概率与数列、导数交汇问题 （典型题型归类训练） 原卷版

专题05概率与数列、导数交汇问题（典型题型归类训练）

题型一：概率与数列

1.（2025•全国•统考模拟猜测）遗传学在培育作物新品种中有着重要的应用.已知某种农作物植株有A4,

Ad4。三种基因型，依据遗传学定律可知，A4个体自交产生的子代全部为A4个体，4〃个体自交产生的

子代全部为加个体，Aa个体自交产生的子代中，A4,Ao,的，个体均有，且其数量比为121.假设每

个植株白交产生的子代数量相等，且全部个体均能正常存活.

⑴现取个数比为241的A4,4,,植株个体进行自交，从其子代全部植株中任选〜株，已知该植株的基

因型为加，求该植株是由四个体自交得到的概率；

⑵已知基因型为A4的植株具备某种优良性状且能保持该优良性状的稳定遗传，是抱负的作物新品种.农科

院争辩人员为了获得更多的A4植株用于农业生产，将通过诱变育种获得的植株进行第一次自交，依据

植株表现型的差异将其子代中的四个体人工淘汰掉后，再将剩余子代植株全部进行其次次自交，再将其次

次自交后代中的。。个体人工淘汰掉后，再将剩余子代植株全部进行第三次自交……此类推，不断地重复此操

作，从第〃次自交产生的子代中任选一植株，该植株的基因型恰为A4的概率记为匕（“22且〃GND

①证明：数列为等比数列;

②求4。，并依据％的值解释该育种方案的可行性.

2.（2025上•山东威海•高三统考期末）甲、乙、丙3人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都

等可能地传给其余2人之一，设A表示经过〃次传递后球传到乙手中的概率.

⑴求九2；

（2）证明：优-；）是等比数列，并求?；

（3）已知:若随机变量X,听从两点分布，且P（X,=l）=l-P（K=0）=%,i=l,2,…,〃，则E（.Xj）=£a.记前〃次

r-1i-l

（即从第1次到第〃次传球）中球传到乙手中的次数为y,求以丫）.

3.(2025上•山东淄博•高三统考期末)第19届亚运会于2025年9月23日至10月8日在杭州进行，为弘

扬奥林匹克和亚运精神，增加熬炼身体意识，某学校举办一场羽毛球竞赛.已知羽毛球竞赛的单打规章是：

若发球方胜，则发球方得1分，且连续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合

发球方.现甲、乙二人进行羽毛球单打竞赛，依据以往甲、乙两名运动员对阵的竞赛数据可知，若甲发球，

甲得分的概率为:，乙得分的概率为:；若乙发球，乙得分的概率为彳，甲得分的概率为三.规定第1回合

JJJJ

是甲先发球.

⑴求第3|可合由甲发球的概率；

(2)①设第，回合是甲发球的概率为化，证明：是等比数列；

②已知：若随机变量Xj听从两点分布，且P(Xj=l)=l-尸(X=0)=%,i==

第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行〃个回合竞赛后，甲的总得分的期望.

4.(2025上•浙江温州•高三统考期末)现有标号依次为1,2,〃的〃个盒子，标号为1号的盒子里有2

个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再

从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从n-l号盒子里取出2个球放入〃号盒子为止.

(1)当〃=2时，求2号盒子里有2个红球的概率；

(2)当〃=3时，求3号盒子里的红球的个数J的分布列；

(3)记〃号盒子中红球的个数为X“,求X”的期望E(Xt>).

题型二：概率与导数

1.（2025上•湖南常德•高三统考期末）某企业对500个产品逐一进行检验，检验"合格”方能出厂.产品检

验需要进行三项工序A、B、C,三项检验全部通过则被确定为〃合格”，若其中至少2项检验不通过的产品

确定为“不合格〃，有且只有1项检验不通过的产品将其进行改良后再检验小B两项工序，假如这两项全部

通过则被确定为“合格"，否则确定为“不合格〃.每个产品检验人B、。三项工序工作相互独立，每一项检

验不通过的概率均为〃.

⑴记某产品被确定为“不合格〃的概率为f（P）,求/（'的值；

（2）若不需要重新检验的每个产品的检验费用为120元，需要重新检验的每个产品两次检验费用为200元.除

检验费用外，其他费用为2万元，且这500个产品全部检验，该企业预算检验总费用（包含检验费用与其

他费用）为10万元.试猜测该企业检验总费用是否会超过预算？并说明理由.

2.（2025・新疆•校联考一模）某玩耍游玩规章如下：每次玩耍有机会获得5分，10分或20分的积分，且每

次玩耍只能获得一种积分；每次玩耍获得5分，10分，20分的概率分别为三次玩

耍为一轮，i轮玩耍结束后，计算本轮玩耍总积分.

⑴求某人在一轮玩耍中，累计积分不超过25分的概率（用含〃的代数式表示）；

⑵当某人在一轮玩耍中累计积分在区间（40,55）内的概率取得最大值时，求一轮玩耍累计积分的数学期望.

3.（2025上•湖北•高三校联考阶段练习）有一位老师叫他的同学到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，

期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的同学两手空空走出麦田，由于他不知前面是否

有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最终什么也没摘到.假设该同学在麦田中

一共会遇到〃颗麦穗（假设〃颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗消灭在各个位置上的概率相等，为

了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦槐，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第A+I颗开头，

只要发觉比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最终一颗.设攵二〃7,该同学摘到那颗最大的

b1kn

麦糖的概率为P.（取一Z二二一加工）

川Jnk

⑴若〃=4,&=2,求P；

⑵若〃取无穷大，从理论的角度，求P的最大值及产取最大值时f的值.

三、专项训练

1.（2025上•广西柳州•高三柳州高级中学校考阶段练习）假设L市四月的天气状况有晴天，雨天，阴天三

种，其次天的天气状况只取决于前一天的天气状况，与再之前的天气无关.若前一天为晴天，则其次天下雨

的概率为!，阴天的概率为:；若前一天为下雨，则其次天晴天的概率为:，阴天的概率为9；若前一天为

4448

阴天，则其次天晴天的概率为1，下雨的概率为!；己知上市4月第1天的天气状况为下雨.

⑴求L市4月第3天的天气状况为晴天的概率：

（2）记勺为广市四月第eN+,n<30）天的天气状况为晴天的概率，

（i）求出勺的通项公式；

（ii）L市某花卉种植基地方案在四月依据天气状况种植向口葵，为了更好地促进向口葵种了的发芽和生K,

要求提前3天对种子进行特殊处理，并尽可能地选择在晴天种植.假如你是该花卉种植基地的气象顾问，依

据上述计算结果，请你对该基地的种植方案提出建议.

2.(2025上•河北•高三雄县第一高级中学校联考期末)在信息论中，®(entropy)是接收的每条消息中包

含的信息的平均量，又被称为信息燧、信源燧、平均自信息量.这里，〃消息"代表来自分布或数据流中的大事、

样本或特征.(嫡最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，由于越随机的信源的嫡越大)来自信源

的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不行能发占的事情，当它发生了，会供应更多的信息.

由于•些其他的缘由，把信息(燧)定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.大事的概率分布和每个大

事的信息最构成了一个随机变量，这个随机变量的均值(即期望)就是这个分布产生的信息最的平均值(即

懒).烯的单位通常为比特，但也用Sh、nat.Hart计量，取决于定义用到对数的底.接受概率分布的对数作

为信息的量度的缘由是其可加性.例如，投掷一次硬币供应了lSh的信息，而掷，”次就为机位.更一般地，你

需要用log?〃位来表示一个可以取〃个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的烯，引入到

信息论，因此它又被称为香农消.而正是信息嫡的发觉，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了

说明违反热力学其次定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量4全部取值为1,2,…,〃，定义

J的信息燧"C)=一£?唾22，(£"1,i=L2,….

/=!1=1

⑴若〃=2,摸索究J的信息病关于匕的解析式，并求其最大值；

(2)若耳=£=击,Pm=2R(k=Z3、…,〃)，求此时的信息烯.

3.(2025上•江苏盐城•高三盐城中学校联考阶段练习)某公司为激励员工，在年会活动中，该公司的〃(〃23)

位员工通过摸球玩耍抽奖，其玩耍规章为：每位员工前面都有1个暗盒，第1个暗盒里有3个红球与1个

白球.其余暗盒里都恰有2个红球与1个白球，这些球的外形大小都完全相同.第1位员工从第1个暗盒里取

出1个球，并将这个球放入第2个暗盒里，第2位员工再从第2个暗盒里面取出1个球并放入第3个暗盒

里，依次类推，第n-l位员工再从第n-1个暗盒里面取出1个球并放入第〃个暗盒里.第〃位员工从第〃个

暗盒中取出1个球，玩耍结束.若某员工取出的球为红球，则该员工获得奖金1000元，否则该员工获得奖金

500元.设第/(1</<〃)位员工获得奖金为X,元.

⑴求X?=1000的概率；

⑵求X,的数学期望£(X,),并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大.

4.（2025上•重庆•高三西南高校附中校考期中）王老师每天早上7：00准时从家里动身去学校，他每天只

会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种

交通工具下的概率分布如下表所示：

到校时间7：30之前7：30-7：357：35-7：407：40-7：457：45-7：507：50之后

乘地铁0.10.150.350.20.150.05

乘汽车0.250.30.20.10.10.05

（例如：表格中0.35的含义是假如王老师当天乘地铁去学校,则他到校时间在7：35-7：40的概率为0.35.）

⑴某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币打算乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面对上则坐地铁，

反面对上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率：

⑵已知今口（第一天）王老师选挺乘坐地铁去学校，从其次天开头，若前一天到校时间早于7：40,则当天

他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时

间是否早于7：40,第11天他都将坐汽车到校.记他从今日起（包括今日）到第一次乘坐汽车去学校前坐地

铁的次数为X,求E（X）；

⑶己知今日（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从其次天开头，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早

于7：40,则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40,则当天他会乘坐

汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40,当天他都会乘坐地

铁去学校.记2为王老师第八天坐地铁去学校的概率，求｛Pn｝的通项公式.

5.(2025上•广东佛山•高三校考阶段练习)中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月

中国制造业选购经理指数(PMI)为49.8%,反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车、机器人、

增材制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了

中国制造目前的跨越式进展.已知某精密制造企业依据长期检测结果，得到生产的产品的质量差听从正态

分布并把质量差在(〃-内的产品称为优等品，质量差在(〃+6〃+2b)内的产品称为一

等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业牛.产的正品中随机抽取

10C0件，测得产品质量差的样本数据统计如K：

频率

⑴依据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10,用样本平均数［作为〃的近似值，用

样本标准差6作为。的估量值，记质量差听从正态分布X~,求该企业生产的产品为正品的概率P；

(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)

参考数据：若随机变量听从正态分布N(〃,cr，则P(〃-卜0.6827,P(〃-2b+■卜0.9545,

尸(4一3。＜JW〃+3b)n0,9973.

(2)假如企业包装时要求把2件优等品和〃(〃22,且〃eND件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱

子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A,否则该箱产品记为8.

①试用含〃的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率P；

②设抽检5箱产品恰有3箱被记为A的概率为f(p),求当〃为何值时，/(〃)取得最大值.

6.(2025・河南开封•统考一模)某市每年上半年都会举办“清明文化节〃，下半年都会举办“菊花文化节”，吸

引着众多海内外游客.为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2025年该市旅游管理部门对初次参与“菊花文

化节〃的游客进行了问卷调查，据统计，有:的人方案只参与“菊花文化节”，其他人还想参与2025年的“清

明文化节〃，只参与“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参与的游客记2分.假设每位初次参与“菊花

文化节”的游客方案是否来年参与“清明文化节”相互独立，将频率视为概率.

⑴从2025年初次参与“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期望；

(2)2025年的“清明文化节〃拟定于4月4日至4月19日进行，为了吸引游客再次到访，该市方案免费向到访

的游客供应“单车自由行〃和“观光电车行〃两种出行服务.已知游客甲每天的出行将会在该市供应的这两种出

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行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为不，若前一天选择“单车自由行〃，后一天连续选择〃单

车自由行〃的概率为若前一天选择“观光电车行〃，后一天连续选择“观光电车行〃的概率为：，如此往复.

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(i)求甲其次天选择“单车自由行〃的概率；

(ii)求甲第〃(〃=1,2,L,16)天选择“单车自由行”的概率2,并帮甲确定在202s年“清明文化节〃的

16天中选择"单车自由行〃的概率大于“观光电车行〃的概率的天数.

7.(2025・河北•石家庄一中校联考模拟猜测)某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球

与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下

列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有:的概率再传给该运动员，有彳的概率传给另一位运

JD

动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第〃次传球传给甲运动员的概率为

⑴求〃2，〃3；

(2)求P”的表达式;

(3)没证明：Z(2+「？)(sin%+1_sin0)<3.

/=lL

8.(2025上•广东广州•高三华南师大附中校考开学考试)记数列｛q｝的前〃项和为工，且满足

4=l，2S“-a“=〃2.

⑴求数列4的通项公式；

(2)数列｛"｝满足"=一，证明对任意〃eN"ln(〃+l)+<4+优+/+…+〃”工In〃+1；

2(〃+1)

⑶某铁道线上共有84列列车运行，且每次乘坐到任意一列列车的概率相等，设随机变量X为恰好乘坐一次

全部列车所乘坐的次数，试估算小。的值(结果保留整数).

参考数据：In2Po.6931,ln3«1.0986,ln7«1.9459

9.(2025下•云南昆明•高二统考期末)某争辩所争辩某一