2025年人教版八年级数学上册 分式的基本性质（题型讲练+习题巩固）解析版

第02讲分式的基本性质

01段?后Rd

课程标准学习目标

1.掌握分式的基木性质，并能够通过性质对分式进行熟练的变

①分式的基本性质

形。

②分式的约分

2.掌握分式的约分和通分的方法，并能够运用分式的基本性质对

③分式的通分

分式进行熟练的通分和约分。

02

分式的■本性版

03旺工工

知识点01分式的基本性质

I.分式的性质的基本内容:

分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式,分式的值不变.

2.式子表达:

AACAA+C

（A、8、。均是整式且CWO）

B^C

3.分式的符号改变法则：

分式的分了，分母以及分式本身均有符号，改变其中任意符号分式不会发生改变。

即：4=0=_口=_j_

B-BB-B

【即学即练1】

1.不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（）

2

A.2aB.口口

mm+1mm2

2,2,

a—b_,-a-b.

Cr・■=a-bDn."—=~1

a-ba+b

【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于。的整式，分式值不变据

此即可得出答案.

【解答】解：A、原选项变形错误，不符合题意；

B、原选项变形错误，不符合题意；

C、原选项变形错误，不符合题意；

D、卫空■二（史田二原选项变形正确，符合题意；

a+ba+b

故选：。.

【即学即练2】

2.根据分式的基本性质，分式二可变形为（）

a+b

AA.—acB.—a—C.-arDx.-a

a+b-a-ba+ba-b

【分析】分式的恒等变形是依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个非。的数或式

子，分式的值不变.

【解答】解：二

a+ba+b

故选：C.

【即学即练3】

3.若把分式正中的x和），都扩大到原来的2倍，那么分式的道（）

xy

A.扩大为原来的2倍B.不变

C.缩小为原来的工D.缩小为原来的』

24

【分析】根据分式的性质：分子分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，可得答案.

【解答】解：把分式卫中的x和），都扩大到原来的2倍，

xy

2x+2y1xx切

2x・2y2xy

分式的值缩小为原来的!，

2

故选：C.

知识点02分式的约分

1.公因式的概念：

一个分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的公因式。

2.公因式的求法：

对分子分母进行因式分解，然后求出系数的最大公因数与相同式子的最低次一。他们的

乘枳为公因式。

3.最简分式的概念：

分子分母没有公因式的分式叫做最简公因式。

4.约分的概念:

根据分式的基本基质，把分子分母的公因式约去,这个过程叫约分。

5.约分的步骤：

①对分式中能因式分解的分子或分母先进行因式分解。

②约去分子分母的公因式即可。

【即学即练1】

4.分式虫成中分子、分母的公因式为4小〃.

201n2n

【分析】观察分子分母，提取公共部分即可得出答案.

【解答】解：分式4mq中分子、分母的公因式为4/〃〃；

201rl2n

故答案为：4//:/?.

【即学即练2】

5.下列各式是最简分式的是（）

c22

A.B.X~y-

12xx-y

【分析】根据最简分式的概念判断即可.

【解答】解：A、工」，不是最简分式，不符合题意;

12x4x

22

B、x-y1”不是最简分式，不符合题意；

x-y

c、:一，是最简分式,符合题意；

x2+y

。、家二三，不是最简分式，不符合题意；

5.72

故选:C.

【即学即练3】

6.化简下列分式:

、322

⑴3xy⑵x-16

6x2y3X2-8X+16

【分析】（1）根据分式的约分的方法可以化简本题；

（2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题.

o32o22

【解答】解:3xy_3xy*x__x_.

「2322n9v

6xyo3xy・2y乙了

r)%2-16_(x+4)(x-4)_x+4

x2-8x+16(X-4)2X-4

知识点03分式的通分

i.通分的概念：

根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式值一相等的同分母的分式的

过程叫做通分。这个相同的分母叫做最简公分母°

2.最简公分母的求法：

最简公分母=所有系数的最小公倍数义所有因式的最高次'幕。对能进行因式分解的分母

先因式分解，在确定所含有的因式。

3,通分的步骤：

①将所有能分解因式的分母分解因式。

②求出最简公分母。

③利用分式的性质在分子分母上同时乘一个因式,使分母变成最简公分母。

【即学即练1】

7.分式」^与一%的最简公分母是（）

2ab6ab^c

A.abcB.a2b2cC.60fcD.12a2h2c

【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次哥的枳作公分母，这样的公分母叫做最简公分

母.当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次凝，所有不同

字母都写在积里.

【解答】解：在分式一^与一j中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次察的积即最简

2a'b6ab'c

公分母为：6alM

故选：C.

【即学即练2】

8.分式与L,,--2_的最简公分母是()

x-X.xz-lxz+2x+l

A.(A-2-x)(A-+1)B.(?-I)(x+l)2

C.x{x-\)(x+1)2D.x(x+1)2

【分析】先把分式的分母分解因式，再找出最简公分母即可.

【解答】解：Vx2-x=x(x-1),x2-1=(x+1)(x-1),』+2]+1=(x+1)2

・•・分式号L，一一，-三工一的最简公分母是X(X-1)(X+l)2.

x^-xx^-lx，2x+l

故选：c.

【即学即练3】

9.通分：

(1)——--—-^―；(2)—―

(2x-4)/6x-3x^x-48xy3x2yz6xz2

【分析】(1)利用分式的基本性质把分母都化为12r(x+2)(x・2)2即可；

(2)用分式的基本性质把分母都化为240斗2即可.

【解答】解：(1)———-----S'2(x+2)―

(2x-4)24(x-2)212x(x+2)(x-2)2

1_1_4(x+2)(x-2),

6x-3x23X(X-2)12X(X+2)(X-2)2’

2x_24x2(x-2)

X2-412X(X+2)(X-2)2

2_16x?z

3x2y3z24x4y3z2

5_20x3y3z

6xz224x4y3z2

04^S3

题型OI根据分式的性质判断分式的变形

【典例1］下列式子从左到右的变形不正确的是（）

A.B.工二二C.工二D.23

bmbxxx-xbb+1

【分析】根据分式的基本性质对各选项进行判断即可.

【解答】解：4四1■变形正确，故选项A不符合题意；

bmb

B.X二二，变形正确，故选项8不符合题意；

XX

CZ=2X,变形正确，故选项C不符合题意；

X-X

D2产变形不正确，故选项。符合题意.

b"b+1

故选：D.

【变式1］下列式子从左到右变形一定正确的是（）

A.包工B.2上1

bb2bb+1

2,2

「aX+b,

C-a+bD

a+b转

【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答.

.2

【解答】解：4、包和餐不一定相等，故4不符合题意;

bb2

B、且和义里•不•定相等，故3不符合题意;

bb+1

2.,2

C、-------和“+》不一定相等，故C不符合题意;

a+b

D、==且，故。符合题意;

-bb

故选：D.

【变式2】下列式子从左到右变形正确的是（）

2

m+1m-

XZ_=BD-=-+]

,2~

nn11nn

2,2

cinmnm+n_

c.---------;=m+n

-nnm+n

【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一-判断即可解答.

2

【解答】解：A、/N皿，故A错误，不符合题意;

2n

n11

B、生旦=皿+工，故8错误，不符合题意；

nnn

C、旦=口，故C正确，符合题意：

-nn

2.2

D、耳上一片小+〃，故。错误，不符合题意;

m+n

故选：C.

【变式3】下列各式中，正确的是（）

a+2_a：-4

Rbb+2

2

a-2(a-2)aa+2

b_1D-a+b_a+b

a+2ba+2cc

【分析】根据分式的基本性质即可求出答案.

【解答】解：A、原式=（a+2）（a：2）=，-4故从符合题意.

（a-2）2（a-2）2

B、上卉且2,故8不符合题意.

aa+2

b于1

故C不符合题意.

a+2ba+2

D、原式=-^竺，故。不符合题意.

c

故选：A.

题型02判断分式的倍数变化

【典例1】若把分式誓中的％和S都扩大为原来的3倍，那么分式的值（）

2xy

A.扩大为原来的3倍B.不变

C.缩小为原来的工D.缩小为原来的』

36

【分析】先根据题意得出算式，再根据分式的基本性质得出即可.

【解答】解：、改〈

2X3x-3y

,3(x+y)

18xy

_x-Hy

6xy

-1.x-ny

32xy

所以如果把分式誓中的x和），都扩大为原来的3倍，那么分式的值缩小为原来心,

2xy3

故选：C.

2

【变式1】将分式工工中的x,y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（）

x-y

A.扩大6倍B.扩大9倍C.不变D.扩大3倍

【分析】将原式中的泉y分别用3x、3），代替，化简，再与原分式进行比较.

2

【解答】解：•・•把分式工工中的工与y同时扩大为原来的3倍，

x-y

・・.原式变为：旦&=22X=9X五，

3x-3yx-yx-y

・・・这个分式的值扩大9倍.

故选：B.

【变式2】若分式中的右,，都扩大原来的3倍，那么分式的值（）

3x-2y

A.扩大为原来的9倍B.扩大为原来的3倍

C.不变D.缩小到原来的

3

【分析1根据题意先将x,），都扩大原来的3倍，再与原来的分式进行比较即可.

【解答】解：分式的，，，，都扩大原来的3倍变为：盛等惠=釜翳=悬，

即x,1y都扩大原来的3倍后分式的值不变,

故选：C.

题型03判断最简分式

【典例1】下列分式中，不是最简分式的是（）

22,2

A工B.HIJ

222

yx-y

D.3

C・普2xy+y"

【分析】根据最简分式的定义判断即可.

2

【解答】解：4、三是最简分式，不符合题意;

y

Y22

B、今3厂是最简分式.不符合题意;

22

x-y

当是最简分式，不符合题意:

C、

a-3

2x+y2x+y1

D、不是最简分式，符合题意;

2xy+y2-y⑵⑺-y'

故选：D.

【变式】分式妃红，马222

1LX-xy+y,,a+2a?中,最简分式有（）

4ax4-l乂+丫ab-2b2

A.I个B.2个C.3个D.4个

【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分.判断的方法是把分子、分母分解

因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分.

【解答】解：分子分母有公因式/-

x4-l

229

立以--xy+y,；三+2*这三个是最简分式.

4a'+了ab-2b2

故选：C.

【变式2】从代数式：3,«2-I,。+1中任选两个，组成一个最简分式（答案不唯…）.（写出

-a+l

一个即可）

【分析】根据最简分式的定义即可求解，最简分式定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时

（即分子与分母互素）叫最简分式.

【解答】解：分式为旦.

a+1

故答案为：旦(答案不唯一).

a+1

题型04分式的约分

【典例1】化简川的结果是()

m2-8m+16

A.mB.4-川C.D.

m-44-m

【分析】先把分式的分子和分母分解因式，再进行约分即可.

［解答］解：期f—

m2-8m+16

_-m(m-4)

(m-4)之

=-JL

m-4

_m

4-m

故选：D.

【变式1】下列约分结果正确的是()

8x2yz2_8z22

••西三FB.

C.一32妹］=.W+1D.史国第

m-lb+mb

【分析】依据分式的基本性质进行变化，分子分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值

不变.

【解答】解：A、声过冬,错误；

12x2y2z3y

B、»，错误；

x-yx-y

*22

G-m^2m-l=,(m-l)=_w+h正确；

m-lm-l

D、分式史码的分子、分母都是两数和的形式，没有公因式，不能进行约分，错误.

b+m

故选：C.

【变式2】化简：

、2ax2yx2-2xy+y2

3oaxy2x2-y2

【分析】(I)约去公因式办》可得结论；

(2)先分解因式，再约去公因式x-y.

【解答】解：⑴；

3axyZ

--2-x-:

3y

(2)x2-2xy+y2

22

x-y

2

=(x-y)

(x-y)(x+y)

-x-y

x+y

32

【变式3】先约分，再求值：Jfb其中”=-2,

322

a-4ab+4ab?

【分析】先把分式的分子分母分解因式，约分后把。、〃的值代入即可求出答案.

［解答］解：原式:a?2——2)

a(a2-4ab+4b2)

_a(a+2b)(a-2b)

a(a-2b)?

a+2b

a-2b

当a=-2,0=2时，

2

原式与V

-2-2X13

题型05求分母的最简公分母

【典例1］式子—一,七，二^的最简公分母是()

2xJy3x‘6xy^

A.36.r>'2B.24，/C.12?)?D.6AV

【分析】先确定2、3、6的最小公倍数，再取入、)，的最高次塞，然后把它们的积作为最简公分母.

【解答】解：式子—一,与，」方的最简公分母是

2x，3x‘6xy"

故选：D.

【变式1］分式与一肛二的最简公分母是()

2x+2y(x+y)2

A.(x+y)2B.2G+y)3C.2(x+y)2D.2x+2y

【分析1先把卢卫因式分解，再根据最简公分母的概念解答.

2x+2y

【依"解：2^r=2(x4)

x-y弓xy的最简公分母是2(x+y)2

2x+2y(x+y)2

故选：C.

【变式2】下列三个分式"一，—,上。中的最简公分母是—)2(1+工)

x—X.x-2x+lK+K'

【分析】确定最简公分母的方法是:

(I)取各分母系数的最小公倍数；

(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；

(3)同底数累取次数最高的，得到的因式的枳就是最简公分母.

【解答】解：三个分式"一，—,上，中的最初公分母是工(x-1)2(1+x)

xz-xx-2x+lx+xz

故答案为：x(x-1)2(1+x).

题型06分式的通分

Q2

【典例1］若将分式与分式「通分后,分式X的分母变为2(x-y)(x+y),则分

v2-v22(x-y)2(x-y)

式:9的分子应变为()

A.6，B.x(x+y)C.x2D.3.r2(x+y)

【分析】利用分式的性质分别进行通分把分母变为2(x・y)(x+y),即可求解.

x_x(x+y)

【解答】解:

2(x-y)~2(x-y)(x3)

2u2

.3x3x___________6x

22

x.y(x-y)(x+y)2(x-y)(x-fry)

・•・分式:”.的分子应变为6r2,

故选：A.

【变式1］将分式」不与分式J*1通分后,J*1的分母变为(1+〃)(1-4/)2,则」方的分

l-aza-2a+la-2a+ll-az

子变为()

A.1-aB.1+uC.-\-aD.-l+«

【分析】找出两分式分母的最简公分母，利用分式的性质判断即可.

【解答】解.：两分式的最简公分母为(1+。)(1・4)2

1______1___________1-a

*22

1-a(l+a)(l-a)(l+a)(1-a)

则」V的分子变为1

1-a2

故选：A.

21

【变式2】通分—

x-6x+9>2-9，3X-9

【分析】找出各项中两式的最简公分母，通分即可.

【解答】解：它们的最简公分母是3(x-3)2(x+3),

1二3x+9

x“-6x+93(x-3)2(x+3)

2二6x-18

X2-93(x-3)2(x+3)

纭-93(X-3)2(X+3)

【变式3】通分：

2222,

ix+2xy+yx-y

(2)1,3,x

22

2x+2'x-fX+2X+1

【分析】依据最简公分母的概念，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幕，

即可写出各分式的最简公分母：接下来结合所得最简公分母，将两组分式利用分式的基本性质变形为同

分母的形式即可得解.

【解答】解：⑴x(x.)2,丫丁，2(产)：

(x+y)Z(x-y)(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)

⑺(x+1)(x-l)6(x+1)2x(x-1)

2(x+1)2(x-1)2(x+1)2(x-1)2(x+1)2(x-l)

05强化训练

2

亡之，豆也中，最简分式的个数是（）

1.下列分式3,4x+兀

ab2m+4xb-2b-a

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据最简分式的定义逐个判断即可.

【解答】解:本《就二焉丘鱼=什2,这三个不是最简分式,

b-2

所以最简分式有：三匹，亘也，共2个，

xb-a

故选：B.

2.阅读下列各式从左到右的变形

（।）0.2a+b_2a+b

a+0.2ba+2b

（2）Xi；x+l

x-yx-y

⑶1+1二—x-y）

x-yx+y

⑷1二a+1

a

你认为其中变形正确的有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

【分析】（1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数,分式的值不变，可得答案:

（2）根据分式、分子、分母改变其中两项的符号，结果不变，可得答案；

（3）根据分式的加法，可得答案；

（4）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数，分式的值不变，可得答案.

【解答】解：（1）分子分母乘以不同的数，故（1）错误；

（2）只改变分子分母中部分项的符号，故（2）错误;

（3）先通分，再加减，故（3）错误；

（4）分子分母乘以不同的数，故（4）错误；

故选：D.

2

3.将分式三一中小y的值都扩大到原来的3倍，则扩大后分式的值（）

x+y

A.扩大到原来的3倍B.扩大到原来的9倍

C.不变D.缩小到原来的2

3

【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质化简即可.

【解答】解：（3x）2=丘2

3x+3y3（x+y）x+y

即分式的值扩大到原来的3倍，

故选：A,

4.下列说法错误的是（）

A.当x=2时，分式一L无意义

x-2

B.当x>5时，分式’的值为止数

x-5

2_

C.当分式旦善Q;0时，〃?=±3

m+3

D.分式g与工的最简公分母是九廿

3aab2

【分析】根据分式无意义的条件判断A：根据分式值为正数的条件判断距根据分式的值为。的条件判

新C；根据确定最简公分母的方法判断/）.

【解答】解：A、当x=2时，分式，无意义，故本选项说法正确，不符合题意；

x-2

B、当x>5时，分式二一的值为正数，故本选项说法正确，不符合题意；

x-5

C、当分式旦孚=0时，/〃=3,故本选项说法错误，符合题意:

m+3

D、分式2与一'的最简公分母是3a庐，故本选项说法正确，不符合题意;

3aab2

故选：C.

5.下列说法正确的是()

A.若分式2*的值为0,则工=±2

x-2

2Q2

B.-J-uy,是最简分式

x2-6xy+9y2

C.把分式上匕中的工和)，都扩大到原来的4倍，那么这个分式的值扩大为原来的4倍

x+y

D.------------与---------的最简公分母是ab(x・y)(v~x)

a(x-y)b(y-x)

【分析】A.由分式值为零的条件得/-4=()且x-2W0,即可判断;

B.将分子分母进行因式分解，由最简分式的定义即可判断;

C.按要求扩大倍数进行化简，即可判断;

D.按最简公分母定义找出最简公分母，即可判断.

2_A

【解答】解：A.分式工的值为0,则f・4=0且x-2W0,解得x=2,结论错误，故不符合题意;

x-2

22

B..J-(x+3y)(x[y)=上冬结论错误，故不符合题意;

x2-6xy+9y2(x-3y)2x-3y

c-=(吗2+(4y)2=4(J+y",结论正确，故符合题意；

x+y4x+4yx+y

D.最简公分母是"(x-y),结论错误，故不符合题意:

故选：C.

6.分式」-----!_、-^^的最简公分母是()

2J

x-^yx-yX_V

A.(x+y)(x-y)B.(x+y)Cx-y)(x2-y2)

C.(x+y)(?-/)D.(x-y)(?-/)

【分析】根据最简公分母的概念解答即可.

【解答】解：分式二一、二j—二的最简公分母是G+v)(.”)，)，

x刊x-yY2_2

故选：故

2

7.分式化简得上，则x应满足的条件是()

2

x+xA1

A.x>0B.x<0C.xWO且挣-1D.

【分析】根据分式有意义的条件、分式的约分法则解答即可.

2

【解答】解：当，+xW0,即xWO和-1时，T—»

2

X+XX+1

故选：C.

8.如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.下列分

式中，是“和谐分式”的是()

A乂2〉2B-^―

22

・x-xy+y

「4x+2yx2-2xy+y2

x2-4y22x-2y

【分析】根据题目中的新定义，对各个选项进行变形，然后即可判断哪个选项符合题意.

22

【解答】解：x-y_=.(工切(x-y」+y,故选项人不符合题意;

x-yx-y

丁-的分子分母都不能分解因式,故选项B不符合题意;

x2-xy+yz

4x+2y_2(2x刊)

故选项C符合题意;

22

x-4y(x+2y)(x-2y)

22故选项。不符合题意;

x-2xy4-y=

2x-2y2（x-y）2

故选：C.

9.把'-I与」^通分后,a-l的分母为(i・")("I)2,则，的分子变为（）

a'+2a+l1-aa/+2a+l1-a

A.I-aB.\+aC.-\-aD.-\+a

【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案.

【解答】解:1_1_1+a

22

1-a(l-a)(l+a)(l-a)(1+a)

故一、•的分子为1+4.

1-a2

故选：B.

10.把二一，——,——通分后，各分式的分子之和为（）

2

3a+6a+2a+la'+3a+2

A.2a2+7a+llB.〃2+8a+l()

C.2『+4。+4D.4«2+lk/+13

【分析】先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行解答即可.

__]_(a+])2

【解答】解:

3a+63(a+2)3(a+l)2(a+2)

2二6(a+2)

a2+2a+l3(a+l)2(a+2)

a_3a(a+1)

a2+3a+23(a+1)2(a+2)

所以把二1_,-2_,_—通分后，

3a+6a'+2a+la'+3a+2

各分式的分子之和为-(a+1)2+6(a+2)+3a(a+1)=2a2+7a+ll,

故选：A.

11.若20:上成立,则一的取值范围是xwi

3(x-l)3

【分析】根据分式的基本性质即可求出答案.

【解答】解:由题意可知：.11X0,

•'xW1,

故答案为；xWl

12.若小为实数，分式屋；+2),不是最简分式,则〃4o,-4

x旭

【分析】直接利用最简分式的定义结合分式的性质得出答案.

【解答】解：・.・分式乂(；+2)不是最简分式,

x+m

・・.〃?=0或-4时，都可以化简分式.

故答案为：0,-4.

【分析】由包建，得代入所求的式子化简即可.

b33

【解答】解：由包上，得〃=4b，

b33

右

.・a2b_2b=2

a+b2b+b2b+3b5b5

3

故答案为:-I-

2

14.小丽在化简分式三二红土二士时,*部分不小心滴上了墨水，请你推测*部分的式子应该是

x2-l"I

【分析】直接利用分式的性质结合约分即可求解.

【解答】解：•・•x?x.二,

x2-lx+1

(x-1)2_*

(x+1)(x-l)x+1

・

■■-X-----l-=----*--,

x+1x+1

・•・*部分的式子应该是1,

故答案为：X-1.

15.已知也-=2,上1=3,匹=1,则一正一=_—

a+bb+ca+cab+bc+ac-11

【分析】分别把已知的三个等式的分子分母倒过来,然后利用分式的性质化简，最后把所求分式也倒过

来即可求解.

【解答】解：因为也=2,*=3,上=1,

a+bb+ca+c

所以旦=2①，—=工②，立=|③，

ab2be3ac

①+②+③得豆也+士工+豆上=工+工1,

abbeac23

通分可得2(ab+bc+ac)=工,

abc6

所以ab+bc+ac_11

abc12

所以—典—=12

ab+bc+ac11

故答案为：芥

22

16.(1)通分：一2'丫和—J(2)约分：mf

(x打产x2-y2m2+2mn+n2

【分析】(1)通分时先分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，计算即可;

(2)先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，计算即可.

【解答】解：2xy”

(x+y)2(x+y)2(x-y)

x_x(x+y).

x2-y2(x+y)2(x-y)

(2)原式=(1n-)(m：n)

(mF)2

m-n

m+n

17.已知三个整式f+4x,4x+4,x2.

(1)从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解：

(2)从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分.

【分析】(1)先找出两个整式的和，再看看能否分解因式即可；

(2)先找出两个整式分别作为分式的分子与分母，再看看能否约分即可

【解答】解：(1)』+(4x+4)=(x+2)2或/+(』+4x)=2X2+4X=2X(X+2)；

(：2)x2+4x_x(x+4)_x+4或x2_x2_x

22

xxxx2+4xx(x+4)x+4

18.阅读下列解题过程，然后解题：

题目：己知」_一_二_(〃、b、C互不相等)，求X+)，+Z的值.

a-bb-cc-a

解：设.2—=_X_二z=k，Mx=k(a-b),y=k(b-c),z=kCc-a),

a-bb-cc-a

.".x+y+z=k(a-b+b-c+c-a)=Z・0=0,/.x+j+z=O.

依照上述方法解答下列问题：

已知：在其中x+y+zw。，求空江的值.

xyzx+y+z

【分析】根据提示，先设比值为上再利用等式列出三元一次方程组，即可求出女的值是2,然后把x+y

=2z代入所求代数式.

【解答】解：设江=£三=一=*,

y

y+z=kx(1)

则：＜x+z=ky(2)，

x+y=kz(3)

(1)+(2)+(3)得：2x+2y+2z=&(x+y+z),

•.,.t+y+zWO,

:・k=2.

，原式=2z-z_z_1

2z+z3^^

19.阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为

带分数.如：/卷=居.我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数

大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真

分式”.如工