2025北京某中学初二（下）期末数学试题及答案

2025北京景山学校初二（下）期末

数学

2025年7月

本试卷共8页，满分100分，考试时长100分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试

卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每小题2分，共16分）.

1.已知2”3b（加0）,则下列比例式成立的是（）

a3aba2h3

A.—=—B.—=—C.—=—D.

2h32b3厂5

2.下列函数中，是反比例函数的是（）

11

A.y=­xB.y=-C.y=x2D.y=x+—

4Xx

3.。。的半径为3,点尸到圆心。的距离为5,点夕与0。的位置关系是（)

A.点P在。。内B.点尸在。。上C.点P在0。外D.无法确定

2

4.已知点/（项,,），8（工2，必）都在反比例函数^=一的图象上，且不>0,则必与y2的大小

X

关系是（）

D.无法判断

A.必>y2B.必<y2c必二y2

5.在中,ZC=90°,AC=2,BC=l,则tanZJ的值为（）

A.12B.2C.V5警

6.三角形内切圆的圆心为（）

A.三条高的交点B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条角平分线的交点D.三条中线的交点

7.如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为2:5,且三角尺的面积为

4cm2,则投影三角形的面积为（）

产三《

灯三角尺投影

初中

816,

A.10cm2B.25cm2C.-cmD.——cm-

525

8.如图，。。的半径为26,48为直径，过彳。中点C作。。交。。于点。，连接4D,80,

点尸为半圆4〃必上一动点，连接尸Q,过点D作DELPD,交P8的延长线于点E.有如下描

述

①408=90。；

②当点尸由点A向点8运动时，QE的长增大:

③4二30。：

④。E最长时为6.

A.①②B.@@C.①③D.①③④

二、填空题（每题2分，共16分）

9.反比例函数卜二与。＞0）的图象如图所示，则后的值可能是（写出一个即可）.

10.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan/ABC=

11.如图，已知直线y=mx与双曲线y=K一个交点坐标为（3,4）,则它们的另一个交点坐标是

x

初中

12.如图，点？1、5在双曲线y=—±,过点力作ACJ.x轴于点C,过点4作轴于点

x

D,连接。力、0B,设△080的面积为Si设4月。的面积为S?,则S|S?（填，

<,或=").

13.如图，在048co中，点E在上，CE,BD交于•点、F,若4E:BE=2:T,且

BF=2,则。b=

14.如图，四边形48CQ内接于。。，如果它的一个外角/。"二64。，那么/8。。的度数为

15.如图，。是。。外的一点，PA、分别与O。相切于点A、B,。是标上的任意一点，过

点。的切线分别交4、PB千点、D、E，若的周长是10,则力=

初中

16.如图，在RtA/80中，NAOB=90。，。/=4,03=3,。。的半径为1,2为线段48上

一点，过点尸作。。的切线，切点为C,连接。。交。。于点。，连接CZ）.

（1）当点P与点力重合时，sinNCR7的值为

（2）当弦的长最小时，sin/C尸。的值为

三、解答题（本题共68分，第17—23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26

一27题每题7分，第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算:V12-2sin60o4-

18.已知：为V4BC的外接圆，。是4c边上的一点，连接力O.

求作：NBEC,使得点七在线段力。上，且NBEC=2NB4C.

作法：

①连接。8,分别作线段。8,8c的垂直平分线4，4,西直线交于点产；

②以点尸为圆心，P3长为半径作圆，交线段力。于点£

③连接BE,CE.

N8EC就是所求作的角.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：

（2）完成下面的证明.

证明：连接OC.

•.•点儿R,「在0。上，

初中

："BAC=L/BOC（_____________________）（填推理的依据）.

2

■:点B,O,E,。在。。上，

ZBEC=Z.

："BEC=2/BAC.

19.“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具.如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心

O为圆心的圆，已知圆心。始终在水面上方.且当圆被水面截得的弦力8为6米时，水面下盛水筒

的最大深度为1米（即水面下方部分圆.上一点距离水面的最大距离）.

（1）求该圆的半径；

（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦43从原来的6米变为8米时，则水面卜盛水筒的最大深

度为多少米？

20.如图，48是。。的直径，CO是。。的一条弦，且CDL48于点£.

D

（1）求证：/BCO=ND；

（2）若。。=4及，OE=l,求。。的半径.

21.如图，在RtZ\43C中，ZACB=90°,点。在上，CA=CD,过点8作交

C。的延长线于点£

B

初中

(I)求证：AABCSADBE；

(2)如果3C=5,BE=3,求4c的长.

3

22.如图，在RtZX/BC中，ZCJ5=90°,sinC=-,JC=8,BD平分/CB4交AC边于点、

5

D.

(1)直接写出线段的长：；

(2)过。点作O£_L8C于点E,补全图形，并求线段力。的长.

23.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=%(x+2)—1(女>0)的图象与反比例函数

了=%(加工0)的图象的一个交点为力(-2,〃).

X

<1)求反比例函数y='的解析式；

(2)当x>l时，对于x的每一个值，一次函数y=4(x+2)-l(Z>0)的值大于反比例函数

y=0)的值，直接写出左的取值范围.

X

24.如图，在V48C中，AB=AC,以44为直径的。。交8C于点Q,交4c于点、E,点、F

在力。的延长线上，/CBFJ/BAC.

初中

（I）求证：8尸是。。的切线;

（2）若AB=5,tanZ.CBF=—,求CE的长.

2

25.河南妙乐寺塔为国内现存规模最大、保存最完整的五代塔之一，建于唐，后周显德二年（955年）

重修，寺已早废，唯塔独存，该塔正吸引着越来越多的旅游观光者，对河南的社会经济、文化发展

起到了积极的促进作用.某校数学实践小组开展测量妙乐寺塔的活动，该小组制定了测量方案，在

实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表：

测量妙乐寺塔高度

测角仪、皮尺

测量工具活动形式以小组为单位

等

测量示意图测量步骤及结果

如图，步骤如下：

在。处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角

/BDG=3T\

②沿着C力方向走到£处，用皮尺测得CE=12.5米；

③在E处使用测角仪测得塔口勺顶部点B的仰角

CEA

4BFG=45°

••••••

己知测角仪的高度为1.5米，点C,E,力在同一水平直线上.根据以上信息，求塔彳5的高

度.（参考数据：sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°»0.75）

26.在平面直角坐标系资"中，抛物线y=+以与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为

（-儿0）.

（1）求。的值和抛物线的对称轴（用含人的式子表示）；

初中

(2)若点4(2,必)，B(b,为)，。他+L乃)在该抛物线上，且为＜必＜为，求人的取值范

围.

27.如图，在V44C中，点。在力C边上，作点。关于48的对称点连接。。交/B于点

E,连接作BF1BD(点/在4C右侧)，且BF=BD,连接4。'，DF,D'F，D'F

交力B于点G.

(1)①依题意补全图形；

②若乙48。=。，用含有a的式子表示N8FQ'的度数；

(2)用等式,表示线段4七与G9的数量关系，并证明.

28.在平血直角坐标系xQy中，OO的半径为1.对于。。的弦力8和点C,给出如下定义：若在

O。上或其内部存在一点C使得四边形CACB是菱形且AB是该菱形的对角线，则称点C是弦

43的“伴随点”.

(1)如图,点4(0,1),6(1,0).

①在点。|(2,0),。2(1』)«3,；,一；|中，弦力8的“伴随点”是点

②若点D是弦AB的“伴随点”且/ADB=120°,则。。长为—；

(2)已知〃是直线丁=”上一点，且存在OO的弦MN=JI，使得点〃是弦的“伴随点

”.记点P的横坐标为f,当Z〉0时，直接写HN的取值范围.

初中

参考答案

一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每小题2分，共16分）.

1.【答案】B

【分析】本题主要考查比例的性质，根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解.

【详解】解：A、由且二士得。6=6,故本选项错误，不符合题意；

2b

B、由3=2得2〃=3b,故本选项正确，符合题意；

32

C、由£二|得3。=26,故衣选项错误，不符合题意；

ha

D、由一=一得3。=2〃，故本选项错误，不符合题意；

a2

故选：B.

2.【答案】B

【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如y=K（AwO）且上为常数，的函数叫做

大

反比例函数，据此可得答案.

【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中只有B选项中的函数是反比例函数，

故选：B.

3.【答案】C

【分析】根据点与圆的位置关系：点到圆心的距离大于半径，点在圆外；点到圆心的距离等于半径,

点在圆上；点到圆心的距离小于半径，点在圆内，据此判断即可.

【详解】解：点尸到圆心。的距离为5,半径为3,5＞3,则点P在。。外.

故选：C

【点睛】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键.

4.【答案】B

【分析】本题考查反比例函数（左/0）的性质.解题关键在丁先根据左值判断函数在相应

x

象限的单调性，再依据已知点横坐标的大小关系及点所在象限，利用函数单调性来比较纵坐标的大

小.对于反比例函数），=幺（女工0）,当人＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当攵＜0

X

2

时，在每个象限内，y随X的增大而增大.在函数歹二一中，k=2＞0,所以此函数在每个象限内

x

y随X的增大而减小.已知内＞々＞0,这表明点4（$,%）和8（.马,乃）都在第一象限.由于在第

初中

一象限内该反比例函数y随x增大而减小，且内，从而得出出必与必的大小关系.

2

【详解】解：对于反比例函数》=一,

x

,・,Z=2>0,

・•・在每个象限内V随x的增大而减小.

Vx,>x2>0,说明点4（x”yJ,8（々,必）都在第一象限，又在第一象限内随x增大而减小,

・•・当西>x2时,yl<y2,

故选：B.

5.【答案】A

【分析】本题考查了求一个角的正切值，根据代入数值计算，即可作答.

AC

【详解】解：如图:

♦・•在Rt△力4C中，ZC=90°,AC=2,BC=\,

BC_\

tanZJ=

~AC~2

故选：A

6.【答案】C

【详解】试题分析：三角形外接圆的圆心是三条线段中垂线的交点，三角形内切圆的圆心是三条角

平分线的交点，故本题选C.

7.【答案】B

【分析】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为2:5,再得出投影三

角形的面积是解决问题的关键.根据位似图形的性质得出相似比为2:5,对应边的比为2:5,则面

积比为4:25,即可得出投影三角形的面积.

【详解】解：•.•位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2:5,三角尺的面积

为4cm?，

・・•投影三角形的面积为25cm2.

故选：B.

8.【答案】C

【分析】本题考查了直径所对的圆周角、圆内接四边形、相似三角形的性质与判定以及由特殊角三

角函数值，求特殊角等知识.

初中

根据连4P,。。，根据直径所对的圆周角得到N494=90。，故①正确，再由半径长

为26，利用锐角三角函数求/COD=60。，再由圆周角定理求出尸4=/43。=30。，由圆

内接四边形的知识证明NDAP=NDBE得到^DAP^^DBE.推出若=等，

ZE=AAPD=30°,故③正确，进而推出。E=判断②©错误，则问题可解.

【详解】解：连4RO。，

•・・力8为0。直径，

・・・/力。4=90。，故①正确,

-CD1AB,半径长为2后，

・・・。。=5

cosZ.COD=,

202

・•・NC8=600,

・•・/DPA=/ABD=30°,

・•・AD=273,BD=6,

丁CDLABt

・•・NPDE=90。,

••・ZADP=/BDE，

由题意，4P,4,。四点共圆，

••・ZDAP+ZDBP=180°,

•・•NDBE+NDBP=18。。,

・•・/DAP=ZDBE，

：・ADAPS4DBE,

AE=ZAPD=30°,故③正确，

DPDE

・•・DE=DBDP二.p,

AD

，当点尸由点A向点8运动时，当。。过圆心O时，QE的长最大，

此时，PF=73x473=12，故④错误，

随着点P继续向运动，1的长度逐渐减小，故②错误，

故选：C

初中

二、填空题（每题2分，共16分）

9.【答案】一1（不唯，满足A<0即可）

【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质，理解反比例函数的图像和性质是解题的关键.

根据函数图象所在象限确定左的取值范围，再取值即可.

【详解】vx>0时函数图象位于第四象限，

，4<0,

可取A=-1,

故答案为：一1（不唯一，满足左<0即可）.

10.【答案】\

【详解】「AB所在的直角三角形的两直角边分别为：2,4,

7r

.­.AB=A/2+4=2V5.

2亚

•••sinZ.ABC=—=----・

2455

11.【答案】（-3,-4）

【分析】根据反比例函数与正比例函数的中心对称性解答即可.

【详解】解：因为直线丫=0^过原点，双曲线y=&的两个分支关于原点对称，

x

所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3,4）,则另一个交点的坐标为（-3,-4）.

故答案是：（-3,-4）.

【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，通过数形结合和中心对称的定义很容易解

决.反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对祢.

12.【答案】=

【分析】本题主要考查反比例系数人的几何意义：在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂

线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为|"|，所围成三角形的面积为学.

【详解】解：根据反比例函数的性质，用=52=年=1,所以SLS2.

13.【答案】6

初中

【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，能求出48■和

求出CO=3。是解此题的关键.设力£=2a,BE=。，则43=3。，根据平行四边形的性质得

{\\AB=CD=3a,AB//CD,证出△8石/,得出比例式，代入求出即可.

【详解】解：・.,1E:5E=2:1,

*,•设AE=2a,BE=a»则AB=3a,

•••四边形/BCD是平行四边形，

AB=CD=3a.AB//CD,

乙BEF^ADCF,

BFBE

.----=----，

DFDC

•:BE=a,CD=3a,BF=2,

2a

..---=--，

DF3。

解得：DF=6,

故答案为：6.

14.【答案】128°

【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周

角定理是解题的关键.根据圆内接四边形的性质可得N84Q+N8co=180。，结合

ZDCE+ZBCD=\SO0,得NA4O=NOCE=64。，再利用圆周角定理求解.

【详解】•••四边形45CQ为圆内接四边形，

/.BADIZ^CZ)=180°,

又NDCE+/BCD=180。,

/BAD=NDCE=64°,

在。。中，由圆周角定理，可得NB。。=2/34。=128。，

故答案为：128°.

15.【答案】5

【分析】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探

索，找出图形的各对相等切线长.可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PQE的

周长等于"+P8=10,又因为PA=PB,所以可求出4的长

【详解】解：•.•可,。。都是圆。的切线，

DC=DA,

同理EC=E3,PA=PB,

:APDE的周长=PD+PE+DE=PD+DC+PE+CE=P4+PB=2P4=10,

.'.PA=5：

初中

故答案为5.

16.【答案】①相0.25②.且

【分析】本题考查了切线的性质、三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

(1)连接OC,根据切线的性质可得NPCO=90。，当点P与点彳重合时，OP=O力=4,根据

三角函数的定义即可求出sin/CPO的值；

(2)连接OC,根据切线的性质可得/尸CO=90。，根据三角函数的定义和勾股定理分析可得当

弦C。的长最小时，。尸最小：由垂线段最短性质得，当OPJL48时，。。有最小值，求出此时

。尸的长,即可求出sin/CPO的值.

【详解】解：(1)连接OC,

♦..过点。作。。的切线，切点为C,

PC±oc,

.♦.NPCO=90。，

当点?与点力重合时，00=。4=4,

sinZCPO=—=~.

OP4

故答案为：7-

4

/.AB=ylOA2+OB2=742+32=5，

•••过点尸作。。的切线，切点为C,

PC1OC,

/.ZPCO=90°,

当弦CO的长最小时，圆心角/COQ也最小,

初中

pcPC

•/tanZCOD=—=—=PC,

OC1

.,.当NC。。最小时，tan/C。。最小，即PC最小,

又在RIAOCP中，OP?=PC2+OC2=PC2+b

...当PC最小时，。。最小,

当弦6的长最小时，。尸最小,

由垂线段最短性质得，当时，OP有最小值,

此时。。二空纱二任二生

AB55

°C15

/.sinZ.CPO=---=--=——

OP12，

T

.,・当弦CO的长最小时，sinNCP。的值为；!■.

12

故答案为：—•.

12

三、解答题（本题共68分，第17—23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26

一27题每题7分，第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.【答案】3

【分析】利用二次根式的化简，特殊角的三角函数值，负整数指数基法则，以及绝对■值的代数意义

计算即可求出值.

【详解】解：原式=2百-2x且+2-JJ+l=3.

2

【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

18.【答案】（1）见解析（2）圆周角定理；ZBOC

【分析】本题考查基本作图、圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握圆周角定

理是解答的关键.

（1）根据题中作图步骤，结合垂径定理，线段垂直平分线的性质、和圆的基木性质画图即可；

（2）根据圆周角定理补全证明过程即可.

【小问1详解】

解：补全图形如图所示：

初中

4

I【小问2详解】

C

证明：连接0C.

■:点A,B,。在0。上，

："BAC=L/BOC（圆周角定理）.

2

•:点B,O,E,。在。尸上，

ZBEC=ZBOC.

："BEC=2NBAC.

故答案为：圆周角定理；NBOC

19.【答案】（1）5米（2）2米

【分析】（1）作。01/5于点E,交。。于点。，由垂径定理可得力£=,48=3,DE=T,再

2

由勾股定理即可求出圆的半径；

（2）当43=8米时，彳E=4米.在RtZ^/OE中，由勾股定理可得，

2

AE2+OE2=OA2则OE=3米，即可求出。E的长.

【小问1详解】

解：如图，作0D工于点E,交。。于点D.

则4七=,力8=3米，。E=1米.

2

设圆的半径为，•米，在RtZUOE中，AE2+OE2=OA\

・•・32+（r-l）2=r2,

解得/-5,

，该网的半径为5米；

初中

【小问2详解】

解：当44=8米时，4K=44g=4米.

2

在RtZkAOE中，AE2+OE~=OA2.

・•・42+OE2=52»

：.OE=3米、

：,DE=5-3=2（米）.

答：水面下盛水筒的最大深度为2米.

【点睛】本题考查垂径定理，熟练掌握垂径定理的定义并运用是解题的关键.

20.【答案】（1）见详解（2）3

【分析】（I）根据同弧所对圆周角相等及等腰三角形两底角相等即可得到答案;

（2）连接0。，根据垂径定理得到ED,根据勾股定理即可得到答案.

【小问1详解】

证明：*/OC=OB=r,

・•・NBC0=NCB0,

ZCDAhjKBO都是弧AC所刈圆冏角，

・•・/CDA=Z.CB0,

・•・/BC0=/D；

【小问2详解】

解：连接0Q,

VCD1AB,CD=4叵，

・•・CE=DE=2也，

在RtAOOE中，根据勾股定理可得，

r=OD=ylOE2+DE2=3-

【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理及勾股定理，解题的关键是知道同弧所对圆周角相等.

21.【答案】（1）见解析（2）-

2

【分析】（1）由等角的余角相等得到NZ）BE=N49C,又由N力CB=ZE=90。即可得到

初中

AABCs^DBE：

4rRC

(2)由勾股定理求得C£=4,得到。E=4—4C,由得到一=一，则

DEBE

AC5

即可求得答案.

4-JC-3,

【小问1详解】

证明：在RtZi/BC中，ZJC^=90°,

・•・ZJ+ZJ2?C=9O°,

•・•CA=CD,

・•・4=/ADC，

BELCD,

・♦・Z£=90°

・•・ZDBE+ZBDE=90°,

•・•/RDE=/ADC=/A.

・•・/DBE=/ABC,

•・,ZACB=ZE=90°,

・•・4ABeS&DBE；

【小问2详解】

VBC=5,BE=3,ZE=90°,

••CE=^BC2-BE1=V52-32=4»

・•・DE=CE-CD=CE-AC=4—AC,

,/4ABCS^DBE,

.AC_BC

^~DE~~BE'

AC5

:.--------=-,

4-AC3

解得/C=?.

2

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，还考查了勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和

性质是解题的关键.

22.【答案】(1)6(2)图形见解析；3

【分析1本题重点考查了锐角三角函数，勾股定理，角平分线的性质，熟练运用相关知识，数形结

合，是解题的关键.

初中

(1)利用sinC=|得真=[,设//=3x(x>0),BC=5x,再利用勾股定理列方程，解方程

求出x的值，可得线段48的长；

(2)利用角平分线的性质，挂出力。=£。，再利用Sjsc=Sg月S+SB*，列方程求解；

【小问1详解】

在Rt△44。中，/。3=90。，4C=8,

-3,

BC5

设48=3x(x>0),BC=5x,

由勾股定理得AB2+AC2=BC2，

.•.(3x)2+8?=(5x/,

解得x=2,

AB=3x=6,BC=5x=10»

厂.线段45的长为6.

故答案为：6.

【小问2详解】

如图所示:

ZCAB=90°,

DALAB,

VDE1BC.DALAB,BD平分NCBA,

AD=ED,

•;4B=6,/C=8,BC=\0,

：.S△./iRncr=2-AB-AC=-2x6xS=24,Sb,u)cAnf,=2-ABAD=3AD,

S.DBC=LBCDE=5DE=5AD，

又S4ABe-SADAB+SgBC，

24=340+5%。，

...AD=3,

初中

••・线段4。的长为3.

23.【答案】(1)反比例函数的解析式为：y=-

x；

(2)〃的取值范围是421.

【分析】(1)根据一次函数图象上点的坐标特征求出直线与双曲线的交点坐标，进而求出小，得出

反比例函数的解析式：

(2)解方程组求出一次函数图象与反比例函数图象交点，根据题意列出不等式，解不等式得到答

案.

【小问1详解】

解：对于歹二左(1+2)-1(〃>0),当工=一2时，y=T,

，一次函数V=%(x+2)-l/>0)的图象与反比例函数》二二(加工0)的图象的一个交点为

4(-2,-1),

A77/=-2x(-1)=2,

2

，反比例函数的解析式为：y=一；

x

【问2详解】

y=k(x+2)-\o1

解：解方程组〈2，得〈1或〈k,

y=_[y=-\

x[y-

由题意得：y<l,

k

解得:k>\,

则左的取值范围是A.

【点睛】本题考查的是反比例函数知识的综合运用，掌握一次函数图象与反比例函数图象交点的求

法是解题的关键.

24.【答案】(1)证明见解析；

(2)CE=2.

【分析】(1)连接力。，由为O。的直径得到Nl+N2=90。，又由

2

/CBF=L/BAC,得到NC8/=/1,进而得到NC8/+/2=90。，即可求证；

2

(2)连接。E,由Nl=/C89，tan/CB/nl得到tan/l=^=,，设8。=%，

2AD2

初中

AD=2x,由43=6=5,得到x=石，证明△QECs△月8。，即可求解；

本题考查了切线的判定，圆的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键.

【小问1详解】

证明：连接力。，

•・・力8为。。的直径，

・•・408=90。，

Zl+Z2=90°,

-：AB=AC,

CD=BD,Z1=-Z5JC,

2

•・•NCBF=L/BAC,

2

・••/CBF=Z1,

・•・ZC5F+Z2=90°,

又为。。的直径，

・•・4/是。。的切线；

【小问2详解】

解：连接。E,

初中

•・•Z1=ZCBF,tanZCBF=-

2t

・••在RtA/lOB中，tanZl=—=-,

AD2

设8O=x,AD=2x,则力3=VKX=5,

：・x=5

:・CD=BD=^，BC=2亚，

:四边形力4OE内接于O。，

・•・NCED=Z2,

又'：/3=N3,

ADECs/\ABC,

CECD

~CB~~CA

即翁冬

・•・CE=2.

25•【答案】塔48的高度为39米

【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题.根据题意得到=C£=12.5米,

4G=石尸=(70=1.5米，乙BDG=31°,ZLBFG=45°,解直角三角形即可得到结论.

【详解】解：由题意得，二底=12.5米，4G=EF=CO=L5米，NBDG=37。，

/BFG=45°.DG-FG=--BG=\2.5

0.75

在RtZXBOG中，tanZBDG-tan37°=----«0.75,

DG

3黑

初中

在RtzXB尸G中，

•・,4BFG=45°,

FG—BG,

•・•DE=12.5米,

・・・DG-FG=—-BG=\2.5,

0.75

解得8G=37.5,

48=37.5+1.5=39（米），

答：塔45的高度为39米.

26.【答案】（1）。=1,x=--

2

3,।

（2）——</?<-!

2

【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的

关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

⑴将（-40）代入y=o?+反，可得。=],则抛物线的解析式为），=/+版，即可得帼物线的

对称轴为直线工=-2.

2

（2）由题意得，点C到对称轴的距离小于点/到对称轴H勺距离小于点4到对称轴的距离，即

b

<+

b+\+-<2+l2-,求出力的取取范用即可.

2

【小问1详解】

将（一6Q）代入y=ax2+bx,

得加一〃二o

a00,

：.b^0.

（7—1.

••・抛物线的解析式为y=Y+小，

」•抛物线的对称轴为直线x=-g.

2

【小问2详解】

•.•点力（2,乂），B（b,y2）,。（力+1,%）在该抛物线上，且必<必<必，

...点C到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离,

初中

bb9

<2+<+

2-2-2

3

解得—<Z?<-1.

2

3

.•）的取值范围为一1<方<-1.

2

27.【答案】（1）①见解析；②NBFD'=45O-a

（2）GF=6BE（或BE二旦GF或甩=旦）

2GF2

【分析】（I）①正确画图即可；

②根据轴对称的性质和等腰三角形的性质即可解答；

（2）如图2,过点F作FH14B于H,证明AD5凡△Q'EGQG”9是等腰直角三角形，证明

△BQEg△所，（AAS）,根据全等三角形的性质和等腰直角三角形中斜边是直角边的五倍即可

解答.

【小问1详解】

解：①如图1所示，

②•••点D关于AB的对称点D，,

BD=BD\/ABD=/UBE=a,

•••BF1BD,

/DBF=90。,

••./。'8/=90。+2。，

BD=Bb,

・♦.BD'=BF,

,,1800-(90°+2«)

:"BFD'=/BD'F=---------------L=45。-a

2

【小问2详解】

解：GF=&BE，证明如下：

如图2,过点F作FH14B于-H,

初中

・••AQB/是等腰直角三角形，

・•・/BFD=NBDF=45。,

由②知：NBFD'=450—a,

/DFD'=a=/ABD,

•・,/BOG=NDOF,

・•・NBGO=4BDF=45°=ZEGDf,

•・•点。关于45的对称点/

：.DE=D'E,AB工DD',

・•・/DEB=NBHF=90。,

・•・/EDB+/DBE=90。,

V/DBF=90。,

・•・4DBE+4HBF=9G0,

・•・/EDB=/HBF,

,/BD=BF,

：.ABDEAFBHW^},

:・BH=DE=D'E,BE=FH,

•・•/DEG=90°,/EGD'=45°,

・•・QEG是等腰直角三角形，

・•・EG=D'E=ED=BH,

・•・EG+BG=BH+BG,

即BE=GH,

VZ.BGF=45°,Z-H=90°,

・•・AGHF是等腰直角三角形，

,GF=6GH，

:.GF=®BE-

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，三角形的

初中

内角和定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质，正确作辅助线解决问题是解题的关

键.

28.【答案】（1）①C,；②亚+也

62

（2）1一包+包且心；

222

【分析】（1）①根据新