《圆》综合练习题（含答案）

圆综合练习题

一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明;证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数

值、最值等）

1.如图，8。为。。的直径，AC为弦，AB=AC,4力交BC于E,AE=2,ED=4.

（I）求证：圮,并求A3的长；

（2）延长03到/，使BF=BO,连接句4,判断直线E4与。。的位置关系，并说明理由.

1.解：\'AB=AC,.\ZABC=ZC.

•;/C=/D,;./ABC=".

又「NBAE=NDAB,

ABAE

.△ABEs/\ADB.

/.AB2=AD.AE=（AE+ED）＞AE=（2+4）x2=12.

AB=273（舍负）.

（2）直线E4与。。相切.

连接Q4.・.・5。为0O的直径，.•.N8AO=90.

在用AA8D中，由勾股定理，得BD=y/AB?+AD2=J12+（2+41=A=4石.

,BF=BO=-BD=-x4y[3=2y/3.

22

•.•A8=2石，:.BF=BO=AB.

（或.•.8/7=3O=A5=Q4,是等边三角形，/F=ABAF.

...NOBA=NOAB=60。,ZF=ZBAF=30°.）

ZOAF=90.OA±AF.

又•・♦点A在圆上，.•.直线£4与。。相切.

2.已知：如图，以等边三角形4BC一边A6为直彳仝的与边AC、3c分别交十点。、E,过点。作分'

±BC,垂足为F.

（1）求证：。广为。。的切线;

若等边三角形ABC的边长为4,求。尸的长;

（3）求图中阴影部分的面积.

A

OB

2.(1)证明：连接Q。

•・•AABC是等边三角形,AZC=60°,N4=6()°,

•：OA=OD,是等边三角形.JNADO=60°.

■:DFlBC,AZCDF=30°.

AZFDO=180°一NAOO-NCO辰90°.・・・。尸为(DO的切线.

(2)•・•△。4。是等边三角形，：,CD=AD=AO=-AB=2.

2

RlACQ尸中，/CD产=30°,；.b=；CD=l./.DF=y]CD2-CF2=73.

(3)连接OE,由(2)同理可知E为CB中点，・・・CE=2.

VCF=L：,EF=\.

3、如图，已知圆O的直径A8垂直于弦CO于点E,连接CO并延长交4。于点/，且C/_LAD.

(I)请证明：E是08的中点;

(2)若AB=8,求CD的长.

3、(1)证明：连接4C,如图

-CFA.AD,4石_LC。且CFA石过圆心。

:.AC=ADtAC=CD,.•.△ACO是等边三角形./.ZFCD=30

在RtZ\COE1中，OE=，OC,.•.OE=LOB.•.点E为08的中点

22

(2)解：在RfAOCE中・.・A8=8,.•.OC=」4B=4

2

又；BE=OE,..OE=2

:.CE=^OC2-OE2=716-4=273'CD=2CE=4也

4.如图，AB是。O的直径，点C在。。上，ZBAC=60°,2是08上一点，过P作A8的垂线与AC的

延长线交十点Q，连结OC,过点。作CDJ_aC交PQ于点D

(I)求证：△COQ是等腰三角形；

(2)如果△CQQg/\C08,求BP:。。的值.

4.(1)证明：由已知得NAC8=90°,ZABC=30°,

・・・NQ=3()°,NBCO=NABC=30°.

VCDIOC,・・・NDCQ=/BCO=30°,

：.ZDCQ=ZQ,.•.△CQQ是等腰三角形.

(2)解：设。。的半径为1,则A4=2,OC=1,AC=，A8=1,BC=6.

2

•・•等腰三角形CDQ与等腰一：角形COB全等，・・・CQ=eC=VJ.

*：AQ=AC+CQ=\+yf3,AP=^AQ=^-^-,

.„„.„ADC1+后3—拒ADAC।+6.石-1

..BP=AB~AP=2----------=--------PO=AP~AO=----------1=--------

2222

:.BP：PO=6

5.已知:如图，8D是半圆0的直径，人是8。延长线上的一点，BCLAE,交AE的延长线于点C,交半圆

。于点E,且E为。尸的中点.

(I)求证：AC是半圆。的切线；

(2)若AO=6,AE=6行,求8c的长.

5.解：(1)连接0£,,:E为DF的中点，：.DE=EF./OBE=/CBE.

OE=OB,AZOEB=ZOBE.：.NOEB=NCBE.；・OE〃BC.

'：BCA-ACt，NC=90°.；・ZAEO=ZC=9()°.BPOE±AC.

又OE为半圆。的半径，，AC是半圆0的切线.

(2)设。。的半径为x,

9：OE±AC,A(X+6)2-(6>/2)2=X2.AX=3./.AB=AD+OD+OB=12.

AQr)poi

VOE/7BC,/./\AOE^Z\ABC即二=,ABC=4.

ABBC12BC

6.如图，ZVIBC内接于。0,过点A的直线交。0于点P,交5c的延长线于点。，且AB'AP・AD

(I)求证：AB=ACx

A

(2)如果NABC=60,。0的半径为1,且P为弧AC的中点,

求AD的长.

BCD

6.解：(1)证明：联结BP.

2AB_AD

AB=APAD，:.AP=AB,

,/ZBAD=ZPAB,AABD^AAPB,

/.ZABC=ZAPB,VZACB=ZAPB,

，ZABC=ZACB.AAB=AC.

(2)由(1)知AB=AC.VZABC=60°,J△ABC是等边三角形.

.,.ZBAC=60°,TP为弧AC的中点，/.ZABP=ZPAC4ZABC=30°,

J

AZBAP=90o,・•・BP是。。的直径，,BP=2,/.AP=|BP=1,

AR2

在中,由勾股定理得222・・二

Rl^PABAB=BP-AP=3,•ADh/=Ai3.

7.如图，在△ABC中，NC=90°,人。是NBA。的平分线，。是44上一点，以。4为半径的经过

点D.

(1)求证：8。是。O切线；

(2)若BD=5,OC=3,求AC的长.

7.(1)证明：如图1,连接OD

•?(M=OO,AQ平分NZMC,

/.Z0DA=Z0AD,Z0AD=ZCAD.

ZODA=ZCAD.

,0D//AC.

/.ZOD5=ZC=90o.

工是。。的切线.图I

(2)解法一：如图2,过。作。E_LA8于E.

/.ZAED=ZC=9()0.

XVAD=AD,ZEAD=ZCAD,

/.△AEDmXACD.

，AE=AC,DE=DC=3.

在RtZ\8£。中，/3£。=90。,由勾股定理，得

BE=JBD?DE?=4.

设4C=x(A>0),则AE=x.

在RtZ\4BC中，ZC=90°,BC=BD+DC=S,AB=x+4,由勾股定理，得x2+8?=Q+4)L

解得A-6.即AC=6.

辞法二：如图3,延长AC到E使得AE=48.

AD=AD,NEAD二NBAD,

：./^AED^/XABD.

/.ED=BD=5.

在RiZXOCE中，ZDCE=90°,由勾股定理，得

CE=ylDE2-DC2=4.5分

在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=BD+DC=S,由勾月殳定理，AC2+BC2=AH2.

即AC2+82=(4C+4)2.解得AC=6.

8.如图，A8是。。的直径，CO是。0的一条弦，且CD_LAB于E,连结AC、OC、BC.

(1)求证：ZACO=ZBCD：

(2)若BE=2,CD=8,求AB和AC的长.

8、证明：（1）连结BD,・・・A4是。。的直径，CDXAB,

BC=BD.ZA=Z2.

XVOA=OC,.\Z1=ZA.

AZ1=Z2.即：ZACO=ZBCD.

解：(2)由(1)问可知，ZA=Z2,ZAEC=ZCEB.

/.△ACE^ACBE.

.CEAE2,

»*---——..\CE=BEAE.

BECE

又CD=8,ACE=DE=4.Z.AE=8./.AB=10.

・•・AC=^AE2+CE2=V§0=475.

9.如图，已知BC为。0的直径，点4、尸在。。上，AD±BC,垂足为O,BF交AD于E,且

AE=BE.

(1)求证：AB=AF；

(2)如果sin/FBC=3,A8=4jG,求A。的长.

5

9.解：(1)延长A。与。。交于点G.

••・直径4cL弦AG于点。，

:.AB=GB.

・•・NAFB二NBAE.

••・AE=BE,，NABE:NBAE.

NABE=NAFB.AAB=AF.

ED3

(2)在中，sin/FBC=——=-

BE5

设ED=3%,BE=5x,则AE=5x,AD=Sx,在RfAEDB中,由勾股定理得8D=4x.

在R/Z\Af>8中，由勾股定理得序.

•:AB=4后,・•・(4x)2+(8x)2=(4⑹2.

・•・x=\（负舍）.:.AD=8A=8.

10.如图，已知直径与等边AA3C的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E,边AC过圆心O与

圆O相交于点F、Go

(I)求证：DE\\AC；

(2)若AA8C的边长为a,求AECG的面积.

10.（1）・.•△A8C是等边三角形，.•.NB=60',NA=60；

t-AB.3c是圆。的切线，0、E是切点、，••・BD=BE.

NBDE=60°,ZA=60°,有。以4C

（2）分别连结OD.OE,作EHA_AC干点H.

,-AB.8C是圆。的切线，。、E是切点，。是圆心,

/.ZADO=ZOEC=^）»OD=OE,AD=EC.

MDO=bCEO有AO=OC=-a.

•・•圆O的直径等于M3c的高,得半径OG=^-a,

CG=OC+OG=-a+—a

424

•・•EH1OC,ZC=60,「./COE=30°,EH=正〃.

8

•・・SAECG=：CGEH=!（立〃+•Ba、

22428

.c_32M2_3+2石2

,•,^A£CG——aH-----a---------ci•

643264

11.如图，在△ABC中，ZBCA=90°,以BC为直径的。。交AB于点P,。是4c的中点.

(1)请你判断直线PQ与。O的位置关系，并说明理由；

(2)若乙4=30。，AP=2>/3,求。。半径的长.

cQA

IL解：(1)直线0Q与。。相切.

连结OP、CP.

•・•BC是。。的直径，:.ZBPC=90°

又•・•。是4c的中点，，PQ=CQ=AQ.

，Z3=Z4.

ZBCA=90°,:.Z2+Z4=90°.

*/Z1=Z2,・•・Zl+Z3=90°.

即NOPQ=90°.

・•・直线尸。与00相切.

(2)•・•ZA=30°,AP=273,

・•・在RtZ\4PC中，可求ACM.

4r

・•・在RtZ\A8C中，可求8c=-j3.

3

・•・BO-V3.(DO半径的长为2G.

33

12.如图，已知点A是。O上一点，直线MN过点A,点8是MN上的另一点，点。是08的中点，AC=-OB,

2

若点。是。0上的一个动点，且NO84=30°,A4=2j5时，求△APC的面积的最大值.

12、解：连结。4.

由C是(用的中点，且AC，可证得NQ4B=90。.

2

贝i]ZO=60°.可求得OA=AC=2.

过点。作OE_LAC于E,且延长E。交圆于点F.

则P(尸石是△附。的4c边上的最大的高.

在△OAE中，OA=2,/AOE=30°,

解得OE=6所以PE=2+®

故S„.=-ACPE=-x2x(2+5/3).

△“^Lr

即'P4C=2+6.

13.如图，等腰△ABC中，AB=AC=\3,BC=10,以AC为直径作。。交8C于点。，交4B于点G,过点

。作。。的切线交48于点£,交AC的延长线与点E

(I)求证：EFVAB,

(2)求cos/尸的值.

13.证明：

(1)联结0D

*：OC=OD：.ZODC=ZOCD

又,••48=AC:.NOCD=NB

：・ZODC=/B：.OD//AB

•••EO是。。的切线，0。是。。的半径

：.0DtEF：.ABLEF

(2)联结A。、CG

・・・AO是。。的直径

ZADC=ZAGC=90°

•：AB1EF：,DE//CG

J"二NGCA

TAB二AC：.DC=-BC=5

2

RiAADC中,AD=y/AC2-CD2=12

VAD.BC=AB・CG

.“AD・BC120

・・CG=----------=

AB13

,GC120

;^△ACG人中，cos/GC4=——=——

AC169

120

cosZF=

169

14.(应用性问题)已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同,

且含有30。的直角三角尺按图示的方式测量.

(1)若。O分别与人£AF交干点B、C,且AB=AC,若。0与人尸相切.

求证：00与4E相切；

(2)在满足(1)的情况下，当6.C分别为人£人厂的三分之一点时，

且AF=3,求8C的弧长.

14.解：(1)证明：连结。屎04、OC.

根据题意，/OC4=90°.

在△ABO与△ACO中，

AB=AC,OA=OA,OB=OC,

所以△人404△人CO.

所以ZOCA=ZOBA=90°.则4E是圆的切线.

⑵因NOC4=NOBA=90°,且NEAD=NFAG=30°,

则ZBAC=120°.

又AC=-AF=\,ZOAC=60°,故OC=6

3

所以BC的长为立兀.

3

二、圆与相似综合

15.已知：如图，。。的内接△/18C中，NBAC=45°,ZABC=15°,AQ〃OC并交8C的廷长线于Q,

。。交AB于E.

(1)求NO的度数；

(2)求证：AC2=ADCEX

(3)求生的值.

CD

15.(1)解：如图3,连结。区

,/。。的内接△43。中，ZBAC=45",

・•・NBOC=2N8AC=90°.

*.*OB=OC，/.AOBC=ZOCB=45°.

•・•AD//OC,；・NO=NOCB=45°.

(2)证明：•・•ZBAC=45°,ZD=45°,

/BAC=ND,

•・•AD//OC,JACE=ADAC.图3

：.AACE^^DAC.

ACCE

・•・AC2=ADCE.

DA~AC

(3)解法一：如图4,延长BO交OA的延长线于F,连结。4.

・,AD//OC,J/F=NBOC=90：

：N/WC=I5°,

,・ZOBA=ZOBC~ZABC=30°.

:OA=OB,

•・ZFOA=ZOBA-^-ZOAB=60°,ZOAF=30°.

•・OF=-OA.

2图4

:AD//OC，4BUCs^BFD.

.BC=BO.BCBOOAr

..----------=2,即上上的值为2.

一~BD~~BF•CDOFOFCD

可得BM=Br,OM=~,

解法二：作OMLBA于M,设。。的半径为r,ZWE=300，

22

ME=OMtan300=—r,BE=—r,AE=B『,所以生=股=2.

633CDEA

16.如图⑴，00的直径为A3,过半径0A的中点G作弦CE_LA3,在取一点。，分别作直线

CD、ED,交直线A3于点F;M.

⑴求ZCOA和ZFDM的度数;

⑵求证：AFDMsXCOM；

⑶如图⑵，若将垂足G改取为半径08上任意一点，点。改取海上，仍作直线CO、ED,分别

交直线48于点尸、试判断：此时是否仍有△FO/V/SACOM成立？若成立请证明你的结论：若不成

立，

(1)（第16题）(2)

16.解：(1)・・・AB为直径，CE1AB,AAC=AE,CG=EG.

在RtACOG中，•・•OG=工oc,・•・ZOCG=30°.ANCOA=60.

2

又•・•/CDE的度数=工CAE的度数=/的度数=NCOA的度数=60°,

2

・•・ZFDM=180"-ZCDE=120°.

(2)证明：•・•/COM=180"-ZCOA=120°，,ZCOM=ZFDM.

,,fGM=GM

在RtACGM和RtAEGM中，Q,

[CG=EG

・••RtACGMgRtAEGM.AZGMC=ZGME.

又,/NDMF=ZG/V/E,ZOMC=ZDMF.

：,NFDM^COM

(3)结论仍成立.证明如下：

•・,ZFDM=1800-ZCDE,

又•・•NCDE的度数='CXE的度数=CA的度数=NCOA的度数，

2

・•・NFDM=180°-ZCOA=ZCOM.

〈AB为直径，CE±AB,

任RtACGM和RtAEGM中，

GM=GM

CG=EG'

RtACGMgRtAEGM.

・•・ZGMC=ZGME.・•・\FDMsACOM.

三、圆与三角函数综合

17.已知GO过点D(4.3),点H与点D关干y釉对称.过H作OO的切线交)，轴干点A(如图1)“

⑴求。O半径；

⑵求sinNHAO的值；

⑶如图2,设。O与)，轴正耳轴交点P,点E、F是线段OP上的动点(与P点不重合)，联结并延长

DEDF交。O于点RC直线BC交)，轴于点G若△£)所是以EF为底的等腰三角形试探索sin/CGO

的大小怎样变化？请说明理由。

17.⑴点0(4,3)在00上，・•・OO的半径，FODUS。

(2)如图1,联结HD交OA于Q,则HD_LOA。联结OH,则OHJ_AH。

ZHAO=ZOHQo:.sinZ.HAO=sinZ.OHQ==~°

(3)如图2,设点D关于)，轴的对称点为H,联结HD交0P于Q,则HD_LOP。

又DE二DF,JDH平分NBDC,

・•・BH=CH。・•・联结OH.贝iJOH_LBC。

JZCGO=ZOHQo

/.sinZCGO=sinZOHQ=-2^=-

OH5

四、圆与二次函数（或坐标系）综合

18、如图，0M的圆心在x轴上，与坐标轴交于A（0,6）、B（-1,0）,抛物线>=一日/+法

经过A、B两点.

（I）求抛物线的函数解析式；

（2）设抛物线的顶点为P.试判断点P与。M的位置关系，并说明理由；

(3)若。M与y轴的另一交点为D,则由线段PA、

线段PD及弧ABD围成的封闭图形PABD的面

积是多少？

18.解：⑴•・•抛物线经过点A、B,

6=c,273

,=----+汉+瓜

百，解得•

3…一旦2

------b+c.c=V3.,33

3

（2）由>=—&+毡

33

6,4百4-73

得），二一="—1）2+芋.・•・顶点P的坐标为（1,3）.

333

在RtZXAOM中,MA2-MO2=OA2,OA=V3,OB=1,

MA2一（MA—I/=3,AMA=2.

••・\413=2,乂0=1,即点0的坐标为（1,0）.

4百

••・MP=一->2.J顶点P在圆外；

3

（3）连结0D,,・•点M在抛物线的对称轴上,

AMP#y轴，SROAD=SAPAD-

...由线段PA、线段PD及弧ABD形成的封闭图形PABD的面积二扇形OAD的面积.

•・•在Rt^AOM中,sin/AMO史，・・・NAMO=60°.

2

・•・封闭图形PABD的面积=段:-M42=色

3603

19.如图，在平面直角坐标系中，。是原点，以点C(l,1)为圆心，2为半径作圆，交工轴于A,B两点,

开口向下的抛物线经过点4,B,且其顶点P在。C上.

(1)求NAC8的大小；

(2)写出A,8两点的坐标；

(3)试确定此抛物线的解析式：

(4)在该抛物线上是否存在一点。，使线段0P与CO互相平分？若存在，求出点。的坐标；若不存

在，请说明理由.

19.解：(1)作轴，H为垂足.

CH=\,半径C3=2,

NHBC=30°.

/.NBCH=60°.

JZACfi=120°.

(2),:CH=\,半径CB=2,

・••HB=6故A(1-6,0),8(1+6,0).

(3)由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为(1,3).

设抛物线解析式为y=〃(工一+3,把点B(1+6,0)代入解析式,

解得。二一1.所以y=-/+2工+2.

(4)假设存在点。使线段。尸与C力互相平分，则四边形OCPO是平行四边形.

所以，.PC〃OD且PC=QD.

•・•尸。〃y轴，.•.点。在)，轴上.

•・,PC=2,/.OD=2,即0(0,2).

•・•。((),2)满足丁=—12+2彳+2,

・•・点。在抛物线上.

・•・存在0(0,2)使线段0P与CO互相平分.

20.(以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题)如图，半径为1的。01与1轴交于A、3两点，圆心。

的坐标为(2,0),二次函数)，+法+。的图象经过4、B两点，其顶点为产.

(I)求hc的值及二次函数顶点厂的坐标：

(2)将二次函数丁=-/+云+。•的图象先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，设平移后图象的顶

点为C,在经过点B和点£)(0,-3)的直线/上是否存在一点尸，使"AC的周长最小，若存在，求出点

户的坐标：若不存在，请说明理由.

20.解：（1）由题意得，4（1,0）,B(3,0).

-l+Z?+c*=0,/7=4,

则有解得

-9+3"c=O.c=-3.

・•・二次函数的解析式为），=一/+4X一3=-（工一2）2+1.・・・顶点尸的坐标为（2,1）.

（2）将），=一（工一2『+1平移后的抛物线解析式为y=其顶点为c（o,o）.

•・•直线/经过点B（3,0）和点D（0,・3）,・••直线/的解析式为），=x-3.

作点A关于直线/的对称点A',连接BA'、CA',

・・・AA'_L直线/,设垂足为E,则有AE=AE,

由题意可知，ZABE=45°>AB=2,

AZEBA'=45°,ArB=AB=2.AZCB^=90°.

过点4作。。的垂线，垂足为尸，，四边形CBA'8为矩形.

FA,=OB=3.・•・4（3,-2）.

2

，直线CA的解析式为），二一§工.

x=—

3X，的解为5••・直线CA与直线/的交点为点产

五、以圆为背景的探究性问题

21.下图中，图⑴是一个扇形OAB,将其作如下划分：

第一次划分：如图⑵所示，以OA的一半OAi的长为半径画弧交OA于点A]，交OB于点&,再作

NAOB的平分线，交A8于点C，交AM于点Ci，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形OAB、扇形

OAC、扇形OCB、扇形OA山|、扇形OAiCi、扇形OGBi；

第二次划分：如图（3）所示，在扇形OGBi中，按上述划分方式继续划分，即以OG的一半OA2的

长为半径画弧交0。于点A2,交OBi于点B2,再作NBQG的平分线，交B©于点、D],交人g于点

D2,可以得到扇形的总数为11个；

第三次划分：如图(4)所示，按上述划分方式继续划分:

依次划分下去.

ski)图⑵第一次划分图⑶第二次划分图(4)第三次划分

()根据题意，完成右边的表格；

1戈吩次数扇形忘个数

(2)根据右边的表格，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为2008个?

16

为什么？

211

(3)若图(1)中的扇形的圆心角NAOB=m°,且塌形的半径OA的长为R.我们3

把图⑵第一次划分的图形中，扇形OAG(或扇形OG与)称为第一次划4

■•■•••

分的最小扇形，其面积记为S,：把图⑶第二次划分的最小扇形面积记为n

s

S2；……，把第n次划分的最小扇形面积记为Sn..求一的值.

21.解：(1)

划分扇形总个

次数数

16

211

316

421

•♦••・♦

n5n+l

(2)不能得到2008个扇形，因为满足5n+l=2OO8的正整数n不存在;

m(m(RY

fS„2"{2n2""12W-')1

S)-3603608

22.圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作NAOB2/AB(如图①)；

圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等