勾股定理的逆定理及其应用（知识解读+例题讲义+随堂检测）原卷版-2024人教版八年级数学下册

第03讲勾股定理的逆定理及其应用

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部导航1考点清单

考点1：勾股定理逆定理的定义

考点2:勾股定理逆定理的应用

国导航2重难点

重点：

（1）掌握逆定理的内容，明确“先找最长边，再验证平方和”的核心判定流程，能准确判

断三角形是否为直角三角形。

（2）能将实际场景（如检测垂直）转化为数学问题，用逆定理解决实际问题

难点：

（1）突破“定理是直角三角形的性质（由直角得边的关系），逆定理是直角三角形的判定

（由边的关系得直角）”的逻辑混淆，理解二者的互逆关系

（2）引导学生理解“参数可能为最长边”的情况，掌握分类讨论的思想，避免漏解°

（3）学会结合其他几何知识（如等腰三角形、四边形性质）构造边长关系，再利用逆定理

判定直角，突破“找边长一判直角一求未知量”的综合解题逻辑。

（4）理解并运用数形结合思想（边的数量关系与直角的几何关系）、分类讨论思想（含参

数问题）、建模思想（实际问题转化为数学模型）

知识梳理三力

知识点：勾股定理的逆定理

1.定义：如果三角形的三条边长a,b,C,满足/+尸=。2,那么这个三角形是直角三角

形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否

为直角三角形.

2.如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定最大边（如C）.

（2）验证c?与/+从是否具有相等关系.若/="+〃，则^ABC是/c=90°的

直角三角形；若///十从，则aABC不是直角三角形.

注意：当/+/72Vd时，此三角形为钝角三角形：当时，此三角形为锐

角三角形，其中c为三角形的最大边.

题型精讲

【题型1判断三边能否构成直角三角形】

【典例1】下列四组线段中,可以构成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.2,3,4c.V2,V5>VsD.夕，V3,4

【变式1】下列各组数据中,能作为直角三角形的三边长的是（)

A.1,2,3B.5,5,3C.6,7,8D.5,12,13

【变式2】满足下列条件的△48C,不是直角三角形的是（）

A.c2=b2-a2B.a:b:c=3:4:5

C.Z.C=Z.A-Z.BD.Z.A:乙B:Z.C=3:4:5

【变式3】若△ABC的三个顶点A、8、C所对的边分别为a,b,c,则下列条件中能判断△

48c是直角三角形的是（）

A.Z.A：Z.B：Z.C=3：4：5B.LA=25°,乙B=75°

C.a=1»b=2,c=3D.a=>/2,b=x^5»c=V3

【题型2在网格中判断直角三角形】

【典例2】如图，正方形网格的每个小方格边长均为1,A48C的顶点在格点上，则△力BC的

形状为（）

A

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断

【变式1】如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,点4B,C均在网格

线的交点上.

⑴直接写出△48C三边的长度.

(2)判断△48C的形状，并说明理由.

【变式2】如图，每个网格正方形的边长为lcm,MBC的三个顶点都在小正方形的格点上,

求:

⑴求△A8C的周长.

⑵判断的形状，并求其面枳.

⑶求边力。上的高.

【变式3】如图，在边长为1的正方形网格图中有一个Zi/IBC.

⑴画出△ABC关于直线MN的对称图形△DEF(不写画法).

(2公力8。是直角二角形吗？请说明理由.

【题型3利用勾股定理的逆定理求解】

【典例3】如图，在四边形力BCD中，AB=3,BC=4,zF=90°,AD=5,CD=5企，求四边

形力BCO的面积.

【变式1】已知：如图，匹边形A8C0,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,且481BC.求

四动形48co的面积.

【变式2】如图，在△48C中，。为边8c上的一点，=13,AD=12,AC15,BD=5.

(1)请说明/40_LBC.

(2)求△R8C的面枳.

【变式3】如图，一块硬纸板，测得力8=12,BC=3,CD=4,£M=13,4BCD=90。.求这

块硬纸板的面积.

【题型4勾股定理逆定理的实际应用】

【典例4】口袋公园，也称袖珍公园，是指面向公众开放、规模较小形状多样、具有一定游

憩功能的公园绿化活动场地，包括小游园、小微绿地等，如图，四边形48CD是某市一

口袋公园的平面示意图.经测量，桃李园3在入口A的正南方向40m处，入口C在桃

李园4的正东方向30m外，玫瑰园。与入口。相距120m,玫瑰园。与入口A相距

130m.求这个口袋公园的面积.

【变式1】如图，CD为某种帐篷支架的立柱，BC和4C分别为两侧坡柱.安装时要求A,

B三点固定在地面上，CD14B于点D,且44CB<90°.如果按AC=20m,BC=15m,

CD=12m进行设置，请判断此支架是否合格.

ADB

【变式2】某公园是人们健身散步的好去处，从4点到。点有两条路线，分别是A-8和

A-C-D.经测量HB=90米，4c=150米，点。在点B的正东方120米处，点。在点C

的正北方50米处.

⑴试判断与"的位置关系，并说明理由；

⑵通过计算，请你求出点C到路线BD的最短距离.

【变式3】为持续提升居民生活环境品质，打造"颜值"与"内涵〃并重的生态宜居环境，某市

积极开展"市容环境卫生整治行动•植绿种树〃活动.志愿者在某小区临街的拐角处清理

出一块四边形空地4BCD如图)进行绿化，经测量乙48c=90。,48=14米，BC=48米,

CD=40米，AD=30米.

(1)求证：Z-ADC=90°.

⑵求空地A8CD的面积.

因随堂检测

1.下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.4,5,6D.3,4,5

2.在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,下面的三角形是直角三角形的是（）

Bi

A.：：：：：B.l：：O：：：：：

H公

c.：：：：：D.：：：：：

3.如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走84BC两条路可到达公路，经测量

BC=60m,BA=80m,AC=100m.现需修建一条小路从学校B到公路，则这条小路

的最短距离为（）

3

B

A.24mB.30mC.48mD.50m

4.在△ABC中，三条边长分别是a、b、c,Ka2=b2-c2,则△48C的形状是,

5.如图，每个小正方形的边长都为1,点A、B、。均在格点上（即小正方形的顶点上），

则图中乙4BC的度数为

6.如图，每个小正方形的边长均为1,A,B,C,。均为格点.

⑴直接写出下列线段的长度：AB=_,AD=_：

(2)连接80,判断△480形状，并证明你的结论.

7.政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区.已知/C=90。，AB=200m,

AD=150m,BC=70m,CD=240m.政府计划投入240万兀进行打造，预计每平方

米的费用为100元.通过计算说明政府投入的费用是否够用.

8.如图，在△ABC中，AB=1Q,AC=8,BC=6,DE是AB的垂