；,求出E点坐标，进而求出直线80的解析式，联立解析

式，即可求出D点坐标；

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⑶新抛物线设为：y=|(x-m)2-l将D点坐标代入求出平移后的解析式，利用二次函数的性质，进行

求解即可.

(1)解：由题意得，

1X(-Z)2-2/J-4=0»

：.b=­It

故答案为：—1；

(2)解：由(1)知：y=^x2-x—4»

当y=0时，!x2-x-4=0»

解得：X\--2,x2=4,

A5(4,0),

：.OB=4,

设直线B。交y轴于点E,

：.OE=2,

.•・E(0,-2),

设直线8。的解析式为：y=kx-2,将8(4,0),代入解得：k=g,

・1c

・・y=/一2,

联立得

解得：

(3)i?：Vy=ix2—X—4=i(x—l)2—

.二新抛物线设为：y=^(x—m)2—

z.乙

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由⑵知。（-1,-分且平移后的抛物线经过点D,

.51/d、29

.­2=2x(—1-m)—2,

.*.mi=-3,m2=1（不合题意，含去）,

Ay=1(x+3)2-1,

•・•在I¥J左侧，平移前后的两条抛物线都卜.降,

**•k<-3.

22•【答案】（1）证明：TCE为0。的直径，J.LCAE=90°,

：.^BAC+^EAB=90°,

\^BAC=乙BCD,

：.^BCD+AB=90%

'：/-BAE=乙ECD,

:.乙BCD+乙ECD=90°,

:,乙ECB=90°,

•・・CE为。。的直径，

・・・BC是。。的切线；

(2)蟀：'：^BAC=^BCDf乙B=,：.LBACBCD,

.BC_BA

••前一品’

'：AB=4V2,D为4B中点,

,80=AD=2&，

:・BC2=AB・BD=16,

：.BC=4：

(3)解：如图，过点A作A"_LCD于点E

在RMAFD中,cosZ-CDA=AD=20，

：.DF=1,

：-AF=夕，

'：LBAC〜ABCD,

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・ACAB472后

••诙=阮='=旧

设CO=x,^AC=V2x，

.\CF=x-l,

在中，AC2=CF2-VAF2,

•,«(V2x)2=(x-l)24-(V7)2»

解得％=2,x=-4(舍去)，

：.CD=2,AC=2VL

•・2力EC与乙4DC都是At:所对的圆周角，

：.^AEC=Z-ADC,

•・・。£为。。的直径，

・"&4E=90°,

•eAcr%。•yrnAA?，7V14

・・sg!ZEC=CE=sm^CDA=—=—=

・2J2V14

♦F二丁’

,•GE=-y—,

・・・o。的半径为竽.

【解析】【分析】(1)证明NECB=90。，即可得BC是。。的切线；

(2)先证明△B4C〜△BCD,得到兽=餐，即可解答；

(3)过点A作AFICO于点F,设CO=x,则4C=&如CF=x-1,根据勾股定理构造方程，求得CD,

根据正弦的定义即可求解.

(1)证明：TCE为。。的直径，

"CAE=90°,

：.^BAC+^EAB=90°,

'：Z-BAC=乙B