第三十五章 投影与视图（知识+4大易错+易错训练）-人教版（五四制）九年级数学下册【含答案】

第三十五章投影与视图

思维导图

概念:日平行光线形成的投影叫平行投影

二平行投影

投影正投账

中心投容—IS念:由点光源发出的膜挽成的投影叫中心投影

投影与视觇图：物体的正投账叫做视图

r主视图

俯视图

左视笛

王立体图形画三视39的原则

由三视EE描述立体垩彩

知识清单

一、生活中的几何体

1.常见的几何体的分类

在丰富多彩的图形世界中，我们常见的几何体有长方体、正方体、棱柱体、棱锥体、圆柱体、

圆锥体、球体、台体等.

2.点、线、面、体的关系

（1）点动成线，线动成面，面动成体;

（2）面面相交成线，线线相交成点.

要点诠释：体体相交可成点，不一定成线.

3.基本几何体的展开图

（1）正方体的展开图是六个正方形；

（2）棱柱的展开图是两个多边形和一个长方形;

（3）圆锥的展开图是一个圆和一个扇形；

（4）圆柱的展开图是两个圆和一个长方形.

二、投影

试卷第1页，共14页

1.投影

用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所

在平面叫做投影面.

2.平行投影和中心投影

由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投

影.

3.正投影

投影线垂直投影面产生的投影叫做正投影.

要点诠释：正投影是平行投影的一种.

4.灯光下的影子与太阳光下的影子的区别

（一）太阳光线是平行的，太阳光下的影子与物体的高度成比例；灯光光线是发散的，灯光

下的影子与物体的高度不成比例.

（二）同一时刻，太阳光下的影子都在同一方向，而灯光下的影子都在同一方向，而灯光下

的影子则不一定.

（三）灯光是从•点发出的，所有物体的顶端和影子的顶端所直线必过发光点；而太阳光是

平行光

三、物体的三视图

1.物体的视图

当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的视图.

我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面,

右边的叫做侧面.

一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做

主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向

右观察物体的视图，叫做左视图.

要点诠释：三视图就是我们从三个方向看物体所得到的3个图象.

2.画三视图的要求

（1）位置的规定：主视图下方是俯视图，主视图右边是左视图.

（2）长度的规定：长对正，高平齐，宽相等.

要点诠释：主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽.

3.常见几何体的二视图

试卷第2页，共14页

视图几何体主视图左视图俯视图

0□IJ□

A△Ao

0rr.o

Aa◎

©oOo

&丑—LLU

4.由视图到立体图形

由视图现象实物时不像由实物到视图那样唯一确定，要借助于三个视图综合分析、想象，仅

仅一个方向的视图只能了解物体的部分信息.由一个视图往往可以想象出多种形状的物体,

根据视图只能描述物体的形状.

注意

三个视图的作用：由视图描述物体的形状，三个视图可以提供不同的信息.

（一）主视图：由主视图可以分清物体的长和高，主要提供正面的形状.

（二）左视图：由左视图可以分清物体的高和宽.

（三）俯视图：由俯视图看不出高度，这一点认识很重要.由俯视图可以分清物体的长和宽.

易错总结

试卷第3页，共14页

易错01误解平行投影与中心投影

一、核心易错点

1.概念混淆：误将平行投影（如太阳光照射）与中心投影（如灯光照射）的投影特征混为

一谈，认为所有投影的形状、大小都与原物体一致.

2.性质误用：在解题时错误套用两类投影的性质，比如用中心投影的“物高与影长不成固

定比例”来分析平行投影问题，反之亦然.

3.场景判断失误：无法根据题目给出的投影现象准确判断属于哪类投影，尤其在无明确光

源提示的复杂情境中容易出错.

二、方法总结

1.概念区分法（抓本质）

对比维度平行投影中心投影

光源特征平行光线（如太阳光）点光源（如灯泡、手电筒）

投影性质同一时刻、同一地点，物高与影长成正比物高与影长不成固定比例，物体离光源

越近，影子越大

图形特点投影与原物体的形状、大小相似（特殊情况全等）投影与原物体可能相似，也可

能变形

2.解题步骤法（三步走）

1.判类型：根据题干中的光源描述或投影现象，判定是平行投影还是中心投影；

2.套性质：针对投影类型，套用对应的性质分析问题，比如平行投影优先用“物高/影长=

定值”计算，中心投影优先找“光源、物体顶端、影子顶端三点共线”；

3.验结果：结合实际场景验证答案合理性，比如平行投影的影子方向在同一时刻是一致的，

中心投影的影子方向则各不相同.

3.易错规避法

-牢记特殊案例：平行投影中，当物体与光线垂直时，影子最短；中心投影中，物体高点光

源越近，影子越长.

-画图辅助分析：遇到投影问题时，通过绘制光源、物体、影子的示意图，直观呈现三者位

置关系，减少概念误解.

例1：

（25-26七年级上•福建泉州•月考）

1.日展是中国古代利用日影测定时刻的计时器辱'’字，占义是太阳的影子.如图所示的

试卷第4页，共14页

卷针在属面上形成的投影（）

A.是平行投影

B.是中心投影

C.既是中心投影，也是平行投影

D.既不是中心投影，也不是平行投影

易错02投影计算时忽略物体与投影面的位置关系

一、核心易错点

1.默认平行放置：计算投影长度时，想当然认为物体与投影面平行，忽略垂直、倾斜等位

置关系，导致直接用物体实际长度当作投影长度.

2.性质套用错误：将“物体平行于投影面时投影与原物全等/相似”的性质，错误套用到物

体倾斜或垂直于投影面的情况中.

3.三维转二维失误：处理立体图形投影问题时，未考虑不同摆放角度下各面与投影面的位

置差异，导致漏算、错算投影形状和尺寸.

二、方法总结

1.位置关系分类法（分情况讨论）

物体与投影面位置关系平行投影特征计算关键

平行投影与物体的形状、大小一致（平面图形）或相似（立体图形）直接利用物体实际尺

寸计算

倾斜投影为原物体的“压缩版”，长度小于实际长度结合倾斜角度，用三角函数（）计

算投影长度

垂直平面图形投影缩为一条线段;立体图形投影为某一截面轮廓确定投影线段的长度或截

面的尺寸

2.解题四步法（规范流程）

1.定位置：审题时先明确物体与投影面的位置关系（平行/倾斜/垂直），无明确说明时需分

情况讨论：

试卷第5页，共14页

2.选公式：根据位置关系选择对应计算方法，倾斜状态优先用三角函数，垂直状态重点分

析投影轮廓：

3.画简图：绘制物体、光线、投影面的位置示意图，标注角度、长度等已知条件，直观梳

理关系；

4.验合理性：计算后验证结果，比如倾斜时投影长度一定小于物体实际长度，垂直时投影

不会呈现物体完整形状.

3.易错规避法

-标注位置关键词：解题时圈出“垂直于'“'平行于”“倾斜放置”等描述位置的词汇，提醒自己

不可默认平行：

■立体转平面拆解：处理长方体、圆柱等立体图形投影时，将其拆解为不同的面，分别分析

每个面与投影面的位置关系，再整合投影结果.

例2：

（25-26九年级上•广东深圳期中）

2.如图，一条线段44在平面。内的正投影为AB=2,=则/也与的夹

角为（）

A.45°B.30。C.60°D.以上都不对

易错03混淆三种视图的观察方向

一、核心易错点

1.观察方向混淆：误将主视图的“从正面看”、左视图的“从左面看”、俯视图的“从上面看”

的观察角度弄混，比如把左视图当成从右边观察的结果.

2.方向对应失误：绘制或判断视图时，未遵循“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律，出

现主视图与俯视图长度不兀配、主视图与左视图高度不一致的问题.

3.遮挡部分漏标：观察立体图形时，忽略被遮挡的棱或面，绘制视图时未用虚线标注，导

致视图无法准确反映立体结构.

试卷第6页，共14页

二、方法总结

1.观察方向定位法（精准辨方向）

视图类型观察方向核心特征

主视图从正面水平观察反映物体的长和高

左视图从左面水平观察反映物体的宽和高

俯视图从上面垂直向下观察反映物体的长和宽

2.解题绘图三步法（规范操作）

1.定角度：审题时明确要判断或绘制的视图类型，确定对应的观察方向，可在立体图形旁

标注箭头提示：

2.遵规律：严格按照“长对正（主、俯视图长相等）、高平齐（主、左视图高相等）、宽相

等（左、俯视图宽相等）”的原则，对齐视图的尺寸；

3.标虚实：看得见的棱用实线绘制，被遮挡的棱用虚线绘制.确保视图的准确性.

3.易错规避法

-口诀记忆法：记牢“正面看长高，左面看宽高，上面看长宽，虚实分清楚“，快速匹配视图

与观察方向的对应关系；

-实物辅助法：用长方体、正方体等教具实际观察，直观感受不同方向看到的图形差异，加

深对观察方向的理解；

-对比纠错法：收集常见的错误视图案例，对比正确视图分析偏差原因，强化对观察方向的

判断能力.

例3：

（23-24九年级上•河北邯郸期末）

3.如图所示的几何体的主视图是（）

试卷第7页，共14页

易错04画三视图忽略虚实线规则

一、核心易错点

1.虚实混淆：将看不见的被遮挡棱画成实线，或将看得见的棱画成虚线，违背三视图的虚

实标注规则.

2.漏标虚线：绘制立体图形（如空心圆柱、带凹槽的正方体）的三视图时，忽略内部或被

遮挡的棱，未用虚线标注，导致视图无法准确反映立体结构.

3.过度标注：将所有棱都标注为实线或虚线，比如把视图中本就可见的棱额外画成虚线,

造成视图混乱.

二、方法总结

1.虚实线判定规则（核心原则）

线条类型适用情况绘制要求

实线从观察方向能直接看到的棱、轮廓线用粗实线清晰绘制.无遗漏

虚线从观察方向看不见但实际存在的被遮挡棱、轮廓线用细虚线绘制，线条连贯，不省略

关键棱

2.绘图四步法（规避漏标、错标）

1.定视角：明确绘制的是主视图、左视图还是俯视图，确定对应的观察方向.

2.辨可见性：站在对应视角，逐一判断立体图形的每条棱是否可见，标记出“可见棱'’却"被

遮挡楼”.

3.按规则画：可见棱画实线，被遮挡棱画虚线，确保虚实线区分清晰，不混淆.

4.检查补漏：对照立体图形，检查是否有遗漏的被遮挡棱，尤其关注内部结构、凹槽、孔

洞等易忽略的部分.

3.易错规避技巧

-口诀记忆：牢记“看得见的画实线，看不见的画虚线“，绘图时反复默念提醒自己.

-立体拆解法：狂杂立体图形可拆解为简单几何体（正方体、圆柱等）的组合，分别分析每

个几何体的虚实线，再整合视图.

例4：

（24-25九年级上•全国•期末）

4.补全下列几何体的三视图.

试卷第8页，共14页

易错训练

一、单选题

（24-25九年级上•陕西西安,期末）

5.下列各种现象不属于中心投影的是（）

A.中午用来乘凉的树影B.晚卜在房间内墙上的手影

C.都市霓虹灯形成的影子D.陕西皮影戏中的影子

（25-26九年级上•广东佛山・期中）

6.一个几何体如图所示，其俯视图是（）

-nrn

（25-26九年级上•河北保定•期中）

7.桦卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式,如图是某种样卯构件的示

意图，其中卯的左视图为（）.

C.D.

（24-25九年级上•山东青岛•期末）

8.如图，在灯光下，灯光与物体在地面上的影子地合理的是（)

试卷第9页，共14页

（24-25九年级下•江苏无锡•月考）

9.太阳光线与地面成60。的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影48的长

A.9cmB.18cmC.6百cmD.105/3cm

（24-25九年级上•辽宁大连・期末）

10.一枚圆形硬币放在太阳光下，它在平整的地面上的投影不可能是（）

A.线段B.圆C.椭圆D.正方形

（24-25九年级上•广东佛山・期末）

11.如图，一块三角板与投影面平行放置，测得8c=12cm,JC=10cm,8c边的中

心投影8G长为24cm,则力。边的中心投影4c的长为（）

C.15cmD.10cm

二、填空题

（25-26九年级上•全国•课后作业）

12.下列现象属于中心投影的是（填序号）

试卷第10页，共14页

F触

①沙漠中一小树的影子②皮影戏③手影

（24-25七年级上•河南新乡•月考）

13.小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图,则货架上的方便面至少有一

（2023•青海西宁•模拟预测）

14.如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度.阳光下他

测得长L5m的竹竿落在地面上的影长为1.2m,在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影

子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上.他测得这棵树落在地面上的影长8。为

3.6m,落在墙面上的影长6为1.3m,则这棵树的高度是,

⑵-22九年级上•陕西咸阳•期中）

15.如图，木杆甲在灯光下的影长为48,在同一灯光下木杆乙的影长为8.

试卷第11页，共14页

木木

杆杆

甲乙

D

C

A

E..

；

位置

。的

光源

画出

(1)请

段.

长的线

下的影

源。

在光

小树

表示

画出

(2)请

中)

州•期

南郑

上•河

年级

26七

(25-

.

何体

的几

组成

方块

小立

同的

个相

若干

是由

如图

16.

国

在

从左面

面看

从上

面衣

从正

成；

块组

立方

_个小

____

体由_

个几何

(1)这

.

状图

的形

何体

的几

看到

察所

面观

面、左

出从上

(2)画

)

力考

张掖

♦甘肃

年级上

26九

(25-

.

视图

和俯

视图

图、左

的主视

几何体

图所示

画出如

17.

末)

台,期

东烟

上•山

年级

25九

(24-

12

,

4cm

lC=

。，/

1=90

m,乙

—c

rG=

cm,

E=5

.若。

所示

如图

视图

的三

棱柱

直三

己知

18.

.

面积

的侧

棱柱

直三

求该

页

共14

页，

第12

试卷

主视图左视图

D

（25-26九年级上•河北保定•期中）

19.【数学思考】如图，幺8和OE是直立在地面上的两根立柱.AB=6m,某一时刻在

阳光下的投影BC=2m,在阳光下的投影长为3m.根据题中信息：

（1）太阳光下形成的投影属于；（填“平行投影”或“中心投影”）；

（2）在图中回出QE在阳光卜的投影；

（3）求立柱QE的长.

D

LE

B77777////////////////////////////

【解决问题】（4）如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即8c=4m,

还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高CQ为1m,同一时刻，竖直于地面上的im长

的竹竿，影长为1.2m,求这棵古树4?的高为m.

（22-23九年级上•山西太原•期末）

20.小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答:

试卷第13页，共14页

\\C

A\——\BE-----------F

\\

\\

AfB1Drr-

图1图2

⑴如图1,白天在阳光下：小彬将木杆48水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段

49.

①若木杆的长为2m,则其影子49的长为m：

②在同一时刻同一地点，将另一根木杆8直立于地面，请画出表示此时木杆8在地面上

影子的线段。M：

(2)如图2,夜晚在路灯下，小桃将木杆环水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段

EF.

①请